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高二数学选修不等式证明四法(比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法)
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高二数学综合法和分析法
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
高二数学综合法和分析法
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
1.2& 综合法和分析法过程：学生探究过程： 证明的方法（1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。&&& （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．&&& 证明：(用分析法思路书写) &&& 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，&&&& 只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，&&& 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a +b＞0)&&& 只需证a2-2ab+b2＞0成立，&&& 即需证(a-b)2 ＞0成立。&&& 而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此 命题得证。&&& (以下用综合法思路书写)&&& ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0&&&& 亦即a2-ab+b2＞ab&&& 由 题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab&&& 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证例2、若实数 ，求证： 证明：采用差值比较法：&&&&&& = &&&&& = &&&&& = &&&&&& =& &∴& ∴& 例3、已知 求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。&&& 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设& & ，从而原不等式得证。2）商值比较法：设 && 故原不等式得证。注：比较法是证明不等 式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变换？反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、 配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。&文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
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高中数学课堂中的数学文化教学问题
上传: 熊科金 &&&&更新时间： 17:01:44
数学文化不仅指数学知识，还指数学精神、数学思维方法、研究方法等，数学所具有的独特文化内涵，对学生的思想，道德和观念的发生、发展有着重大的影响，但是现在中学生又很难感受到这种文化的存在。《普通高中数学课程标准》提出了对数学文化的学习要求：数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。可见，数学文化已逐渐从理念走进数学课堂，渗入实际数学教学，数学文化必须走进课堂，努力使学生在学习数学过程中真正感受到数学文化，产生文化共鸣，体会数学文化品味。
&&&&& 在课堂教学中，我努力把数学作为一种文化数学来教，如何让数学文化走进课堂，溶入到数学学习之中？我在实际的课堂教学中做了如下一些尝试。
一.& 以数学史为材料，揭示数学知识产生、发展的过程
数学对大部分学生来说是：枯燥、乏味的、冷冰冰的不近人情。数学是什么？为什么要学习数学？学习数学有什么用？这些问题大都不被学生了解，而从数学史中可以找到这些问题的答案。当然，从学校教学来看，教师不可能把整堂数学课作为数学史课来上，因此，教师应该在教学中抓住时机联系教材，让数学史走进课堂，让学生更好的了解数学。
1.在章节的衔接处补充数学历史材料。高中数学是初中数学的延续，又是进一步学习高等数学的基础，这就为介绍数学史提供了时机。例如：在高一数学第二章《函数概念》的教学时，对照初中函数的定义，为什么在高中还要学习函数，函数概念为什么用集合来定义？在这里可以插入康托创立的集合论的历史知识，并从中找出答案。简短的话语能激发学生对数学史知识的渴求，使数学史成为数学课堂的兴奋剂，为学生打开了了解数学的窗户。
2.在章节的断层处铺垫数学史料。高中数学课程分科较多有代数、向量、解吸几何、概率统计等。各章节之间没有明显的逻辑连接，这为介绍数学史开辟了空间。例如：在高二数学第十一章《概率》的教学时，让学生了解这门学科的产生历史：概率论产生于十七世纪中叶，当时刺激数学家首先思考概率问题的却是赌博中的分赌金问题，在探讨赌博有关的问题中产生了一门研究随机现象规律的学科。现在概率论已经成为一个非常庞大的数学分支，已广泛的应用于人口统计、人寿保险等范畴。让学生了解这些实事，更加深入的理解数学的产生背景与发展，可以增加学习数学的信心，认识到数学并不是孤立的数学，使学生感受到数学就在我们的身边，它与我们的生活和科学技术有这密切的联系，它并不是一门神化的学科，也揭开了数学的神秘面纱。
二.以数学家为例子，培养学生严谨态度、锲而不舍的探索精神
&&&&& 数学在前进和发展的道路上并不是一帆风顺的，数学家们为了追求真理，坚持不懈，有的甚至付出了宝贵的生命。介绍一些数学家是如何面对挫折又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学好数学的信心会产生巨大的作用，同时也可以引导学生学习数学家的优秀品质。
1.在知识点处闪现数学家惊人毅力。例如：在《多面体欧拉定理的发现》的教学中从瑞士数学家欧拉引入课题。欧拉是科学史上最多产的一位的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他的一生共写了800多本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。欧拉有如此多的论文问世与他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神有关：他31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，也没有停止对数学的研究，仍以坚强的毅力继续研究，口述了好几本书和400余篇的论文。 19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，）曾说过&研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法&。欧拉对著名的&哥尼斯堡七桥问题&的研究开创了&图论&这门学科。他发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。欧拉是如何发现这个关系的？又是用什么方法研究的？这样教师就可以带领学生沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式，研究这个课题。
2.在知识点处用数学家故事增加学生学好数学的信心。 例如：在高二下《二项式定理》教学时插入介绍法国数学家法布儿学习数学的历程。法布儿师范毕业后到了一所条件简陋的学校教书，有一天一个年青人登门造访希望法布儿能辅导他学代数，可法布儿自己并不懂代数，自己不懂游泳，却要教别人游泳，怎么办？为了辅导，他找了一本书一页一页的翻看，了无兴趣。突然书中的一章节&&牛顿二项式&&，誉满全球的17世纪英国大科学家牛顿强烈的吸引了他，在好奇心的驱动下他拿起了笔，一边看一边做起了排列和组合。不可思异，法布儿全部搞懂了。牛顿二项式定理大大增加了法布儿的自信心，烛光伴着他熬了一夜又一夜，他继续向更多的代数知识点发起进攻，后来又向解析几何发起冲击，最后在数学上取得非凡成就。学习过程犹如傍晚之星，初见一点，旋见一点，又见数十点、数百点，以致灿烂布满天空。
数学其实是人类的一种文化活动，它不是少数人的专利，而是人人可学，人人可做，尽管并非人人都能有数学家的才能；就像篮球运动一样，人人可打，但并非人人都有运动员的天赋一样。这些数学家的学习经历告诉我们：在学习数学的过程中难免会遇到这样那样的困难和挫折，但我们决不能放弃。
三.以数学应用为载体，体现数学的应用价值，渗透数学思想方法
随着社会发展，科学技术进步，数学已深入到人类生活的方方面面，数学已经深入到所有领域，数学是其他学科的基础，对人类文明的发展起着巨大的作用，但现在的学生认识不到从课本中学到的数学知识在生活中有多少应用价值，或许他们正在运用数学，但不认为这属于数学的范畴。这需要教师有意识的凸现数学的应用价值。
1.注重数学与生活的联系，重视数学在生活中的应用，让学生有更多的机会了解数学的应用价值。例如：在高中数学研究性课题《数列在分期付款中的应用》的教学中，通过设置问题：购买一件售价为5000元的商品,如果采用分期付款 ,那么在一年内将款全部付清的前提下,商店又提出了几种付款方案,以供顾客选择开展课题研究。以类似于科学研究的方法,自己收集、分析资料和处理信息来了解知识的产生和应用过程,进而认识自然，了解社会，可以激发创新意识，培养综合运用所学知识的能力和分析 、解决实际问题的能力.
&&&&& 2. 加强数学与其他学科的联系，教师可以从数学出发延伸到其他学科知识，也可以从其他学科的需要出发，引出相应的数学知识。例如：物体运动变化与曲线，导数与瞬时速度，立体几何与分子结构，排列组合与基因总数等这些知识都很好的反映了学科之间的联系，通过这些实例能让学生体验到数学有着广泛的应用价值。
四.以数学发展为目标，展现数学的未来
数学是推动人类社会发展进步的巨大动力。数学家曾指出：最近几十年的进步，社会科学的重要领域已经发展到不懂数学的人望尘莫及的阶段&&。
在课中解决问题，让学生触摸理性的数学文化。一说到数学文化，往往会联想到数学史，但是除了这种宏观的历史考察之外，还应该有微观的一面，即从具体的数学概念、数学方法、数学思想中揭示数学的文化的核心、即理性思维。因此通过数学学习要使学生感受到思维的乐趣，使学生领悟到数学思考的美妙、数学方法的精巧、数学思想的博大，那么就可以触摸到数学文化的脉搏。
(一)通过看问题的着眼点，渗透数学文化
例：已知a、b、m&R+,且a&b，求证a+m/b+m&a/b。 &分析：本题第一眼从题目上看是证明不等式的问题，正面思考，思维方向马上转向回归定义，因此利用实数比较大小的法则，采用正向思维解题，就可一步到位。 证明：：(作差比较法)但不能就此结束，引导学生再看第二眼，可以发现题目的结论已经非常明确，从结论往回推，倒过去思考，逆向思维解题，也可以克敌制胜。 用反证法证明还是不能就此罢手，继续引导学生分析，再看第三眼，跳岀不等式这个章节的约束，从结论的整体结构联想到函数中单调性的结构特征，跳跃思维解题，也能旗开得胜。& 用构造函数法证明。通过这样的多角度的看问题，对题目的深层结构和思想实质做进一步的思考，增加综合发展性和思维开拓性，改变呆板的单一方法，有助于提高学生的推理能力和思维品质。因此看数学问题时应教会学生冲破思维的局限，发展发散性思维，使得当他们面对一个全新的问题时不会束手无策，能应用前人在面对未知领域所用的思想方法与治学经验来解决问题，从而将数学文化的理性精髓印在脑中。
&(二)通过解决问题的具体操作，渗透数学文化
在解决数学问题的过程中应该充分的让学生充分认识到数学计算的严谨性，其表达形式的规范性。因为只有通过数学训练，才能培养学生所需要的那种坚韧不拔、实事求是、公正公平的品质。所以在这种枯燥而频繁的数学训练中，穿插一此数学文化的故事，不仅能激起学生学习的热情，而且能够让学生轻松的享受到训练的快乐与数学文化的理性品质。 在讲授线性回归方程的计算问题时，可以适机的讲述&海王星&的发现的故事：&海王星&并不是通过观测发现的，而是由一位天文学家用&数学方法&算出来的。在1846年法国天文学家勒威耶通过研究已有的观测资料，在8月31日用最小二乘法算出了一个未知行星的轨道参数、质量和出现的位置。9月23日上午，柏林天文台副台长伽勒收到勒威耶的来信，当天晚上就开始观测，并找到了那颗星。第二天晚上他们继续观测这颗星的位置，发现略有移动，表明的确是颗行星。第三天，伽勒写信向勒威耶报告：&你计算出位置的那颗行星真的存在&。于是伽勒发现了海王星。其实，最早计算出&海王星&的并不是勒威耶，而是英国的亚当斯。可是由于亚当斯他对自己的计算方法和结果并无信心，而且一直在改变计算结果，其最终的结果也距离海王星的实际位置很远。所以当勒威耶写信给包括英国的格林威治天文台台长艾里在内的一些天文学家报告新行星的发现，并建议命名为海王星时，这时艾里才公开了他两个月以来的对新行星的秘密寻找过程，并宣布亚当斯早已计算出新行星的位置。他们要求把新行星命名为海神星，显然觉得他们拥有一定的优先权。法国人理所当然地对此表示怀疑：如果亚当斯真的做了准确的计算，为什么不写成论文发表？为什么要在事后才来争优先权？随着时间的推移，争论逐渐平息。英国王家学会授予勒威耶奖章表彰其贡献，而国际上也承认亚当斯做出了独立发现。 但是查里斯根据亚当斯的计算花了两个月的时间去寻找都一无所获，而伽勒根据勒威耶的计算一个晚上就搞定了。这个事件也告诉我们，计算结果及精确度是非常重要的，引导学生对计算及过程的表述给以足够的重视，更有助于促进学生对数学文化的认同。让学生明白，数学不仅仅是一些演算的规则和变换的技巧，更重要的是通过它的训练能够培养让人们终身受益的坚毅果敢，缜密细致的品质，大大的提高了学生的文化素养。
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