特征向量矩阵 特征值 特征向量根区别和联系

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-04-27 00:16 标签： 相同特征值的特征向量
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老师，你好，不同特征值对应的特征向量不应该正交吗？为什么后两个特征向量不正交？我接下来是不是得先正交化然后再规范化？谢谢
提问时间： 23:06:38提问者：
&同学，你好，对于实对称矩阵来说，不同的特征值的特征向量是正交的，你这个不是实对称矩阵把，如果不正交，就得先正交化，祝好 欢迎登陆新东方在线欢迎到新东方在线论坛感谢您对新东方在线的支持和信任如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题请访问：或联系售后客服：400 676 2300
回答时间： 10:45:24
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线性代数（20）
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特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族，
另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！&
比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1
0;0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0;0 -1]*[a b]‘=[a -b]‘,其中上标’表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显 然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]‘(a不为0)，还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0
b]‘(b不为0)也是其特征向量，去求求矩阵[1 0;0 -1]的特征向量就知道对不对了!
矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！
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(1)(1)(1)(4)(16)(2)(1)(11)(5)(7)(67)(2)(3)(3)(14)(4)(15)一、特征值和特征向量的几何意义
特征值和特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵（既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。
那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切的关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维变量逆时针旋转30度。这时，我们可以思考一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零向量）。
综上所述，一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。再想想特征向量的原始定义：
可以很容易看出，cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，显然cx和x的方向相同。而且x是特征向量的话，ax也是特征向量（a是标量且不为零），所以特征向量不是一个向量而是一个向量族。
另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！特征向量是指经过指定变换（与特定矩阵相乘）后不发生方向改变的那些向量，特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数。
二、特征值和特征向量的计算
使用Matlab求矩阵的特征值和特征向量：
矩阵D的对角线元素存储的是A的所有特征值，而且是从小到大排列的。矩阵V的每一列存储的是相应的特征向量，因此V的最后一列存储的就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量。
三、特征值和特征向量的性质
性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为l1，l2，…, ln(包括重根)，则
性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则 是A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则lm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
性质4. 设 l1，l2，…, lm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于li 的特征向量( i=1,2,…,m)，则 x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。
性质4可推广为：设 l1，l2，…, lm为方阵A的互不相同的特征值，x11,x12,…,x1,k1是属于l1的线性无关特征向量，……，xm1,xm2,…,xm,k1是属于lm 的线性无关特征向量。则向量组 x11,x12,…,x1,k1,…, xm1,xm2,…,xm,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的。
对于任意一个矩阵，不同特征值对应的特征向量线性无关。
对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）。
埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）(又称“自共轭矩阵”)是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素共轭相等。
阅读(...) 评论()矩阵计算中特征方程、特征根、特征值、特征向量有什么区别,都啥意思、求特征方程| R－λI | = 0,其解为特征根λi上面是我看到的,查资料后不懂的反而更多-
ynYX75VQ14
对于矩阵A,特征方程：|λE-A|=0特征值、特征根：λ特征向量X：（λE-A）X=0
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