因为我有很久没上课,有一次听说射影定理,书上没有介绍,我想知道还需掌握什么定理或者规律之类的.
分类：数学
有许多的.往下看.1．图形的认识(1)角角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角平分线上.(2)相交线与平行线同角或等角的补角相等,同角或等角的余角相等；对顶角的性质：对顶角相等垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短；线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；平行线的判定：①同位角相等,两直线平行；②内错角相等,两直线平行；③同旁内角互补,两直线平行；平行线的特征：①两直线平行,同位角相等；②两直线平行,内错角相等；③两直线平行,同旁内角互补；平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.(3)三角形三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 ；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半；全等三角形的判定：①边角边公理（SAS）②角边角公理（ASA）③角角边定理（AAS）④边边边公理（SSS）⑤斜边、直角边公理（HL）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形；直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系 ,那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）.(4)四边形多边形的内角和定理：n边形的内角和等于 （n≥3,n是正整数）；平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角；菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.等腰梯形的特征:①等腰梯形同一底边上的两个内角相等②等腰梯形的两条对角线相等.等腰梯形的判定：①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形.平面图形的镶嵌：任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；(5)圆点与圆的位置关系（设圆的半径为r,点P到圆心O的距离为d）：①点P在圆上,则d=r,反之也成立；②点P在圆内,则dr,反之也成立；圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中,圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等,可以得到另外两组也相等；圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等；推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量分别相等；圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角,反过来, 的圆周角所对的弦是直径；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,这一点到两切点的线段相等,它与圆心的连线平分两切线的夹角；弧长计算公式： （R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数, 为弧长）扇形面积： 或 （R为半径,n是扇形所对的圆心角的度数, 为扇形的弧长）弓形面积 (6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；(7)视图与投影画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）；基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型；2.图形与变换图形的轴对称轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；图形的平移图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；图形的旋转图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；图形的相似比例的基本性质：如果 ,则 ,如果 ,则 相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方；相似多边形的性质：①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；③相似多边形的面积之比等于相似比的平方；图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形,两个位似图形一定是相似图形；
f(x)=(x+根号(1+x^2)/(1+x^2)=x/(1+x^2)+1/根号(1+x^2)f'(x)=[x'(1+x^2)-x*(1+x^2)']/(1+x^2)^2-1/2*(1+x^2)^(-3/2)*(1+x^2)'=[1+x^2-x*2x]/(1+x^2)^2-1/2*(1+x^2)^(-3/2)*2x=(1-x^2)/(1+x^2)^2-x*(1+x^2)^(-3/2)
将函数f（x）=sin（2x+pai/3）的图像向右平移pai/4个单位后得到函数y=g（x）的图像,将函数f（x）=sin（2x+pai/3）的图像向右平移pai/4个单位后得到函数y=g（x）的图像,则g（x）的单调区间为?
a^2+ab-b^2-a-2b=(2a^2+2ab-2b^2-2a-4b)/2=[(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2a+1)-(3b^2+4b)-1]/2=[(a+b)^2+(a-1)^2-3(b+2/3)^2+1/3]/2
F1(x)=f(x)+f(-x)F1(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=F1(x)即证明F1(x)是偶函数F2(x)=f(x)-f(-x)F2(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-{f(x)-f(-x)}=-F2(x)即证明F2(x)是奇函数如果这个问题不会,该请家教了
其他相关问题投影问题内容：立体几何中的投影问题 引子：上小学的小明和小胖为在太阳下的影子问题吵翻了，找到上高中的二牛评理；小明说：我早上上学时看 到我的影子朝西边，可小胖硬说影子朝东边。小胖说：我昨天下午回家时确实看到影子朝东边。二牛听后说你 们俩都对。他们俩半信半凝。同学们，你们能给小明和小胖说清楚吗？ 投影问题可分为两类 一．正投影问题 解决这类问题总是过投影点向线或面作垂线 1.直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在平面α内，斜边 AB∥α，A、B 在α内的射影分别为 A?、B?， （1）求证：ΔA o o ?B?C 是钝角三角;（2）当 AC，BC 与平面α所成的角分别为 30 和 45 时,求 cos∠A?CB?的值.2．A、B 分别是 60o 的二面角α-l-β的面α、β上的点，AA1⊥β于 A1，BB1⊥α于 B1，A1B1 到 l 的距离分别为 a、 b，A、B 在棱 l 上的射影间的距离为 c(如图)，求 AB 的长。αA B1 l B A1 D Cβ3．ABCD 是矩形，四个顶点在平面α内的射影分别 A?、B?、C?、D?，直线 A?B?与 C?D?不重合。 （1）求证：A?B ?C?D?是平行四边形； （2）在怎样的条件下 A?B?C?D?也是矩形？并证明你的结论。4． 设正四棱锥 P 的底是边长为 2 的正方形， 高为 h， 平面π平行于正方形的一条对角线， P 的底面交角为α， 与 把 P 正投影到π上，问α为多大时，所得图形的面积最大？最大值是多少？二.影子长和面积问题 解决这类问题总是过物体外缘作光线的平行线与地平面相交 5．北纬 38o 的开阔平地上，在楼高为 H 的楼房北面盖新楼，欲使新楼底层全年太阳光线不被遮档，两楼距离应 不小于多少？6．抗洪抡险战士在炎热的夏天准备盖一个遮阳棚，决定利用一面南北方向的墙，如图中平面 BG 表示，上面用 o AC=3m,BC=4m,AB=5m 的角钢焊成（将 AB 放在墙上） ，他们认为从正西方向射出的太阳光线与地面成 75 角时，气 温最高，要使此时遮阳棚的遮阳面积最大，遮阳棚 ABC 面与水平面应成多大角度？B C AHB' C'GA'练习 1.点光源 S 与屏幕之间有一个直径为 2 的小球，球心 O 与点光源 S 连线与屏幕垂直，O 点到 S 与屏幕之间的距 离都是 2,则该球在屏幕上的投影的阴影面积为 16π A. B.4π C.3π D.16π .32.如图,E,F 分别为正方体的面 ADD1A1,面 BCC1B1 的中心, 则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是________. (要求:把可能的图的序号都填上) A1D1 B1 E F D A BC1C① ② ③ ④ 3.ΔABC 是边长为 2 的正三角形，BC∥平面α，A、B、C 在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为 A?、B?、 C?,若ΔA?B?C?为直角三角形，BC 与α间的距离为 5,则 A 到平面α的距离为_______. 4.地球半径为 R，卫星电波能直射到地球表面三分之一，则卫星高度为_____________. 5.在半径为 30m 的圆形广场上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为 120o.若要光 源恰照亮整个广场，其高度应为_________. 6．在阳光下，一个大球放于水平地面上，球的影子伸长到距球与地面接触点 10 米远，同一时刻，一根竖直立 在地面上长为 1 米的竹竿的影子长为 2 米，求球的半径。7．从平面α外一点 P 向平面α引垂线 PO 和斜线 PA、PB，垂足为 O，斜足为 A、B，PA、PB 和平面α所成角 的差为 45o,且在平面α上的射影长分别为 2 和 12，求 PO 的长8.已知直角三角形 ABC 的斜边 BC 在平面α内，两直角边 AB，AC 与α都斜交，A 在α上的射影是 O（O 不在 BC 上） ，求证：∠BOC 是钝角。9． （1）若直角∠ABC 的一边 BC 平行于平面α，另一边 AB 和平面α斜交（如图） ，求证：∠ABC 在平面α上的射 影仍是直角； （2）直角∠ABC 的一条边 AB 和平面α斜交，另一边 BC 不在平面α内，若∠ABC 在α上的射影仍是 直角，求证：BC∥α。 B CA α 10．已知平面α//平面β，点 AC，BD 为夹在α,β间的两斜线段（A，B 在α内，C，D 在β内）且 AC=37，BD=125， AC 在β上的射影长为 12，求 BD 在β上的射影长.11.已知二面角α-MN-β为 60 ,A∈α,B∈β,BC 为 AB 在β上的射影，且 C 在棱 MN 上，AB 与β所成角为 60 ,且 AC= 5 ，∠MCB=45 ，求线段 AB 的长。oooAαM BCNβ12．求证：若三棱锥的顶点到底面的射影是底面三角形的垂心，则底面三角形的任一顶点到所对侧面的射影也 必是此三角形的垂心。13．在三棱锥 P-ABC 中，已知棱 PC，AC，BC 两两互相垂直，且∠PAC=30 ,PB= 13 ,BC=3(如图)（1）求二面角 B-PA-C 的度数； （2）设 C 点在面 PAB 上的射影为 O，求点 O 到面 PAC 的距离。 PoCAB 15.已知 VC 是 ?ABC 所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC 上的射影，且 N 位于 ?ABC 的高 CD 上． AB = a,VC与AB 之间的距离为 h, M ∈ VC ． （1）证明∠MDC 是二面角 MCABCC 的平面角； （2）当∠MDC= ∠CVN 时，证明 VC ⊥ 平面AMB ； （3）若∠MDC=∠CVN= θ (0 & θ & 考试题）π2) ，求四面体 MABC 的体积． （2001 高折叠问题要点：解决此类问题应同时画出折叠前的平面图形和折叠后的空间图形，进行对照分析。凡在折叠后的图形中 添加的辅助线，都应在折叠前的平面图形中画出，对有关的线段、角度的数量关系作出正确的判断，掌握哪些 发生了变化，哪些没有发生变化。 典型例题 例 1．等腰直角ΔABC 和直角ΔBCD 有公共边 BC，其中∠BAC=90o，∠BCD=90 ，∠CBD=30 ,BC= 6 ,今以 BC 为棱 的成大小为 θ (0 & θ & θ的正弦值。o oπ2) 的二面角。 （1）求翻折后线段 AD 的长； （2）当点 A 在平面 BCD 上的射影在 BD 上时，求A A B C B CD D 例 2．如图，在矩形 ABCD 中， AB = 3 3 , BC = 3, 沿对角线 BD 把ΔBCD 折起，使 C 移到 C 点，且 C 在平面 ABC 上 的射影 O 恰好在 AB 上。 （1）求证：A C ⊥B C ； （2）求 AB 与平面 B C D 所成的角的正弦值。 C B， 1 1 1 1 1ACD例 3．在 ABC 中，∠ACB=90 ，BC=a,AC=b,D 是斜边 AB 上的点，以 CD 为棱把它折成直二面角 A-CD-B 后，D 在 什么位置时，AB 为最小？最小值是多少？o例 4.在矩形 ABCD 中，AB= a,AD=b,a&b,P 是 CD 上的点，设∠BAP=θ，沿 AP 把它折成直二面角 D-AP-B 后， （1）求 BD=f(θ)的函数式； （2）θ为何值时，BD 为最小，最小值是多少？ D P CAB练习1．右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ．．． ① BM与ED 平行 ②CN 与 BE 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60° 角 ④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ 2．ABCD 是边长为 1 的正方形，E、F 分别是 BC，CD 的中点， 沿 AE，EF，AF 折起，使 B，C，D 重合于 P，则二面角 P-EF-A 的余弦值为A. 1 3 B. 1 4 C. 0 D. 2 4P A D3．上题中三棱锥 P-AEF 的体积为A. 1 . 24 B. 5 2 1 . C. . D. 48 24 8F4．已知边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠BAD=30o，今沿对角线 AC 将 B E C 菱形折成 60o 的二面角，则 AC 与 BD 间的距离等于__________. CD 以 5． 在平行四边形 ABCD 中， 已知 AD=a,AB=2a, ∠DAB=60o,M,N 分别为 AB， 的中点， MN 为轴将 AMND o 旋转 120 ，求三棱柱 CDN-BAM 的侧面积和体积。 D D N C N A A M B M B C6.如图，CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AB 上的高，BD=2AD，把△ACD 绕 CD 旋转到△A CD 的位置，使二 ， ， ， ， 面角 A -CD-B 为 60o， （1）求证：平面 A BC⊥平面 A CD； （2）求异面直线 A C 与 BD 所成的角的余弦值。 C，A DBA，7．在△ABC 中，∠ACB=90o，AC=2，BC=3，P 是 AB 上的点，沿 PC 把△APC 折起，使二面角 A-PC-B 为直 二面角后，若 AB= 7 。 （1）求∠ACP 的大小； （2）求二面角 P-AC-B 的平面角的正切值。8．BD 是边长为 a 的正方形 ABCD 的对角线，沿 BD 把△ABD 折起，使二面角 A-BD-C 为 120o.(1)求二面角 A-CD-B 的余弦值； （2）求三棱锥 A-BCD 的体积。9．ABCD 是边长为 a 的正方形，M，N 分别是边 DA，BC 上的点，MN//AB，交 AC 于点 O，沿 MN 折成直二 面角 AB-MN-CD。 （1）求证：不论 MN 怎样平行移动，∠AOC 的大小不变； （2）MN 在怎样的位置时，BD 为 最小，最小值是多少？重要方法1．割补法 例 1．求证：四面体的两组对棱中点共面，且该平面把四面体分成等积的两部分。例 2．如图，正三棱锥 S-ABC 的侧棱与底面的边长相等，如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点，求异面直线 EF 与 SA 所成的角。 S E C A F B2．等积法： 例 3．三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA，PB，PC 两两互相垂直，长依次为 a,b,c。证明： （1）若 P 到底面 ABC 的距离1 1 1 1 ; （2）若 Q 为底面 ABC 上任意一点，Q 到三个侧面的距离 QD，QE，QF 分别为 x,y,z, = + + h2 a 2 b2 c2 x y z 则 + + = 1。 a b c为 h,则3．类比法： 例 4．已知 A 为 60o 二面角α-l-β内一点，点 A 到两面的距离分别为 2 和 3，点 P，Q 分别在α，β内，求△APQ 的周长的最小值。例 5．正方体 AC1 的边长为 a，E，F 分别为 CD，B1C1 的中点，线段 EF 交正方体内切球 O 于 P，Q 两点，求弦 PQ 长。练习 1．在平行六面体交于一点 A 的三条棱上分别取中点 E、F、G，则棱锥 A-EFG 的体积是平行六面体体积的A. 1 8 B. 1 16 C. 1 24 D. 1 . 482．在球面上有四点 P，A，B，C，如果 PA=PB=PC= a，且 PA，PB，PC 两两互相垂直，则这个球的体积是 ______________. 3．三棱锥 P-ABC 中，PA⊥BC，PA=BC=a,PA 和 BC 的公垂线长为 l，求三棱锥 P-ABC 的体积。4．在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，已知 AA1=3，P，Q 分别是棱 AA1，B1C1 上的点，AP=1，PQ 与面 A1ABB1， A1 C1 Q B1B1BCC1 都成 30o 角（如图） ，求该三棱柱的体积。5．正三棱锥 P-ABC 的底面中心是 O，D 是 OC 的中点，过 D 点作截面 EFG 与 OC 垂直（如图） ，求该截面将 棱锥分成的两部分之比。 PA O B 不等式练习 （1） 一．选择题 1.若 a&b 则下列结论中正确的是 ( (A) ac & bc2 2C D) (C) ab ≠ 0时 )1 1 1 1 & (D) ab & 0时 & a b a b(B) 当 c&d 时 a-c&b-d2.若-1&a&b&0 则下列结论中正确的是 ( (A)1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 & & a 2 & b 2 (B) & & a & b (C) & & b 2 & a 2 (D) & & b 2 & a 2 a b a b b a b a)3.若 ?1 & α & β & 1 则下列各式中恒成立的是 ((A) ?2 & α ? β & 0 (B) ?2 & α ? β & ?1 (C) ?1 & α ? β & 0 (D) ?1 & α ? β & 1 4.下列不等式① x 2 + 3 & 2 x ② a 5 + b 5 & a 3b 2 + a 2 b 3 ③ a 2 + b 2 ≥ 2(a ? b ? 1) ④ ( )(A) ①② (B) ③④ (C) ①③ (D) ①②③④ ) (A) ?1 1 & x & 0或0 & x & b a 1 1 (D) ? & x & a bb a + ≥2 a b中恒成立的是1 & ?b 等价于 ( x 1 1 1 1 (B) x & ? 或x & (C) ? & x & 0或0 & x & b a a b5.若 a, b ∈ R + ,则不等式 a &6.若 0&a&1 0&b&1 则 a + b, a 2 + b 2 ,2ab,2 ab 中最大的一个是 ( （A） a + b2 2)(B) a + b(C) 2ab(D)2 ab二.填空 (1)若 a & b, M = a 3 ? ab 2 ? 3a 2 b N = 2a 2 b ? 6ab 2 + b 3 则 M_____N (2)已知 c & a & b & 0则1a b ________ c?a c?b(3)当 0 & a & 1时, a a , a ? a , a a 的大小关系为_____________ 二．1.比较 ( x + 1)( x 2 +x + 1)与( x + 1)( x 2 + x + 1) 的大小. 22．设 x&1 比较 x 3与x 2 ? x + 1 的大小.不等式练习 （2） 用比较法证明下列不等式 1.已知 a&0 b&0 求证:1 1 + ≥ a b 2 ab2. a & 0, b & 0求证 : a 2 + b 2 ≥ (a + b) ab3. 0 & x & 1求证a2 b2 + ≥ ( a + b) 2 x 1? x4.已知 a ≥ b ≥ 0求证 : a 3 + b 3 ≥ a 2 b + b 2 a5. x n +1 + y n +1 ≥ x n y + xy n( x, y ∈ R + , n ∈ N )6.求证: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca7.求证: a 5 + b 5 ≥1 3 (a + b 3 )(a 2 + b 2 ) 2( a, b ∈ R + )8.已知 a&b&c 求证: a 2 b + b 2 c + c 2 a & ab 2 + bc 2 + ca 29.已知 a b c 都是正数,求证: a 2 a b 2b c 2c ≥ a b + c b c + a c a + b不等式练习 （3） 1.已知 a.b∈R,且 a.b≠0,则在①2a+b 2 a2 + b2 b a ≥ ab ② + ≥ 2 ③ ab ≤ ( ) 2 a b 2)④?a2 + b2 ?a+b? 这四个式子中,恒成立的个数是( ? ≤ 2 ? 2 ?(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2.设 a.b 为正数,且 a+b≤4, 则下列个式中正确的一个是 ( (A)1 1 + &1 a b)1 1 + ≥2 a b(B)1 1 + ≥1 a b(C)1 1 + &2 a b(D)3.已知 a,b,c 都大于 1,且 log a c ? log b c = 4 则下列不等式中一定正确的是 (A) ac≥b (B) ab≥c (C) bc≥a (D) ab≤cb c a 4. a,b,c,d∈R+,则 + + ≥ _____ a b c()b+c c+a a+b + + ≥ ___ a b c(a + b + c )? 1 + 1 + 1 ? ≥____ ? ??a b c?? b d ?? c a ? ? + ?? + ? ≥ ____ ? a c ?? b d ?5.若 x&0,则 x +1 1 ≥ ____, x & 0 ,则 x+ ____ x x6.若 0&a&1,0&b&1,则 log a b + log b a ______ ,若 a&1,0&b&1,则 log a b + log b a _________ 证明下列不等式: 7. x,y∈R+,则 (1 + x )(1 + y ) ≥ 1 + xy 8. 若 a,b∈R+,则 a+b +1 ab ≥2 29.若 x+3y-1=0,则 2x+8y≥2 210. log 0.5 ?1 ? ? 1 + ? ≤ a + b ?1 ? 4 a 4b ?11. 若 a+b=1, a,b∈R+,则 2a + 1 + 2b + 1 ≤ 2 212. x,y∈R+, 且 x+2y=1,则1 1 + ≥ 3+ 2 2 . x y不等式练习 （4）1.下列各式中最小值为 2 的是 (A) x +1 x() (x&0) (D) log a b + log b a (a&0,b&0, a ≠ 1, b ≠ 1 ) ( )(B)x + logx2 + 2 x2 +12(C) 3 x + 3 ? x2.若 log2y = 4 则 x+y 的最小值是(A)8 (B) 4 2 (C)4 (D) 2 3.若 x&0 则 (A) 5x 的最大值是 x2 + 2 1 (B) 3 (C) 1 (D) 32 2()4.已知 x,y ∈ R + 且 x + y = 1 则 x+y 的最大值等于_____________. 5.若 x + 2 y = 2 2 a 6.若 x&1 则 2 + 3x + (x&0 y&0 a&1) 则 log a x + log a y 的最大值是_____________.4 的最小值是____________此时 x=_______________. x ?1 1 16 x 的最小值是______,此时 x=___________. 7.若 x&0 则 x + + 2 x x +1 b2 8.若正数 a,b 满足 a 2 + =1 则 a 1 + b 2 的最大值为_________此时 a=____b=_________. 2 12 9.若 x & 0则3x + 2 的最小值是________.此时 x=_________. x 1 10.若 0 & x & 则x 2 (1 ? 3x) 的最大值是________.此时 x=_____________. 311. x, y, z ∈ R + 且5 x + 2 y + z = 100则 lg x + lg y + lg z 的最大值为______________. 12. x, y ∈ R + 且x + 2 y = 3则 +1 x 1 的最小值为_____________. y13.甲乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小 时的运输成 本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为固定部分为 a.(1)把 全程运输成本表示为速度 v 的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?3.若 x&-1 求证: ( )1 3x+3 21 &( ) 3( x +1)( x + 2 )4. 求证: 3(1 + a 2 + a 4 ) & (1 + a + a 2 ) 2 ( a ≠ 1 ))1 & x ( x? 1+ x& 1? x? x1. 若 x≥y≥0,证明 2 xy ? y 2 + x 2 + y 2 ≥ x2.求证:5. 若|x|&1 |y|&1 求证: |x+ y |& 1 1 + xy6.求证: lga+b b+c c+a + lg + lg ≥ lg a + lg b + lg c 2 2 2( a,b.c ∈ R )+7.若 x, y ∈ R 且x + y & 2则+1+ y 1+ x 和 中至少有一个小于 2 x y8.若 a, b ∈ R且 | a | + | b |& 1求证方程 x + ax + b = 0 两根的绝对值均小于 129.已知函数 f(x)是 R 上的增函数, a, b ∈ R ,(1) 证明:如果 a + b ≥ 0 那么f (a ) + f (b) ≥ f (? a ) + f (?b)(2) 判断(1)中的逆命题是否成立,并证明你的结论.练习 2113.甲乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/小时,已知汽车每小 时的运 输成本由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度 v(千米/小时)的平方成正比,比例系数为固定部分 为 a.(1)把全程运输成本表示为速度 v 的函数,并指出定义域;(2)为使全程运输成本最小,汽车应以多大速 度行驶?解： （Ⅰ）由题意得y = [1.2 × (1 + 0.75 x) ? 1 × (1 + x)] × 1000 × (1 + 0.6 x)(0 & x & 1) ，……4 分 整理得 y = ?60 x 2 + 20 x + 200 (0 & x & 1) ． ……6 分（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当? y ? (1.2 ? 1) × 1000 & 0, ? ?0 & x & 1.即?? 60 x 2 + 20 x & 0, ? ?0 & x & 1.解不等式得 0 & x &……9 分1 ． 3（名师培训班数学专题讲座）高考运用问题 运用问题千变万化，涉及知识面广，牵涉知识点多。但大致可分为：图表、最值、增长率（或利息、利润） 、 相关学科综合等类型。下面举例说明： 图表问题近几年特别热，以后还有热的趋势。解决这类问题需要多看课外书，了解各方面的信息，否则将看 不董图表。 例 1.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位 时间内可以通过的最大信息，现从结点 A 向结点 B 传递信息，信息可以分开不同的路线同时传递，则单位时间 内传递的最大信息量为 (2001 年高考题) 5 3 6 12 A. 26 B. 24 C. 20 D. 19. 4B 6 7 6 12 A 12例 2.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资, 薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税,超过 800 元的 部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算: 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元,则他的当月工资、 薪金所得介于 (2000 年高考题) A.
元 B. 900-1200 元 C.800-900 元 D.
元税率 全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 …… 5% 10% 15% …例 3.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场售价与上市时间的关 系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二表示的抛物线段表示. (2000 年高考题)300250200150 100100①写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t);写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t); ②认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?(注:市场售价和成本的单位:元 2 /10 kg,时间单位:天)练习 1． 如图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时漏斗 盛满液体经过 3 分钟漏完。已知圆柱中液面上升的速度是一个 常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 t（分） 的函数关系用图象表示只可能是HAHBHCHD2.向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 t V t t tA B C D 最值问题一般进行“三步曲” ：设变量、列式子、求最值（可用配方法、判别式法、重要不等式、解不等式 H h 等方法） 例 3.设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm2,画面的宽与高的比为λ(λ&1),画面的上下各留 8cm 空白，左、 右各留 5cm 空白。怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?(2001 年文科高考题)例 4. 如图，铁路线上 AB 段长 100 公里，工厂 C 到铁路的距离 CA 为 20 公里。现在要在 AB 上某一点 D 处， 向 C 修一条铁路，已知铁路与公路的每吨公里的运费之比为非作歹 3:5，为了使原料从供应站 B 运到工厂 C 的 运费最省，D 点应选在何处？ CBDA练习 （如图）则怎样挖占地总面积最 3.要挖一个面积为 800m2 的长方形鱼池，并在四周修出分别为 1m、2m 的小路， 小? 1 2 800m2214.要建造一个容积为定值的无盖圆柱水池。 （1）问水池尺寸如何选取，才能使所用材料最省？（2）若底材料成 本 30 元/米 2,池壁材料成本 20 元/米 2，问怎样的尺寸，使水池的造价最低？5.如图，为处理今有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱。污水从 A 孔流入，经沉淀后 从 B 孔流出。设箱体长度为 a 米，高为 b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比。现 有制箱材料 60 平方米。问当 a、b 各为多少米时，经过沉淀后流出的水中的杂质的质量分数最小。 （A、B 孔的 面积忽略不计）A O bB O 2 a增长率一般与数列相结合，请记住下列公式： （1）年利润=（出厂价C投入成本） × 年销售量； （2）现数= 期数 原数（1+增长率）（3）本息和=本金（1+利率） ； (计复利) 例 5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0 & x & 1) ，则出厂价相应提高的比例为 0.75 x ，同时预计年销售量增加的比例为 0.6 x ．已知年利润=（出厂价C投入成本） × 年销售量． （Ⅰ）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； （Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？例 6.某地现有耕地 10000 公顷，规划十年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比现在提高 10%，如果人 口增长率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(lg1.01=0.0043,lg1.)例7.设炮弹的发射角为 α , 发射的初速度为 V0 , 适当建立坐标系后轨迹 方程 g sin α 为y = ? x2 + x 2 2 cos α 2v 0 cos α练习 6.我校在校生逐年递增， 1999、 2000、 2001 依次为 a、 a+b、 a+2b 千人， 则年平均增长率为____________________. 7.某工厂的产量第二年比第一增长的百分率是 p1，第三年比第二增长的百分率是 p2，第四年比第三增长的百分 率是 p3，且 p1+p2+p3=m(定值)，则平均增长的百分率的最大值是多少？
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