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信号与系统第4-10章习题
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信号与系统第四版习题解答 投稿：唐燄燅
《信号与系统》（第四版）习题解析 高等教育出版社2007年8月目 录第1章习题解析 ..................................................................................…
护理研究 ２１ ０ ２年 ３月 第 ２ 卷 第 ３ 下 旬 版 （ 第 ３ ９期 ） ６ 期 总 ８ ?７ ９ ? ６ 理论探讨　护 理 专 业 人 文 特 征 分 析及 启 示。 Ａｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｄ ｉ ｐｌ ａｔ ｓ ｏ ｕ ａ ｅ ｃｈ …
我国中小企业内部审计外部化问题研究[摘要]将企业内部审计外部化可以节约成本，提高企业核心竞争力。本文对我国中小企业内部审计外部化的理论基础、现实动因、利弊及内容和形式等问题进行研究。 [关键词]内部审计外部化；理论基础；现实动因 内部审计外部化(Ou…
《信号与系统》（第四版）
高等教育出版社
第1章习题解析 ........................................................................................................... 2 第2章习题解析 ........................................................................................................... 6 第3章习题解析 ......................................................................................................... 16 第4章习题解析 ......................................................................................................... 24 第5章习题解析 ......................................................................................................... 32 第6章习题解析 ......................................................................................................... 42 第7章习题解析 ......................................................................................................... 50 第8章习题解析 ......................................................................................................... 56
第1章习题解析
题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？
(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
给定题1-2图示信号f( t )，试画出下列信号的波形。[提示：f( 2t )表示将f( t )波形
压缩，f()表示将f( t )波形展宽。]
2 f( t ? 2 )
f( ?t +1 )
以上各函数的波形如图p1-2所示。
如图1-3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统SR、SL、SC，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
各系统响应与输入的关系可分别表示为
uR(t)?R?iR(t)
uL(t)?LuC(t)?
iC(?)d? C???
如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为?a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x( t )，由于
x(t)?f(t)?(?a)y(t)
y(t)??x(t)dt,
x(t)?y?(t)
y?(t)?f(t)?ay(t)
y?(t)?ay(t)?f(t)
已知某系统的输入f( t )与输出y( t )的关系为y( t ) = | f( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？
设T为系统的运算子，则可以表示为
y(t)?T[f(t)]?f(t)
不失一般性，设f( t ) = f1( t ) + f2( t )，则
T[f1(t)]?f1(t)?y1(t) T[f2(t)]?f2(t)?y2(t)
T[f(t)]?f1(t)?f2(t)?y(t)
f1(t)?f2(t)?f1(t)?f2(t)
即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
判断下列方程所表示的系统的性质。
??f(?)d? (1) y(t)?
?(t)?y?(t)?3y(t)?f?(t)
(3) 2ty?(t)?y(t)?3f(t) (4) [y?(t)]2?y(t)?f(t)
(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。
试证明方程
y?(t)?ay(t)?f(t)
所描述的系统为线性系统。式中a为常量。
不失一般性，设输入有两个分量，且
f1(t)?y1(t)，f2(t)?y2(t)
?(t)?ay1(t)?f1(t) y?2
(t)?ay2(t)?f2(t) 相加得
?(t)?ay1(t)?y2?(t)?ay2(t)?f1(t)?f2(t) 即
?y1(t)?y2(t)??a?y1(t)?y2(t)??f1(t)?f2(t) 可见
f1(t)?f2(t)?y1(t)?y2(t)
即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。
若有线性时不变系统的方程为
y?(t)?ay(t)?f(t)
若在非零f( t )作用下其响应y(t)?1?e?t，试求方程
y?(t)?ay(t)?2f(t)?f?(t)
因为f( t ) ?y(t)?1?e?t，由线性关系，则
2f(t)?2y(t)?2(1?e?t)
由线性系统的微分特性，有
f?(t)?y?(t)?e?t
2f(t)?f?(t)?y(t)?2(1?e?t)?e?t?2?e?t
第2章习题解析
如图2-1所示系统，试以uC( t )为输出列出其微分方程。
由图示，有
uC?CduCRdt
(uS?uC)dt 故
L(u)?u?CS?uCR
C(t)?LCuC(t)?LC
设有二阶系统方程
y??(t)?4y?(t)?4y(t)?0
在某起始状态下的0+起始值为
y(0?)?1,y?(0?)?2
试求零输入响应。
由特征方程
?2 + 4? + 4 =0
?1 = ?2 = ?2 则零输入响应形式为
(A1?A2t)e?2t
yzi( 0+ ) = A1 = 1 ?2A1 + A2 = 2
yzi(t)?(1?4t)e?2t,
设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。 (a)
f( t ) = 2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b)
f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]
(a)和(b)的波形如图p2-3所示。
试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
f( t ) = ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 )
f( t ) = ?( t ) + ?( t ?T ) + ?( t ?2T )
试计算下列结果。 (1)
t?( t ? 1 )
cos(?t?)?(t)dt 0?
e?3t?(?t)dt
t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 )
???t?(t?1)dt?????(t?1)dt?1 ??ππ1(3) ?cos(?t?)?(t)dt??cos(?)?(t)dt?
设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
e?3t?(?t)dt??e?3t?(t)dt???(t)dt?1
f? ( t ) =
?( t ? 2 )，
?2?( t ? 4 )，
f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )
如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和uL，对(b)求冲激响应uC和iC，并画出它们的波形。
?uS(t)?Ri dt
?i?uS(t) dtLL
当uS( t ) = ?( t )，则冲激响应
h(t)?i(t)?eL??(t)
则电压冲激响应
h(t)?uL(t)?L??(t)?e??(t)
对于图(b)RC电路，有方程
当iS = ?( t )时，则
h(t)?uC(t)?eRC??(t)
同时，电流
iC?Cdt??(t)?RC
设有一阶系统方程
y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t)
试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。
因方程的特征根? = ?3，故有
x3t1(t)?e???(t)
当h( t ) = ?( t )时，则冲激响应
h(t)?x1(t)?[??(t)??(t)]??(t)?2e?3t??(t)
s(t)??th(?)d??1
(1?2e?3t03
试求下列卷积。
(a) ?( t ) * 2
(b) ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) (c) te?t??( t ) * ?? ( t )
(a) 由?( t )的特点，故
?( t ) * 2 = 2
(b) 按定义
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =
?(??3)?(t???5)d?考虑到?
t ?5时，?( t ?? ? 5 ) = 0，故
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =?
d??t?2,t?2
也可以利用迟延性质计算该卷积。因为
?( t ) * ?( t ) = t?( t ) f1( t ? t1 ) * f2( t ? t2 ) = f( t ?t1 ?t2 )
故对本题，有
?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) = ( t + 3 ? 5 )?( t + 3 ? 5 ) = ( t ? 2 )?( t ? 2 )
两种方法结果一致。
(c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )
对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
(a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即
f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )
f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )]
?( t ) * ?( t ) =
1d?= t?( t )
f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )
读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p2-10(a)所示。
(b)根据? ( t )的特点，则
f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]
= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。
试求下列卷积。
(a) (1?e?2t)?(t)???(t)??(t)
(b) e?3t?(t)?d
(a)因为??(t)??(t)???(t)??(t)，故
(1?e?2t)?(t)???(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)
(b)因为e?t?(t)??(t)，故
?(t)]?e?3t?(t)???(t)
??(t)?3e?3t
设有二阶系统方程
y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4??(t)
试求零状态响应
因系统的特征方程为
?2 + 3? + 2 =0
解得特征根
?1 = ?1， ?2 = ?2
故特征函数
e1t?e?2t?(e?t?e?2t)?(t)
零状态响应
y(t)?4??(t)?x2(t)?4??(t)?(e?t?e?2t)?(t)
= (8e?2t?4e?t)?(t)
如图系统，已知
h1(t)??(t?1),h2(t)??(t)
试求系统的冲激响应h( t )。
由图关系，有
x(t)?f(t)?f(t)?h1(t)??(t)??(t)??(t?1)??(t)??(t?1)
所以冲激响应
h(t)?y(t)?x(t)?h2(t)?[?(t)??(t?1)]??(t)??(t)??(t?1)
即该系统输出一个方波。
如图系统，已知R1 = R2 =1?，L = 1H，C = 1F。试求冲激响应uC( t )。
由KCL和KVL，可得电路方程为
??(1?R2C)u1R21
RLC??(L?R)uC???(t)??(t) 11LR1R1L
代入数据得
???2uC??2uC???(t)??(t) uC
?1,2 = ?1 ? j1
故冲激响应uC( t )为
uC(t)?(eλ1t?eλ1t)*[??(t)??(t)]
?e?t(cots?sint)??(t)?e?tsint??(t)
?e?tcost??(t)V
一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f( t ) = ?( t )时，全响应y1( t ) = 3e?3t??( t )；当输入f( t ) = ??( t )时，全响应y2( t ) = e?3t??( t )，试求该系统的冲激响应h( t )。
因为零状态响应
?( t ) ? s( t )，??( t ) ? ?s( t )
y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e?3t??( t ) y2( t ) = yzi( t ) ? s( t ) = e?3t??( t )
y1( t ) ? y2( t ) = 2s( t ) = 2e?3t??( t )
s( t ) = e?3t??( t )
故冲激响应
h( t ) = s? ( t ) = ?( t ) ? 3e?3t??( t )
若系统的零状态响应
y( t ) = f( t ) * h( t )
试证明： (1) f(t)?h(t)?
??h(?)d? ??dt
(2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应
s(t)??h(?)d?
y( t ) = f( t ) ? h( t )
由微分性质，有
y? ( t ) = f? ( t ) ? h( t )
再由积分性质，有
y(t)?f?(t)??h(?)d?
s( t ) = ?( t ) ? h( t )
由（1）的结果，得
s(t)???(t)??t
第3章习题解析
求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。
对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
T?0f(t)dt?1TAtA
T?0Tdt?2 a?2T?T0f(t)cosn?2AT
n1tdt?T2?0
t?cosn?1tdt
???0 ?n?10??b?2ATT?0f(t)sinn?t?2AT
t?sinn?1tdt
?2A?tcons?T
nπ所以三角级数为
2??sinn?1t
如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数。图中T?2。解：该信号周期T?2，故?2?
??，在一个周期内可得： F
2??1?Ae?jn?tdt?12?0Ae?jn?tdt?AAjn??jn?
AAA???cosn??(1?cosn?)??jn?jn?jn?jn???0
n??1,?3,?n??2,?4,?
因为f(t)为奇函数，故F0?0，从而有指数形式：
设有周期方波信号f( t )，其脉冲宽度? = 1ms，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若?压缩为0.2ms，其带宽又为多少？
对方波信号，其带宽为?f?当?1 = 1ms时，则
,n??1,?3,?jn?
当?2 = 0.2ms时，则
?1000Hz 0.001
3-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。
为奇函数，故
[sin?????cos??]
[cos???Sa(??)]
或用微分定理求解亦可。
(b) f( t )为奇函数，故
F(?)??j2??
(?1)sin?tdt
2j?[co??s?1]?j4?sin2(??2
) 若用微分-积分定理求解，可先求出f? ( t )，即
f? ( t ) = ?( t + ? ) + ?( t ? ? ) ? 2?( t )
f?(t)?F??1(j?)?ej?e?j???2?2cos???2又因为F1( 0 ) = 0，故
试求下列信号的频谱函数。 (1) f(t)?
(2) f(t)?e?atsin?0t??(t)
f(t)e?j?tdt???
e2te?j?tdt??0
e?2te?j?t?dt
2?j??2?j??4??2
F(?)????j??1??f(t)et
dt??0e?at?2j(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt
?1??[ej?0t?e(?a?j?)t?e?j?0t?e(?a?j?)t2j0
]dt ?1?1?2j?)?j??1
0(??j?)?j0??
2j?2j?0(??j?)2??2??022
0(??j?)??0
对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
F(?)?A?Sa2(??
0，| t | > ? 则
(1?cos??) ?
试求信号f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里叶变换。
1 ? 2??(?)
2cost ? 2?[?(? ? 1) + ?(? + 1) ] 3cos3t ? 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
F(? ) = 2?[?(?) + ?(? ? 1) + ?(? + 1) ] + 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ]
试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f2( t )的频谱函数。
由于f1( t )的A = 2，? = 2，故其变换
F1(?)?A?Sa2(
根据尺度特性，有
)?2F1(2?)?8Sa(2?) 再由调制定理得
)cosπt?F2(?)
[8Sa2(2??2π)?8Sa2(2??2π)]
?4Sa2(2??2π)?4Sa2(2??2π) sin2(2?)sin2(2?)
(??π)(??π)
试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。
f( t ) = Acos(?0t) ? ?( t )
f( t ) = Asin(?0t)?( t )
Acos(?0t)?Aπ[?(???0)??(???0)]
?(t)?π?(?)?1
所以由时域卷积定理
F(?)?Aπ[?(???10)??(???0)]?[π?(?)?
[?(???0)??(???0)] （2）因为
Asin(?0t)?jAπ[?(???0)??(???0)]
?(t)?π?(?)?1
由频域卷积定理
1?2π??jAπ[?(???0)??(???0
)]?[π?(?)?1j?]?
2[?(????(????A0)?0)]?0?2??2 0
f1( t ) = cos4?t
0,t试求f1( t ) f2( t )的频谱函数。
设f1( t ) ? F1(?)，由调制定理
1(t)cos4πt?
[F1(??4π)?F1(??4π)]?F(?)
F1(?)??Sa(
F(?)?Sa(??4π)?Sa(??4π)
设有如下信号f( t )，分别求其频谱函数。 (1) f(t)?e?(3?j4)t??(t) (2) f(t)??(t)??(t?2)
e?(3?j4)t?
1(3?j4)?j??1
?(t)??(t?2)?Gτ(t)?(t?1),??2
)e?2Sa(?)e
试求f2( t ) = f1( t )cos50t的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。
F(?)?2?Sa(
)e?j2??8Sa(2?)e?j2?
[F1(??50)?F1(??50)]
?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)?4Sa[2(??50)]e?j2(??50)幅度频谱见图p3-12。
第4章习题解析
如题4-1图示RC系统，输入为方波u1( t )，试用卷积定理求响应u2( t )。
因为RC电路的频率响应为
u2( t ) = u1( t ) * h( t )
故由卷积定理，得
U2(? ) = U1(? ) * H( j? )
而已知U1(?)?
(1?e?j?)，故 j?
?(1?e?j?) j??1j?
u2(t)?(1?e?t)?(t)?[1?e?(t?1)]?(t?1)
一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f( t )信号时，求相应的输出y( t )。
因为输入f( t )为周期冲激信号，故
T所以f( t )的频谱
F(?)?2π?Fn?(??n?1)?2πn??(??2nπ)
当n = 0，?1，?2时，对应H( ? )才有输出，故n???
Y(? ) = F(? ) H( ? )
= 2?[2?(?) + ?(? ? 2?) + ?(? + 2?)]
y( t ) = 2( 1 + cos2?t )
设系统的频率特性为
试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。
冲激响应，故
h(t)?F?1[H(?)]?2e?2t??(t)
而阶跃响应频域函数应为
S(?)?F[?(t)]?H(?)?[π?(?)?
1j?]?2j??2
1j??2j??2 ?π?(?)?11
所以阶跃响应
s(t)?(1?e?2t)??(t)
如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H( j? )。
由图可知输出
y(t)??[f(t)?f(t?t0)]dt
取上式的傅氏变换，得
(1?e?j?t0) j?
故频率特性
?(1?e?j?t0) F(?)j?
设信号f( t )为包含0 ~ ?m分量的频带有限信号，试确定f( 3t )的奈奎斯特采样频率。
由尺度特性，有
即f( 3t )的带宽比f( t )增加了3倍，即?? = 3?m。从而最低的抽样频率?s = 6?m 。故采样周期和采样频率分别为
4-6 若对带宽为20kHz的音乐信号f(t)进行采样，其奈奎斯特间隔Ts为多少？若对信号压缩一倍，其带宽为多少？这时奈奎斯特采样频率fs为多少？ 解：对f(t)，其fm?20kHz，故：fs?2fm?40kHz
??25?10s?25us 3fs40?10
压缩信号f(t)为f(2t)后，则带宽增加一倍：fm?2?20?40kHz
故：fs?2fm?2?40?80kHz
设f( t )为调制信号，其频谱F( ? )如题图4-7所示，cos?0t为高频载波，则广播发射的调幅信号x( t )可表示为
x( t ) = A[ 1 + m f( t )] cos?0t
式中，m为调制系数。试求x( t )的频谱，并大致画出其图形。
因为调幅信号
x( t ) = Acos?0t + mA f( t )cos?0t
X(?)?πA[?(???0)??(???0)]?
[F(???0)?F(???0)] 2
式中，F(? )为f( t )的频谱。x( t )的频谱图如图p4-7所示。
题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H1( ? )、H2( ? )如图所示，试画出x(t)和y(t)的频谱图。
由调制定理知
f1(t)?f(t)cos?Ct?F1(?)?
[F(???C)?F(???C)] 2
而x(t)的频谱
X(?)?F1(?)?H1(?)
f2(t)?x(t)cos?Ct?F2(?)?[X(???C)?X(???C)]
Y(?)?F2(?)?H2(?)
它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设?C > ?2。
如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F(? )和系统特性H1( ? )、H2( ? )均给
定，试画出y(t)的频谱。
设f1(t)?f(t)cos50t，故由调制定理，得
1(2[F(??50)?F(??50)]
f2(t)?F2(?)?H1(?)?F1(?)
它仅在| ? | = ( 30 ~ 50 )内有值。再设
f3(t)?f2(t)cos30t
[F2(??30)?F2(??30)]
即F3(? )是F2(? )的再频移。进而得响应的频谱为
Y(?)?F3(?)?H2(?)
其结果仅截取 ?20 < ? < 20的部分。以上过程的频谱变化如图p4-9所示。
设信号f(t)的频谱F(? )如题4-10图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明y(t)恢复为f(t)。
f(t)ej2?1t?F1(??2?1)
故通过高通滤波器后，频谱F1(? )为
F1(?)?H(?)F(??2?1)?F(??2?1)
y(t)?Y(?)?F(??2?1?2?1)?F(?)
即y(t)包含了f(t)的全部信息F(? )，故恢复了f(t)。
第5章习题解析
求下列函数的单边拉氏变换。 (1) 2?e?t (2) ?(t)?e?3t (3) e?2tcost
(1) F(s)???
(2?e?t)e?stdt?
21s0s?s?1??2s(s?1)
(2) F(s)???0[?(t)?e?3t]e?stdt?1?1
(3) F(s)????0(e?2tcost)e?stdt??1jt?jt?2t?st
(e?e)e?edt ?1?2??1?s?2?j?1?s?2?j???
求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。
(a) 因为f1(t)??(t)??(t?t0)
而?(t)?1，?(t?t1
?st0s0)?se
(b) 因为f(t)?tt[?(t)??(t?ttt
0)]??(t)??(t?t0)
又因为tt?(t)?1
?(t?t0)?(?2)e?st0 t0sst0
?2(1?e?st0)?e?st0
利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。
先对f( t )求导，则
f?(t)??(t)?2?(t?1)?2?(t?3)??(t?4)故对应的变换
(1?2e?s?2e?3s?e?4ss
(s)?F1(s)1?2e?s?2e?3s?e?4s
用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。
(1) F(s)?s?1
(2) F(s)?2s2?s?2
(3) F(s)?1
s?1s2?5s?6?s?1
(s?2)(s?3)?k1k2s?2?
k1?(s?2)F(s)s??2??1 k2?(s?3)F(s)s??3?2
f(t)?(?e?2t?2e?3t)?(t)
(2) F(s)?2s2?s?2As(s2?1)?s?Bs?C
A?sF(s)s?0?2
2s2?s?2?As2?A?Bs2?Cs 可得
B = 0，C = 1
F(s)?2s?1s2?1
f(t)?(2?sint)?(t)
k1k2s2?3s?2?(s?1)(s?2)?s?1?
k1?(s?1)F(s)s??1?1 k2?(s?2)F(s)s??2??1
1s?1??1s?2
f(t)?(e?t?e?2t)?(t)
(4) F(s)?4
k1k11k12s(s?2)2?s?(s?2)2?
k1?sF(s)s?0?1 k11?(s?2)2F(s)s??2?
kddss?2)2F(s)]?d(412?[()??1
s??2dsss??2
F(s)?1s??1s?2?2
f(t)?(1?e?2t?2te?2t)?(t)
求下列象函数的拉氏反变换。 (1) F(s)?1?e?s
(2) F(s)?1?e?s
(3) F(s)?s(1?e?s)
(1) f(t)??(t)??(t?1) (2) f(t)?e?2t?(t)?e?2(t?1)?(t?1)
(3) f(t)??(t)??(t?2)??(t?1)??(t?3)??(t?2)??(t?5)??
设系统微分方程为
y??(t)?4y?(t)?3y(t)?2f?(t)?f(t)
已知y(0?)?1,y?(0?)?1,f(t)?e?2t??(t)。试用s域方法求零输入响应和零状态响应。
对系统方程取拉氏变换，得
s2Y(s)?sy(0?)?y?(0?)?4sY(s)?4y(0?)?3Y(s)?2sF(s)?F(s)
sy(0?)?y?(0?)?4y(0?)2s?1
s2?4s?3?s2?4s?3
s???4s?3(s?2)(s?4s?3)????????????Yzi(s)Yzs(s)
求反变换得
75?t?3tyzi(t)?2e?2e
y)??1e?t?3e?2t?5
zs(te?3t22
y(t)?3e?t?3e?2t?5e?3t,
设某LTI系统的微分方程为
y??(t)?5y?(t)?6y(t)?3f(t)
试求其冲激响应和阶跃响应。
对方程取拉氏变换，得系统函数
3s2?5s?6?3
(s?2)(s?3)
当f( t ) = ?( t )时，F( s ) =1，得
Y(s)?H(s)?
(s?2)(s?3)
h(t)?3e?2t?3e?3t,
当f( t ) = ?( t )时，F(s)?1
Y(s)?13sH(s)?s(s?2)(s?3)
?0.5s??1.5s?2?1s?3
y(t)?s(t)?0.5?1.5e?2t?e?3t,
试求题5-8图示电路中的电压u( t )。
对应的s域模型如图p5-8所示，则
s?2sH(s)?U(s)(?2)
F(s)?s ?2?s2
?2s?41?(2?s
U(s)?F(s)H(s)?
s2?2s?4?(s?1)2?()
?sint??(t)V,t?0
如题5-9图所示电路，试求冲激响应uC( t )。
以UC( s )为变量列节点方程
11s1(??)UC(s)?US(s) 22.5s102因UC( s ) =1，则
(s?1)(s?4)
520?? s?1s?4?
h(t)?uC(t)?(?e?t?e)??(t)
F，R1 = 12?，R2 = R3 =2?。4
当t = 0时S断开，设开关断开前电路已稳定，求t ? 0后响应uC( t )。
如题5-10图所示电路，已知US = 28V，L = 4H，C =
初始状态在t = 0?时求得
对于图(b)S域模型，列出关于UC( s )的节点方程，即
1s1(??)UC(s)??1 12?4s4412?4s
4(s2?5s?7)73s?8
s(s2?4s?4)s(s?2)2
uC(t)?7?2(t?1.5)e?2t
y(t)?e?3t?(t)???(t)
试用卷积定理求y( t )。
1s3?s??1? s?3s?3s?3
y(t)??(t)?3e?3t??(t)
如题5-12图所示RLC电路，已知us( t ) = 5?( t )，i( 0? ) = 2A，u( 0? ) = 2V。试用S域方法求全响应u( t )。
由该电路对应的S域模型（此处略），可得
?Li(0u(0)I(s)?s?)?C?
s2s?3 3?s?
?3s?2U(s)?u(0s
?)122(2s?3)
s?I(s)?sC?s?
s(s2?3s?2 ?521)s?s?1?s?2 得
u(t)?5?2e?t?e?2t
若有系统方程
y??(t)?5y?(t)?6y(t)??(t)
且y(0?)?y?(0?)?0，试求y( 0+ )和y? ( 0+ )。
取拉氏变换，得系统函数
(s?2)(s?3)
?11s?2?s?3
h(t)?e?2t?e?3t,
h( 0+ ) = y( 0+ ) = 0， h? ( 0+ ) = y? ( 0+ ) =1
设有系统函数
试求系统的冲激响应和阶跃响应。
s?3s?2?s?2s?2?1s?2?1?1
h(t)??(t)?e?2t?(t)
s(t)??h(?)d?
?(?e?2t)?(t) 22
如题5-15图所示二阶系统，已知L = 1H，C = 1F，R = 1?，uS( t ) = ?( t )。试求以uC( t )为响应时的冲激响应h( t )。
列S域节点方程
R?sC)Us)C(s)?SsL
US(s) 因US( s ) = 1，故有
(s?12)2?(32
u(t)?2?C(t)?h23
esin(2t)??(t)
第6章习题解析
在题6-1图示系统中，已知ha(t)??(t?1),hb(t)??(t)??(t?2)，试求系统函数H( s )和冲激响应h( t )，并画出其波形。
y1(t)?f(t)?ha(t)?f(t)
Y1(s)?F(s)Ha(s)?F(s)?[1?Ha(s)]F(s)
Y(s)?Y1(s)Ha(s)?Hb(s)
Ha(s)?e?s,Hb(s)?
Y(s)?(1?e?s)e?s?1
(1?e?2s)?F(s)
H(s)?Y(s)(1?e?s)(1?e?2s)?e?s
(e?s?e?2s?e?3s?e?4ss
所以冲激响应
h(t)??(t?1)??(t?2)??(t?3)??(t?4)
h( t )的波形如图p6-1所示。
试画出题6-2图所示网络的系统函数H(s)?U2(s)
U的波特图。 1(s)
(a) 由图可得系统函数
sR2C?10.5s?1
1?R2)C?1s?1
可见其超前环节?1
?2rad/s，滞后环节?2?1rad/s，故得波特图如图p6-2(a)所示。
(b) 由图可得系统函数
R1?R2s?2?1
?1?R1C,?2?(R1//R2)C
从而得波特图如图p6-2(b)所示。
已知某系统函数H( s )的零、极点分布如题6-3图所示，若冲激响应的初值h(0+) = 2，求系统函数H( s )，并求出h( t )。
由图示零、极点分布，应有
?(s?1)???2???
h(0?)?limsH(s)?H(0)?2
?(s?1)2???2???
进一步可表示为
H(s)?2?? 22?
?3?????22????(s?1)?(s?1)???2??2????????2(s?1)2???2
???(s?1)??(s?1)??????2??2?
h(t)?2e?t(cos
23t?sint),22t?0
某系统函数H( s )的零、极点分布如题6-4图所示，且H0 = 5，试写出H( s )的表达式。
从图可知系统的零点为
z1 = 0，z2 = ?2，z3 = ?3
S1 = ?1， S2，3 = ?2 ? j2
故系统函数
N(s)s(s?2)(s?3)
?5? D(s)(s?1)(s?2?j2)(s?2?j2)
5s(s2?5s?6)
(s?1)(s?4s?8)
设系统函数
试画出其S域模拟框图。
H( s )可改写为
s(s?2)(s?5)
5(s?1)5s?5
s(s?2)(s?5)s?7s2?10s
5s?2?5s?3? ?1?21?7s?10s
从而得模拟图如图p6-5所示。
如题6-6图所示为二阶有源带通系统的模型，设R = 1?，C = 1F， K = 3，试求系
统函数H(s)?2。
对于电路的S域模型，可列节点方程
U1(s)?Ua(s)U2(s)?Ua(s)Ua(s)UbR?R?(s)
R sC(UU(s)
U2(s)?KUb(s)
代入数据后，可得
试判定下列系统的稳定性。
(2) H(s)?3s?1
(3) H(s)?2s?4
(1) 因H( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。 (2) 因H( s )分母多项式有负系数，故不稳定。 (3) 因
(s?1)(s2?4s?3)?(s?1)(s?1)(s?3)
其极点均在左半平面，故系统稳定。
已知系统的微分方程为
y???(t)?y?(t)?6y(t)?f?(t)
试求系统函数H( s )，系统是否稳定？
因系统函数为
则二阶系统之D( s )的各项系数均为正，故系统稳定。
如题6-9图所示系统，试判定其稳定性。
由图可得系统函数
1(s?1)(s?4)
2s?41?101?s3?5s2
4s?10(s?1)(s?4)
因为a1a2 = 20，a0a3 = 10，故满足
a1a2 > a0a3
故系统稳定。
如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。
该系统的H( s )为
s?Ks(s?1)s?2
H(s)?1?s?K1?s3?3s2
?3s?K s(s?1)?
从必要条件考虑，应当K > 0，再由
a1a2 > a0a3
考虑，应满足K < 9，故当
时系统稳定。
也可以从劳斯阵列判定。因为阵列：
为使第一列元素不变号，即应
时系统稳定。
第7章习题解析
试画出下列离散信号的图形。
1(n)?(2)n?(n)
(b) f2(n)??(2?n) (c) f3(n)??(?2?n) (d) f4(n)?2(1?0.5n)?(n)
各信号的图形分别如图p7-1所示。
试画出下列序列的图形。
(a) f1(n)??(n?2)??(n?6) (b) f2(n)??(n?2)??(?n) (c) f3(n)?n?(n)?[?(n)??(n?5)] (d) f4(n)??(n)??(n?1)?2?(n?2)?2?(n?3)??(n?4)
各序列的图形分别如图p7-2所示。
《信号与系统》（第四版）习题解析 高等教育出版社2007年8月目 录第1章习题解析 ..................................................................................…
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