数学概念教学中存在哪些问题?
夏尔拖1215
在数学学习中有很多重要的东西,包括概念、定理、性质、问题等,其中概念是一个非常重要的学习数学的载体,因此概念教学应该是我们数学教学中一个非常重要的基点,很多东西都是围绕着一个核心概念展开的,因此必须重视概念教学,之所以把概念教学放在一个非常显著的地位来强调,一个重要的原因就是在我们所接触的中学数学教学中,对于概念教学有不重视的倾向,很多的课是把概念用很短的时间交代一下,定义交代完后接着变成解题了,（把概念课变成了解题课了,造成对于概念理解的不足,造成走入用做题来学习数学的误区）对于概念教学的不重视来自于两个方面,一方面老师不够重视,另一方面学生也不重视,而实际上一个新的概念的形成是从原来的知识领域又进入到一个新的知识领域,从而建立一个新的知识领域的过程,对新概念的理解常常是因为学生对新领域知识不够重视,导致后来学生不好的学习后果,然后再回去弥补,而这个时候的弥补,又感觉没有多少味道,从而造成误解的一直持续.这个问题必须引起教师的高度重视,否则教改学生的永远是夹生饭,不光不能促进学生的发展,还很有可能引起一系列的连锁反应,制约学生的发展.而数学思想和数学最深刻的内涵实际上是通过数学概念反映出来的,但是从学生的表现来看,无论是考试、作业都是以习题的形式来完成的,结果造成对概念不重视（这是因为训练形式的原因造成的,能否改变训练和评价的形式是一个很大、也很重要的课题）,而单纯依靠大量的做题来弥补对概念理解的不足,造成学习效率不高,老师和学生都很疲劳,这是一个得不偿失的过程,而相反,如果一个概念比较清楚的话,就能够对题目或问题有一个清楚的认识,现实的情况是,概念用几分钟的时间呈现,然后靠大量的题来弥补.概念教学中存在的几个问题：2.有一些概念不那么重要,一个重要的理念就是要学会识别在我们的日常教学中什么是重要的概念.所谓重要的概念就是围绕着核心的概念、能反映数学本质的概念,如何判断那一个概念是重要的,是教师必须考虑的第一个问题,出现一次或偶尔出现的概念肯定不那么重要,在学习中经常或不断出现的那一定是重要的概念,比如函数、单调性等概念以及对运算的理解.对于一个老师来说,对于概念课,他首先要整体上把握概念在整个数学上的地位或在某一个领域中的地位,比如单调性,首先从图像上它刻画了函数的变化,反映了函数的极值问题,对应着反函数的问题（在这个问题中,只有在连续的情况下才能保持定义域和值域之间的一一对应关系）,再比如,求函数零点的唯一性问题、解不等式也可以利用单调性来处理）,对老师而言,虽然这堂课不是讲这个内容,但是一定要在心理上有一个整体的把握,这样才能比较好地处理这堂课的内容.学习函数的单调性,在高中阶段是一掌握函数图形的形状为主,单调上升、单调下降,基本上就把函数的形状确定了,极值问题也是由单调性确定的,以后学习的问题都是对这一问题的延伸,凡是重要的数学概念,一定要思考它在整个高中数学课程中的扮演一个什么角色,以及与其他的要学习的数学内容的内在联系,才能在一节课中有一个重要的定位,从整体到局部,再从局部到整体,来开展备课活动,备课才是有效的.但一定要把握好一个度,要清楚需要讲到什么程度,要有一个全盘的考虑,要考虑前引后联,防止一步到位,要明确第一堂课做什么,后面做什么.如果是单调性的起始课,要建立单调性的概念,帮助学生理解处理单调性函数的基本程序,还有足够的时间和载体来考虑证明的问题,定位的问题实在重要概念教学中需要考虑的重要问题,要弄清楚在这一节课中要以什么样的定位为主.要求老师做到比较深入地研究学生了学生关于单调性的认知过程,将学生的认知过程分为几个阶段：概念的形成、概念的理解和概念的拓展,根据学生的认知特点,设计了问题串,通过这些问题,逐步引导学生按照自己的认知习惯、认知规律来建立比较合理、简单的概念的认识,从具体的函数出发,从学生的认知水平和具体的东西出发,给学生营造一个直观上是容易的印象,逐渐把它落实到文本上,在这个过程中把概念中蕴含的丰富的数学思想展现出来,从熟悉的问题中去挖掘、用好它,然后再去学习新东西,不仅仅是为了得到新概念,更重要的是体现了一种思想方法,层次感就出来了,是一种归纳式的思维,这非常重要,数学高度抽象,但是归纳的结果.问题是数学的心脏,要重视培养学生的问题意识,上课前老师带着学生老师的安排去读书,通过认真阅读教材,理解和发现问题、提出问题,上课时师生交流,师生共同解决问题,在这个过程中,培养了学生学习的能力.但是教师在进行问题设计时,必须分清楚哪些是主要问题,哪些是次要问题,哪些是比较集中的问题,哪些是比较分散的问题,哪些是共性的问题,哪些是个别的问题?在单调性的概念中,“任意”和“区间”就是本质的东西,任意说明的是其特征,区间限定的是研究范围,它是定义域的一个子集,这些都是必须高度重视的重要问题,但有一些是次要的,比如,学生会提出问题,为什么有的是开区间,有的是闭区间?实际上这就是一个次要问题,开闭对单调性是没有影响的,它只涉及一个严格单调和非严格单调的问题,对研究函数的整体性质没有多大影响,因此不应当在此处进行过多的争论.因此,如何把握问题,是老师必须引起关注的问题.通过学生主动参与,可以充分了解学生的思维习惯对于培养学生数学学习方法和学习意识、学习能力极其重要,这是一个教师的思维走进学生思维的重要途径.它体现的是一种全新的教育理念或者称为学习理念,展现的是以学生为主体的思想,是一种承认差异基础上的尊重.在对学生提出的问题在回答的过程中,教师不应当以裁判的角色参与,不应当以一种权威的方式告知学生结果是什么,而应当让学生充分展示自己的思维,教师帮助学生诊断,找出症结,同时也给其他学生一个更深思考的机会和空间,因为,学生的思维往往是相通的,很多时候,老师往往以自己的思维习惯左右学生的思维习惯,是一种“我认为他应该能……”的想当然的行为,这就是为什么有的问题老师讲解十遍二十遍学生仍然不会,而同学只要讲一遍就明白的重要原因.教师的作用更多的是引和导.在学生思考的过程中,不要急于进行,应当学会等待,在等待中发现教育素材,便于教师展示教育智慧.这有利于培养学生的思维意识和学习意识,培养学生的实践和创新能力,使学生在探究的过程中获得发展.合作学习的关键是教师的设计,教师教学设计的好坏直接影响教学的效果,因此必须弄清楚教学任务、教学目标、合作方式、需要解决的问题、可能遇到的问题等都是老师必须事先考虑的问题,老师要注意在合作学习的过程中必须发挥统帅作用,不能任由学生信马由缰、自由驰骋,而应当控制在既定方针之下,这样的合作才是有效的合作.
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日更新之前几天不在学校，没办法回复各位数学迷~今天刚刚回来就马上画图更新了哈哈，我先来解释一下，本人是河南考生，并不是评论中说的江苏大神→_→术业有专攻，看到楼主提问，就回答了一下，希望还没毕业的高中学生，能有所收获，不在这道题上浪费太多时间。评论区有的人说会扣步骤分，那是因为是你没有把必要的内容交代清楚，方法不存在扣分点，而且本方法在选择填空最有奇效。。接下来上图解释我之前的内容：上图是我当时发现的规律，但凡做过一定量的解析几何题的同学都能看明白它的便捷性，然后对其延伸至圆锥曲线上图是我当时发现的规律，但凡做过一定量的解析几何题的同学都能看明白它的便捷性，然后对其延伸至圆锥曲线（→_→多年不画椭圆了，实属无奈，自己PS画了一个，其中两条红线是平行的）（→_→多年不画椭圆了，实属无奈，自己PS画了一个，其中两条红线是平行的）有人会问：当A点的横纵坐标超过a、b了就不存在垂线和圆锥曲线了，就没有P点了。答：这样是为了让没接触过极点极线的同学容易理解，A点和直线MN互为极点极线，在有意义的范围内，是它的几何意义。对于其他的圆锥曲线也是如此。我是从特殊推导至普通，类比得到计算方式下面直接上定义：前人研究的很透彻了，高中的同学再遇到圆锥曲线线外一点引切线的时候，不妨试试上图的计算方式，熟练使用后确为一神技啊~前人研究的很透彻了，高中的同学再遇到圆锥曲线线外一点引切线的时候，不妨试试上图的计算方式，熟练使用后确为一神技啊~-------------------------------------------------------------更新线--------------------------------------------------------------------我来答一个，高二的时候一次数学竞赛的时候，有一道解析几何的大题，做的时候由于理解错了题意，却突然发现一个规律:过抛物线外一点A做抛物线的两条切线，切点为M、N，在抛物线上取横坐标和A相同的点B，发现B点切线的斜率等于MN的斜率。。。。。。卧槽，当时考试也不管了，拿起稿纸多次运算，成立。再算，还成立。。我开始向圆延伸，发现也是成立的，然后把所有的圆锥曲线都算了好几遍！竟然发现，全部成立！！！那时候一下子陷入无法自拔，查了好多资料，都没找到关于这种方法的介绍。。。。后来再继续算，假设A点在圆锥曲线上，把A的坐标带入解析式会怎样，，竟然发现一化简就是A点切线方程。。。。。。。。。。。。。。那时候天真的我，还以为自己发现了什么不得了的事情，借了同桌哥哥的高等数学翻了好多遍也没有找到这个定理。。。于是一本正经的把这个“定理”整整齐齐地写在笔记本的最后一页⊙▽⊙。。。。。。后来几乎秒杀解析几何所有选择题填空题和大题。。看着别人还在准备代入联立方程的时候，我已经秒杀了。。→_←终于。现在大二的我，知道了原来是极点极线。
谢邀。下面要说的一个「现象」，展现起来非常浅显，连小学生都能看懂，却让人感到匪夷所思。我们来看两组数：A：1，5，10，18，23，27；B：2，3，13，15，25，26。这两组数有什么关系呢？它们满足一个「神奇」的性质：这两组数的和相等。即：看到这里，你也许会不屑一顾：这有什么稀奇，这样的数组要多少有多少！真的是这样吗？那我们做一个小小的变化：算算各自数组的平方和。然后你可能发现了：这两组数的平方和也相等！这个时候，有些人可能有点小惊讶，但也有人会很淡定：毕竟每组6个数呢，找两组和及平方和都相等的应该并不是什么难事啊。但是事情并没有结束，我们算算它们各自的立方和：这就让人有点意外了，不过，这并不是终点，请看：请再看：神奇吧？难道有什么玄机吗？并没有，如果我们继续下去：六次方和就不一样了。这两组数看上去真是匪夷所思，奇妙之极。那么，它们究竟是怎么来的呢？原来，这些数字源于前苏联数学家 Gelfond 发现的恒等式：其中 n = 1，2，3，4，5上面的例子，只是 a = 1，b = 1，c = 2 的情形而已。如果改变 a，b，c 的值，我们就可以得到其它满足要求的数组了。我们原以为这样的数组是「凤毛麟角」，不可多得的，现在看来，它们真的是「要多少有多少」的！这类问题，在数学上叫做「k 次乘方幂的等和问题」，或者「等幂和问题」。这个问题在表述上极为简洁，但是深究起来却有很多门道。比如，如果限定数组的个数（如每组 6 个数），我们能构造出多大的 n 次幂等式？这个 n 是不是有上界？这依然是未解之谜。不过……我们知道，上文中 Gelfond 的构造的恒等式是「神来之笔」，要构造这样的等式，对普通人来说显然太难了。但是，如果我们放宽条件（比如：不对每个数组中数的个数作严格限制），那么，对普通人来说，这也是一件并不困难的事情哦！怎么做呢？请移步我的专栏文章： ，这里不仅展现如何构造「等幂和」，更是挖掘了这个问题背后有趣的应用场景。#
相比于真真假假的“包含所有的数字序列”，“zeta函数包含所有的全纯函数”是被严格证明的：考虑条带。在这条带上取一个圆盘，且圆盘不与条带边缘相切，对于圆盘上没有零点的全纯函数，那么总可以上下平移这个圆盘，使得zeta函数在这个圆盘上的取值和充分地接近。参考：================================更新====================================如果两个独立随机变量的和服从正态分布，那么两个变量也都服从正态分布
你知道一维的线段，二维的形状，三维的立体，你也许能想象四维五维空间的样子，你能想象1.5维图形或者1.7维图形么？我曾经听过一个同学说他研究的是分数维图形，后来也一知半解地看了一下，给大家做个简单的科普：这个图形可能很多人见过，学名叫“谢宾斯基三角形”，是分形几何学里面的一个入门例子。这个图形是把正三角形分成大小相等的4块，然后挖去中间1块。再把剩下3块重复上述操作……不断重复。如果无限细分下去，这个图形的面积趋向于0（每切割一次，面积为原来的3/4）。这个图形被称为2维图形已经十分勉强，但显然又不是一个1维图形。那这个图是几维的呢？我们来找一下维度与图形大小的关系。一维的线段：当这条线段朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来线段的2倍。也就是说，由2条原来的线段，可以拼成一条2倍的线段。二维的图形（以方形为例）：当这个方形朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来方形的4倍。由4个原来的方形，可以拼成一个大的方形。三维的图形（以立方体为例）：当这个立方体朝所有方向延伸2倍之后，其大小是原来立方体的8倍。由8个原来的立方体，可以拼成一个大的立方体。找到规律了没？n维的图形，延伸2倍之后，其大小是原来图形2的n次方倍。我们再回到这个图……当这个图无限分割下去的时候，我们会发现一个令人惊讶的事实：一个大图是由3个小图构成的，也就是说，这个图延伸2倍的时候，大小变成了原来的3倍。所以我们认为，这个无限分割之后的谢宾斯基三角形，其维度是ln3/ln2，大概是1.58——————————————————————————————————————————再举个例子：下图的科克曲线，现在能算出是几维的吗？
“选择公理”这玩意儿看似是ZFC公理系统里最平凡也最符合直觉的一条（说白了就是给你一堆【有限或无限多】非空的集合，你总能做到“从每个集合里拎出一个元素作代表”这件事）。然而相对于其他几条公理，它所生产的奇葩要多得多，也诡异得多！(这反过来说明：不要迷信直观，你就承认了吧——其实你并不知道你看到的是不是奇葩！)最惊世骇俗(或者邪恶些讲——“臭名昭著”)的一条是以下的：分球悖论(准确的名称应该是“巴拿赫—塔斯基定理”)：把一个维实心球分成几块儿（对于三维，五块儿足矣）然后重新组装，就可以造出两个和原球等大的三维实心球来。起先这结论的称呼是“悖论”，可见数学家对此的态度明显是——“选择公理你TM还敢不敢再扯淡些……”；但后来发现，与“理发师悖论”这种经典的悖论(直接导致体系内互相打脸)不同，这结论在承认选择公理的前提下，证明的逻辑毫无问题(仅仅是极度的反直观，但数学对此的态度么…呵呵你懂得，就跟宽容那些调皮捣蛋却不失真诚可爱的孩子差不多，其实觉得特有面儿，宠得不行)，所以明显是一条定理！但我从中受到的教育是：“不扯淡”这事儿本身最为可疑，往往是看问题不深刻的征兆！附通俗讲解的视频链接（鸣谢
）：———————————————————————————————————————————再更一个相对古典但神（qi）奇（pa）度有过之而无不及的：黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem）：实数项的条件（非绝对）收敛级数经重新排列可以收敛至任！意！值！（甚至发散都可以）。众所周知，在我们的日常经验里，有限项的求和是确定的，也就是不受重排的任何影响（加法的交换律和结合律保证了和的唯一性，严格的证明并不简单，可见我另一答案的附录：），这保证了“级数（求和）”这个说法在数学上是有定义的。而所谓“无限级数”显然就是一个无限的求和。然而，正是“无限”这个东西再次给我们开了脑洞。这条定理明白地告诉我们——要认真对待无限级数（求和），这个东西明显比有限求和狂野得多，甚至把“求和”这么基础性的定义彻底颠覆掉也是轻而易举的事情。理解了这个定理，你才能明白为什么对于无限级数我们需要“绝对收敛”这个条件——只有绝对收敛的级数才不怕黎曼翻云覆雨的重排！回顾历史就会发现：自从两千多年前芝诺提出四个悖论，放出“无限”这个魔鬼以来，到了两千年后牛顿/莱布尼兹他们这一代才开始刚正面，然后又过两百年到柯西/魏尔斯特拉斯这一代才好不容易才搞出“收敛”的严格定义，完整解决了第二次数学危机（这个可以看作是人类征服“无限”的第一次成功经验），但分分钟又被“无限”花式教做人了——小样儿，换件马甲我保你不认识我！有道是“有限靠归纳，无限靠脑洞”。面对“无限”，我们还是大开脑洞，小心脑补吧……
（复系数）对称函数环对称群的复表示环一般线性群的多项式表示环的上同调环它们居然是同构的！
破两百赞了..那就再更新一下＝_=-------------------------------------------------------------------------------更新------------------------------------------------------------------------------------------------------既然说到黑洞数。。那么再说一个水仙花数的黑洞。数字黑洞153。任意找一个3的倍数的自然数，将这个数的每一位上的数字立方以后再求和，得到新数以后重复以上运算，最后都能得到一个固定的数153。。。比如12...1^3+2^3=99^3=7297^3+2^3+9^3=10801^3+8^3=5135^3+1^3+3^3=153.往下就是153的循环...-_-证明起来虽然原理不难但是比较繁琐-_-表示并没有学过数论只能用浅显的语言描述了三位数每一位数字的立方和必定是9的倍数(用立方和公式)，如果在较小的数字范围内可以推导得出，那么在较大的数字经过有限次操作之后可以将结果确定在较小的数字范围内，这样经过有限次计算可以得到最终结果-_-得到153后再运算则是无休无止的反复。--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------补充一个...黑洞数（￣▽￣）／任何一个数字不全相同的三位数，把各数位上数字从大到小排列，再从小到大排列，大数减掉小数，如此7步以内必出现黑洞数495。 (O_O) 是不是很神奇？例如123321-123＝198981-189＝792972-279＝693963-369＝594954-459＝495如此循环..(??? )三位数是495，四位数是6174这个问题也叫做“Kaprekar问题”，由印度数学家Kaprekar在1949年提出（这个数学家看上去好有聊 (O_O) ）贴上个分析过程以上（￣▽￣）／
是不是感觉很神奇,是不是觉得背后一定有规律?我这就来揭示背后的规律.(＾－＾)V不好意思,这是我凑的.压根儿没有这种规律.有趣的地方在这里,只有满足的A才能被二次根式表示,所以7以上的情况就不存在了.更新:错误已修正,感谢
验算,已被自己感天动地的运算能力击败.ヽ(??▽?)ノ--------------------------------------------------------------正经的分界线----------------------------------------------------------------------------------------------------------------正经的分界线--------------------------------------------------Well,不开玩笑了.(≧?≦)ゞ举这个例子只是想说明什么叫神奇.也就是 有视觉冲击力或者超乎常理.术业有专攻,别的领域我就不瞎说了,我就说说分形几何.取一个边长为1的正四面体...这是个三维物体.嗯,没错,我想说的就是Sierpinski Pyramid.这玩意的面积是这玩意的面积是,我没说体积,因为它的 是2.没有体积.什么??(o゜▽゜)o☆ 你跟我说一个竖着的有长宽高的东西是二维的!!看来即使被降维打击后还是能维持三维存在之尊严的.被二向箔打中除了会变纸片人以外还能变成 筛子人.Sierpinski Pyramid的二维形式Sierpinski Triangle可以通过如下方式生成:画一个二项展开三角.把所有的奇数全部圈出来,就得到了谢宾斯基三角形.(或者叫 贾宪---杨辉---帕斯卡三角,按时间标上去,有效避免署名纠纷)上面的描述等价于擦掉 N mod 2 = 0的数,很容易想到mod其他数会怎么样.我们来看看,感觉有的图有规律,有的却没有.万能的教主Stephen Wolfram殿下证明了如下结论:当k为素数时,其Hausdorff维度为万能的教主Stephen Wolfram殿下证明了如下结论:当k为素数时,其Hausdorff维度为二项式,素数与分形结合到了一起,相当的有趣.另外如果写 三项式展开三棱锥 的话能得到类似的结论.有个图形XoY平面上是科赫曲线,Z轴上是康托尔尘集,求其分形维度.两个分形的笛卡尔积的分形维度等于各自的分形维度之和.这个结论非常好用.=_=:难道整数维不是这样的吗.(o?v?)ノ其实这个主要佐证了就算某存在的维度低于三维你作为三维生物也无法想象.并且笛卡尔积给出了这么一种构造方法.之前有人说过了Mandelbrot集中每个点对应一个Julia集.我补张图.好像没啥好说了.我是不是偏题了....(＾?＾●)??我看看还有啥.....禅师体里各种填充满三维的曲线:谢宾斯基曲线,希尔伯特曲线,莫里曲线,勒贝格曲线,皮亚诺曲线.....ORZ,都是各个分支大佬的名字啊.来几个现实里的:分形维最低的大陆毫无疑问是南极洲,但是分形维最低的国家不太好说.西兰花的分形维度比花椰菜高很多.(所以营养会高点吗?)人体肺部的轮廓,(我没说肺,肺当然是三维的)可能是分形维度最高的.(很接近3,比大脑高的多)----------------------------------大雾------红色警报------------------------------------------三加一猜想等价于求的无穷迭代.(注,这个函数满足奇数3x+1,偶数x/2)无穷迭代的收敛点么就是分形图中的黑色部分喽,用Ultra Fractal渲染下.所有的整数点都在黑色的收敛域里面,由自相似特性就可知对于任意正整数成立了.所有的整数点都在黑色的收敛域里面,由自相似特性就可知对于任意正整数成立了.角谷猜想,卒~~~~
(╯﹏╰)虽然是扯淡,但是分形用于研究迭代的混沌与秩序确实非常有效.-----------------------------------------更新线----------------------------------------------------无限周长有限面积貌似不是分形的特征吧,反常积分也行啊.比如{y=0,x=1,y=x^(-2)}围成的区域面积是1,周长也是无穷大. 分形学的技能树是怎么点的呢?呃,我也不是很清楚.因为有非常多的路子能导出分形.推荐Geometric Measure Theory,比较"正统".从IFS开始学也不错,这个起点低.另外还有混沌到分形这条路,不推荐用这个学.快情人节了更新下.这是传说中笛卡尔公主的表白神器:心脏线.(雾)说屁股的面壁去.(?o??o?) ?Mandelbrot集中也有,而且因为自相似性质有无穷个.(注:艺术上M集指整张图,数学上M集一般说的是黑色部分,特殊情况特指边界,极少指外界)(注:艺术上M集指整张图,数学上M集一般说的是黑色部分,特殊情况特指边界,极少指外界)对于M集我几乎是一无所知,那几个大圆都是连在心脏线上的,但是不是心脏线只能连接圆形?不得而知,连M集的面积是多少也不知,书上写边界的分形维度是2,这么说边界还是遍历性的?心脏线其实是二次外摆线,一次外摆线那就是圆了.那还有三次外摆线(肾形线)啥的.正好三次外摆线对应三次M集:N次外摆线对应N次M集合二次M集中只有圆能连心脏线的话,那三次M集中所有连着蓝线的都是心脏线.二次M集中只有圆能连心脏线的话,那三次M集中所有连着蓝线的都是心脏线.分形图中很多东西只能说是这样而说不出为什么是这样.越研究越感到神奇.分形是一门新学科,有太多神奇之处等着去解密.直筒杯形成肾形线,广口杯形成心脏线.用广口杯泡杯咖啡就相当于表白啦!
(,,o ? o,,)------------------------------最近看到个有趣的-------------------------------------把两个莫比乌斯环背靠背粘一起,然后沿各自的中线剪开,就得到了这个.表白神器啊有木有!!!
o(︶︿︶)o表白神器啊有木有!!!
o(︶︿︶)o视频教程:注意要相反手性的,一个顺着翻转,一个反这翻转
谢邀。有两个式子我认为还挺神奇的。这两个式子原始出处是 Equations and Inequalities: Elementary Problems and Theorems in Algebra and Number Theory by Ji?í Herman, Radan Ku?era and Jaromír ?imsa, Translated in English by Karl Dilcher我是在Ch 2.10, Mathematics by experiment: Plausible reasoning in the 21st century. by Jonathan M Borwein and David H Bailey看到的，想看更多神奇的式子可以看看这本实验数学。抄段第一个式子的证明如下：考虑方程，如果令表示7次单位根，那么它的解集合是。原方程两边同除以，可得，我们现在做代换，那么而它的解为。我们现在要对方程(其解为)构造一个新的方程，使得后一个方程的解是。由根和系数的关系，我们有代入现在的条件()，得到然后由恒等式得到代入条件()得令，那么有，也就是，所以唯一的实数解为，所以并且。而我们有也就是所以证毕。
钱德拉筛子：第一行为通项是{3*j+1}的等差数列，第二行为通项是{5*j+2}的等差数列，依此类推，第i行为通项是{(2*i+1)*j+i+1}的A.P.。可得第i行j列的元素a[i,j]=i+j+2*i*j，如下：4
| 16 | 19 | 22 | 25...7
| 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42...10 | 17 | 24 | 31 | 38| 45 | 52|59......（手机打的，见谅吧～）这个二维数组有什么性质呢？如N是数组中的元素，则2N＋1必然是合数；如N不是数组中的元素，则2N＋1必然是质数。这个数组被用来筛出素数，由钱德拉发现，故称钱德拉筛子。（这些选出质数的算法都被称为筛子）其实日常用来判断合数是很方便的。。――――――（很久不上知乎，没有回答评论区的问题，见谅）原理如下：如前所述a[i,j]=i+j+2*i*j，设待判数N=a[i,j]，则2*N+1=2*i+2*j+4*i*j+1=(2*i+1)*(2*j+1)。1、充分性显然2*N+1可如上分解为两数之积。2、必要性对于自然数i、j，2*i+1和2*j+1为两大于三的奇数。这样两个数的乘积可表示所有奇合数，即2*N+1为合数时的情况。（本人尚为一中学生，上述回答中的错误还请指正～）
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