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出门在外也不愁几种主要的非线性数值分析法简介（H）
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几种主要的非线性数值分析法简介
一、边界元法
边界元法是同有限元法并行发展的另一类数值法。该方法在岩石力学中的应用自20 世纪70 年代以后
有了较大的发展。P. K.Banerjee ,C. A.Brebbia ,S. L. Crouch
等人都曾对其发展和应用作出过有价值的贡献。
&&& 我国自20 世纪70
年代进行岩石力学边界元的应用研究,在岩体稳定性分析、地下工程支护等方面做出了有意义的成果。
与有限元法不同,边界元法通常只须在边界上进行离散化,因而具有数据处理工作量小、少占内存、解
题时间省等优点。但在处理多介质问题、非物质问题、复杂的非线性问题以及分步开挖及施工过程等方面,
不如有限元法方便有效。
二、离散元法
Cundall&于1971&年提出用离散元法分析裂隙块状岩体的稳定性。目前在国内使用最多的离散元软件PFC2D/3D等(相关介绍可见：)就是Cundall&博士编写的。假设节理裂隙所切割的岩体成为完全分割的块体镶嵌系统,块体为刚体,但其表面允许有变形(即嵌入)
,且嵌入量δn 与作用力Fn 满足下列关系式:
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Fn = Knδn
式中Kn ———法向刚度。由上式知,随着时间增加,块体间相互作用,空间位置不断变化,此系统如不能
达到新的自稳状态则会发生块体散落,直至系统坍塌,由此可见,离散元可以模拟岩体从开裂直到塌落的全
离散元法由最初的二维发展到现在的三维离散元。在三维离散元中,块体可以是变形体,块体之间的
接触形式变成了面/ 面,面/ 边,面/ 顶点,边/ 边,边/ 顶点,顶点/
顶点的关系,这样所考虑的模型更接近实际工程情况,其计算结果也就更能反映实际工程的环境。
三、断裂力学方法
断裂力学不再把介质看成均质的连续体,而是将其视为存在有许多缺陷和裂纹的复合结构体。这样介
质强度分析将建立在对这些缺陷和裂纹的分析上,注重研究缺陷和裂纹周边上的应力集中现象,认为应力
集中区往往成为结构体内的最危险区。运用断裂力学分析岩石的断裂强度可以比较实际地评价岩体的开
裂和失稳。国际上对岩石断裂的研究已经获得一些进展,可用以分析工程中反映出的裂纹出现以及预测岩
体结构的破裂与扩展。
当然,目前对断裂力学的研究还存在着某些局限性:如裂纹的几何形状一般多局限在宏观的椭圆形,而
实际上在岩块的内部往往存在许多发丝般的微观裂纹;又如断裂力学尚难以处理密集型的微观裂纹等等。
四、损伤力学方法
损伤力学认为,材料总是存在分布性缺陷的,原始缺陷是连续分布的,做为宏观力学,这样考虑是合理
的。也就是说损伤力学研究的仍然是连续介质,而断裂力学研究的则是有间断的介质。
&&&&研究损伤有两种处理方法:一种是细观处理方法,即根据材料的微观成分—基体、颗粒、空洞等的单独
行为与相互作用来建立宏观的本构关系;第二种是宏观的处理方法,它虽然需要微观模型的启发,但是并不
需要以微观机制来导出理论关系式,而是用宏观变量来描述微观变化。
损伤力学首先是从金属材料受拉构件的研究中发展起来的。Kawamoto 等人又将其应用到节理岩体,
建立了节理岩体的初始损伤张量,提出了损伤的扩展方程以及计算损伤场的有限元方法。将损伤力学应用
到节理岩体的各向异性的优点在于: ①可以得到成组节理的各向异性的力学关系; ②借助于节理面构造的
损伤张量描述,可将岩体的几何特性与力学特性联系起来,为岩体强度预测打下理论基础; ③由岩体损伤预
测岩体强度,无须进行大规模试验,只要知道节理特性和完整岩块的力学特性,即可预测岩体的强度,为解
决岩体力学中的尺寸效应问题提供了可能。
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出门在外也不愁好文章—个别元素法于三维岩体力学行为之应用（之一）
个别元素法于三维岩体力学行为之应用
淡江大学土木工程学研究所
中兴顾问社大地力学研究中心　
要本文利用三维个别元素分析法程序(3DEC)，仿真三维规则节理岩体在单轴与真三轴应力下之变形与强度特性。主要研究结果如下：(1) 3DEC可用以定性分析三维节理岩体力学机制，利用该程序可简易探讨任何节理分布位态下之力学行为，免除物理模模型仿真试验之困难；(2) 多轴应力下岩体之异向性行为亦可透过3DEC仿真分析，定性上均与物理现象相互一致；(3)在节理间距、劲度比较大的岩盘较需要比对二维与三维分析之差异。
自然界岩体多处于真三轴应力状态下，以往受限于分析工具与实验设备，岩石工程之分析大多局限于二向度分析，对三维岩体行为之仿真则较少[1]。例如目前可用于分析具大变形特性之离散岩体的程序如DDA[2]、UDEC[3]均局限于对二维问题的解析；而3DEC[4]程序系以个别元素法(distinct element method)在UDEC基础下发展而成之数值分析程序，正可用以仿真三维节理岩体之力学行为：3DEC可将岩体视为由许多离散的完整岩块所组成，各完整岩块可以仿真成刚体或可变形体；而各完整岩块间为节理所分隔。(1)在对节理的仿真方面，主要依据位移－作用力法则，计算在节理面上之剪应力及正向应力，以作为个别岩块之边界应力条件，因此可仿真岩块大位移与转动之情况。(2) 3DEC在仿真可变形岩块时，系根据「edge」指令程序自行将三维岩块再细分成许多四面体状次级块体(sub-block)，次级块体可以为任意形状。每个次级块体可配合所指定之材料组成律及外力情况，计算岩块之受力及应力分布情况；每个次级块体的节点有三个自由度，以计算这些次级块体上节点之运动情形，然后配合材料组成律计算次级块体上之应力应变关系，则可得块体间之作用力，接着配合边界所产生的接触力计算得新合力与加速度，以作为下一时阶计算可变形岩块之边界条件。
二、节理岩体模型之建立　
在3DEC中可透过「Jset」指令建立一个三维节理岩体之几何模型，在其功能下必须搭配下列六个参数：(i)倾角方向(dip direction)；(ii)节理倾角(dip
angle)；(iii)节理数目；(iv)节理间距；(v)节理连续度(persistence)；(vi)每一条节理的起始位置。岩体模型输入资料文件之建构步骤为：(1)设定岩体之几何尺寸；(2)输入节理倾角、走向、起始点、数目、间距及连续度等参数；(3)输入完整岩石及节理之力学参数；(4)设定应力及应变之观测点；(5)设定岩体之承受边界条件等五大部份。其中对节理形态之仿真方式有：(a)系统性节理之仿真，可以输入某一条节理之起始点作基准，3DEC将以输入的节理数目及间距等参数值，配合岩体几何边界自动产生其它平行的节理；(b)有限条节理之仿真，可独自输入各条节理之起始点，故使用者可自行选择节理之间距及数目。而对节理连续度仿真方面：3DEC系以统计之概念将岩桥平均分布于节理面上，并不考虑岩桥与节理之相对位置。节理面之闭合与剪力模式：3DEC对节理基本组成模式一般采用库伦摩擦准则，节理作用力之计算主要是根据应力－位移关系式，应力由节理的正向劲度与剪力劲度控制，最大剪力为
，其中c为凝聚力、f 为节理摩擦角、A 为节理面间之接触面积。节理面正向应力增量为 ，其中正向劲度为 ，
与en为自定参数；在剪应力方面本研究所采用3DEC内提供的连续降伏模式(continuously-yielding
model)，可考虑节瘤随剪位移增加之渐进磨损行为，剪应力应变行为则如图1所示。其剪应力增量为 ，其中剪力劲度为 ， 与es亦为自定参数；峰后剪应力应变曲线之切线斜率与F有关， ，F(F=0~1)与实际剪应力( )到边界强度(
)之距离有关；r通常设为0.75以避免当剪应力趋近于边界强度时所造成的数值不连续情况。其中边界强度 ，式中
为节理面有效摩擦角，当节理面发生节瘤磨损或损伤时，有效摩擦角之衰减量为 ；节理面之塑性位移为 。其中f 为节理面基本摩擦角；R为无因次材料参数，其物理意义与节理面之粗糙度类似。　
三、参数敏感性研究　
1. 边界条件及网格划分：
3DEC程序中共提供应力及位移两种边界：位移边界系以输入岩块之移动速率及方向，则将强制边界岩块变形之方向及速率；应力边界则提供周围岩块之应力束制情况，而不强制岩块变形。在本研究中，岩体之上下方使用位移边界仿真垂直荷重之施加，而使用应力边界仿真围压作用。3DEC程序依输入次级块体边长指令「edge」的参数值，自动将节理岩块再细分网格以计算岩块内部之变形，程序会自动定出各个次级块体之节点位置。其中edge值愈小则岩块之次级块体的数目愈多，而所需运算的时间将越长。在经初步探讨位移边界之速率与网格大小对岩体强度之影响后得知：同一网格大小情况下，岩体强度随着位移边界速率之增加增大；且随着次级块体边长之增加而降低，即强度随着次级块体数目减少而降低。理论上，岩体强度只与完整岩石及节理之强度有关，应不受网格大小或次级块体边长之影响，所以在以3DEC仿真岩体之受力行为时，必须仔细确认位移边界速率及网格大小之影响。在本研究后续探讨中，均固定一边界位移速率及网格大小来仿真岩体之受压情况。　
2. 岩体尺寸之影响：
一般岩体的体积愈大包含的节理数目愈多(节理频率愈高)，岩体强度及变形性随之降低。今以一高(H)宽(W)比为2.5(H&W&B=100&40&30 cm)、中央含一条节理之试体为例，探讨倾角40度、走向90度时岩体之尺寸效应。结果如图2所示：当试体高度增加即岩体体积增大，即岩体中节理密度降低时则强度提高；而峰后应力应变曲线呈较延性反应；围压越大岩体之强度随之增加而峰后应力应变曲线亦愈呈延性。　
3. 形状效应之影响：
一般岩体高宽比(H/W)愈大或岩柱愈细长，岩体之应力应变曲线愈脆性，也愈容易发生岩爆现象。今固定试体之高度(60cm)及厚度(30cm)、而减小试体之宽度，来探讨节理倾角等于40度且中央内含一条节理之岩体的形状效应。由图3知当岩体之高宽比愈大，其应力应变曲线愈脆性，破坏后能量释放较剧烈；理论上岩体强度只与节理性质有关，高度或宽度并不影响岩体之强度，但是在本节为增加岩体的高宽比而减小宽度，导致岩体的体积减小，使次级块体的数目减少，由前述已知岩体强度也会因而减小。　
四、岩体之强度与变形性分析　
1. 节理倾角之影响：
节理岩体强度除了受完整岩石强度之影响外，主要受内部所含节理面之强度或几何形态控制。如图4所示岩体强度随节理倾角之改变而异，呈现明显的异向性行为，当围压增加则强度增加，但异向性程度随之减小而趋向于等向性，而应力应变曲线也愈呈延性。　
节理间距之影响：
本节以高宽比2.5(100&40&30cm)之岩体几何形状，探讨当倾角等于40度时，试体中平行节理数固定为三条且平均分布于试体中，并变化节理间距探讨其影响。如图5所示：岩体强度随着节理间距之增加而提高，或随节理密度降低而强度提高；图6显示本节所探讨的范例为平行节理，峰后应力应变曲线趋势没有随着节理间距增加明显的改变。　
3. 节理连续度之影响：
若岩体中之节理为非连续性节理，则节理的连续度将会影响岩体之强度及变形性。今以一岩体为例探讨当连续度为0.2、0.4及0.6时单轴压缩强度与变形性之变化情形，结果如图7所示。由图中可知：强度随着连续度增加而降低，但强度与岩桥及节理劲度比(K /
K )无明显关系；在由图中亦可得知岩体尖峰劲度随着连续度之增加度而降低，显示节理所占比例愈高岩体变形模数变小。　
节理组交互作用之影响：
岩体之变形行为除了由节理面之相对滑动控制外，亦受岩块间之转动变形的影响，而岩块转动则受到节理形态或组数多寡之影响。目前，节理组间交互作用对岩体强度与变形性之影响并没有确切的定论，因此本节将利用3DEC对节理组交互作用之影响进行初步的探讨。经以内含对称及不对称之双组节理岩体，探讨节理倾角对破坏模式的影响结果得知：(1)对称节理岩体(图8)：当两条节理倾角皆为30度时，破坏模式由完整岩石破坏主控(见图8a)，图中显现岩体之侧向滑动位移几乎等于零；当倾角皆为60度时，破坏模式由两条节理共同主控，各条节理贡献度类似(图8b)，由图中可明显看出岩体之破坏模式为沿节理滑动破坏。(2)对不对称节理岩体(见图9)：所含两组倾角皆小于30度时，破坏模式仍然由完整岩石控制(图9a)；若其中一组或两组节理倾角皆大于30度时，则滑动破坏模式由倾角较大之节理主控(见图9b)。
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