在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：
规律发现：
在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：
（1）点A表示的数是2，点B表示的数是6，则线段AB的中点C表示的数为4；
（2）点A表示的数是-5，点B表示的数是7，则线段AB的中点C表示的数为1；
发现：点A表示的数是a，点B表示的数是b，则线段AB的中点C表示的数为．
直接运用：
将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x-3，点B表示的数为2x+1，C表示的数为x-1，则x值为-3，若将△ABC从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与△ABC的顶点B重合．
类比迁移：
如图（2）：OB⊥OX，OA⊥OC，∠COX=30°，若射线OA绕O点每秒30°的速度顺时针旋转，射线OB绕O点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC以每秒10°的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线OX重合时，三条射线同时停止运动，问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
解：（1）∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x-3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为x-1，
∴x-1-（2x+1）=2x+1-（x-3）；
解得：x=-3．
故A表示的数为：x-3=-3-3=-6，
点B表示的数为：2x+1=2×（-3）+1=-5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2014对应的点与-4的距离为：8，
∵…2，C从出发到2014点滚动672周后再滚动两次，
∴数字2014对应的点将与△ABC的顶点B重合．
故答案为：-3，B；
（2）∵OB⊥OX，OA⊥OC，∠COX=30°，
∴∠AOB=30°，
经分析知2秒时OB与OC重合，所以在2秒以前设运动x秒时，OB是OA与OC的角平分线，
30-10x=60-30x
解得x=1.5．
3秒时OA与OB重合，所以在3秒以前设运动y秒时，OA是OB与OC的角平分线，
30y+10y-90=20y+30-30y
解得y=2.4．
4秒时与OA直线OX重合，设3秒后4秒前运动z秒时OB是OA与OC的角平分线，
20x-60+10x=30x-30-20x
解得x=1.5（舍去）．
故运动1.5秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线．
（1）根据等边三角形ABC，利用边长相等得出x-1-（2x+1）=2x+1-（x-3），求出x即可，再利用数字2014对应的点与-4的距离为：8，得出…2，C从出发到2014点滚动672周后再滚动两次，即可得出答案；
（2）关键是分析出2秒时OB与OC重合，所以在2秒以前设运动x秒时，OB是OA与OC的角平分线，3秒时OA与OB重合，所以在3秒以前设运动y秒时，OA是OB与OC的角平分线．初中地理 |
【题文】读下图，回答问题：（8分）（1）请将图中的线段比例尺转换成数字比例尺。（2）图中点A在点B的方向是    &#1
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 试题难度：
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【题文】读下图，回答问题：（8分）（1）请将图中的线段比例尺转换成数字比例尺。（2）图中点A在点B的方向是       。（3）根据地图量算A.B两地的实地距离是  千米。（4）如果画一幅相等大小的山东省地图，图上表述的内容要比该图       。（简单或详细）
试题答案：
【答案】（1）1：100000（2）西北（3）2（4）简单
试题解析 ：
【解析】试题分析：（1）比例尺有三种表示方法，一是文字式，二是线段式，三是数字式，如上图的比例尺就是线段式，表示图上1厘米代表实际1千米，换成数字式就是1：100000。（2）从左侧的指向标可以判断，A是位于B的左上方，所以A是位于B的西北方。（3）从图上AB之间的距离可以判断，图上大约为2厘米，根据比例尺可以判断其实际距离有2千米。（4）这幅图表示是一个小地方的地图，所以所描述的内容很详细，如果换成一个大范围的山东省地图，那内容就要简化，否则无法把一些必要标记和图例描上去，所以填“简单”。考点：本题考查地图的运用。
【解析】试题分析：（1）比例尺有三种表示方法，一是文字式，二是线段式，三是数字式，如上图的比例尺就是线段式，表示图上1厘米代表实际1千米，换成数字式就是1：100000。（2）从左侧的指向标可以判断，A是位于B的左上方，所以A是位于B的西北方。（3）从图上AB之间的距离可以判断，图上大约为2厘米，根据比例尺可以判断其实际距离有2千米。（4）这幅图表示是一个小地方的地图，所以所描述的内容很详细，如果换成一个大范围的山东省地图，那内容就要简化，否则无法把一些必要标记和图例描上去，所以填“简单”。考点：本题考查地图的运用。
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170位同学学习过此题，做题成功率82.9%
阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同当a2-b2＞0时，a-b＞0，得a＞b当a2-b2=0时，a-b=0，得a=b当a2-b2＜0时，a-b＜0，得a＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1=3x+7y&（用x、y的式子表示）W2=2x+8y&（用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1=（3+x）&km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2=√x2+48&km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
本题难度：一般
题型：填空题&|&来源：2012-赤峰
分析与解答
习题“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”的分析与解答如下所示：
（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．
（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．&&&&&& ②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．&&&（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．&&&&&&&&&&②解：过B作BM⊥AC于M，则AM=4-3=1，在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1，在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=√A′M2+BM2=√x2+48，故答案为：√x2+48．③解：a12-a22=（x+3）2-（√x2+48）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39，当a12-a22＞0（即a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得x＞6.5，当a12-a22=0（即a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a12-a22＜0（即a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得x＜6.5，综上所述当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
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阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方...
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经过分析，习题“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”主要考察你对“轴对称-最短路线问题”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
与“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：当a-b＞0时，一定有a＞b；当a-b=0时，一定有a=b；当a-b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求...”相似的题目：
[2007o山西o模拟]如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则河水沿着管道，从M到P的路程加上M到Q的路程，最短的是（　　）
[2015o乐乐课堂o练习]如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）
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“阅读材料：（1）对于任意两个数a、b的大...”的最新评论
该知识点好题
1如图，已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，-2），点P在直线y=-x上运动，当|PA-PB|最大时点P的坐标为（　　）
2如图四边形ABCD中，AD=DC．∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DF⊥AC，垂足为F．DF与AB相交于E．设AB=15，BC=9，P是射线DF上的动点．当△BCP的周长最小时，DP的长为（　　）
3（2010o扬州）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为&&&&．
该知识点易错题
1如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（　　）
2如图：梯形中ABCD，AD∥BC，AB=CD=5，BC=6，∠C=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，Q为CD上一点，那么PQ+CQ的最小值为&&&&．
3代数式√x2+4+√(12-x)2+9的最小值为&&&&．
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如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且点A相距100km的点B处，再航行至位于点A的南偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：）
答案（1）173；（2）点C位于点A的南偏东75°方向．
解析试题分析：（1）作辅助线，过点A作AD⊥BC于点D，构造直角三角形，解直角三角形即可.（2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确定点C相对于点A的方向．试题解析：解：（1）如答图，过点A作AD⊥BC于点D．由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°．在Rt△ABD中，∵∠ABC=60°，AB=100，∴BD=50，AD=50．∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150．在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=（km）．答：点C与点A的距离约为173km．（2）在△ABC中，∵AB2+AC2=1002+（100）2=40000，BC2=2002=40000，∴AB2+AC2=BC2. ∴∠BAC=90°.∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°．答：点C位于点A的南偏东75°方向．考点：1.解直角三角形的应用（方向角问题）；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4. 勾股定理和逆定理．