材料力学-刘广荣
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第三部分&& 扭转
4.1预备知识
一、基本概念
1、扭转变形
扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。此时，截面B相对于截面A转了一个角度，称为扭转角。同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度变为螺旋线，称为剪切角。
杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩。
3、扭矩和扭矩图
&&& 圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T表示。扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似
4、纯剪切&& 切应力互等定理
&&& 单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变& 剪切虎克定律
对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即
G称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算
(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为
式中T为横截面的扭矩，Ip为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数
实心圆截面，&&&& （D为直径）
空心圆截面，&&&
（D为外径，d为内径，）
(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处
式中Wt=Ip/R，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
圆杆扭转时的强度条件
(4)圆杆扭转时，圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示。其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。
低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等，抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的。
铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之，抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的。
7、圆杆扭转时的变形和刚度计算
圆杆扭转时的变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度来度量，称为扭转角。
长度为l的等截面圆杆承受扭矩Mn时，圆杆两端的相对扭转角
&& （rad）
式中GIp称为圆杆的抗扭刚度。
当两截面之间的扭矩或GIp为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和，即为全杆的扭转角。
单位长度扭转角&&&&&&&&&
&&&（rad/m）
把弧度换算为度，圆杆扭转时的刚度条件为
&& （0/m）
8、非圆截面杆的扭转
非圆截面杆扭转的概念
非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲，这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。由于截面的翘曲，平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆。
(2) 矩形截面杆
矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知，横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切应力为零。横截面上最大切应力发生在长边的中点处。
设矩形截面杆长为l，承受扭矩T，矩形截面的长为h，宽为b。
最大切应力&&&&&&&&&&&
杆两端的相时扭转角
式中α，β是与长宽比h/b相关的系数，计算时可查阅有关手册。
&&&& 当长宽比时，称为狭长矩形，α，β可近似为1/3。
二、重点与难点
1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算。
2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布，并垂直于半径，最大切应力在外表面处。
3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断。铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断。
三、解题方法要点
4.2典型题解
一、计算题
等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW，由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kW，ND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa，剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m。要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图，并确定轴的直径。
解：四轮各位置如图，其中A轮应放在轴的中间位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担，不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系，A、B、C、D各点的扭矩
己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩，扭矩图如图。从扭矩图可知，最大扭矩应在DA、AB段，为
最大剪应力为
强度条件为
&&&&&&&&&&&&&
由于轴为等截面的，最大单位长度的扭转角也应在DA、AB段，等圆截面杆的单位长度的扭转角
刚度条件为
从式(1)和式(2)中选择较大的作为轴的直径，可同时满足刚度和强度条件，轴的直径
二、计算题
一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和所受外力偶均一样，实心直径d1 ，空心轴外径D2 、内径d2 ，内外径之比α=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。
解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样 A1=A2 ，即
因承受的外力偶矩相同，两轴截面上扭矩也应相等 T1=T2 。
实心轴和空心轴最大相对扭转角分别是
式中，l为轴的长度。故两轴最大相对扭转角之比
将代入上式，则
再将α＝0.8 代入上式，得
&&& 可见，空心轴的扭转角远小于实心轴的。因此，采用空心圆轴不仅强度高，而且刚度也远优于实心圆轴。
三、计算题
&&& 两个受扭薄壁杆截面，一个是开有纵向细缝的开口薄壁圆环，另一个是闭口薄壁圆环，如图所示。两杆的材料相同，尺寸相同，平均直径D=40mm，壁厚t=2mm，长度为l。两杆承受的扭矩相同。试求两杆最大切应力之比及扭转角之比。
解&& (1) 开口薄壁圆环
开口薄壁圆环可以看成一个长为、宽为t的狭长矩形，则最大切应力
(2) 闭口薄壁圆环
最大切应力
对于薄壁圆环，Ip可以写成
(3) 两杆最大切应力之比
两杆扭转角之比
讨论：由本题的计算结果可以看出，闭口薄壁圆环的切应力及扭转角要比开口薄壁圆环小得多，因而在薄壁构件中应尽量采用闭口薄壁杆件。
一、概念题
低碳钢、铸铁及木材（顺纹方向与轴线平行）的圆棒两端受力偶作用，如图所示，直到破坏。试画出三种棒破坏时裂纹的方向，并说明为什么从此方向破坏。
2、是非判断题
（1）& 圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（
（2） 杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（
（3）& 薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（
（4）& 圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（& 对& ）
（5）& 非圆截面杆不能应力用圆杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（& 对& ）
(6) &材料相同的圆杆，它们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（
(7)& 剪断钢板时，所用外力使钢板产生的应力稍大于材料的屈服极限。（
(8)& 矩形截面杆自由扭转时，横截面上的剪应力呈线性分布。（
（1） 阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ）。
扭矩最大的截面；&&&&&&&&&&&&&&
B&&& 直径最小的截面
单位长度扭转角最大的截面&&& &&&D&&& 不能确定
（2） 空心圆轴的外径为D，内径为d，=d /D。其抗扭截面系数为（D ）。
A&& &&&&&&&&&&&&&&&B&&
C&& &&&&&&&&&&&&&&C&&
（3） 扭转切应力公式适用于（ D ）杆件。
任意截面；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
B&& 任意实心截面；
任意材料的圆截面&&&&&&&&&&&&&&
D&& 线弹性材料的圆截面。
（4） 单位长度扭转角与（ A ）无关。
杆的长度；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
材料性质；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
D&& 截面几何性质。
图示圆轴由钢杆和铝套管牢固地结合在一起。扭转变形时，横截面上切应力分布如图（& B&& ）所示。
（6）若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的（ D ）。
2倍&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
8倍&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(7) 空心圆轴，其内外径之比为，扭转时轴内的最大剪应力为，这时横截面上内边缘的剪应力为（ B ）。
　&&&& &&&&&&&&Ａ&& 　　　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Ｂ&&& 　　　　
Ｃ　 零　　　　　&&&&&&&&&&&&&&&&&
(8) 实心圆轴扭转，己知不发生屈服的极限扭矩为T0，若将其横截面积增加１倍，那么极限扭矩是（　C　）。
　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(9)& 对于受扭的圆轴，关于如下结论：
① 最大剪应力只出现在横截面上；
&&&& ② 在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
&&&& ③ 圆轴内最大拉应力的值和最大剪应力的值相等。
现有四种答案，正确的是（&& A&& ）。
②③对&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&B& ①③对&&&&&&
C& ①②对&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
二、计算题
试用截面法求出图示圆轴各段内的扭矩T，并作扭矩图。
图示一齿轮传动轴，传递力偶矩Me=10kN．m,轴的直径d=80mm.。试求轴的最大切应力。
答：τmax=100MPa
设将例题4—2中直径d=0.０６m的实心圆轴制成外径Ｄ与内径d之比为３／２的空心圆轴，仍受力偶矩Ｍe＝２.５kN．m的作用。试求：使τmax与该例题相同时，能节省多少材料？
答：D＝0.065m
图示一圆锥形杆AB，受力偶矩Me作用，杆长为l，两端截面的直径分别为d1和d2=1.2d1，材料的切变模量为G。试求：（1）截面A和B的扭转角，（2）若按平均直径的等直杆计算扭转角，误差等于多少？
如图所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm， l=500mm，M1=6kNm，M2=4kNm,材料的剪切弹性模量G=80GPa。请绘轴的扭矩图，并求出最大剪应力。
6、 在图题3.9所示两端嵌固的圆轴上，外扭矩Me1=2Me2，距离a=c=L/4，b=L/2，圆轴直径为d，试求此圆轴横截面上的最大切应力。
答：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
7、& 图示传动轴，主动轮B输入功率P1=368kW,从动轮A，阵C输出的功率分别为P2=147kW, P3=221kW,
轴的转速n=500r/min,材料的G=80GPa，许用切应力=70MPa，许用单位长度扭转角=10/m。（1）画出轴的扭矩图；（2）设计轴的直径；（3）讨论提高轴强度和刚度的措施
答：d=85mm
钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，切率P=7.355kW,轴的转速n=180r/min，钻杆钻入土层的深度l=40m，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力=40MPa，假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布，试求：（1）土壤对钻杆单位长度的阻力矩m；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）计算A、B截面的相对扭转角。
用实验方法求钢的切变模量G时，其装置的示意图如图所示。AB为直径d=10mm，长度l=0.1m的圆截面钢试件，A端固定，B端有长s=80mm的杆BC与截面联成整体。当在B端加转矩T=15N.m时，测得BC杆顶点C有位移=1.5mm。试求：（1）切变模量；（2）杆内的最大切应力；（3）杆表面的切应变。
图示一传动轴，主动轮I传递力偶矩1kN．m，从动轮Ⅱ传递力偶0.4kN．m，从动轮Ⅲ传递力偶矩0.6kN．m.。己知轴的直径d=40mm，各轮间距l=500mm，材料的切变模量G=80GPa。要求（1）合理布置各轮的位置；（2）求出轴在合理位置时的最大切应力和最大扭转角。
答：=47.8MPa,& &=0.015rad
11、 图示某带轮传动轴，己知：P=14kW，n=300r/min，=40MPa，=0.01rad/min，G=80GPa。试根据强度和刚度条件计算两种截面的直径：（1）实心圆截面的直径d；（2）空心圆截面的内径d1和外径d2（d1/ d2=3/4）
答：d≥49mm， d2≥53.7 mm
12、 图示一圆截面杆，左端固定，右端自由，在全长范围内受均布力偶矩作用，其集度为me。设杆的材料的切变模量为G，截面的极惯性矩为Ip，杆长为l。试求自由端的扭转角。
13、 一薄壁钢管受扭矩Me=2kN．m作用。己知D=60mm，d=50mm，E=210GPa。己测得管表面上相距l=200mm的AB两截面的相对扭转角=0.430，试求材料的泊松比。
答：μ=0.3
14、 一联轴器，由分别分布在半径为R1和R2圆周上的8只直径相同的螺栓相联接& （如图所示）。则内圈（R1）螺栓横截面上的切应力与外圈（R2）螺栓截面上的切应力的比值为（&&&& ）。
A）；& （B）；& （C）；& （D）
15、 试作图4—32所示各轴的扭矩图，并求出及其作用处。
16、& 齿轮轴上有四个齿轮,见图4&—33,己算出各轮所受外力偶矩为mA=52Nom、mB=120N·m、mC=40N·m、mD=28N·m.己知各段轴的直径分别为dAB=15mm、dBC=20mm、dCD=12mm。
& ①作该轴的扭矩图；
②求职1-2、 2-3、 3-3截面上的最大切应力。
17、& 图4—37所示圆轴的AC段为实心圆珠笔截面,CB段为实心圆截面,外径D=30mm,空心段内径d=20mm、外力偶矩m=200N·m,试计算AC段和CB段横截面外边缘的切应力,以及CB段内边缘处的切应力。
18、& 图4—38所示实心圆轴通过牙嵌离合器把功率传给空心圆轴。传递的功率N=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外径d2。己知空心圆轴的内外径之比1=d1/d2=0.8,许用扭转切应力=40MPa。
19、&& 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm,d2=70mm,轴上装有三个皮带轮,如图所示。己知由轮3输入的功率为N3=3kW,轮1输出的功率为N1=13kW,轴作匀速转动,转速n=200r/min,材料的许用切应力=60MPa,G=80GPa,许用扭转角=20/m。试校核轴的强度和刚度。
20、 传动轴的转速为n=500r/min，如图所示，主动轮1输入功率N1=368kN.m/s，从动轮2、3分别输出功率N2=147kN·m/s,N3=221kN·m/s。己知=70MPa，=10/m，G=80GPa。
①试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
② 若AB和BC两段选用同一直径,试确定直径d.。
③主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
21、& 悬臂圆轴AB,承受均布外力偶矩t的作用,试导出该杆B端扭转角的计算公式(见图示)
22、& 阶梯形实圆轴承受扭转变形，圆轴最大剪应力=_________。
23、& 如图所示的空心圆轴，外径D=100mm，内径d=80mm，l=500mm，M1=6kNm，M2=4kNm，材料的剪切弹性模量G=80GPa。请绘轴的扭矩图，并求出最大剪应力。
24、 图示等截面传动轴的转速为500r/min，主动轮A输入功率368kW，从动轮B和C分别输出功率147kW和221kW。己知许用剪应力=70MPa，许用单位长度扭转角=10/m，材料的剪切弹性模量G=80GPa。试：
（1）设计传动轴的直径d；
（2）举出一个提高传动轴承载能力的方法，并简述其理由。
25、 两端固定的实心圆杆，其AC段的直径为2d,CB段的直径为d，试求在图示扭矩TC作用下，固定端A、B处的反扭矩以及C截面的扭转角。
26、& 试作图示圆轴的扭矩图，并求B截面相对A截面的相对扭角及AB段中最大相对扭转角（相对于截面A）。设T，α,G，d均为已知，t是均布扭转力偶矩的集度第5章　杆件的应力与强度计算
5.1　内容与要求
5.1.1　本章的基本内容
杆件的应力与强度计算的基本内容包括：
应力的概念，材料的力学性能，轴向拉压杆的应力与强度计算，连接件的应力与剪切实用计算，圆轴扭转时的应力与强度计算，平面弯曲梁的应力与强度计算，组合变形构件的应力分析方法，解析法分析平面应力状态及强度理论的应用。
本章的重点是轴向拉压杆和平面弯曲梁的强度计算，难点是应力状态的分析。
5.1.2　学习本章的基本要求
1.&&&& 理解应力的概念，弄清四种基本变形构件横截面应力的作用形式、分布规律。
2.&&&& 了解塑性材料和脆性材料在轴向拉压时力学性能的测定和分析方法，掌握这两种不同性质材料的强度特性和破坏特征。
3.&&&& 弄清并掌握强度条件的物理意义及应用强度条件可以解决的强度计算问题。其中，重点掌握轴向拉压杆的强度计算和平面弯曲梁的正应力强度计算方法。
4.&&&& 对于杆件的几种常见截面形状，会确定他们的形心位置，会计算他们对形心主轴(特别是对中性轴)的面积矩和惯性矩。
5.&&&& 对于组合变形问题，掌握其内力和应力分析的基本方法。其中，对于弯压组合和偏心压缩问题，掌握其不出现拉应力的条件。
6.&&&& 了解单元体和应力状态的概念，了解如何用解析法分析平面应力状态。会确定平面弯曲梁的主应力方向及主平面位置，掌握对组合截面梁进行全面强度校核的方法。
5.2　学习与理解
5.2.1　应力与强度
5.2.1.1　应力的概念
应力是构件截面上分布内力在某点的集度，它只与截面上的内力和截面大小有关。在应力分析中，将作用于构件截面上应力用其法向分量和切向分量表示。法向应力分量称为正应力，记为s，且以拉为正压为负；切向应力分量称为剪应力，记为t，以绕截面内侧任意点顺时针转向时为正。
5.2.1.2　四种基本变形杆件横截面的应力分布图
应力分布图——反映杆件横截面上应力分布情况的图形。常见截面形状的拉压杆、扭转轴、平面弯曲梁横截面的应力分布图如图5-1所示。
5.2.1.3　极限应力、工作应力与最大工作应力、许用应力
极限应力是材料丧失承载能力前所能承受的最大应力，记为s°。塑性材料的极限应力是其屈服极限ss,这是因为当材料的应力超过此极限后，会因变形过大而导致构件不能继续使用(或已不能满足刚度要求)；脆性材料的极限应力就是他的强度极限sb，一但超过此应力，构件即产生破坏。
工作应力是构件在荷载作用下产生的实际应力。最大工作应力是指荷载作用下构件中应力危险点的实际应力。许用应力是为保障构件正常工作，构件内的最大应力的允许值。许用正应力记为[s],许用剪应力记为[t]。许用应力与材料性质、构件的使用条件等因素有关。实际选用时可参照相关的工程规范。
构件的最大工作应力、许用应力、极限应力之间的数值关系为
最大工作应力≤许用应力＜极限应力
图5-1　拉(压)、扭、弯的矩形、圆形截面杆件横截面应力分布图
5.2.2　杆件的强度条件及其应用
杆件的强度是指杆件对最大工作应力的承受能力，或者说它是杆件承受最大工作应力能力的量度。不同材质的杆件有不同的强度，强度高承载能力强，强度低则承载能力弱。例如塑性材料的抗拉强度大大高于脆性材料的抗拉强度，而脆性材料的抗压强度又远大于其抗拉强度。这就是为什么受拉杆件必须选用塑性材料，而受压构件宜选用脆性材料的主要原因。
5.2.2.1　杆件中危险点的应力与强度条件
危险点是杆件内应力值最大的点，危险点的应力是杆件中的最大工作应力，他是整个杆件中应力的最大值。最大工作应力计算公式的一般形式为
强度条件是为保证杆件正常工作或使用，对杆件最大工作应力的限制条件。强度条件的一般形式是
最大工作应力≤材料的许用应力
不同受力条件的杆件，其最大工作应力计算公式和强度条件的具体形式是不同的。四种基本变形杆件的危险点位置、最大应力计算公式及强度条件如表5-1所列。
表5-1　四种基本变形杆件的最大应力与强度条件
轴向拉压杆
连接件(剪切件)
平面弯曲梁
危险点位置
FNmax截面上各点
Tmax截面圆周上各点
剪切面上各点
挤压面上各点
Mmax截面上下边缘
FQmax截面中性轴上各点
截面的几何量
WT：抗扭截面系数
A：剪切面面积
Ac：计算挤压面面积
Wz：抗弯截面系数
k：截面形状系数。
A：截面面积
5.2.2.2　强度条件的应用
强度条件的应用，就是利用强度条件解决杆件强度计算中的问题。杆件的强度计算问题，总体上分为三个方面：
(1)　强度校核　已知荷载、截面形状和尺寸、材料性质，对杆件进行强度验算。
(2)　截面设计　已知荷载、截面形状、材料性质，确定截面的几何尺寸。
(3)　确定许可荷载　已知杆件截面形状和尺寸、材料性质，确定杆件能够承受的最大荷载。
【例5-1】　图5-2所示系由两根圆形截面杆件与墙壁用铰接方式组成的构架。已知杆AB为钢杆，其许用应力为[s]=160MPa，杆BC为木杆，许用应力为[s]=10MPa。试求：
(1)　若两杆的直径分别为AAB=10mm，AAC=100mm,则能够作用于结点A上荷载F的最大值为多少？
(2)　若作用于结点A上的荷载F=15kN,则杆AB、AC的最小直径分别为多少？
〖解〗　(1)　杆件的受力分析。
由于图5-2所示构架中的两根杆件均为二力杆，此二杆所受的力与作用在结点A上的荷载F构成一个平面汇交力系。在强度计算中，无论要解决哪一方面的问题，都必须建立杆件内力与荷载之间的关系。为此，通过截面m-m取包括结点A在内部分构架为研究对象，作其受力图及建立的坐标系如图5-2b所示。力系的平衡方程式为
由图中的几何关系有
代入平衡方程式中解得
(2)　由二杆的强度条件共同确定可作用于结点A上集中力F的最大值。
由杆AB的强度条件
代入(b)式得
再由AC杆的强度条件
代入(a)式得
作用于结点A的荷载必须同时使杆AB、AC都满足强度条件，因此，能够作用于结点A的集中力F的最大值不得大于20.93kN,取[F]=20kN作为能够作用于结点A的最大荷载值。
(3)　当F=15kN时，由强度条件为二杆选择截面的最小直径。
由AB杆的强度条件
取dAB=10mm(因没有9mm直径的圆钢)。
再由AC杆的强度条件
取dAC=50mm。
通过以上计算，确定AB、AC杆的最小直径分别为10mm、50mm。
【例5-2】　如图5-3所示钢板的对接构造，已知钢板和铆钉材料的许用应力均为[s]=160MPa，[sc]=240MPa，[t]=100MPa。若作用于钢板上的轴向拉力F=100kN，铆钉的直径d=20mm，试分别对铆钉和钢板进行强度校核。
〖解〗(1)　铆钉的剪切强度校核。
在图5-3所示的连接中，每块主板上有4个铆钉，且每个铆钉有两个剪切面，则每个铆钉所承受的剪应力为
因　t=39.81MPa＜[t]=100MPa，故满足剪切强度要求。
(2)　铆钉和钢板的挤压强度校核。
因铆钉和钢板的材料相同，计算挤压面积及挤压力也相同，故只要铆钉满足挤压强度条件，则钢板也满足挤压强度条件。每个铆钉所承受的挤压应力为
sc=208.33MPa＜[sc]=240MPa，所以铆钉和钢板均满足挤压强度要求。
(3)　钢板的抗拉强度校核
钢板中铆钉孔直径平面(1-1截面)上的拉应力为
因1-1截面上的拉应力s=208.33MPa＞[s]=160MPa,故钢板不满足强度要求。
【例5-3】　圆环形截面传动轴，已知其内径d=30mm，外径D=40mm，材料的许用剪应力为[t]=80MPa。在正常工作状态下，轴的转速n=380r/min，求该轴能够承受的最大输入功率。
〖解〗　依题意，要在已知材料和截面形状与尺寸的条件下求扭转轴的输入功率。这种问题的解决办法是：先由强度条件计算出该轴能够承受的最大扭矩，并由扭矩与外力偶矩的平衡关系算出作用于轴上的最大外力偶矩，再由外力偶矩与功率之间的关系计算出轴能够承受的最大输入功率。
(1)　由扭转强度条件计算转动轴能够承受的最大扭矩和外力偶矩。
按扭转强度条件
故能够作用于轴上的最大外力偶矩为
m=Tmax=343.44N.m
(2)　计算传动轴能够承受的最大输入功率。
取P　=13kW为该轴能够承受的最大输入功率。
【例5-4】　T形截面外伸梁如图5-4所示，其截面尺寸为h=180mm,　b=150mm,　t=40mm。试计算（1）梁的最大正应力和最大剪应力，（2）求k点的正应力和剪应力。
(1）计算梁的支座约束力，并作出其弯矩图和剪力图如图5-4b、d所示。由内力图显然可见，梁的最大弯矩和最大剪力都出现在B截面上，且Mzmax=MB=12kN×m（上拉），FQmax=　=8kN。
（2）计算截面的几何量
确定中性轴位置：
中性轴距下纤维的距离为y1=220-80=140mm，中性轴到k点的距离为yk=40mm。
计算截面对中性轴的惯性矩：
计算Szmax和Szk：
取中性轴以下部分面积(即A2)计算Szmax
取k点以上部分面积(即A1)计算SZk
（3）应力计算
最大正应力和k点的正应力：
最大剪应力和k点的剪应力：
【例5-5】　试为如图5-5所示矩形截面简支木梁选定截面尺寸。已知材料的许用应力分别为[s]=15.6MPa，[t]=1.7MPa，截面的高宽比为h:b=4:3。
〖解〗　(1)　确定梁的最大内力值
由梁上荷载的作用情况可知，其最大弯矩和最大剪力分别为
Mmax=49×0.2=9.8kN.m，　FQmax=49kN
(2)　由梁的正应力强度条件设计截面尺寸
由表(5-1)所示平面弯曲梁的正应力强度条件
因此可得　
取　b=130mm，h=180mm作为该矩形截面梁的截面尺寸。
(3)　按照剪应力强度条件进行强度校核
不满足剪应力强度要求，故必须再根据剪应力强度条件重新确定截面尺寸。
最后确定图示矩形截面木梁的横截面尺寸为b=180mm，h=240mm。
5.2.3　组合变形杆件的应力分析方法
前面讨论的是四种基本变形杆件的应力与强度计算问题，但工程实际问题中的杆件多数是同时发生两种以上基本变形，这种情况叫做组合变形。在材料服从胡克定律和杆件变形很小的情况下，各种基本变形在杆件内引起的应力和杆件的变形可以进行叠加，称为力作用的独立性原理或叠加原理。
分析和计算组合变形问题的方法是先分后合。分，就是将同时作用的几种载荷或杆件同时发生的几种变形，分解成若干种基本载荷与基本变形，再分别计算杆件的应力。合，则是将各种基本变形引起的应力进行叠加。
对于工程中的常见情况，如斜弯曲、拉(压)与弯曲组合、偏心拉伸(压缩)以及弯扭组合等，在分与合的过程中发现了一些概念性的或规律性的东西，对这类问题必需概念清楚，应当适当记忆。
5.2.3.1　斜弯曲*
要理解斜弯曲，首先就要对梁在什么情况下发生平面弯曲这个问题搞清楚。平面弯曲的条件是：当梁有纵向对称平面时，所有外载荷(包括支座约束力)都作用在纵向对称平面内，若梁没有纵向对称平面，所有横向力必须作用在通过弯曲中心的主惯性平面内。关于弯曲中心的概念和开口薄壁截面弯曲中心的计算问题，本教材未进行讨论，若需要，可参阅其他专蓍。
平面弯曲时，梁的挠曲线是荷载作用平面内的一条曲线，故称为平面弯曲。斜弯曲时，粱的挠曲线不在荷载平面内，所以称为斜弯曲。在斜弯曲时，有几个角度间的关系要搞清楚，现以图5-6所示矩形截面为例来说明这种关系。外载荷平面与截面z轴间的夹角记为j，则截面上的正应力为
若以y0和z0表示中性轴h　点的坐标，则由中性轴上各点的应力应为零的这个条件，将y0和z0代入上式可得到中性轴的方程式
设中性轴与z轴的夹角为a，则有　
因为j＜p/2，ctanj为正，故tana为负，所以中性轴必在第2、4象限内，若Iz=Iy(圆形或正偶数多边形)则tana·tanj=-1，这时中性轴与外力平面垂直。对于矩形或其他Iz≠Iy，的截面则不垂直。还有一个角度b，他是挠曲线平面与铅垂平面的夹角，有如下关系
式中当Iz≠Iy，时，b≠j，这是斜弯曲情形；Iz=Iy时，b=j，这时不会产生斜弯曲。
5.2.3.2　拉(压)与弯曲的组合、偏心压缩
拉伸(或压缩)与弯曲的组合变形杆件和偏心压缩杆件，由于截面上有均匀分布的拉伸或压缩应力，当他与线性变化的弯曲应力叠加后，中性轴就不再通过形心了，于是截面上就有拉应力区和压应力区之别。
对于偏心拉压问题，有时要求截面上只有一种应力，例如建筑中的砖柱、石柱、混凝土柱，均要求截面上不出现拉应力。这时压力载荷的作用中心与截面形心不能差得太远，只能作用在一个很小的范围内，这个范围称为截面核心。例如矩形截面和圆形截面的截面核心，如图5-7所示。
5.2.4　平面应力状态的主应力与梁的强度校核
5.2.4.1　平面应力状态的主应力和最大剪应力
主应力是受力杆件内一点所有截平面上正应力中的最大(最小)值。某点主应力的大小、方向及所在平面的位置，与杆件的受力状态和该点在杆件中的相对位置有关。最大剪应力是引起杆件产生剪切破坏的主要原因。轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的主应力、最大剪应力及其作用平面的位置如表5-2所列。
5.2.4.2　材料的极限应力和强度理论
材料破坏有流动和断裂这两种类型，在常温和荷条件下，塑性材料发生流动破坏，脆性材料发生断裂破坏。在单向拉伸或压缩的情况下，材料破坏时的极限应力可以直接通过试验测定。对于塑性材料，其极限应力就是屈服极限，对于脆性材料则以强度极限作为极限应力。
在复杂应力状态下，由于各主应力有无穷多种的组合情况，所以不可能象单向应力状态那样直接通过试验建立强度条件，只能根据变形现象加以推理和判断，提出关于材料破坏的假说，这种假说就称为强度理论。常用的强度理论有四种，他们各自的内容见《教材》。强度条件写成统一形式是
表5-2　平面应力状态的主应力、最大剪应力及其作用平面位置
最大剪应力
主应力公式
主平面位置
最大剪应力公式
作用平面位置
轴向拉压杆
45°斜截面
平面弯曲梁
与主平面的夹角为45°
在通常情况下，第一、二强度理论的强度条件适用于脆性材料的受力杆件，第三、四强度理论的强度条件适合于塑性材料的受力杆件。但这不是绝对的，要根据具体情况分析。因此在复习这部分内容时，特别要弄清各种理论的论点、论据、以及能适用的情况。另外，要记住四种理论的相当应力的计算公式。
对复杂应力状态下的受力杆件进行强度校核时，除了进行危险截面(一般指具有最大内力的横截面)上危险点应力的校核外，还要根据强度理论的进行相当应力强度的强度校核。例如对T形、工字形等组合截面的梁，即使其最大正应力和最大剪应力都能满足强度要求，其翼缘与腹板的结合部位，由于正应力和剪应力的值都比较大，往往会出现较大的主应力，故必须对这种位置的点进行相当应力强度的强度校核。
5.3　习题选解
〖解题5-3〗
(1)　求出桥墩底部截面上的内力。
该桥墩底部受到自重W和外部轴向压力F的共同作用，已知轴向压力为F=1000kN，自重为
桥墩底部受到的轴向总压力(轴力)为
FN=(F+W)=(1+2.1)×103=3.1×103　kN
(2)　计算墩身底部横截面上的压应力。
由式(5-19)算得墩身底部横截面上的压应力为
〖解题5-8〗
这是一个连接件的强度计算问题，已知主板上受到的拉力、铆钉的直径和许用应力，应用强度条件求连接件上的铆钉总个数。
由题5-6图可知，每个铆钉有两个剪切面(即双剪)，则可由式(5-28)
计算每块主板上所需要的铆钉个数
因铆钉的个数不可能出现小数，故取n=5。故整个连接件上总共需要10个铆钉。
〖解题5-10〗
这实际上是一个由内力计算外力的问题。
(1)　先根据式(5-31)算出圆轴横截面上的扭矩，并由内外力关系求出外力偶矩：
由于该轴的扭矩在数值在等于外力偶矩，故外力偶矩。
(2)　由式(2-8)计算出该圆轴所传输的功率：
〖解题5-12〗
(1)　求图5-8所示钻杆单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mq
设钻杆在外力偶矩和土壤对钻杆的阻力偶矩的共同作用下处于转动平衡状态，则沿钻杆长度均匀分布的阻力偶矩的大小为
(2)　作钻杆的扭矩图如图5-8　b所示，并进行强度校核。
由钻杆扭矩图可见，钻杆中的最大内力为T=392.22N.m，因而其最大剪应力为
满足剪切强度条件。
图5-8　图5-9
〖解题5-13〗　
求当钢尺被弯成如图5-9所示的60°圆心角时横截面上的最大正应力，假定钢尺
的变形仍处于弹性范围，则可直接利用弯曲变形的物理关系计算：
〖解题5-17〗
(1)　作图5-10所示梁的弯矩图如图5-10b所示，得出危险截面的弯矩值为　
(2)　由梁的正应力强度条件确定梁的截面尺寸。
由式(5-47)
对于矩形截面梁，其抗弯截面系数
〖解题5-18〗
作图5-11所示梁的内力图如图5-11b、c所示，最大剪力和最大弯矩都出现在
C截面上，内力的最大值分别为
(2)　计算截面的几何量
(3)　计算最大应力并进行校核：
由此可知，梁的正应力和剪应力均满足强度条件。
〖解题5-20〗
(1)&& 作图5-12所示梁的剪力图和弯矩图如图5-12b、c所示,由此得到梁的最大内力值分别为
(2)正应力强度条件选择工字钢型号
由式(5-47)得到
查附录表3，工20a的Wx=237cm3，Ix=2370cm4，Sx=138cm3，d=7mm。
(3)　由式(5-46)对所选定的工字钢型号进行强度校核
满足剪应力强度要求。因此选定工20a作为所选择的工字钢型号。