数学上积分结果的本质是什么？
譬如定积分过后会得到面积，二元函数做重积分后会得到体积，但如果继续增加维度的话，积分之后的结果就没有办法用几何语言描述了。像三重积分，当然被积函数和积分结果可以用体密度和总质量的方式来表示，然而如果剔除物理从数学的角度来理解，三重积分又是什么？ 补充一下：或者说能不能寻找到一个更加统一的理解积分结果的方式，而不需要反复代换几何意义或物理意义。 再次补充：能否寻找到一个数学系统的内部逻辑来解释或者描述积分？如果存在，需要先行了解哪些概念，参考哪些相关书籍？
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从纯数学的角度看，积分就是对一个n维流形上的n次微分形式或者density进行的一个操作，这个操作大致可以理解成把一些局部的信息整合一下，得到一个整体的信息。推荐书目的话，任何一本名为“流形上的微积分”的书都可以看看，以及&From Calculus to Cohomology&是一本特别好的书，不过它一开始就用多重线性映射的方法定义微分形式，完全不给你介绍直观意义和物理背景，是一本“纯”的数学书，对非数学专业的同学可能会有一些阅读障碍。
对于前边几位的回答只能说是正确的，但是积分的研究局限在欧氏空间是弄不清其本质的，你需要读读测度论，任何一个测度空间都是可以定义积分的，只有在这里你才会明白dx中x的含义(是一种测度，如欧氏空间中的lebegue测度)，并且由Radon-Nikodym定理获得微分。
定义在L1空间上的线性泛函
谢邀。我们先引用卓里奇教授的一段话：“实际上，如果积分确与用以计算它的坐标系的选择无关的话，我们能积分而且只积分微分形式，此外并没有什么其他东西的积分。”积分这个概念从产生之初就与物理和几何有很大的关系，之后的发展也是如此，流形上的积分，链上的积分，之类的。找不到高维的物理解释的主要原因是，我们不能认识高维的东西，并不能把物理世界对应过来。对于低微情形，我们熟悉它们，是由于有现实情形对应，密度、做功、通量这些。但是数学的威力，或者说数学的思维方式就在于抽象。我们不能想象高维空间，但我们能够抽象地研究它们。但是又看一遍问题，好象只是说的重积分…如果这样就只当成密度就好了，还是非常直观的。一般的，曲面上的积分，或者说流形上的积分，还是要从微分形式去考虑。
我觉得很多答主多虑了。以我个人浅见，题主的困惑在于“积分结果的本质”，而不是“积分的本质”。注意，是积分的结果，不是积分本身！！以及，题主的问题描述基本上不涉及欧氏空间之外的东西……那么，只消采用黎曼和/达布上下和的极限这个最原初的定义作解释，在当前语境下就已经足够好了。说得再直白一点，就是一个无穷级数！不用拽那些高大上的东西，东西本身高大上不意味着你这答案就高大上了；作答时能照顾到问题的层次，才是高大上！打一个两头不讨好的比方——拉出皮亚诺公理给小学生解释一加一等于二的人，就是矫情！
谢邀。第一天题主在课堂上学习了定积分。老师告诉他，定积分的几何意义是曲边梯形的面积。题主很失望：定积分就只能算个面积？而且还只是这种特殊的形状。他把这个疑问告诉了他的好朋友数学君，数学君笑着说：「明天旅行的时候跟你讲吧！」。带着这个问题和对旅行的憧憬，题主进入了梦乡。第二天题主兴高采烈地和几个哥们坐上了大巴车，几个小时之后，他们到了目的地。这时数学君问题主：「你知道我们的汽车行驶了多远吗？」「知道啊，我记得西安到青海是XX公里……」「不对！那是直线距离。我问你怎么计算汽车行驶的路程。」「……不知道。」「哈哈，当然是定积分了。」数学君得意地说，「不妨设我们是A时刻出发，B时刻到达，A到B之间汽车每一时刻的速度记为一个函数,这个函数在A到B上的定积分就是路程啊!」「原来定积分还可以算路程！」题主惊讶地说。下了车，题主拉着旅行箱跟着大部队往宾馆走去，这时数学君又说话了：「你知道你拉箱子做多少功吗？」「看我晚饭吃多少呗。晚饭吃得多，说明我做的功多。」题主疲惫地说。「你这孩子！」数学君气乐了。「你在每个位置拉箱子都有一个力,这个力和底面还有一个夹角。我们假设车站到宾馆近似为直线，车站的位置为a，宾馆的位置为b，那么你做的功就是在a到b上的定积分。」「哦哦。」题主附和了两声，就沉沉的睡去了，因为他确实做了不少功。第三天大部队早早地出发，去参观青海湖。这时有一个年龄比较小的孩子问了一句：「哥哥姐姐们，你们知道青海湖有多大啊？」「4500多平方千米。」一个学地质的学生脱口而出。「好厉害！」小孩和几个女生都发出了惊呼，这时一个戴眼镜的男生又发问了：「那是你知道。我问你，随便在地上画一个湖的图形，你会算它的面积吗？」「我会算，定积分！」题主抢着说道。「定积分算的是曲边梯形的面积，我这样的图形你怎么算？」男生很快随手画了一个不是曲边梯形的图形。「这个这个这个这个这个……」题主结巴了。好在这时，数学君走出来替题主解围了。「这个当然可以用定积分做，只是不是一般直角坐标系的定积分，而是极坐标系的定积分。」数学君耐心地解释道，「我们建立一个极坐标系，极点就是这个红色的点，极轴就是极点向右的这条射线。这样这个图形与原点连线和极轴的夹角范围就是,而每个角度对应的图形上的点到极点的距离就是……」「我知道了！」题主做出一副恍然大悟的样子，「开始的角度是0，结束的角度是,所以这个面积就是在这个区间上的定积分，对不对？」「对你大爷。」一个瘦高的男生走了出来，「这是利用极坐标计算面积，要对在整个角度范围内积分才行。」「soga」题主为自己又长了姿势而高兴。第四天旅行结束了，五一假期也结束了。回来的路上，题主问数学君：「定积分确实不止可以算面积，它好像还可以干很多事。可是它到底能解决什么问题呢？」数学君想了一下说：「你记着定积分的定义是什么吗？」「曲边梯形的面积……啊不是。老师好像说了个四部曲：分割、取点、求和和取极限。」「对，定积分就是无限细分和无限求和。把区间等分为n份，认为每一个小区间都是不变的，这样每一个区间内的面积就可以看成一个矩形了。用矩形的面积和来近似曲边梯形，再让最大区间长度的极限为0，就可以准确地计算面积了。」「说来说去还是算面积啊？」题主扣着鼻子问。「这是从函数图像上说的面积，但事实未必是面积。比如说你画一个速度和时间的图像，那么所谓的面积就是路程；你画一个力和位置的图像，如果力和运动方向一致的话，面积就是做的功；你画一个线密度和位置的图像，面积就是质量……」「好厉害啊！可是如何知道定积分表达的意义呢？」赞叹之余，题主又抛出了一个问题。「刚才说的又忘了。」数学君无奈地说，「定积分其实就是无限细分和无限求和，它求的还是一个乘积。比如说初中时候学的，匀速直线运动的路程等于时间乘速度，那么速度与时间的函数对时间做积分，本质上是把时间分成非常多的区间，认为每一段上都是匀速直线运动，然后套公式，最后把每一段的路程加起来。其他你能想到的乘积有关的公式，定积分都有类似的意义。」「我懂了！」题主的思路也打开了，「比如说我喜欢小芳。我每时每刻对她的好如果用一个函数表示，那么我喜欢她以来对她的好的总和就是这个函数在这段时间上的定积分，对吧？」「对。」虽然对这个例子有些无语，但是数学君还是点了点头。「还有我被胖虎打，他对我的伤害和时间的关系用一个函数表示，那么他对我的伤害就是这个函数在打我的时候的定积分……」「停停停！」数学君怕他举出更奇葩的例子，赶紧转移话题：「你好像知道二重积分可以算体积，那我问你三重积分算啥？」「算质量啊！」「哦？那为啥二重积分不能算质量？」「也可以算，」题主说，「如果你把函数值看成高度，就是面积；看成面密度，就是质量。」「挺聪明啊，你都回答俩问题了！」数学君赞道，「可是三重积分就只能看成密度，不能看成高度吗？」「别逗了，空间满共三维，到哪还有个高度？」「2333333」数学君笑惨了，「三维是我们生存的空间，对于数学来说，几维空间都是可以的，三重积分完全可以得到一个『四维体』的体积。」「原来如此。」题主瞪大了眼睛。「看来积分很厉害啊，数学也很奇妙。」「是啊，」数学君开始总结了，「数学是抽象的，不受我们所在空间的局限。而积分的意义无论是在工程实践还是在纯数学领域都有非常大的作用，要讲的话三天三夜也讲不了十分之一。总之你只要知道，积分的意义远远远远远远远不止算面积那么简单就是了。你跟我说了我可以耐心地跟你讲，你要放到知乎上去问估计会被鄙视的。」「是是是，我知道了。」题主赶紧说。完——————————————————————————那么，题主，你知道了吗？（非数学专业，不严谨指出欢迎指出，轻喷。）
简答的说，积分就是求和。
积分的本质就是求和
个人感觉，楼主的困惑还在于无法理解多维空间。而又把重积分理解为在多个空间维度的积分。先解决多维空间问题。三维以上的空间我们看不到，因为我们的不能跳出世界看世界。如果蚂蚁在一条家用的缝纫线线上跑，它就是在一维空间中生活，如果我们把线的一段搭在先的另一端上，蚂蚁的一维时空就发生了时空穿越，因为它可以不必按照线的走向爬行；同理，如果蚂蚁生活在桌布上，它就是在二维空间中生活，如果我们把桌布的两个角捏起来，蚂蚁的二维空间发生了时空穿越，因为它从这个桌角到那个桌角不再需要爬过整个桌面了；如果我们想象自己生活在一条软管里，就像家用的那种下水管，如果我们把管子的一头插入在管子中间剪开的一个口子里，那么我们的三维空间就发生时空穿越了。但是我们之所以不能自己扭曲自己这个管子，恰恰是因为我们在管子里生活着，这道理就像用手把自己提起来一样。但是，这不妨碍我们想象：在四维空间中，我们的空间是可以翻折的。更高维的就依此类推。再解决重积分的问题。楼主之所以被带入了对多重积分的空间想象，或许是因为教科书上市这么举例子的。诚然，三重积分可以用来计算三维空间中的体积。但是，如果我们回归到积分的根本意义，它其实是微分（或导数）的逆运算。一个物理量y，它的变化可以由n个变量x1, x2, x3, ...xn决定，客观上，我就可以对着n个变量求导。反过来想，如果我能顺利找到一个物理量y是如何跟随n个物理量进行变化的（也就是我们能列出y的n阶偏导数的表达式），那么我们求解这个偏微分方程就能得到y=f(x1, x2, x3,...xn)的解析式。而这个积分过程显然是n重积分，但是与n维物理空间没有半毛钱关系。如果学习了线性方程，应该会有助于理解。
。。说了半天，就是求面积。。什么不是面积是路程。。正是因为他能表示面积，从而可以表示路程，本质还是面积，而面积的本质就是黎曼和。还有根本不需要假设A到B是直线神马的，这个属学生没有学过线积分么？
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就比如这个题 积分上下限是怎么确定的 图是怎么画出来的呢 怎么确定极坐标积分的上下限？
福利不只是穿多穿少，还要有迷人的微笑!
这个图是根据参数方程画的
看θ的范围知上下限
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或高数~定积分求平面面积,极坐标为什么是这么求的啊?/>
为什么不是这么求呢?A=2*B；B= 第一象限中的所求面积,极角范围是[0,π/2]；只不过r 在[0,π/2]是分段函数而已；B=B1+B2；B1=积分限[0,π/3],被积函数是0.5*r^2 ,积分变量是dθ；至于具体求解B1,就要根据定积分计算了；
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定积分应用中关于极坐标方程表示的几个计算公式
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