求一下平面向量知识点,_作业帮
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求一下平面向量知识点,
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& & & & & & & &&平面向量知识点汇总基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----(几何表示法)；②用字母、等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得,叫做向量的（直角）坐标,记作,其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,&特别地,.；若,则,3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量,记为；&②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.（注：就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行,记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：是唯一）&&&&&&&&&&&&（其中&）&5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为性质：&&&&&&&&&&&（其中&）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算,叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形法则.平行四边形法则：&&&（起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形）三角形法则&&&&&——加法法则的推广：&……即个向量……首尾相连成一个封闭图形,则有……②向量的减法向量加上的相反向量,叫做与的差.即：&-=&+&(-)；差向量的意义：&=&,&&=,&则=-&③平面向量的坐标运算：若,则,.④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)&+=+&(+)⑤常用结论：（1）若,则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心,则7．向量的模：1、定义：向量的大小,记为&||&或&||2、模的求法：若&,则&||若,&则&||3、性质：（1）；&&&&&（实数与向量的转化关系）（2）,反之不然（3）三角不等式：（4）&&（当且仅当共线时取“=”）即当同向时&,；&&&&即当同反向时&,（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,即8．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量,记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ&0时λ与方向相同；λ&0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律&&λ(μ)=(λμ),(λ+μ)=λ+μ,λ(+)=λ+λ交换律：;分配律：&()·=(·)=·();——①不满足结合律：即②向量没有除法运算.如：,都是错误的（4）已知两个非零向量,它们的夹角为,则&&=坐标运算：,则（5）向量在轴上的投影为：︱︱,&（为的夹角,为的方向向量）其投影的长为&&&（为的单位向量）（6）的夹角和的关系：&&&（1）当时,同向；当时,反向&&&（2）为锐角时,则有；&为钝角时,则有9．向量共线定理：向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使=λ.10．平面向量基本定理：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一,关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时,分解形式惟一.&λ1,λ2是被,唯一确定的数量.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=（x,y）；当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A（x1,y1）,B（x2,y2）,则=(x2-x1,y2-y1)11.&向量和的数量积：①·=|&|·||cos,其中∈[0,π]为和的夹角.②||cos称为在的方向上的投影.③·的几何意义是：的长度||在的方向上的投影的乘积,是一个实数（可正、可负、也可是零）,而不是向量.④若&=（,）,&=（x2,）,&则⑤运算律：a·&b=b·a,&&(λa)·&b=a·(λb)=λ（a·b）,&（a+b）·c=a·c+b·c.⑥和的夹角公式：cos=＝⑦||2=x2+y2,或||=⑧|&a·b&|≤|&a&|·|&b&|.12.两个向量平行的充要条件：符号语言：若∥,≠,则=λ坐标语言为：设=（x1,y1）,=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ&0；当与异向时,λ&0.|λ|=,λ的大小由及的大小确定.因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义.13.两个向量垂直的充要条件：符号语言：⊥·=0坐标语言：设=(x1,y1),&=(x2,y2),则⊥x1x2+y1y2=0&&&谢谢,望采纳!另外你可以用电脑下载world版的.已上传.数学必修4-平面向量相关介绍
向量的概念
　　既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
向量的几何表示
　　具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个&）
　　有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
　　有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
　　相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
　　两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，
　　向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，
　　在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）
　　长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
　　零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。
　　长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
向量的运算
　　加法运算
　　AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）
　　已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
　　对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
　　|a＋b|&|a|＋|b|。
　　向量的加法满足所有的加法运算定律。
　　减法运算
　　AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减数）
　　与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
　　（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。
　　数乘运算
　　实数&与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作&a，|&a|＝|&||a|，当& & 0时，&a的方向和a的方向相同，当& & 0时，&a的方向和a的方向相反，当& = 0时，&a = 0。
　　设&、&是实数，那么：（1）(&&)a = &(&a)（2）(& + &)a = &a + &a（3）&(a & b) = &a & &b（4）(－&)a =－(&a) = &(－a)。
　　向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。
向量的数量积
　　已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos &叫做a与b的数量积或内积，记作a&b，&是a与b的夹角，|a|cos &（|b|cos &）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
　　a&b的几何意义：数量积a&b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos &的乘积。
　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
　　向量的数量积的性质
　　(1)a&a=∣a∣^2&0
　　(2)a&b=b&a
　　(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)
　　(4)a&(b+c)=a&b+a&c
　　(5)a&b=0&hAa&b
　　（6）a=kb&hAa//b
　　（7）e1&e2=|e1||e2|cos&=cos&
平面向量的基本定理
　　如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数&、&，使a= &*e1＋ &*e2。
　　1．若a =0，则对任一向量b ，有a & b=0. 对
　　2．若a &0，则对任一非零向量b ,有a & b&0．错（当a&b时，a & b=0）
　　3．若a &0，a & b =0，则b=0 错（当a&b时（当a和b都不为零，且a&b时，a & b=0）
　　4．若a & b=0，则a & b中至少有一个为0． 错（可以都不为0，当a&b时，a & b=0成立）
　　5．若a&0，a & b= b & c，则a=c 错（当b=0时）
　　6．若a & b = a & c ,则b&c,当且仅当a= 0 时成立．错（a&0且同时垂直于b，c时也成立）
　　7．对任意向量 a 有a*a=∣a∣* ∣a∣ 对
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几何表示数学人教版必修4 2.2向量的分解与向量的坐标关系外文名Resolution of vector and vector coordinate.别&&&&称向量关系提出者王威森应用学科数学适用领域范围向量适用领域范围向量
这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。在中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
向量OP=xi+yj。
因此向量，a=xi+yj。
我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。
显然，其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。1．若a=0，则对任a·b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0）
2．若a≠0，a · b=0，则b=0错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0）
3．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立）
4．若a≠0，a · b=b · c，则a=c错（当b=0时）
5．若a · b=a · c,则b≠c,当且仅当a=0时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立）
6．对任意向量a有a·a=∣a∣* ∣a∣
平面向量的线性运算：加法为三角形法则'平行四边形法则'。定理：向量a与b共线，a不等于零，有且只有唯一一个实数c，使b=ca。
平面向量基本定理　　【学习目标】　　1．掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。　　2．能应用平面向量基本定理解决一些几何问题。　　【知识梳理】　　若 ， 是不共线向量， 是平面内任一向量 　　在平面内取一点O，作 = ， = ， = ，使 =λ1 =λ2 　　= = + =λ1 +λ2 　　得平面向量基本定理： 　　　　　　注意：1? 、 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底　　2? 这个定理也叫共面向量定理　　3?λ1，λ2是被 ， ， 唯一确定的实数。　　1．如图，ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于M， ， ，试用基底 、 表示 。　　　　2．设 、 是平面内一组基底，如果 =3 -2 ， =4 + ， =8 -9 ，求证：A，B，D三点共线。　　　　　　3．设是平面内一组基底，如果 =2 +k ， =- -3 ， =2 - ，若A，B，D三点共线，求实数k的值。 　　　　4． 中， ，DE//BC，与边AC相交于点E，中线AM与DE交于点N，如图， ， ，试用 、 表示 。　　1．平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。　　2．在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择了两个不共线地向量 ，平面内的任何一个向量都可以用 唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题，转化为只含 的代数运算。　　1．下面三种说法，正确的是 　　（1）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；　　（2）一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；　　（3）零向量不可为基底中的向量； 　　2．如果 、 是平面 内一组基底，，那么下列命题中正确的是 　　（1）若实数m,n，使m +n = ,则m=n=0;　　（2）空间任一向量 可以表示为 = m +n ，这里m,n是实数；　　（3）对实数m,n，向量m +n 不一定在平面 ；　　（4）对平面 内的任一向量 ，使 = m +n 的实数m,n有无数组。　　3．若G是 的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则 = 　　4．如图，在 中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点P，设 ，试用 ， 表示 。　　　　　　5．设 ， ， ，求证：A、B、D三点共线。
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