微积分的起源
微积分的起源
发布单位:湖北三峡职业技术学院本站原创 提交日期: 23:51:32 阅读次数:20482
摘要： 回顾了古代东西方微积分思想的萌芽和微积分创立前夕欧洲的思想社会背景，论述了微积分先驱者的重要贡献，指出最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹，谨以此文纪念今年12月25日牛顿诞生362周年。
关键词： 微积分；起源；牛顿；莱布尼兹
中图分类号： O 172文献标识码： A文章编号： 2027/YC-（2004）01-0066-04
一、古代东西方微积分思想的萌芽
微积分学的核心概念之一——极限，其理论的完善得力于19世纪柯西(，Cauchy.A.L)和魏尔斯特拉斯(，Weierstrass,K)的工作，但极限的观念、思想可以追溯到遥远的古代。
公元前五世纪古希腊的安提丰(Antiphon)提出“穷竭法”，前四世纪由欧多克斯(前408-355,Eudoxus)作了补充和完善，他们用来求平面圆形的面积和立体的体积。方法记载在欧几里得(前4-3世纪Euclid)的《几何原本》中，公元前三世纪阿基米得(前287-212，Archimedes)用“穷竭法”求圆的面积，认为圆的面积与正内接(外切)多边形面积之差可以被“竭尽”，得圆周率约等于3.14。西方人在17世纪(1647年)时称这种没有极限步骤，但给出证明蕴含极限思想的求积方法为“穷竭法”。中国前四世纪春秋战国时代学者惠施称：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，(见《庄子·天下篇》)引出收敛的数列1[]2，1[]22，…，1[]2n，…。江泽民主席1997年访美时，11月1日在哈佛大学发表演讲，说“记得我在高中读书时，老师给我们讲微积分，第一课就是讲《庄子》中的‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’，很形象地使我建立起极限的概念，”指出：“我们的先人对自然界的认识已达到相当高的水平。”安提丰的“穷竭法”和惠施的“一尺之棰”都是极限思想的滥觞。至公元三世纪，三国魏人刘徽作《九章算术》注，提出“割圆术”，以圆的内接正6×2n-1 (n＝1，2……)边形的面积An近似单位圆的面积π（π≈An），算到6×25＝192边形，得π≈157/50或3.14，又进一步算到6×29＝3072边形，得到一个相当于3.14159的分数。刘徽认为：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”［1］。即n愈大，π-An愈小；n→∞，π-An→0，则An→π，剩余面积可以被“竭尽”，这种思想也含有积分的雏形。刘纯称之为“无穷分割求和原理”。刘徽的工作影响较大，后来有祖冲之更好的结果。众所周知，当代专家对“割圆术”的兴趣有增无减，有钱宝琮［2］、杜石然［3］的文章，有李约瑟(Joseph Needham)［4］的论述，有2000年出版的王能超的专著《千古绝技“割圆术”》。
积分思想，源自欧多克斯的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于前225年求抛物线弓形面积的工作，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子，用了几何级数1+1[]4+1[]42+…+1[]4n+…=3[]4。
中国古代思想家荀况(前313-238)的《荀子·大略》中有“尽小者大，积微者著”一语(使我们想起荀子的另一些名言：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”),之后何承天(370-447)“积微之量”一说也继承这种思想。至11世纪宋代沈括()在《梦溪笔谈》中也提到“造微之术”，当代英国著名科学史专家李约瑟博士认为，他的思想和600年后微积分先驱者卡瓦列里(，Cavalieri,B)的无穷小求和相当，沈括知道，分割的单元愈小，所求得的体积、面积愈精确。上述这些思想尽管没有导致微积分在中国诞生，但对近代(清)李善兰将西方微积分学介绍到国内，著《代微积拾级》，首创“微分”、“积分”等许多贴切的中文译名不无影响，也说明我国古代微积分的观念发端甚早，渊源很深。
古代由几何问题引起极限，微积分等观念思想的萌芽的出现，所用方法本质上是静态的，只有牛顿(，Newton,I)、莱布尼兹(，Leibniz,G,W)在他们的先驱者所做工作的基础上，发展成动态分析的方法。
二、微积分创立前夕欧洲的思想和社会背景
15-16世纪的文艺复兴运动使欧洲的精神文化面貌发生了深刻的变化，对自然界的研究蓬勃开展，数学也活跃起来了。这一时期，人们的独立思考和自由探讨的精神得到了发扬，对于过去的文化遗产，人们都投以审视的目光，然而，数学的逻辑严密性而赢得人们特殊的重视和信赖，都认为数学知识确定无疑，艺术三杰(达·芬奇、米开朗基罗、拉菲尔)之一达·芬奇(，Da Vinci)指出“除非通过数学上的说明和论证，人们的探讨不能称为科学的。”达·芬奇为艺术大师，也精通数学，西画所采用的透视法就基于数学原理，据说达·芬奇的名作《最后的晚餐》，那个犹大就位于画面长度的0.618：0.382的分点处。当时人们都崇尚黄金分割，认为0.618蕴含着和谐之美。
17世纪是从布鲁诺()捍卫哥白尼(，Copernicus,N)的太阳中心说为真理献身(1600年2月17日，罗马鲜花广场)揭开序幕的，1632年，伽利略(，Galileo.G)宣传哥白尼学说，出版《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》，1633年受罗马教庭迫害，他坚定的科学信念为后世所景仰。1979年，罗马教皇约翰·保罗二世提出为伽利略“平反”一桩冤案，历经三个多世纪，令人感概不已。
教会势力对科学的迫害，阻挡不了人们对自然深入研究的热情，对数学感兴趣的，不仅有职业数学家和教师，还有业余爱好者。但由于历史的局限，当时的科学家不可能成为无神论者，古希腊的毕达哥拉斯(前572-497，Pythagras)称“万物皆数”，伽利略认为：数学是上帝用来书写宇宙的文学。他们相信上帝按数学方式设计了大自然，进行研究就是为了发现上帝赋予的次序与和谐，从混沌中发现有序是数学的伟大使命。
在社会变革和生产力发展方面，1640年英国资产阶级革命爆发。1649年英王查理一世被处死，革命达到了高潮。欧洲一些国家处于资本主义上升时期，生产力得到空前发展，航海、工商业、工程建筑设计都发达起来，研究物体的运动和变化成了日益迫切的课题，力学在各门学科中首先兴盛，但它的进步必须依靠数学，各种实际问题(包括古老的天文学问题以及历史悠久的面积、体积测算)都要求数学引入新的概念，提出更有效的算法。
就科学本身而言，十七世纪时开始了它的革命化-数学化的进程，笛卡儿(，Descartes,R)说，科学的本质是数学；伽利略认为，任何科学分支都应在数学模型上取图案。伽利略、惠更斯(，Huygens.C)、牛顿都相信，科学中演绎数学所起的作用比实验作用还要大。他们是科学数学化的推动者［5］。这种进程现在还在延续，并有加速的趋势。数学已渗透到生命科学，社会科学等过去从未涉足的领域。当时，以力学方面的需要为中心，至少有4类问题直接导致微积分的诞生。
1?已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度(还有反问题的求解)
2?曲线切线问题，透镜设计要考虑曲线的法线，实际上就是求切线，运动物体在任一点处的运动方向即该点的切线方向。
3?炮弹射程问题：求获得最大射程的发射角，求行星离太阳最远最近距离(近日点、远日点)讨论函数的最大最小值。
4?曲线的弧长、曲线围成的平面图形的面积，曲面围成的立体体积，物体重心，引力等等。思想的解放、生产力的发展、科学的革命化促使人们去思索，解决这些迫切需要解决的问题，经过长时间的研究，讨论、酝酿，有关的知识渐渐积累起来了，一些最活跃的人物理当称为微积分学的先驱。
三、微积分学先驱者的重要贡献
1、笛卡儿、费马和解析几何学的诞生
笛卡儿年轻时在军队服役，那时他就孜孜不倦地研究数学，他说：“…我决心放弃那仅仅是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅用来练习思想的问题(指Euclid几何问题&& --笔者注)，我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然的几何。”笛卡儿经过多个日日夜夜的苦思冥想，在连续梦境的第二天，“开始懂得这惊人发现的道理。”这个惊人的发现即坐标几何即今称为解析几何［6］。笛卡儿创立的解析几何就要与传统的古希腊的几何决裂，1637年他出版了名著《更好地指导推理和科学真理的方法论》(简称《方法论》)有三个附录，其一为《几何》，表达了他(将代数用于几何)用方程表示曲线的思想。选定一条直线为基线，取一点A为原点，X为基线上的点到A的线段长度，过基线上的该点作一线段，与基线成固定角度(现取90度)，Y值即此线段的长。这样就引入了笛卡儿的坐标系，线段的另一端点就描出一条曲线。给定含X、Y的一个方程(X，Y≥0)都可以求出它的曲线，他着重于方程的轨迹(图形)，在曲线领域内迈了一大步。此外，他还引入了变量(变数)的思想，称一些量为“未知和未定的量”，相当于现在的变量。恩格斯指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分就立刻成为必要的了。”［7］
另一位创立者费马(，Fermat,P.de)1629年提出解析几何的基本原理，他强调的是轨迹的方程，这与笛卡儿所考虑的恰好是解析几何相辅相成的两个方面，共同点为集中考察了含连续变量的不确定方程F(X，Y)＝0，而不是韦达(，F.Vieta)所研究的解为常数的一元二次方程，费马还研究了切线的作法，他的方法有现代微分学的形式，他是考虑函数在极值点附近的特性解决极植的第一个人⑻，认为“一个数量达到它的最大值或最小值的时刻，他的变化好像停止了”(即变化率为0，f′(x)＝0)。
2、伽利略与近代科学方法论的奠基
伽利略是近代科学法论的奠基人，他的科学研究方式，第一个采用了实验和数学模型相结合的方法，甚至认为数学推导演绎比实验作用还要大，他用这种方法结合在比萨斜塔做的著名试验，指出落体的距离与时间的平方成正比，S＝kt2，揭示了自由落体的规律，为近代的第一个数学模型，也具备函数概念的初步形式。事实上，他对问题作了抽象、简化，先不考虑阻力，然后再考虑有介质的情形。M.克莱因(Morris Kline)说“数学的抽象方法确实离开了现实，说也奇怪，当回到现实时，它却比所有因素考虑进去更有力。”牛顿等人也接受这种思想，认为科学研究不必要做太多的实验，重要的方法是数学的描述，牛顿的万有引力定律的发现是一个最成功的范例。
3、其他先驱者的工作
17世纪求面积、体积、曲线长，始于开普勒(，Kepler.J)，他怀疑酒商的酒桶体积，发表《测量酒桶体积的新科学》，认为旋转体的体积是非常薄的圆盘体积之和(“无限多个无限小元素之和”)，卡瓦列里(，Cavalieri.B)求积提出不可分量法，认为面积是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的，就象链由珠子穿成一样；面是由直线构成的，就象布由线织成一样。立体是由平面构成的，就象书由页组成一样。卡瓦列里的理论是欧多克斯的“穷竭法”到牛顿、莱布尼兹过渡。托里拆利(，Torricelli,E)对他的方法作了改进，更接近于现代积分。帕斯卡(，Pascal,B)将纵坐标之和发展为无限多个矩形之和，也接近于现代积分。费马克服了卡瓦利里的方法缺点，几乎采用了现代积分的全过程，用小矩形面积近似小曲边形面积，最后用相当于和式极限的方法得到正确结果，他求了一个幂函数曲线下的曲边形的面积。之后还有华里斯(，Wallis,J)，罗贝瓦尔(，Roberval)的工作。但上述这些人都没有提练出更有价值和普遍意义的东西，尽管费马已站在积分发明的大门口。
微分的研究源于对切线，极值和运动速度等问题的处理。对于切线，早期有笛卡儿、罗贝瓦尔、托里拆利的工作。开普勒用列表法确定最大体积，注意到体积接近最大值时，由尺寸的变化引起体积的变化越来越小，这正是f′(X)＝0的原始形式。费马的切线作法载于他1637年发的手稿《求最大值和最小值的方法》中.巴罗(，Barrow,I)的求切线方法，考虑了“微分三角形”(一边为dx,一边为dy，一边为ds)，认识到Δy[]Δx的重要性。恩格斯称赞说：“当直线和曲线的数学可以说山穷水尽的时候，一条新的几乎无穷无尽的道路，由那种把曲线视为直线(微分三角形)并把直线视为曲线(曲率无限小的一次曲线)的数学开拓出来了。”
四、最高的一步归功于牛顿、莱布尼兹
在牛顿、莱布尼兹作最后冲刺前，微分、积分的知识已积累起来，尚未有人发现更具有本质，更有普遍意义的内涵，更谈不上指出两者之间的联系，尽管巴罗已认识到微分是积分之逆，费马的工作也到了微积分创立边缘，但是，他们没有能走出这最后、最高的一步，这一步归功于牛顿、莱布尼兹。
牛顿、莱布尼兹所要做的工作是创立一个具有划时代意义的新学科，应当包括：
1?纯洁概念。特别是建立变化率的概念。
2?提炼方法。把解决各种具体问题的方法加以提炼，创立有普遍意义的微积分方法。
3?改变形式。变概念和方法论述的几何形式为解析形式，使它应用更广。
依萨克·牛顿1642年12月25日生于英国林肯郡的一个小村庄里。他小时候对数学并无多大兴趣，进了大学后，欧氏几何考试成绩不佳，1661年考入剑桥大学三一学院，到1664年时他对数学发生了浓厚兴趣，年在家乡躲避伦敦的鼠疫流行，这两年作了物理学、数学的许多重要发现。1665年5月20日的一页文件中有他关于“流数”(即导数)的记载，不妨将这一天作为微积分诞生的纪念日。1669年牛顿接替老师巴罗为剑桥大学教授，1703年任英国皇家学会会长直到逝世。1705年受英王册封为爵士。死后葬威斯特敏特大教堂。
牛顿继承和总结了先辈的思想和方法作出自己独创的建树，伽利略，开普勒、费马、华里斯特别是老师巴罗对他有直接影响。1664年到1666年，牛顿提出流数理论，建立了一套求导数的方法，他把自己的发现称为“流数术”，牛顿是伟大的物理学家，他致力于物体的力和运动的研究，正如爱因斯坦(，Einstein,A)在1942年12月25日纪念牛顿诞生300周年时所说：“速度和速度变率-在任何被设想为无大小的物质(质点)的运动的情况下，那就是加速度-这两个概念首先必须以数学的准确性来表达，这项任务导致牛顿发明了微积分的基础。”［9］
牛顿称连续变化的量为流动量或流量(fluent)，用英文字母表最后几个字母V、X、Y、Z等来表示，X的无限小的增量△X为X的瞬(X为时间时，即无限小的时间间隔为瞬(moment)),用小写字母o表示。流量的速度，即流量在无限小的时间间隔内的变化率，称为流数(fluxion of flutnt)，用带点的字母，，，表示。牛顿的“流数术”就是以流量、流数和瞬为基本概念的微分学［10］，牛顿用有限差分的最初比和最终比来描述“流数”，如函数Y＝Xn(n为正整数)，流量X从X流动到X+o，函数值的增量(X+o) n-Xn，瞬o与增量之比(最初比)，当o消失时，最后比即1：nXn-1，相当于dy[]dx＝nXn-1。尽管没有明显的极限步骤，对瞬的性态也不太清楚，但牛顿不仅引入了导数，还明确了导数是增量比极限的思想。牛顿在1669年写的《运用无限多项方程的分析学》(1711年才出版)不仅给出求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且还证明了“面积可以由变化率的逆过程得到。”如果［0，X］区间上曲线是Y＝ma·xm-1 (a＞0)则它下面的曲边形面积为Z＝a·xm (即∫x0ma·xm-1dx=axm)或dy[]dx＝y,[]＝y(牛顿记号)，这一结论称为牛顿-莱布尼兹定理(微积分学基本定理)，牛顿引入了分部积分法，变量代换法，1671年制作了积分表，又解决了极值，曲线拐点问题，提出了曲率公式，方程求根的切线法，曲线弧长计算方式，且得到许多重要函数的无穷级数表达式，牛顿为微积分的创立做了划时代的奠基工作，足迹几乎遍布每一个数学分支。他提出了牛顿-格里高里(，Gregory, J)内插公式，后来被泰勒(，Taylor.B)发展成为泰勒公式以至泰勒级数。甚至在基本停止数学研究之后，只用了晚饭前的一点余暇时间就解决了所谓“最速降线问题”，所求曲线即摆线，牛顿为变分学的建立作出杰出贡献。
牛顿的著作迟迟不肯发表，有人认为他对新学科的基础不满意，也有人说他怕人家批评。牛顿的工作是创造性的，他认为，除了不屈不挠和保护警觉清醒这两点外和别人没有什么区别，当人们问他如何作出他的发现时，他总是回答说：“经常不断地想它们”。牛顿是审慎、严谨的，有着虚怀若谷的精神，他说：“若说我比笛卡儿看得更远一些的话，那是因为我站在巨人肩上的缘故。”他以天真的童心，把自己比作海边拾贝的孩子，寻找的是光滑的卵石和美丽的贝壳，在面前展现的是未知的大海。
牛顿的巨著《自然哲学之数学原理》是留给后人宝贵的遗产。
G.W．莱布尼兹1646年生于德国，微积分的思想最初体现在1675年的手稿中，年之间得到微积分的研究的主要结果。他认识到求曲线的切线依赖于纵坐标，横坐标之差，求积依赖于无限薄矩形面积之和，求和与求差可逆，1675年，他断定一个事实，作为求和的过程的积分是微分的逆(即牛顿-莱布尼兹定理)，他给出dxn＝nxn-1dx,∫xn＝xn+1[]n+1(n是整数或分数)，1677年给出函数的和差积商微分公式［11］，1680年给出弧微分和旋转体体积公式。莱布尼兹发明了许多至今仍在用的符号，如dx，dy[]dx，∫等等，他的工作大胆且富有想象力。
牛顿首先是物理学家，速度是中心概念，多考虑流数之逆不定积分；莱布尼兹是哲学家，着眼于物质的构成最终是微粒，故注重求和，积分为无穷多个无限窄的矩形之和，多考虑的是定积分。但他们都清楚积分的两个方面。牛顿、莱布尼兹的最大功绩是将两个貌似不相关的问题-切线问题和求积问题联系起来，建立了两者的桥梁。
牛顿对微积分是先发明(1665)，后发表(1711)；莱布尼兹则后发明(1675)，先发表(1684、1686年先后发表第一篇微分学，第一篇积分学文章)，于是发生了所谓“优先权”的争论，英国数学家捍卫他们的牛顿，指责莱布尼兹剽窃，而大陆的数学家支持莱布尼兹。事实上，他们彼此独立地创立了微积分。莱布尼兹称赞牛顿：“在从世界开始到牛顿生活的全部数学中，牛顿的工作超过了一半。”
五、微积分的影响与后人对微积分学的评价
1、微积分学的诞生是建立了一个完全崭新的学科
新的微积分学引进了与先辈的工作根本不同的概念和方法。经过牛顿、莱布尼兹的工作，微积分成为一门完全新的，要求有自身基础的学科，虽然数学家当时还没有意识到这一点，但他们确实已与过去决裂。
初创的微积分学的许多概念和理论是含混不清的，如无穷小、极限等，其数学基础的建立有待于后世的数学家们给分析(分析，数学分析，有时为微积分的同义语)注入严密性，开始有布尔查诺(,Bolzano,B),柯西,阿贝尔(,Abel，N.H),狄里克莱（,Dirichlet，P.G.L）的工作，由魏尔斯特拉斯进一步完善［12~15］。
2、以微积分学为基础，产生了一些主要的教学新分支
十七世纪的伟大成就是微积分，由此起源产生了数学的一些主要的新分支：微分方程、无穷级数，微分几何，变分法，复变函数，十八世纪的人们将致力于这些分支的发展。
3、微积分是人类精神的最高胜利
恩格斯指出，只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程、运动。他又说：“在一切理论成就中，未必再有什么象十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。
4、微积分学是数学自身改造的最高成就
李约瑟博士认为，数学本身总要改造的，必须使数学本质更接近于物理学，服从于运动，不是从它的“现在”，而是从它的“变化”或“流动”来看问题，微积分就是这种改造运动的最高成就。数学思想和材料缓慢地积累了一百多年，突然在牛顿、莱布尼兹手中迸发出新方法、新观点的发明，数学达到了一个相当高的水平，英国诗人雪莱热情讴歌微积分学的诞生，把它比喻为雪崩：
“一片一片的雪花，
经过暴风的再三筛选，
积成巨大的雪团，
它在阳光的激发下，
形成雪崩。
思想也是这样：
一点一滴地积累在
不怕上帝的人心中，
终于迸发出伟大的真理，
在万国引起回响。”
参考文献：
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［责任编辑：杨子红］
The Origin of Calculus
——for the 362 Anniversary of Newton’s Birth
CHENG Cheng-yun
(Three Gorges University,Yichang 443002,Hubei,China)
Abstract: The& seed& of& calculus& thought& at& ancient& east& and& west& as& well& the& thought& and& society& background& of& Europe& on& the& eve& of& the& founding of& calculus& are& reviewed .& The calculus& avant-courier's&& important& contribution& is& discussed .& The& view&& that&& the&& highest& step& of& the& founding& of& calculus owe& to Newton& and& Leibniz& is& indicated . This& paper& commemorates& the& 362& anniversary& of& Newton's& birth——25th& December，2004.
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译者序前言第1章&函数1.1&函数及其图形1.1.1&函数，定义域与值域1.1.2&函数的图形1.1.3&用数值表表示函数1.1.4&分段定义的函数1.1.5&垂直线检验法1.1.6&函数类型1.1.7&增函数与减函数1.1.8&偶函数与奇函数：函数的对称性习题1.11.2&函数组合及移动图形与改变图形标度1.2.1&函数的和、差、积及商1.2.2&复合函数1.2.3&移动函数图形1.2.4&改变函数图形标度与反射函数图形1.2.5&椭圆习题1.21.3&三角函数1.3.1&角1.3.2&6个基本三角函数1.3.3&三角函数的周期性和图形1.3.4&三角恒等式1.3.5&余弦定律1.3.6&三角函数图形的变换习题1.31.4&指数函数1.4.1&指数的性质1.4.2&自然指数函数ex1.4.3&指数增长与指数衰减习题1.41.5&反函数与对数函数1.5.1&一对一函数1.5.2&反函数1.5.3&求反函数1.5.4&对数函数1.5.5&对数函数的性质1.5.6&对数函数的应用1.5.7&反三角函数1.5.8&反正弦函数与反余弦函数1.5.9&包含反正弦函数和反余弦函数的恒等式习题1.51.6&用计算器和计算机作图习题1.6第2章&极限与连续性2.1&曲线的变化率和切线2.1.1&平均速率与瞬时速率2.1.2&平均变化率与割线2.1.3&曲线的斜率2.1.4&瞬时变化率习题2.12.2&函数的极限和极限法则2.2.1&函数值的极限2.2.2&极限法则2.2.3&用代数方法消去零分母2.2.4&用计算器和计算机估计极限2.2.5&夹层定理习题2.22.3&极限的精确定义2.3.1&极限的定义2.3.2&例子：检验极限定义2.3.3&用代数方法求给定宓匿2.3.4&用极限定义证明定理习题2.32.4&单侧极限与在无穷大的极限2.4.1&单侧极限2.4.2&单侧极限的精确定义2.4.3&包含(sin璧募??2.4.4&当x→±∞时的有限极限2.4.5&有理函数在无穷大的极限2.4.6&水平渐近线2.4.7&再讨论夹层定理2.4.8&斜渐近线习题2.42.5&无穷极限与垂直渐近线2.5.1&无穷极限2.5.2&无穷极限的精确定义2.5.3&垂直渐近线习题2.52.6&连续性2.6.1&在一点的连续性2.6.2&连续函数2.6.3&反函数与连续性2.6.4&复合函数2.6.5&对一点的连续延拓2.6.6&连续函数的介值定理习题2.62.7&在一点的切线和导数2.7.1&求函数图形的切线2.7.2&变化率：在一点的导数2.7.3&小结习题2.7第2章复习指导问题第2章实习习题第2章补充和提高习题第3章&微分法3.1&把导数作为一种函数3.1.1&从定义求导数3.1.2&记号3.1.3&描绘导数的图形3.1.4&在区间上的可微函数和单侧导数3.1.5&什么情况下函数在一点没有导数3.1.6&可微函数是连续的3.1.7&导数的介值性质(达布定理)习题3.13.2&多项式、指数函数及函数积与商求导数法则3.2.1&幂函数、倍数函数及函数和与差的导数3.2.2&指数函数的导数3.2.3&函数的积和商的导数3.2.4&二阶导数与高阶导数习题3.23.3&把导数作为一种变化率3.3.1&瞬时变化率3.3.2&沿直线运动的位移、速度、速率、加速度和冲击3.3.3&经济学中的导数习题3.33.4&三角函数的导数3.4.1&正弦函数的导数3.4.2&余弦函数的导数3.4.3&简谐运动3.4.4&其他基本三角函数的导数习题3.43.5&链式法则与参数方程3.5.1&复合函数的导数3.5.2&“外函数内函数”法则3.5.3&重复应用链式法则3.5.4&函数幂的链式法则3.5.5&参数方程3.5.6&参数化曲线的斜率习题3.53.6&隐式微分法3.6.1&隐式定义的函数3.6.2&透镜、切线和法线3.6.3&高阶导数习题3.63.7&反函数和对数函数的导数3.7.1&可微函数反函数的导数3.7.2&反函数的参数表示3.7.3&自然对数函数的导数3.7.4&au和logau的导数3.7.5&对数微分法3.7.6&幂法则(一般形式)的证明3.7.7&数e的极限表示习题3.73.8&反三角函数3.8.1&tanx，cotx，secx和cscx的反函数3.8.2&y=sin－1u的导数3.8.3&y=tan－1u的导数3.8.4&y=sec－1u的导数3.8.5&其他3个反三角函数的导数习题3.83.9&相关变化率习题3.93.10&线性化与微分3.10.1&线性化3.10.2&微分3.10.3&用微分作估计3.10.4&微分逼近中的误差3.10.5&链式法则的证明3.10.6&变化的灵敏度习题3.103.11&双曲函数3.11.1&定义与恒等式3.11.2&双曲函数的导数3.11.3&反双曲函数3.11.4&有用的恒等式3.11.5&反双曲函数的导数习题3.11第3章复习指导问题第3章实习习题第3章补充和提高习题第4章&导数的应用4.1&函数的极值4.1.1&局部(相对)极值4.1.2&求极值习题4.14.2&中值定理4.2.1&罗尔定理4.2.2&中值定理4.2.3&物理解释4.2.4&数学推论4.2.5&由加速度求速度和位置4.2.6&对数法则的证明4.2.7&指数法则习题4.24.3&单调函数与一阶导数检验法4.3.1&增函数与减函数4.3.2&局部极值的一阶导数检验法习题4.34.4&凹性与曲线绘图4.4.1&凹性4.4.2&拐点4.4.3&局部极值二阶导数检验法4.4.4&来源于导数的函数图形特性习题4.44.5&实用的最优化4.5.1&商业和工业中的例子4.5.2&数学和物理学中的例子4.5.3&经济学中的例子习题4.54.6&不定式与洛必达法则4.6.1&不定式004.6.2&不定式∞∞，∞?0和∞-∞4.6.3&不定幂4.6.4&洛必达法则的证明习题4.64.7&牛顿法4.7.1&牛顿法的步骤4.7.2&应用牛顿法4.7.3&逼近的收敛性习题4.74.8&反导数4.8.1&求反导数4.8.2&初值问题与微分方程4.8.3&反导数与运动4.8.4&不定积分习题4.8第4章复习指导问题第4章实习习题第4章补充和提高习题第5章&积分法5.1&用有限和作估计5.1.1&面积5.1.2&物体的移动距离5.1.3&物体的位移和移动距离5.1.4&非负函数的平均值5.1.5&小结习题5.15.2&有限和的∑记号和极限5.2.1&有限和与∑记号5.2.2&有限和的极限5.2.3&黎曼和习题5.25.3&定积分5.3.1&黎曼和的极限5.3.2&定积分的记号和存在性5.3.3&可积函数与不可积函数5.3.4&定积分的性质5.3.5&非负函数图形下方的面积5.3.6&再讨论连续函数的平均值习题5.35.4&微积分基本定理5.4.1&定积分的中值定理5.4.2&基本定理第1部分5.4.3&基本定理第2部分(求值定理)5.4.4&总面积习题5.45.5&不定积分与代换法则5.5.1&代换：反向运用链式法则5.5.2&sin2x和cos2x的积分习题5.55.6&代换与曲线之间的面积5.6.1&代换公式5.6.2&对称函数的定积分5.6.3&曲线之间的面积5.6.4&对于y积分习题5.65.7&把对数函数定义为积分5.7.1&自然对数函数的定义5.7.2&y=lnx的导数5.7.3&lnx的图形和值域5.7.4&积分∫(1/u)du5.7.5&lnx的反函数与数e5.7.6&ex的导数和积分5.7.7&指数函数的法则5.7.8&一般指数函数ax5.7.9&以a为底的对数函数5.7.10&涉及logax的导数和积分5.7.11&小结习题5.7第5章复习指导问题第5章实习习题第5章补充和提高习题第6章&定积分的应用6.1&通过绕轴切片和旋转定义体积6.1.1&旋转体：圆盘方法6.1.2&旋转体：垫圈方法习题6.16.2&用圆柱壳定义体积习题6.26.3&平面曲线的长度6.3.1&以参数方式定义的曲线的长度6.3.2&曲线y=f(x)的长度6.3.3&处理dy/dx的不连续点6.3.4&短微分公式习题6.36.4&旋转曲面的面积6.4.1&定义曲面面积6.4.2&绕y轴旋转6.4.3&参数化曲线习题6.46.5&指数变化与可分离微分方程6.5.1&指数变化6.5.2&可分离微分方程6.5.3&无限制的种群增长6.5.4&放射性衰变6.5.5&热传递：牛顿冷却定律习题6.56.6&功6.6.1&由恒力作的功6.6.2&由可变力沿直线作的功6.6.3&弹簧的虎克定律：F=kx6.6.4&从容器抽出液体习题6.66.7&矩与质心6.7.1&沿直线分布的质量6.7.2&在平面区域上分布的质量6.7.3&薄平板6.7.4&形心习题6.7第6章复习指导问题第6章实习习题第6章补充和提高习题第7章&积分方法7.1&分部积分法7.1.1&积分型积法则7.1.2&分部求定积分习题7.17.2&三角积分7.2.1&正弦函数和余弦函数乘方之积的积分7.2.2&消去平方根7.2.3&tanx和secx乘方的积分7.2.4&正弦函数和余弦函数之积的积分习题7.27.3&三角代换习题7.37.4&有理函数部分分式积分法习题7.47.5&积分表与计算机代数系统7.5.1&积分表7.5.2&归约公式7.5.3&用CAS求积分7.5.4&非初等积分习题7.57.6&数值积分7.6.1&梯形逼近7.6.2&辛普森法则：用抛物线逼近7.6.3&误差分析习题7.67.7&反常积分7.7.1&无穷积分限7.7.2&积分∫∞1dxxp7.7.3&带垂直渐近线的被积函数7.7.4&收敛与发散检验法习题7.7第7章复习指导问题第7章实习习题第7章补充和提高习题第8章&无穷序列与无穷级数8.1&序列8.1.1&收敛性与发散性8.1.2&求序列的极限8.1.3&用洛必达法则求极限8.1.4&常见的序列极限8.1.5&序列的递归定义8.1.6&有界非减序列习题8.18.2&无穷级数8.2.1&等比级数8.2.2&发散级数8.2.3&发散性第n项检验法8.2.4&组合级数8.2.5&增添项或删除项8.2.6&改变下标习题8.28.3&积分检验法8.3.1&非减部分和8.3.2&积分检验法8.3.3&误差估计习题8.38.4&比较检验法8.4.1&比较检验法8.4.2&极限比较检验法习题8.48.5&比率检验法与根检验法8.5.1&比率检验法8.5.2&根检验法习题8.58.6&交错级数，绝对收敛与条件收敛8.6.1&绝对收敛与条件收敛8.6.2&级数重排习题8.68.7&幂级数8.7.1&幂级数与收敛性8.7.2&幂级数的收敛半径8.7.3&逐项微分8.7.4&逐项积分8.7.5&幂级数的乘法习题8.78.8&泰勒级数与麦克劳林级数8.8.1&级数表示法8.8.2&泰勒级数与麦克劳林级数8.8.3&泰勒多项式习题8.88.9&泰勒级数的收敛性8.9.1&余式估计8.9.2&应用泰勒级数8.9.3&欧拉恒等式8.9.4&泰勒定理的证明习题8.98.10&二项式级数8.10.1&幂和根的二项式级数8.10.2&常用级数习题8.10第8章复习指导问题第8章实习习题第8章补充和提高习题第9章&极坐标与圆锥曲线9.1&极坐标9.1.1&极坐标的定义9.1.2&极方程与图形9.1.3&极坐标同笛卡儿坐标的关系习题9.19.2&在极坐标中作图9.2.1&对称性9.2.2&斜率9.2.3&作图的方法习题9.29.3&极坐标中的面积和长度9.3.1&平面区域的面积9.3.2&极曲线的长度习题9.39.4&圆锥曲线9.4.1&抛物线9.4.2&椭圆9.4.3&双曲线习题9.49.5&极坐标中的圆锥曲线9.5.1&离心率9.5.2&极方程9.5.3&直线9.5.4&圆习题9.59.6&圆锥曲线与参数方程，摆线9.6.1&抛物线与双曲线9.6.2&摆线9.6.3&捷线与等时线习题9.6第9章复习指导问题第9章实习习题第9章补充和提高习题第10章&向量与空间几何学10.1&三维坐标系10.1.1&空间中的笛卡儿坐标系10.1.2&空间中的距离和球面习题10.110.2&向量10.2.1&分量形式10.2.2&向量的代数运算10.2.3&单位向量10.2.4&线段的中点习题10.210.3&点积10.3.1&向量之间的角10.3.2&垂直(正交)向量10.3.3&点积性质与向量投影10.3.4&功习题10.310.4&向量积10.4.1&空间中两个向量的向量积10.4.2&|u×v|是一个平行四边形的面积10.4.3&u×v的行列式公式10.4.4&转矩10.4.5&三重纯量积或框积习题10.410.5&空间中的直线和平面10.5.1&空间中的直线和线段10.5.2&空间中从点到直线的距离10.5.3&空间中平面的方程10.5.4&平面的交线10.5.5&从点到平面的距离10.5.6&平面之间的角习题10.510.6&柱面与二次曲面10.6.1&柱面10.6.2&二次曲面习题10.6第10章复习指导问题第10章实习习题第10章补充和提高习题第11章&空间中的向量值函数和物体的运动11.1&向量函数及其导数11.1.1&极限与连续性11.1.2&导数与运动11.1.3&微分法则11.1.4&定长向量的向量函数习题11.111.2&向量函数的积分11.2.1&向量函数的积分11.2.2&理想抛体运动的向量方程和参数方程习题11.211.3&空间中的弧长11.3.1&沿空间曲线的弧长11.3.2&质点沿光滑曲线运动的速率11.3.3&单位切向量T习题11.311.4&曲线的曲率11.4.1&平面曲线的曲率11.4.2&平面曲线的曲率圆11.4.3&空间曲线的曲率和法向量习题11.411.5&加速度的切分量和法分量11.5.1&TNB标架11.5.2&加速度的切分量和法分量11.5.3&挠率11.5.4&计算公式习题11.511.6&极坐标中的速度和加速度11.6.1&极坐标和柱面坐标中的运动11.6.2&行星的平面运动11.6.3&开普勒第一定律(椭圆定律)11.6.4&开普勒第二定律(等面积定律)11.6.5&开普勒第三定律(时间距离定律)习题11.6第11章复习指导问题第11章实习习题第11章补充和提高习题第12章&偏导数12.1&多元函数12.1.1&定义域与值域12.1.2&二元函数12.1.3&二元函数的图形、层曲线和等值曲线12.1.4&三元函数12.1.5&计算机绘图习题12.112.2&高维空间中函数的极限和连续性12.2.1&极限12.2.2&连续性12.2.3&多于两个变量的函数12.2.4&闭有界集上的连续函数的极值习题12.212.3&偏导数12.3.1&二元函数的偏导数12.3.2&偏导数的求法12.3.3&多于两个变量的函数12.3.4&偏导数与连续性12.3.5&二阶偏导数12.3.6&混合导数定理12.3.7&更高阶的偏导数12.3.8&可微性习题12.312.4&链式法则12.4.1&二元函数12.4.2&三元函数12.4.3&在曲面上定义的函数12.4.4&再讨论隐式微分法12.4.5&多元函数习题12.412.5&方向导数与梯度向量12.5.1&平面内的方向导数12.5.2&方向导数的物理解释12.5.3&方向导数的求法与梯度12.5.4&梯度与层曲线的切线12.5.5&三元函数习题12.512.6&切平面与微分12.6.1&切平面与法线12.6.2&估计函数在特定方向的改变12.6.3&二元函数如何线性化12.6.4&微分12.6.5&多于两个变量的函数习题12.612.7&极值与鞍点12.7.1&局部极值导数检验法12.7.2&有界闭区域上函数的绝对极大值和绝对极小值习题12.712.8&拉格朗日乘数12.8.1&受约束极大值和极小值12.8.2&拉格朗日乘数法12.8.3&受双重约束的拉格朗日乘数习题12.812.9&二元函数的泰勒公式12.9.1&二阶导数检验法的推导12.9.2&线性逼近的误差公式12.9.3&二元函数的泰勒公式习题12.9第12章复习指导问题第12章实习习题第12章补充和提高习题第13章&多重积分13.1&矩形区域上的二重积分和累次积分13.1.1&二重积分13.1.2&二重积分作为体积13.1.3&求二重积分的傅比尼定理习题13.113.2&一般区域上的二重积分13.2.1&有界非矩形区域上的二重积分13.2.2&体积13.2.3&求积分限13.2.4&二重积分的性质习题13.213.3&用二重积分求面积13.3.1&平面内有界区域的面积13.3.2&平均值习题13.313.4&极型二重积分13.4.1&极坐标中的积分13.4.2&求积分限13.4.3&变换笛卡儿坐标积分为极坐标积分习题13.413.5&直角坐标中的三重积分13.5.1&三重积分13.5.2&空间区域的体积13.5.3&求积分限13.5.4&空间中函数的平均值13.5.5&三重积分的性质习题13.513.6&矩与质心13.6.1&质量与一阶矩13.6.2&惯性矩习题13.613.7&柱面坐标和球面坐标中的三重积分13.7.1&柱面坐标中的积分13.7.2&如何求柱面坐标中的积分13.7.3&球面坐标与积分13.7.4&如何求球面坐标中的积分习题13.713.8&多重积分内的代换13.8.1&二重积分内的代换13.8.2&三重积分内的代换习题13.8第13章复习指导问题第13章实习习题第13章补充和提高习题第14章&向量场中的积分14.1&线积分14.1.1&可加性14.1.2&质量和矩的计算公式习题14.114.2&向量场、功、环流和通量14.2.1&向量场14.2.2&梯度场14.2.3&力沿空间曲线作的功14.2.4&速度场的流量积分和环流14.2.5&穿过平面曲线的通量习题14.214.3&路径独立性、势函数和守恒场14.3.1&路径独立性14.3.2&关于曲线、向量场和定义域的假定14.3.3&守恒场中的线积分14.3.4&求守恒场的势函数14.3.5&恰当微分形式习题14.314.4&平面内的格林定理14.4.1&散度14.4.2&绕轴旋转：旋度的k分量14.4.3&格林定理的两种形式14.4.4&利用格林定理求线积分14.4.5&对特殊区域的格林定理的证明习题14.414.5&曲面与面积14.5.1&曲面的参数表示14.5.2&曲面面积14.5.3&隐式曲面习题14.514.6&面积分与通量14.6.1&面积分14.6.2&定向14.6.3&关于通量的面积分14.6.4&薄壳的矩和质量习题14.614.7&斯托克斯定理14.7.1&斯托克斯定理14.7.2&以叶片轮解释△×F14.7.3&对多面曲面的斯托克斯定理的证明14.7.4&带空洞曲面的斯托克斯定理14.7.5&一个重要恒等式14.7.6&守恒场与斯托克斯定理习题14.714.8&散度定理与统一理论14.8.1&三维向量场中的散度14.8.2&散度定理14.8.3&对特殊区域的散度定理的证明14.8.4&其他区域的散度定理14.8.5&高斯定律：电磁理论四大定律之一14.8.6&流体动力学的连续性方程14.8.7&统一不同积分定理习题14.8第14章&复习指导问题第14章&实习习题第14章&补充和提高习题附录AA.1&实数与实线A.2&数学归纳法A.3&直线、圆和抛物线A.4&三角公式A.5&极限定理的证明A.6&常见的极限A.7&实数理论A.8&向量积的分配律A.9&混合导数定理与增量定理附录BB.1&基本代数公式B.2&几何公式B.3&积分简表B.4&级数B.5&向量运算符公式（笛卡儿坐标形式）B.6&极限B.7&微分法则B.8&积分法则习题解答（华章&网)索引（华章&网）
概览这本《托马斯大学微积分》是《托马斯微积分》更为精炼和步调更快的改进版本，保持了原著坚持高标准和突出应用的特点。。 从一本精心编撰的书中浓缩题材是一项艰难的任务。我们保持《托马斯微积分》中主要思想的谨慎演变，并且拒绝降低其严格性的诱惑。我们认为，按高标准会激发学生追求卓越才智。另一方面，具备各种函数的坚实基础，对于理解微积分是极为重要的。有鉴于此，我们保留了压缩后的第1章，复习各种基本函数。我们理解某些教授宁愿跳过这种复习，但也相信还有许多学生需要再次阅读这些材料。第1章不是对微积分的简介，而是对普通学生提供有益的帮助。 当今，越来越多的高中学生熟悉微积分中的术语和运算方法。然而，当他们进入大学时，对微积分概念的理解通常是非常有限的。我们认识到这一现实，因此始终专注于各种概念以及它们的应用。 为了达到《托马斯大学微积分》的目标，我们征询了很多同行和评论家们的意见。他们帮助我们决定哪些主题需要保留，哪些主题应予压缩或者删除。我们谨以这本新书对他们的精心建议表示感谢。 教学法特点 习题习题和例子在学习微积分中扮演着至关重要的角色。本书收录了出现在《托马斯微积分》以前各版中的许多习题，这些习题是那些版本的重要组成部分。在每一节，按主题组织和归类从计算问题到应用问题和理论问题的习题。这种安排使学生有机会培养应用微积分方法的技能以及深化他们对微积分应用的理解。 严格性始终如一地坚持严格性标准。我们同时给出形式的和非形式的讨论，分清两者之间的差别，而且为学生提供精确的定义和易于理解的证明。课文的组织使本书的题材可以按非形式的方式讲授，给予教师一定程度的灵活性。例如，虽然我们并未证明闭有界区间上的连续函数有最大值，但是我们精心地陈述这个定理并用它证明了几个其后的结果。 艺术性我们认识到图形和图解是学习微积分的重要组成部分。我们格外注意用图形解释相关概念的清晰性。三维图形在这一点上尤其明显，使我们能更好地表示深度。层次和旋转。 章后复习问题和研究题目除每节后面给出习题之外，每章以复习问题。实习习题以及一系列补充和提高习题终结。学生研究题目可以从wps。?aw。com/aw_thomas_calculus_11获得。 写作习题贯穿全书的写作习题要求学生探究微积分各种各样的概念和应用。另外，每章包含要求学生总结所学知识的问题。许多这样的问题要求书面描述，以检测对概念的理解。 答案对所有奇数编号的习题提供答案，这些答案的正确性经过认真检查。 数学上的正确性我们仅限于谨慎地讲述真实的和正确的材料。对于每个定义。定理和系以及证明都作过检查，保证表达的清晰性和推理的正确性。 行文和应用本书继续保持易于阅读。通俗化和数学上丰富多彩的特点。每个新主题的引入都由鲜明的。易懂的例子和应用诱导。 技术应用依据教师的鉴赏倾向融入有用技术。每节包含需要使用技术的习题：如果适于用计算器或计算机，则标识记号T，如果需要用计算机代数系统(CAS，例如Maple或Mathematica)，则注明计算机探究。 补充读物 《大学微积分学生版》（StudentEditionofUniversityCalculus） ISBN-0-321-35014-6《教师题解手册》（Instructor?sSolutionsManual） 第1部分(第1～9章)，ISBN-0-321-38848-8 第2部分(第10～14章)，ISBN-0-321-38698-1 《教师题解手册》由WilliamArdis等编写，包含对本书全部习题的完整解答。《习题答案》(AnswerBook) ISBN-0-321-39423-2 《习题答案》由WilliamArdis等编写，包含对本书大部分习题的简要解答。《学生提纲》（StudentOutlines） 第1部分(第1～9章)，ISBN-0-321-39551-4 第2部分(第10～14章)，ISBN-0-321-39969-2 《学生提纲》对照课文组织材料，由JosephBorzellino和PatriciaNelson编写，它强化重要概念，并且提供对重要的主题。定理和定义以及学习提示和补充实习问题的概述。《初期超越函数微积分适用的代数和三角学》（Just?in?TimeAlgebraandTrigonometryforEarlyTranscendentalsCalculus），第3版。。 ISBN-0-321-32050-6 锐敏的代数和三角学技巧对掌握微积分至关重要，由GuntramMueller和RonaldI。Brent编写的《初期超越函数微积分适用的代数和三角学》（第3版）旨在帮助学生在学习微积分时掌握这些技巧。本书在学生学习中的每一步，向他们展示必需的代数或三角学主题，并指出潜在的难点。包含代数和三角学主题的易于使用的材料，按学生学习微积分时所需这些主题的次序安排。 在线辅助材料 MyMathLab 教辅材料申请和联系方式请见书后所附的“教学支持说明”?――编辑注MyMathLab是为Addison?Wesley出版公司的数学和统计学教科书编写的一套易于定制的在线课程的特殊教材。在CourseCompass(PearsonEducation的在线教学和学习环境)和MathXL(我们的在线家庭作业。辅导和评估系统)的支持下，MyMathLab对教师提供讲授全部或部分在线课程所需的工具，不论学生是在实验室还是在家学习。MyMathLab提供一个丰富灵活的课程材料套件，具有由算法生成的自由式应答习题的特点，这些材料的利用不受限制。学生也可使用在线工具，如视频讲座。动画。多媒体教材和Maple/Mathematica项目等，独立加深他们对课程的理解和提高学习成绩。教师可用MyMathLab的家庭作业和测验管理器选择和布置与教材直接相关的在线习题，为了增加灵活性，他们还可以创建和布置自己的在线习题并且导入TestGen测验。MyMathLab的在线评分册――特别为数学和统计学设计――自动跟踪学生的家庭作业和测验结果并且使教师控制如何计算最终成绩。教师还可以把离线(纸和笔记录的)成绩加进评分册计算最终成绩。具备资格的采纳者可以获取MyMathLab。欲了解详细情况请访问我们的网站www。mymathlab。com或者同Addison-Wesley联系。? MathXL MathXL是同Addison-Wesley出版公司的数学和统计学教材配套的强大的在线作业。辅导和评估系统。通过MathXL，教师能够使用以算法方式生成的习题创建。编辑和布置在线家庭作业和测验题，这些习题和测验题在目标层面上同教材相关。他们也可以创建和布置自己的在线习题和导入TestGen测验题，以增加灵活性。对所有学生的作业都可在MathXL的在线评分册上进行跟踪。学生可在MathXL上接受按章测验并收到根据测验结果制定的个性化学习计划。学习计划指出薄弱环节并直接链接到学生需要学习和重新测验目标的辅导习题。学生也可以直接从选定习题进入补充的动画和视频剪辑。具备资格的采纳者可以获取MathXL。欲了解详细情况请访问我们的网站www。mathxl。com或者同Addison-Wesley联系。TestGen TestGen使教师能够使用为达到本书全部目标而开发的一个计算机化的题库，建立。编辑。打印和管理测验题。TestGen是基于算法方式的，使教师通过点击一个按钮就能为同样的问题或测验创建多种等价的版本。教师还可以修改测验库中的问题或添加新问题。测验题可以在线打印和管理。这个软件可以从一张双面Windows/MacintoshCD-ROM获取。 感谢 我们要感谢MarieVanisko和ThomasWegleitner为本书的准确校对。我们还要对下列审阅者对本书提供的建议和作出的贡献致以诚挚的感谢： HarryAllen，俄亥俄州立大学 EdohAmiran，西华盛顿大学 AnthonyBedenikovic，布雷德利大学 DeborahBrandon，卡内基梅隆大学 SaidFariabi，圣安东尼奥学院 KrystynaKuperberg，奥布恩大学 PaulSacks，艾奥瓦州立大学 StephenSummers，佛罗里达大学 BlakeThornton，华盛顿大学（圣路易斯） IlieUgarcovici，赖斯大学 最后，我们对本书的责任编辑DavidChelton提出的意见。建议和给予的鼓励表示感谢。
《托马斯大学微积分》具有以下特点： ?坚持微积分的如下教学目标：以最快的步伐使学生了解微积分的基本概念，掌握其分析方法和理论基础，获得实际应用能力，为他们尽早进入现代数学，科学技术和其他应用领域做好准备。 ?力求按照微积分学创建和形成的过程讲述微积分：运用大量富于启发性的实例引领读者进入讨论的主题，从中归纳出定义和定理，然后再把微积分形成的理论和方法付诸应用，展现其“米龙去脉”。 ?坚持严格性标准：对于重要的概念和定义给出形式化描述；对于大部分定理和推论给出严格证明，或者指出证明的步骤；对于少数未予证明的定理和推论留作习题让读者证明；只对少数超出《托马斯大学微积分》范围的定理才留待高等微积分教程去证明。 ?为帮助学生掌握微积分方法和培养解决应用问题的能力，提供了丰富多彩的各类习题：每一节有围绕主题的习题，每一章有指导复习的问题、实习习题以及补充和提高习题。 ?注意使微积分同现代技术工具相结合：部分习题要求使用CAS（计算机代数系统）。
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