求二次函数关系式检测题（有答案）
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求二次函数关系式检测题（有答案）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
求二次函数关系式检测题（有答案）
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
&&&&&& 26.2.3求二次函数关系式&一．（共8小题）1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）&A．a＜0，b＞0，c＞0&B．a＞0，b＜0，c＞0&C．a＞0，b＜0，c＜0&D．a＞0，b＞0，c＜0
2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）&A．a＞0，c＞0&B．a＜0，c＞0&C．a＞0，c＜0&D．a＜0，c＜0
3．二次函数y=（a1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）&A．a＞1&B．a＜1&C．a＞0&D．a＜0
4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（ ）&A．a＞0&B．b＞0&C．c＜0&D．b24ac＞05．抛物线y=（m1）x2mxm2+1的图象过原点，则m的值为（ ）A．±1&B．0& C．1&D．16．（已知点（2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（ ）A．1&B．1&C．±1&D．
7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（ ）A．y=（x+1）2+1&B．y=（x+1）21&C．y=（x1）2+1&D．y=（x1）21
8．将抛物线y=（x1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．y=（x+1）2&B．y=（x3）2&C．y=（ x1）2+2&D．y=（x1）22二．题（共6小题）9．已知抛物线经过点（5，3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另 一点的坐标是 ______ ___ ．
10．如果二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，那么m= _________ ．
11．若点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a _________ b．（填“＞”“＜”或“=”）．
12．已知二次函数y =x2+2x7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是 _________ ．
13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 _________ ．
14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为 _________ ．三．解答题（共8小题）15．抛物线y=ax2+ bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x3）21，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．&
16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点．（1）求 抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．
17．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．&
18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积．
20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．&
21．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ， ）．&22．如图，抛物线y=ax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．&&
26.2.3求二次函数关系式参考答案与试题解析
一．（共8小题）1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）&A．&a＜0，b＞0，c＞0&&&& B．a＞0，b＜0，c＞0&C．a＞0，b＜0，c＜0&D．&a＞0，b＞0，c＜0
考点：&二次函数图象与系数的关系．分析：&首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正 负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答案即可．解答：&解：∵图象开口方向向上，∴a＞0；∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，∴ ＞0，∵a＞0，∴b＜0；∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；∴a＞0，b＜0，c＜0．故选：C．点评：&本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（ ）&A．&a＞0，c＞0&B．a＜0，c＞0&C．a＞0，c＜0&D．&a＜0，c＜0
考点：&二次函数图象与系数的关系．分析：&首先根据开口方向确定a的符号，再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此解决问题．解答：&解：∵图象开口方向向上，∴a＞0；∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，∴c＜0；∴a＞0，c＜0．故选：C．点评：&本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
3．二次函数y=（a1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）&A．&a＞1&B．a＜1&C．a＞0&D．&a＜0
考点：&二次函数图象与系数的关系．分析：&由图示知，该抛物线的开口方向向下，则系数a1＜0，据此可求a的取值范围．解答：&解：如图，&抛物线的开口方向向下，则a1＜0，解得a＜1．故选：B．点评：&本题考查了二次函数的图象与系数的关系．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．
4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（ ）&A．&a＞0&B．b＞0&C．c＜0&D．&b24ac＞0
考点：&二次函数图象与系数的关系．分析：&首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b24ac＞0．解答：&解：由图象的开 口向上可得a开口向上，由x= ＞0，可得b＜0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b24ac＞0，所以B不正确．故选：B．点评：&本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
5．抛物线y=（m1）x2mxm2+1的图象过原点，则m的值为（ ）A．&±1&B．0&C．1&D．&1
考点：&二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．专题：&．分析：&根据二次函数图象上点的坐标特征得到m2+1=0，解得m1=1，m2=1，然后根据二次函数的定义确定m的值．解答：&解：把（0，0）代入y=（m1）x2mxm2+1得m2+1=0，解得m1=1，m2=1，而m1≠0，所以m=1．故选D．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的定义．
6．已知点（2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（ ）A．&1&B．1&C．±1&D．&
考点：&二次函数图象上点的坐标特征．专题：&．分析：&根据二次函数图象上点的坐标特 征，把点（2，4）代入y=ax2中得到a的方程，然后解方程即可．解答：&解：∵点（2，4）在抛物线y=ax2上，∴a•（2）2=4，∴a=1．故选B．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（ ）A．&y=（x+1）2+1&B．y=（x+1）21&C．y=（x1）2+1&D．&y=（x1）21
考点：&二次函数图象与几何变换．分析：&先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，1），然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式．解答：&解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，1 ），所以平移后的新图象的函数表达式为y=（x1）21．故选：D．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移 后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．将抛物线y=（x1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ）A．&y=（x+1）2&B．y=（x3）2&C．y=（x1）2+2&D．&y=（x1）22
考点：&二次函数图象与几何变换．专题：&几何变换．分析：&先根据二次函数的性质得到抛物线y=（x1）2的顶点坐标为（1，0），再利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式．解答：&解：抛物线y=（x1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位得到对应点的坐标为（1，0） ，所以平移后抛物线的表达式为y=（x+1）2．故选A．点评：&本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式 ；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
二．题（共6小题）9．已知抛物线经过点（5，3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是 （3，3） ．
考点：&二次函数图象上点的坐标特征．分析：&根据二次函数的对称性求解即可．解答：&解：∵点（5，3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，3），∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，3）．故答案为：（3，3）．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性．
10．如果二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，那么m= 1 ．
考点：&二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的定义．分析：&把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值，再根据二次项系数不等于0求出m≠1．解答：&解：∵二次函数y=（m1）x2+5x+m21的图象经过原点，∴m21=0，解得m=±1，∵函数为二次函数，∴m1≠0，解得m≠1，所以，m=1．故答案为：1．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0．
11．若点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a ＜ b．（填“＞”“＜”或“=”）．
考点：&二次函数图象上点的坐标特征．分析：&根据二次函数图象上点的坐标特征计算出自变量为2和3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．解答：&解：∵点（2，a），（3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象，∴a=x2+2x+m=44+m=4，b=x2+2x+m=96+m=3+m，∴a ＜b．故答案为＜．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．已知二次函数y=x2+2x7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是 5或3 ．
考点：&二次函数图象上点的坐标特征．分析：&把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可．解答：&解：y=8时，x2+2x7=8，整理得，x2+2x15=0，解得x1=5，x2=3，所以，对应的自变量x的值是5或3．故答案为：5或3．点评：&本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键．
13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线 表达式为 y=（x+2）2+2 ．
考点：&二次函数图象与几何变换．分析：&已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，2），则平移后顶点坐标为（2，2），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．解答：&解：∵y=x2+2顶点坐标为（0，2），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（ 2，2），∴所得新 抛物线的表达式为y=（x+2）2+2．故答案为：y=（x+2）2+2．点评：&本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．
14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为 y=3（x2）2+2 ．
考点：&二次函数图象与几何变换．分析：&平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．解答：&解：∵原抛物线解析式为y=3x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（2，2），∴平移后的抛物线的表达式为：y=3（x2）2+2．故答案为：y=3（x2）2+2．点评：&本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
三．解答题（共8小题）15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x3）21，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式；（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．&
考点：&二次函数图象与几何变换．分析：&（1）把点A代入平移后的抛物线y=a（x3）21来求a的值；（2）根据平移前、后的函数解析式，然后 求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的面积公式即可求出△BPM的面积．解答：&解：（1）把点A（2，1）代入y=a（x3）21，得1=a（23）21，整理，得1=a1，解得 a=2．则平移后的抛物线解析式为：y=2（x3）21；
（2）由（1）知，平移后的 抛物线解析式为：y=2（x3）21，则M（3，0）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=2（x3）21，∴平移前的抛物线解析式为：y=2（x1）21．∴P（1，1）．令x=0，则y=1．故B（0，1），&∴BM= ∴S△BPM= BM•yP= × ×1= ．&点评：&本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标．
考点：&待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．分析：&（1）把原点O、A（2，2）与B（1，5）三点分别代入函数解析式，求得a、b、c的数值得出函数解析式即可；（2）把函数解析式化为顶点式， 得出顶点坐标即可．解答：&解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（2，2）与B（1，5）三点，∴ ，解得： ，∴抛物线的表达式为y=2x23x．（2）y=2x23x=y=2（x+ ）2+ ，抛物线的顶点坐标为（ ， ）．点评：&此题考查待定系数法求函数解析式，以及利用配方法求得顶点坐标．
17．如图，已知二次函数的图 象过A、C、B三点，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式．&
考点：&待定系数法求二次函数解析式．分析：&（1）根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5，点C在y轴上可以写出点C的坐标；（2）二次函数图象经过点A、B、C；这三个点的坐标已知，根据三点法确定这一二次函数解析式．解答：&解：（1）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），∴OC=AB=5，∴点C的坐标为（0，5）；
（2）设二次函数解析式为：y=ax2+bx+5，把A（1，0）、B（4，0）代入原函数解析式得出：a= ，b= ；所以这个二次函数的解析式为：y= x2+ x+5．点评：&此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，同时还考查了方程组的解法等知识．
18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式．
考点：&待定系数法求二次函数解析式．分析：&根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再把（0，1），代入求解即可．解答：&解：∵抛物线的顶点坐标是（8，9），∴设抛物线的解析式为y=a（x8）2+9，把（0，1），代入得1=64a+9，解得a= ，∴抛物线的解析式为y= （x8）2+9．点评：&本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．
19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△AB C的面积．
考点：&待定系数法求二次函数解析式．分析：&（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+ bx+6，即可得出抛物线的表达式y=x25x+6；&&&& （2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．解答：&解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=5，所以抛物线的表达式y=x25x+6；&&&& （2）∵抛物线的表达式y=x25x+6；&& ∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），∴S△ABC= ×1×6=3．点评：&本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．
20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．&
考点：&待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．专题：&计算题．分析：&根据二次函数的对称轴为直线x=2，设出二次函数解析式，把A与C坐标代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可．解答：&解：设二次函数解析式为y=a（x2）2+k，把A（1，0），C（0，6）代入得： ，解得： ，则二次函数解析式为y=2（x2）22=2x28x+6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为（2，2）．点评：&此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（ ， ）．&
考点：&待定系数法求二次函数解 析式；二次函数的性质．专题：&计算题．分析：&（1）将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）利用顶点坐标公式表示出D点坐标，进而确定出E点坐标，得到DE与OE的长，根据B点坐标求出BO的长，进而求出BE的长，在直角三角形BED中，利用勾股定理求出BD的长．解答：&解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（1，0），∴将A与B坐标代入得： ，解得： ，则抛物线解析式为y=x2+2x+3；
（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（ ， ）得，D（1，4），∵对称轴与x轴交于点E，∴DE=4，OE=1，∵B（1，0），∴BO=1，∴BE=2，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= = =2 ．点评：&此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，抛物线y=ax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．&
考点：&待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．专题：&压轴题．分析：&（1）由于抛物线y=ax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线 上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．解答：&解：（1）∵抛物线y=ax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，∴ ，解之得：a=1，b=3，∴y=x2+3x+4；
（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴把D的坐标代入（1）中的解析式得 m+1=m2+3m+4，∴m=3或m=1，∴m=3，∴D（3，4），∵y=x2+3x+4=0，x=1或x=4，∴B（4，0），∴OB=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；&点评：&此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标&文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
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二次函数练习题及答案
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一、选择题:
1.(;大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是(
A.直线x=-3
C.直线x=-2
2.(;重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b, )在(
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.第四象限
3.(;天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a0,则一定有(
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(;杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有(
B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3
D.b=-9,c=215.(;河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为(
6.(;昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,图象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是(
D.8-2m二、填空题
1.(;河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.
2.(;新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(;天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为_________.
4.(;武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:_________.
5.(;黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.
6.(;北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:三、解答题
1.(;安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.2.(;济南)已知抛物线y=-
)x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对称.
(1)求m的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.3.(;南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,
),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由. 能力提高练习一、学科内综合题1.(;新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点.
(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,求这个二次函数的解析式. 二、实际应用题2.(;河南)某市近年来经济发展速度很快,根据统计:该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币,1995年为10.4亿元人民币,2000年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测2005年该市国内生产总值将达到多少?3.(;辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元? 4.(;吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、开放探索题5.(;济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加 ,纵坐标增加 ,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.6.(;重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(- a,0)且与OE平行.现正方形以每秒 的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说明理由.
答案:基础达标验收卷一、1.D
6.C二、1.(x-1)2+2
2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值)
3.y=- x2+2x+
4.如y=-x2+1
6.y= x2- x+3或y=- x2+ x-3或y=- x2- x+1或y=- x2+ x-1三、1.解:(1)∵函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2),
∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x2-2x-1.
(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2.
∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.2.(1)设A(x1,0)
∵A、B两点关于y轴对称.
(2)求得y=- x2+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程- x2+(6- )x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等).3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:
①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC.
(2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE不相交.
设抛物线DBC的解析式为y=ax2+bx+c.
),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得
解这个方程组,得a= ,b=-
,c=1.∴抛物线DBC的解析式为y= x2- x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,
),得a= 也可.】
又将直线AE的解析式为y=mx+n.将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得
解这个方程组,得m=-3,n=-6.
∴直线AE的解析式为y=-3x-6.能力提高练习一、1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.又∵对称轴在y轴的左侧,∴- 0.
又∵抛物线交于y轴的负半轴.
(2)如图,连结AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°,∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).
又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°,
∴OC=OA•cot60°=
,∴C( ,0).
设二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c(a≠0).
∴所求二次函数的解析式为y= x2+ ( -1)x-3. 2.依题意,可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax2+bx+c.
把A、B、C三点坐标代入上式,得
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.
即所求二次函数为
y=0.014x2+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数,得y=16.1.
所以,2005年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c由题意得
∴s= t2-2t.
(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;
把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元.4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,
则D(5,-h),B(10,-h-3).
抛物线的解析式为y=- x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).
货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到xkm/h.
当4x+40×1=280时,x=60.
∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.5.略 6.解:(1)当0≤t<4时,
如图1,由图可知OM= t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN,
∵当t=4时,BB1=OM= ×4= a,
∴点B1在C点左侧.
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∴四边形COPQ面积= a2.
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P( ,a),∴DP= .
∴NP= - t.
由y=2x知,NQ=2NP,∴△NPQ面积=
∴S= a2-( t)2=
a2- (5-t)2= [60-(5-t)2].
(2)当4≤t≤5时,如图,这时正方形移动到ABMN,∵当4≤t≤5时,
,当B在C、O点之间.
∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:平行四边形COPG-△NPQ的面积-△CB1R的面积.
与(1)同理,OM= t,NP=
t,S△NPQ=( t)2 ,∵CO= a,CM= a+ t,BiM=a,
∴CB1=CM-B1M= a+ t-a= t- a.
∴S△CB1R= CB1•B1R=(CB1)2=( t- a)2.∴S= a2-( - t)2 -( t- a)2= a2- [(5-t)2+(t-4)2]= a2- (2t2-18t+41)= a2- [2•(t- )2+ ].
∴当t= 时,S有最大值,S最大= a- • = a2.
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B.第二象限;
y=2x²-1对称轴
······数学老师有
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