若m,k若xy均为正整数数,且m2-6m+1=k2,求m,k的值

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-08-30 13:04 标签： 0是正整数吗
（2010●南充）已知抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+4$上有不同的两点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+4$与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ=45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F？
（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到∠OAB=∠OBA=∠PMQ=45°，可证△BCM∽△AMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；
（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值．（需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论）
（1）抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+bx+4$的对称轴为$x=-\frac{b}{{2×（{-\frac{1}{2}}）}}=b$；（1分）
∵抛物线上不同两个点E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）的纵坐标相同，
∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则$b=\frac{（k+3）+（-k-1）}{2}=1$，且k≠-2；
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$；（2分）
（2）抛物线$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴AB=$4\sqrt{2}$，AM=BM=$2\sqrt{2}$；（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°；
∴∠BCM=∠AMD，
∴△BCM∽△AMD；（4分）
∴$\frac{BC}{AM}=\frac{BM}{AD}$，即$\frac{n}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{m}$，$n=\frac{8}{m}$；
故n和m之间的函数关系式为$n=\frac{8}{m}$（m＞0）；（5分）
（3）∵F（-k-1，-k2+1）在$y=-\frac{1}{2}{x^2}+x+4$上，
∴$-\frac{1}{2}{（-k-1）^2}+（-k-1）+4=-{k^2}+1$，
化简得，k2-4k+3=0，∴k1=1，k2=3；
即F1（-2，0）或F2（-4，-8）；（6分）
①MF过M（2，2）和F1（-2，0），设MF为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}2k+b=2\\-2k+b=0\end{array}$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=1\end{array}\right.$；
∴直线MF的解析式为$y=\frac{1}{2}x+1$；
直线MF与x轴交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1）；
若MP过点F（-2，0），则n1=4-1=3，m1=$\frac{8}{3}$；
若MQ过点F（-2，0），则m2=4-（-2）=6，n2=$\frac{4}{3}$；（7分）
②MF过M（2，2）和F1（-4，-8），设MF为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}2k+b=2\\-4k+b=-8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{5}{3}\\ b=-\frac{4}{3}\end{array}\right.$；
∴直线MF的解析式为$y=\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}$；
直线MF与x轴交点为（$\frac{4}{5}$，0），与y轴交点为（0，$-\frac{4}{3}$）；
若MP过点F（-4，-8），则n3=4-（$-\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$，m3=$\frac{3}{2}$；
若MQ过点F（-4，-8），则m4=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，n4=$\frac{5}{2}$；（8分）
故当$\left\{\begin{array}{l}{m_1}=\frac{8}{3}\\{n_1}=3\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m_2}=6\\{n_2}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m}_{3}=\frac{3}{2}\\{n}_{3}=\frac{16}{3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m_4}=\frac{16}{5}\\{n_4}=\frac{5}{2}\end{array}\right.$时，∠PMQ的边过点F．扫二维码下载作业帮
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