在三角形ABC中,AB=6,Ac=8,BC=10,p为边BC上一动点,PE丄AB于E,PE丄AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为多少._百度作业帮
在三角形ABC中,AB=6,Ac=8,BC=10,p为边BC上一动点,PE丄AB于E,PE丄AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为多少.
在三角形ABC中,AB=6,Ac=8,BC=10,p为边BC上一动点,PE丄AB于E,PE丄AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为多少.
∵△ABC有三边长为6、8、10,6*6+8*8=10*10,∴△ABC为直角三角形,∠BAC=90度.又∵PE ⊥AB 、PF⊥AC,∴AEPF为矩形.M为EF的中点,∴AM是矩形对角线PA的1/2,只有当矩形相邻的两边相等（即矩形为正方形）时,其对角线最短.设正方形的边长为X,∵直角△PBE∽直角△CPF,∴PF:EB=CF:PE（AE=EP=PF=FA=X) ,即 X：(6-X)=(8-X):X,解得X=24/7.则对角线AP=(24√ 2)/7, ∴AM=1/2AP=(12√2)/7.在直角△EBP中,EB=6-24/7=18/7,EP=24/7,∴BP^2=BE^2+PE^2,即BP^2=(18/7)^2+(24/7)^2=900/49,∴BP=30/7,即当P点移到离B点30/7时,AM的值最小,最值为(12√2)/7.在四棱锥P-abcd中，&BAD=90º，PA丄平面ABCD，AB=2，三角形ACD是边长为2√3_百度知道
在四棱锥P-abcd中，&BAD=90º，PA丄平面ABCD，AB=2，三角形ACD是边长为2√3
BAD=90&#186，三角形ACD是边长为2√3的正三角形在四棱锥P-abcd中，&，PA丄平面ABCD，AB=2，点E是PD的中点
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细心一点画个三维坐标系。做题的步骤虽然很多，把所有的点的坐标表示出来，但是这是比较简单的方法，证明两个面的垂直
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出门在外也不愁2012年辽宁省各市中考数学押轴题解析
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2012年辽宁省各市中考数学押轴题解析
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2012年辽宁省各市中考数学押轴题解析
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文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM 辽宁各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题12：押轴题一、选择题1. （2012辽宁鞍山3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【&&& 】&& A．&& B．&& C．&& D． 【答案】B。【考点】动点问题的函数图象。【分析】分别求出点P在DE、AD、AB上运动时，S与t的函数关系式，结合选项即可得出答案：根据题意得：当点P在ED上运动时，S= BC&#8226;PE=2t；当点P在DA上运动时，此时S=8；当点P在线段AB上运动时，S= BC（AB+AD+DE－t）=5－ t。结合选项所给的函数图象，可得B选项符合。故选B。　2. （2012辽宁本溪3分）如图，已知点A在反比例函数 图象上，点B在反比例函数& (k≠0)的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为C、D，若OC= OD，则k的值为【&&& 】&A、10&&&&&&&& B、12&&&&&&&&&& C、14&&&&&&&& D、16【答案】B。【考点】反比例函数的图象和性质。【分析】由已知，设点A（x， ），∵OC= OD，∴B（3x， ）。&&&&&&& ∴ ，解得k=12。故选B。3. （2012辽宁朝阳3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上，若点A 的坐标为（－2，－3），则k的值为【&&& 】&A.1&&&&& B. －5&&&&&& C. 4&&&&&& D. 1或－5【答案】D。【考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析】如图：∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，∴ 。∴ 。∴ 。∴xy=k2+4k+1=6，解得，k=1或k=－5。故选D。4. （2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【&&& 】&& A.1&&&&&&& B.2&&&&&&&& C.3&&&&&&& D.4【答案】B。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。【分析】∵抛物线的点P在折线C－D－E上移动，且点B的横坐标的最小值为1，&&&&&&& ∴观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合。&&&&&&& ∵C（－1，4），∴设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为 。&&&&&&& ∵B（1，0），∴ ，解得a=－1。&&&&&&& ∴当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为 。&&&&&&& ∵观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1），&&&&&&& ∴当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为 。&&&&&&& 令 ，即 ，解得 或 。&&&&&&& ∵点A在点B的左侧，∴此时点A横坐标为2。故选B。&&&&&&& ∴点A的横坐标的最大值为2。5. （2012辽宁丹东3分）如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.&下列结论：①∠DOC=90° ,&& ②OC=OE，&& ③tan∠OCD =&&& ，④&& 中，正确的有【&&& 】A.1个&&&&&&&& B.2个&&&&&& C.3个&&&&&&&& D.4个【答案】C。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，反证法，线段垂直平分线的性质，三角形边角关系，锐角三角函数定义。【分析】∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°。∵AE=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△EBC≌△FCD（SAS）。∴∠CFD=∠BEC。∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°。∴∠DOC=90°。故①正确。如图，若OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE。∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误。∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。∴tan∠OCD=tan∠DFC= 。故③正确。∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD。∴S△EBC－S△FOC=S△FCD－S－，即S△ODC=S四边形BEOF。故④正确。故选C。6. （2012辽宁阜新3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使 ，那么平行四边形ABCD应满足的条件是【&&& 】&A．∠ABC=60°&&&&&&& B．AB：BC=1：4&&&&&&& C．AB：BC=5：2&&&&&&&& D．AB：BC=5：8【答案】D。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC。∴∠AEB=∠EBC。又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。同理可得：DC=DF。∴AE=DF。∴AE－EF=DE－EF，即AF=DE。当 时，设EF=x，则AD=BC=4x。∴AF=DE= （AD－EF）=1.5x。∴AE=AB=AF+EF=2.5x。∴AB：BC=2.5：4=5：8。∵以上各步可逆，∴当AB：BC=2.5：4=5：8时， 。故选D。7. （2012辽宁锦州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是【&&& 】&A.& π&&&&&&&&& B.& π&&&&&&&&&& C. 2π&&&&&&&&&& D. 4π【答案】C。【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴ 。∴ &&&&&&&&&& = 。故选C。8. （2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【&&&& 】&A．4个&&& B．6个&&& C．8个&&& D．10个【答案】C。【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。故选C。9. （2012辽宁铁岭3分）如图，□ABCD的AD边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，它们的各边与□ABCD的各边分别平行，且与□ABCD相似.若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是【&&& 】& A.&&&& B.&&& C.&&& D.& 【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，平行四边形的性质，相似多边形的性质。【分析】∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在□ABCD的顶点上，&&&&&&& ∴阴影部分的面积的和等于一个小平行四边形的面积。&&&&&&& ∵□ABCD的AD边长为8，面积为32，小平行四边形的一边长为x，阴影部分的面积的和为y，且小平行四边形与□ABCD相似，∴ ，即 。又∵0＜x≤8，∴纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象。故选D。10. （2012辽宁营口3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠B= ．动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动．设△ABP的面积为 (B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为 ，则 与 之间函数关系的图像大致为【&&& 】&【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PE＝BPsiｎ∠B＝ ，∴△ABP的面积 。当点P在BC上运动时，如图，△ABP的高PF＝BCsiｎ∠B＝1,∴△ABP的面积 。因此，观察所给选项，只有C符合。故选C。二、填空题1. （2012辽宁鞍山3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜边AB边中线CD，得到第一个三角形ACD；DE⊥BC于点E，作Rt△BDE斜边DB上中线EF，得到第二个三角形DEF；依此作下去…则第n个三角形的面积等于&& ▲&& ．&&2. （2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推……，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为&&& ▲&&& _。（n≥2，且n是正整数）&【答案】 。【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形和矩形的性质，三角形中位线定理。【分析】观察图形发现，第2个图形中的阴影部分的面积为 ，第3个阴影部分的面积为& ，…第n个图形中的阴影部分的面积为 。3. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为&&& ▲&&& 。&【答案】 。【考点】对顶角的性质，正多边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】连接AC，设AC与EF相交于点M。∵AEAEF，EFAFC，∴∠E=∠F=90°。∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM。∴ 。∵AE=4，EF=8，FC=12，∴ 。∴EM=2，FM=6。∵在Rt△AEM中， ，在Rt△FCM中， ，∴AC= 。在Rt△ABC中， 。∴正方形ABCD的面积= ，圆的面积为： 。∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 。4. （2012辽宁大连3分）如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，且AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，则A'C＝&&& ▲&&& cm。&&5. （2012辽宁丹东3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P,BP=4，∠PBC=60°，点Q为正方形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有&&&& ▲&&& 个.&【答案】5。【考点】动点问题，正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段中垂线的性质，等边三角形的判定。【分析】如图，符合条件的Q点有5个。&&&&&&&&&& 当BP=BQ时，在AB，BC边上各有1点；&&&&&&&&& 当BP=QP时，可由锐角三角函数求得点P到AB的距离为2，到CD的距离为4，到BC的距离为 ，到AD的距离为 ，故在BC，CD，DA边上各有1点；&&&&&&&&& 当BQ=PQ时，BP的中垂线与AB，BC各交于1点，故在AB，BC边上各有1点。&&&&&&&&& 又当Q在BC边上时，由于△BPQ是等边三角形，故3点重合。&&&&&&&&& 因此，符合条件的Q点有5个。6. （2012辽宁阜新3分）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是&&& ▲&&& ．&【答案】100。【考点】解二元一次方程组的应用（几何问题）。【分析】由题意，得图2中Ⅱ部分长为b，宽为a－b，&&&&&&& ∴ ，解得 。&&&&&&& ∴图2中Ⅱ部分的面积是 。7. （2012辽宁锦州3分）如图，正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3,…,AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1、A2、A3、A4、…、An在射线OA上，点B1、B2、B3、B4、…、Bn在射线OB上.若∠AOB=45°，OB1 =1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S1,S2，S3，…，Sn,则Sn=&&&& ▲&&& .&【答案】 。【考点】分类归纳（图形的变化类），正方形和等腰直角三角形的性质，幂的运算。【分析】根据正方形的性质，知&&&&&&& 正方形A1B1B2C1的边长为1；正方形A2B2B3C2的边长为2；正方形A3B3B4C3的边长为4；正方形A4B4B5C4的边长为8；……正方形AnBnBn+1Cn的边长为 。&&&&& 根据等腰直角三角形的性质，得Sn= 。8. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为&&& ▲&&& _cm2.&【答案】 。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，连接BD，&&&&&&& 根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，&&&&&&& ∴△ABD和△BCD是等边三角形。&&&&&&& 由DE⊥AB，DF⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，得AE=BE=BF=CF。&&&&&&& ∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。&&&&&&& 由∠A=60°，菱形ABCD的边长为8cm，得DE=4 cm。&&&&&&& ∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积= （cm2）。9. （2012辽宁铁岭3分）如图，点E、F、G、H分别为菱形A1B1C1D1各边的中点，连接A1F、B1G、C1H、D1E得四边形A2B2C2D2，以此类推得四边形A3B3C3D3…，若菱形A1B1C1D1的面积为S，则四边形AnBnCnDn的面积为&&&& ▲&&& .&【答案】 。【考点】分类归纳（图形的变化），菱形的性质，平行四边形、梯形的判定和性质，三角形中位线定理。【分析】∵H为A1B1的中点，F为C1D1的中点，∴A1H=B1H，C1F=D1F。又A1B1C1D1为菱形，∴A1B1=C1D1。∴A1H=C1F。又A1H∥C1F，∴四边形A1HC1F为平行四边形。∴ 。又 ，∴ 。又GD1=B1E，GD1∥B1E，∴GB1ED1为平行四边形。∴GB1∥ED1。又G为A1D1的中点，∴A2为A1D2的中点。同理C2为C1B2的中点，B2为B1A2的中点，D2为D1C2的中点。∴HB2= A1A2，D2F= C1C2。又∵A1A2B2H和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形A2B2C2D2的高h相等（设高为h），下底与平行四边形A2B2C2D2的边A2D2与x相等（设A2D2=x），∴ 。∴ 。又∵ ，∴ 。同理 。以此类推得四边形AnBnCnDn的面积为 。10. （2012辽宁营口3分）如图，直线 与双曲线 （x＞0）交于A、B两点，与 轴、 轴分别交于E、F两点，连结OA、OB，若 ，则&&&&& ▲&&&& ．&【答案】 。【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质。【分析】在 中，令 ，解得 ；令 ，则 。∴点E（ ，0）、F（0， ）。∴OE=OF。过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF。设点A（ ）、B（ ），联立 ，消掉 得， 。根据根与系数的关系， ，∴ 。∴ 。∴OA=OB。∴AM=BM（等腰三角形三线合一）。∵ ，∴FB=BM=AM=AE。所以点A（ ）。∵点A在双曲线 上，∴ ，解得b= 。三、解答题1. （2012辽宁鞍山12分）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3，3），将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式．&【答案】解：（1）证明：∵∠AOG=∠ADG=90°，∴在Rt△AOG和Rt△ADG中，AO=AD，AG=AG，∴△AOG≌△ADG（HL）。（2）∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下：由（1）同理可证△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP。∵由（1）△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG。又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。∵△AOG≌△ADG，△ADP≌△ABP，∴DG=OG，DP=BP。∴PG=DG+DP=OG+BP。（3）∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD。又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°= ，∴G点坐标为：（ ，0），CG=3 。在Rt△PCG中，PC= ，∴P点坐标为：（3， ）。设直线PE的解析式为y=kx+b，则 ，解得 。∴直线PE的解析式为y= x1。【考点】一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，利用“HL”可证△AOG≌△ADG。（2）利用（1）的方法，同理可证△ADP≌△ABP，得出∠1=∠DAG，∠DAP=∠BAP，而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，由此可求∠PAG的度数；根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。（3）由△AOG≌△ADG可知，∠AGO=∠AGD，而∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，当∠1=∠2时，可证∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，即∠1=∠2=30°，解直角三角形求OG，PC，确定P、G两点坐标，得出直线PE的解析式。2. （2012辽宁鞍山14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．&【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得&，解得 。∴直线AB的解析式为y=x+4。（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°∠OAB=45°。∴△ADG为等腰直角三角形。∴DG=AG=OGOA=DMOA=54=2。∴D（2，6）。（3）存在。由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x4），将D（2，6）代入，得a= 。∴抛物线解析式为y= x（x4）。由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。设P（x，0），则MP=x2，PB=4x，①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4x+2（x2）=x，将E（x，x）代入抛物线y= x（x4）中，得x= x（x4），解得x=0或 ，∴P（ ，0）。②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y= x（x4）中，得2= x（x4），解得x= 或 。∴P（ ，0）。综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（ ，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。1367104【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。&（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OGOA=DMOA=54=2，可求D点坐标。（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。3. （2012辽宁本溪12分）已知，在△ABC中，AB=AC。过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角 ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN。（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a，当 =45°时，∠ANC的度数为_______；②如图b，当 ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明。&【答案】解：（1）①450。&&&&&&&&&&&&&&&& ②不变。理由如下&&&&&&&&&&&&&&&& 过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵∠BAC =90°，∴∠BAD＋∠EAC=90°。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵BD⊥AP，∴∠ADB =90°。∴∠ABD＋∠BAD=90°。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴∠ABD=∠EAC。&&&&&&&&&&&&&&&& 又∵AB=AC，∠ADB =∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA（AAS）。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴AD=EC，BD=AE。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵BD是等腰直角三角形NBM斜边上的高，∴BD=DN，∠BND=45°。∴BN=BD=AE。∴DN－DE=AE－DE，即NE=AD=EC。∵∠NEC =90°，∴∠ANC =45°。（3）∠ANC =90°－ ∠BAC。【考点】等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，圆周角定理。【分析】（1）①∵BM=BN，∠MBN=90°，∴∠BMN=∠BNM=45°。&&&&&&&&&&&& 又∵∠CAN=45°，∴∠BMN=∠CAN。&&&&&&&&&&&& 又∵AB=AC，AN=AN，∴△BMN≌△CAN（SAS）。∴∠ANC=∠BNM=45°。&&&&&&&&&&&& ②过B、C分别作BD⊥AP于点D，CE⊥AP于点E。通过证明△ADB≌△CEA从而证明△CEN是等腰直角三角形即可。&&&&&&& （2）如图，由已知得：&&&&&&&&&&&& ∠θ=1800－2∠ABC－∠1（∵AB=AC）&&&&&&&&&&&&&&& =1800－∠2－∠6－∠1（∵∠BAC=∠MBN，BM=BN）&&&&&&&&&&&&&&& =（1800－∠2－∠1）－∠6&&&&&&&&&&&&&&& =∠3＋∠4＋∠5－∠6（三角形内角和定理）&&&&&&&&&&&&&&& =∠6＋∠5－∠6=∠5（∠3＋∠4=∠ABC=∠6）。&&&&&&&&&&&& ∴点A、B、N、C四点共圆。 &&&&&&&&&&&& ∴∠ANC =∠ABC ==90°－ ∠BAC。4. （2012辽宁本溪14分）如图，已知抛物线y=ax&sup2;+bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。&【答案】解：（1）∵抛物线y=ax&sup2;+bx+3经过点B（－1,0）、C（3,0）,∴ ，解得， 。∴抛物线的解析式为y=－x&sup2;+2x+3。（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′ H’交x轴于点P。&&& ∵点M是点B绕O点顺时针旋转90°得到的，&&& ∴点M的坐标为（0，1）。&&& ∵点A是抛物线与y轴的交点，&&& ∴点A的坐标为（3，0）。&&& ∵OA=3，OD=4，∴AD=5。&&& ∵E′ H′∥OM，E′ H′=OM=1，&&& ∴四边形E′H′ OM是平行四边形（当E′ H′不与y轴重合时）。&&& ∵F′N∥y轴，N G′∥x轴，∴△F′N D∽△AOD。∴ 。&&& ∵直角梯形E′F′G′H′是直角梯形EFGH沿射线DA方向平移得到的，&&& ∴F′D=t，∴ 。∴ 。&&& ∵E′F′=PN=1，∴OP=OD－PN－ND=4－1－ =3－ 。&&& ∵E′P= ，E′H′=1，∴H′P= －1。&&&& 若平行四边形E′H′ OM是矩形，则∠MO H′=900，此时H′G′与x轴重合。&&&& ∵F′D=t，∴ ，即 。&&&& 即当 秒时，平行四边形EHOM是矩形。&&&& 若平行四边形E′H′ OM是菱形，则O H′=1。&&&& 在Rt△H′OP中， ，即 &&&& 得 ，解得 。&&&& 即当 秒时，平行四边形EHOM是菱形。&&&& 综上所述，当 秒时，平行四边形EHOM是矩形，当 秒时，平行四边形EHOM是菱形。（3） 秒或 秒。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角梯形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、矩形和菱形的判定。【分析】（1）用待定系数法，将B（－1,0）、C（3,0）代入y=ax&sup2;+bx+3即可求得抛物线的解析式。（2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′ H’交x轴于点P。根据相似三角形的判定和性质，可用t表示出OP=3－ ，H′P= －1。分平行四边形E′H′ OM是矩形和菱形两种情况讨论即可。（3）∵y=－x&sup2;+2x+3的对称轴为x=1，A（0，3），&&&& ∴点A关于抛物线对称轴的对称点A′（2，3）。&&&& ∴A A′=2。&&&& 设直线AD解析式为 ，则由A（0，3），D（4，0）得&，解得 。∴直线AD解析式为 。由（2）知，点G的纵坐标为 －1，代入 得横坐标为 。由HG=2得 ，即 或 。解得 或 。∴当 秒或 秒时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。5. （2012辽宁朝阳12分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现。销量w（kg）随销售单价x（元/ kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示销售单价x（元/ kg）&……&70&75&80&85&90&……销售量w（kg）&……&100&90&80&70&60&……&&&& 设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量－成本－投资）。&&& （1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700，那么第二个月时里应该确定销售单价为多少元？【答案】解：（1）w=－2x＋240。（2）y与x的关系式为： ∵ ，∴当x=85时，y的值最大为2450元。（3）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为2450元，∴第1个月还有=550元的投资成本没有收回。则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，可得方程 ，解得x1=75，x2=95。根据题意，x2=95不合题意应舍去。答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元。&6. （2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。&【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。&&&&&&&&&&&&&&& 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴ ，即 ，解得OC=4。&&&&&&&&&&&&&&& ∴点C的坐标为（4，0）。&&&&&&&&&&& （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，&&&&&&&&&&&&&&&& 将A（0，2）代入，得 ，解得 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为 ，即 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∵ ，∴抛物线的对称轴为 。&（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。&&&&& ∵点P（m，n）在 上，&&&&& ∴P 。&&& ∴ ，&&&&&&& ， 。&&& ∴& 。&&& ∵ ，∴当 时，S最大。当 时， 。∴点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或（ ）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得 ，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由 可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式： ，设过点P与AC平行的直线为 。　　由点P在 和 可得 。　　∴ ，整理，得 。　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即 与 只有一个交点，即 的△＝0，即 ，解得 。　　将 代入 得 ，将 代入 得 。　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。（4）设点M（ ），&&&& ∵C（4，0）, P（2，3）,&&&& ∴PC= ,PM= ,&&&&&&&&&&&&& CM= 。分三种情况讨论：　　①当点M是顶点时，PM= CM，即 ，解得， 。∴M1（ ）。　　　　　②当点C是顶点时，PC= CM，即 ，解得， 。&&&&&&&&& ∴M2（ ），M2（ ）。&&&&&&&&& ③当点P是顶点时，PC= PM，即 ，解得， 。&&&&&&&&& ∴M4（ ），M5（ ）。&&&&&&& 　 综上所述，当点M的坐标为（ ）或（ ）或（ ）或（ ）或（ ）时，△MPC为等腰三角形。7. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A. & （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；& （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；& （3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求 的值（用含m、n的代数式表示）。&&【答案】解：（1）180°－2α。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。∵AB=AD，∴∠ADB= （180°－∠A）=α。∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴ ，即 。∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。（3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG= 。∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴ 。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。∴ 。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得& ，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得& 的值。8. （2012辽宁大连12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。& （1）求该抛物线的解析式；& （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；& （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。 &【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－ ，0）、B（3 ，0）、C（0，3）三点，&&&&&&&&&&&&&&&& ∴抛物线的解析式可设为 ，&&&&&&&&&&&&&&&& 将C（0，3）代入得 ，解得 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴抛物线的解析式为 ，即 。&（2）存在。如图，&&&&& 由 得对称轴l为 ，&&&&& 由B（3 ，0）、C（0，3）得tan∠OBC= ，&&&&& ∴∠OBC==300。&&&&& 由轴对称的性质和三角形外角性质，得∠ADP==1200。由锐角三角函数可得点D的坐标为（ ，2）。∴DP=CP=1，AD=4。①在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP，此时，Q1的坐标为（0，7）。②由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP，过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=600可得CG=2，Q2G=2 。∴OG=1。∴Q2的坐标为（－2 ，1）。③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则△Q3DC≌△ADP，此时，Q3的坐标为（ ，－2）。④由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP，过点Q4作Q4H⊥l于点H，则在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2 。∴Q4的坐标为（3 ，4）。综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2 ，1）或（ ，－2）或（3 ，4）。（3）（ ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，三角形外角性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质。【分析】（1）根据已知点的坐标，设抛物线的交点式，用待定系数法即可求。&&&&&&& （2）求出△ADP的两边夹一角，根据SAS作出判断。（3）如图，作做EF⊥l于点F，由题意易证明△PMD ≌△EMD，△CME ≌△DNE，&&&&&&&&&&&& ∴PM=EM=EN=2DN。由题意DF=1，EF= ，NF=1-DN&&&&&&&&&&&& 在Rt△EFN中， ，&&&&&&&&&&& ∴ ，整理得 ，解得 （负值舍去）。&&&&&&&&&&& ∴ 。∴点N的纵坐标为 。∴N（ ）。9. （2012辽宁丹东12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE&则线段BD与CE的数量关系为&&&&&&&&& ，∠BMC=&&&&&&&&& （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC=&&&&&&&&& （用α表示）．&【答案】解：（1）如图1。&①BD=CE，理由如下：∵AD=AE，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。同理可得：∠BAC=180°－2α。∴∠DAE=∠BAC。∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。②∵△ABD≌△ACE，∴∠BDA=∠CEA。∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。（2）如图2，BD=kCE， α。（3）作图如下：&&。【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC，则∠BAD=∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD=CE。②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°－2α。（2）∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE= 。同理可得：∠BAC= 。∴∠DAE=∠BAC。∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE，即：∠BAD=∠CAE。∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA，∴△ABD∽△ACE。∴BD：CE=AB：AC=AD：AE=k，∠BDA=∠CEA。∴BD=kCE。∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE= 。（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC= ，由AB=kAC，AD=kAE，得出AB：AC=AD：AE=k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA=∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC= ：∵AD=ED，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED= 。同理可得：∠BAC= 。∴∠DAE=∠BAC，即∠BAD=∠CAE。∵AB=kAC，AD=kAE，∴AB：AC=AD：AE=k。在△ABD与△ACE中，∵AB：AC=AD：AE=k，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE。∴∠BDA=∠CEA。∵∠BMC=∠MCD+∠MDC，∠MCD=∠CED+∠ADE=∠CED+α，∴∠BMC=∠CED+α+∠CEA=∠AED+α= +α= 。10. （2012辽宁丹东14分）已知抛物线 与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且 ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.求：①s与t之间的函数关系式； &&&&&&& ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.&【答案】解：（1）∵ A（－1，0）,& ，∴C（0，－3）。∵抛物线经过A（－1，0）,C（0，，3），∴ ，解得 。∴抛物线的函数表达式y=x2－2x－3。（2）直线BC的函数表达式为y=x－3。（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，－2），根据题意得：－2=m－3，∴m=1。①当0＜t≤1时，S1=2t；当1＜t≤2时，如图，O1（t，0），D1（t，－2），G（t，t－3），H（1，－2），&&&&&&&&&&&&&&&& ∴GD1=t－1，HD1= t－1。∴S=&& &。∴s与t之间的函数关系式为&②在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为 。（4）存在。M 1（－ ，0）M2（ ，0），M3（ ，0），M4（ ，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。&&&& ②由于 在0＜t≤2上随t的增大而增大，从而在运动过程中，s是存在最大值：当t =2秒时，S有最大值，最大值为 。（4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x2－2x－3的交点N1、N2、 N3、N4的坐标分别为N1（ ，－2），N2（ ，－2）， N3（ ， 2），N4（ ， 2）。若AP是边，则M1的横坐标为－PN1加点A的横坐标：－ ；M2的横坐标为PN2加点A的横坐标： ；M3的横坐标为N3的纵坐标加N3的横坐标： ；M4的横坐标为N4的纵坐标加N4的的横坐标： 。若AP是对角线，符合条件的点M与上述M 1（－ ，0）和M2（ ，0）重合。综上所述，M 1（－ ，0），M2（ ，0），M3（ ，0），M4（ ，0）。11. （2012辽宁阜新12分）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．&【答案】解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。延长BD交AC于F，交CE于H。在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC，∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。12. （2012辽宁阜新12分）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．&【答案】解：（1）由抛物线 过A（－3，0），B（1，0），则　　　　　　&&&&& ，解得& 。　　　　　　&&&& ∴二次函数的关系解析式为 。&&&&&&&&&&& （2）设点P坐标为（m，n），则 。&&&&&&&&&&&&&&&& 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。&&&&&&&&&&&&&&&& PM = ，& ，AO=3。&&&&&&&&&&&&&&&& 当 时， ，所以OC=2。　　　　　&&&& 　 [&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&& ∵ ＜0，∴函数 有最大值，当 时， 有最大值。&&&&&&&&&&&&&&&& 此时 。∴存在点 ，使△ACP的面积最大。&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&& （3）存在。点 。&&&&&&&&&&& （4）存在。点 。&&&&&&&&&&& （5）点 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）将点A、B的坐标代入 即可求得a、b，从而得到二次函数的关系解析式。（2）设点P坐标为（m，n），则 。连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，根据 求出S关于m的二次函数，根据二次函数最值求法即可求解。（3）分BQ为斜边和CQ为斜边两种情况讨论即可。（4）分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论即可。（5）分AC是边和对角线两种情况讨论即可。13. （2012辽宁锦州12分）已知：在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF，连接CF.&(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：① BD⊥CF. ② CF=BC－CD.(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系.②若连接正方形对角线AE、DF,交点为O,连接OC,探究△AOC的形状，并说明理由.&【答案】解：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF 。② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。&&&&&&&&&&& （2）CF=BC+CD。&&&&&&&&&&& （3）①CF=CD-BC 。②△AOC是等腰三角形。理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则∠ABD=180°-45°=135°。∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC= DF 。∵在正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。【考点】动点问题，正方形的性质，等腰（直角）三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质。【分析】（1）由已知，根据正方形和等腰直角三角形的性质，通过SAS证出△BAD≌△CAF，从而得到∠ACF=∠ABD=45°，即可证得BD⊥CF。　　　　　　由△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC-CD，从而CF=BC-CD。（2）同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=BC＋CD，从而CF=BC＋CD。（3）①同（1）可证△BAD≌△CAF可得BD=CF，而BD=CD－BC，从而CF= CD－BC。②通过SAS证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。从而得到∠FCD=90°。由三角形中线的性质得到OC= DF。由正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，从而得到△AOC是等腰三角形。（2）14. （2012辽宁锦州14分）如图，抛物线 交 轴于点C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到 轴的距离为 ，到 轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线 l于B.&（1）求抛物线的表达式；&&（2）直线 与抛物线在第一象限内交于点D，与 轴交于点F,连接BD交 轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线 的表达式；&（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线 上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.&【答案】解：（1）∵抛物线 交 轴于点C，∴C（0，-3）则 OC=3。∵P到 轴的距离为 ，P到 轴的距离是1，且在第三象限，∴P（-1，- ）。∵C关于直线l的对称点为A，∴A（-2，-3）。将点A（-2，-3），P（-1，- ）代入 得，&，解得 。&∴抛物线的表达式为 。（2）过点D做DG⊥ 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°。∵∠DEG=∠BEC，∴△DEG∽△BEC。∴ 。∵DE:BE=4:1，BC=1，∴ , 则DG=4。 将 =4代入 ，得 =5。∴D（4,5）。& ∵ 过点D（4,5）,∴& ,则 =2。∴所求直线的表达式为& 。 （3）存在。 M1 ，M2 ，M3 ， M4 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定。【分析】（1）求出点A、P的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。　　　　（2）过点D做DG⊥ 轴于G，由△DEG∽△BEC求出点D的坐标，代入 即可求得直线 的表达式。　　　　（3）存在。分三种情况讨论：　　　　　　　①当OF和FM都为菱形的边时，　　　　　　　∵点F在 上，∴F（0，2），OF=2。&&&&&&&&&&&&& 设M ，则FM= ，由OF=FM解得 。当 时， ，∴M1 。当 时， ，∴M2 。②当OF为菱形的对角线时，MN垂直平分OF，∴在 中令 ，即 ，解得 。∴M3 。③当FM为菱形的对角线时，& 设M ，则OM= ，由OF=OM得 解得 （舍去 ）。 ，∴M4 。综上所述，M1 ，M2 ，M3 ， M4 。15. （2012辽宁沈阳12分）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB= ，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上；（3） 如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP.①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值；②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．&【答案】解： (1) 过点P作PQ⊥AB于点Q& ∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4 ，∴AQ= AB= ×4 =2& ，∠APQ= ∠APB= ×120°=60°。在Rt△APQ中， sin∠APQ= ∴AP=& ＝4。（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S， PT⊥ON于点T，∴∠OSP=∠OTP=90°。在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°。 ∴∠APS=∠BPT。又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，∴△APS≌△BPT（AAS）。 ∴PS=PT。∴点P在∠MON的平分线上。（3） ①8+4& ②4+4 ＜t≤8+4 。【考点】等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ= AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=OT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。①当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度；②当AB⊥OP时，OP取最大值，即四边形CDEF的周长取最大值；当点A或B与点O重合时，四边形CDEF的周长取最小值，据此写出t的取值范围。16. （2012辽宁沈阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(－2，0)，点B坐标为 （0，2 ），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y= x2+mx+n的图象经过A，C两点.（1） 求此抛物线的函数表达式；（2） 求证：∠BEF=∠AOE；（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（ ） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.&【答案】解：（1）∵A （－2， 0）， B （0， 2），∴OA=OB=2 。∴AB2=OA2+OB2=22+22=8。∴AB=2 。∵OC=AB，∴OC=2 ， 即C （0， 2 ）。∵抛物线y=- x2+mx+n的图象经过A、C两点，得&，解得： 。∴抛物线的表达式为y=－ x2－ x+2 。（2）证明：∵OA=OB，∠AOB=90° ，∴∠BAO=∠ABO=45°。&& 又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ，∴∠BEF=∠AOE。（3）当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论①当OE=OF时， ∠OFE=∠OEF=45°，在△EOF中， ∠EOF=180°－∠OEF－∠OFE=180°－45°－45°=90°。又∵∠AOB＝90°，则此时点E与点A重合， 不符合题意， 此种情况不成立。②如图①， 当FE=FO时，∠EOF=∠OEF=45°。在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°，∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°。∴EF∥AO。∴ ∠BEF=∠BAO=45° 。又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°，∴∠BEF=∠ABO。∴BF=EF。∴EF=BF=OF= OB= ×2＝1 。∴ E(－1， 1)。③如图②， 当EO=EF时， 过点E作EH⊥y轴于点H ，在△AOE和△BEF中，∵∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF，&∴△AOE≌△BEF（AAS）。∴BE=AO=2。∵EH⊥OB ，∴∠EHB=90°。∴∠AOB=∠EHB。∴EH∥AO。 ∴∠BEH=∠BAO=45°。在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ，∴EH=BH=BEcos45°=2× = 。∴OH=OB－BH=2－2 。∴ E(－ ， 2－ )。综上所述， 当△EOF为等腰三角形时，点E坐标为E(－1， 1)或E(－ ， 2－ )。（4） P(0， 2 )或P （－1， 2 ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）应用勾股定理求出点C的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法求出抛物线的函数表达式。（2）应用等腰直角三角形等边对等角的性质可证。（3）分OE=OF，FE=FO，EO=EF三种情况讨论即可。（4）假设存在这样的点P。当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E(－ ， 2－ )。如图④所示，过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2－ 。由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF。过点F作FN∥x轴，交PG于点N。易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG。依题意，可得S△EPF=（ ）S△EDG=（ ）S△EFN，∴PE：NE= 。过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2－ 。∵FN∥EH，∴PT：ST=PE：NE= 。∴PT=（ ）ST=（ ）（2－ ）=3 －2。∴PM=PT+TM=2 ，即点P的纵坐标为2 。∴2 =－ x2－ x+2 ，解得x1=0，x2=－1。∴P点坐标为(0， 2 )或（－1， 2 ）。综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（ ）倍，点P的坐标为(0， 2 )或（－1， 2 ）。17. （2012辽宁铁岭12分）已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．&&&&&& ①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？&&&&& （填“是”或“否”），∠BOE=&&&&&&&&& 度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB= AB′，AC= AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．&【答案】解：（1）①是； 120。②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE。∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ。∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴∠ADB=∠AEC。∵∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°。∵∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°，∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠DAE+∠BOE=180°。又∵∠DAE=60°，∴∠BOE=120°。（2）当0°＜θ≤30°时，∠BOE =30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=120°。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形和多边形内角和定理，等边三角形的性质。【分析】（1）①∵△ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，∴△ABC是等边三角形。∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，在△ABD与△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∵θ=20°，∴∠ABD=∠AEC= （180°20°）=80°。又∵∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°80°80°80°=120°。②利用“SAS”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解。（2）如图，∵AB= AB′，AC= AC′，∴ 。∴B′C′∥BC。∵△ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形。根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴∠ABD=∠ACE。∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°（∠OBC+∠ACB+∠ACE）=180°（∠OBC+∠ACB+∠ABD）=180°（∠ACB+∠ABC）=180°（60°+60°）=60°。当0°＜θ≤30°时，∠BOE=∠BOC=30°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°∠BOC=180°60°=120°。&18. （2012辽宁铁岭14分）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B（－2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F.& （1）求m的值及该抛物线对应的解析式；& （2）P 是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；& （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 备用图【答案】解：（1）∵点B（2，m）在直线y=2x1上，∴m =2×（－2）1=3 。∴B（2，3）。又∵抛物线经过原点O，∴设抛物线的解析式为 。∵点B（2，3），A（4，0）在抛物线上∴ ，解得： 。∴设抛物线的解析式为 。（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，∴ 。∵点C是直线y=2x1与y轴交点，∴C（0，1）。∴OC=1。若S△ADP=S△ADC，∵ ，& ，∴ ，即 。∴ ， 即 或 。解得： ．∴点P的坐标为 P1（ ，1），P2（ ，1），P3（2，－1）。（3）结论：存在。当t1= ，t2=6，t3= ，t4= 时，以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形。【考点】动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质，勾股定理，菱形的判定和性质。【分析】（1）由点B（2，m）在直线y=2x1上，将其代入即可求得m的值，从而得到点B的坐标，由点O，A，B在抛物线上，用待定系数法即可求得抛物线对应的解析式。（2）设 ，求得点C的坐标，由S△ADP=S△ADC和二者是同底等高的三角形，得 ，即 ，解之即可求得点P的坐标。（3）∵抛物线的解析式为 ，∴顶点E（2，1），对称轴为x=2。∵点F是直线y=2x1与对称轴x=2的交点，∴F（2，5），DF=5。又∵A（4，0），∴AE= 。如图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：①菱形AEM1Q1。∵此时DM1=AE= ，∴M1F=DFDEDM1= 。∴t1= 。②菱形AEOM2。∵此时DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6。∴t2=6。③菱形AEM3Q3。∵此时EM3=AE= ，∴DM3=EM3DE= 1。∴M3F=DM3+DF=（ 1）+5= 。∴t3= 。④菱形AM4EQ4。此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4。∵易知△AED∽△M4EH，∴ ，即 ，得M4E= 。∴DM4=M4EDE= 1= 。∴M4F=DM4+DF= +5= 。∴t4= 。综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A．E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1= ，t2=6，t3= ，t4= 。19. （2012辽宁营口14分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1) 如图1，求证：AE=DF；(2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；(3) 如图3，若AB= ，过点M作 MG EF交线段BC的延长线于点G．① 直接写出线段AE长度的取值范围；② 判断△GEF的形状，并说明理由．&【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。（2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=2。∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。∴△GEF是等腰直角三角形。&（3）① ＜AE≤ 。②△GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2 。∵MG⊥EF， ∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴ 。在Rt△GME中，∴tan∠MEG= 。∴∠MEG=600。　由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。【考点】矩形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，等边三角形的判定，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。【分析】（1）根据已知和矩形的性质由ASA得出△AEM≌△DFM，即可得到AE=DF。（2）△GEF是等腰直角三角形。过点G作GH⊥AD于H，由AAS证明△AEM≌△HMG得到ME=MG，从而∠EGM=45°。由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF。由MG⊥EF得到GE=GF。从而证得∠EGF=2∠EGM =90°。因此△GEF是等腰直角三角形。另解：①过点M作MH⊥BC于H，得到△AEM≌△HGM。② 过点G作GH⊥AD于H，证出△MGH≌△FMD，证出CF=BG，CG=BE，证出△BEG≌△CGF。从而△GEF是等腰直角三角形。（若E与B重合时，则G与C重合，△GEF就是△CBF，易知△CBF是等腰直角三角形）。（3）①如图，当点G与点C重合时， 由AD=4，M是AD的中点得MD=2；由AB= 得DC= 。&&& ∴tan∠DMC= 。∴∠DMC=600。∴∠AME=300。&&& ∴ 。当点E与点B重合时， 。∴线段AE长度的取值范围为 ＜AE≤ 。②△GEF是等边三角形。过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，则一方面由证明△AEM∽△HMG可得 。在Rt△GME中，应用锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求得∠MEG=600。另一方面由（1）△AEM≌△DFM得ME=MF，又由MG⊥EF根据线段垂直平分线的性质得GE=GF。从而得出△GEF是等边三角形。20（2012辽宁营口14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点A ，0)、B(0，3)、C（1，0）三点．(1) 求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转 ,与直线 交于点N．在直线DN上是否存在点M，使得∠MON= ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P、Q分别是抛物线 和直线 上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．&【答案】解：（1）由题意把A(－3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入 得，&，解得&& 。∴抛物线的解析式是 。∵ ，∴抛物线的顶点D的坐标为（－1，4）。（2）存在。理由如下：&&& 由旋转得∠EDF=60°。在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴EF=DE×tan60°=4 。∴OF=OE+EF=1+4 。∴F点的坐标为（ ，0）。设过点D、F的直线解析式是 ，把D（－1，4），F（ ，0）代入求得& 。分两种情况：①当点M在射线ND上时，∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON∠BON=30°。∴∠MOC=60°。∴直线OM的解析式为 。∴点M的坐标为方程组． 的解，解方程组得， 。∴点M的坐标为（ ， ）。&②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°。∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON－∠FON=30°。∵∠DFE=30°。∴∠FOM=∠DFE。∴OM∥FN。∴不存在点M使得∠MON=75°。综上所述，存在点M ，且点M的坐标为（ ， ）。（3）有两种情况：①如图，直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°。∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA。∴点P、B的纵坐标相同都是3。∵点P在抛物线 上，∴把 3代入抛物线的解析式，解得 ＝2，& ＝0（舍去）。由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于－2，把 ＝2代入
得 2。所以Q点的坐标为（－2，2）。②如图，在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°。∵D(－1，4)，B(0，3) ，∴DB∥OQ。∵PB∥OQ，点P在抛物线上，∴点P、D重合。∴∠EDF=∠EFD=45°。∴EF=ED=4。∴OF=OE+EF=5。作QH⊥ 轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，∴OQ=FQ。∴OH= OF= 。∴Q点的横坐标 。∵Q点在
上，∴把 ＝ 代入
得& 。∴Q点的坐标为（ ， ）。综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（－2，2），（ ， ）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角梯形的判定。【分析】（1）用待定系数法，将A、B、C的坐标代入 即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标。&&&&&&& （2）分点M在射线ND上和点M在射线NF上两种情况讨论即可。&&&&&&& （3）分PQ∥OB，∠OBP=90°和PB∥OQ，∠BPQ=90°两种情况讨论即可。 文 章来源 莲山 课 件 w w w.5Y k J. c oM
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