AB是圆O的直径，CD为弦，且AB垂直CD于E，F为DC郑州地铁1号线延长线线上的一点，连接AF交圆O于M。求证角

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-06-01 01:30 标签： 广州地铁7号线延长线
如图,AB是圆O的直径,弦CD垂直于AB,垂足为E,F是弧AC上任一点,AF的延长线交DC的延长线于G.求证
做辅助线连接FB,因为直径AB垂直于CD 所以弧BC=弧BD ,所以∠BFD=∠BFC ,因为∠BFD+∠AFD=∠BFC+∠GFC=90° 所以∠AFD=∠GFC
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扫描下载二维码已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
证明：连接AD，∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，∴弧AC=弧AD，∴∠AMD=∠ADC，∵A、M、C、D四点共圆，∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），∴∠AMD=∠FMC．
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连接AD，根据垂径定理求出弧AD=弧AC，根据圆周角定理求出∠AMD=∠ADC，根据四点共圆求出∠FMC=∠ADC，即可推出答案．
本题考点：
垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
考点点评：
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点的应用，关键是作辅助线得出∠ADC=∠AMC，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．
扫描下载二维码如图,已知AB是圆O的直径,弦CD垂直AB,M为弧AC上一点,AM延长线交DC延长线于F点,求证角AMD=角FMC
AB为直径,DC⊥AB→弧AC=弧AD→∠AMD=∠ADC→只需证∠CMF=∠ADF→只需证△FMC∽△FDA→只需证∠MCF=∠DAF→只需证∠MCD与∠DAF互补→因为&弧DAC与弧DBC互补所以&∠MCD与∠DAF互补（互补的弧所对圆周角互补）
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扫描下载二维码已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与⊙O分别交于M、G，GE与⊙O交于N．（1）求证：AB平分∠MAN；（2）若⊙O的半径为5，FE=2CE=6，求线段AN的长．
fushefu2652
（1）证明：连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°，∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上．∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．∵∠BAG+∠ABG=∠BFE+∠FBE=90°，∴∠BAG=∠BFE．∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，∴∠MAB=∠NGB．∵∠NGB=∠NAB，∴∠MAB=∠NAB．∴AB平分∠MAN．（2）连接OC、BM，∵OC=5，CE=3，∴在Rt△OEC中得OE=4．∴AE=9．在Rt△AEF，EF=6，∴．∵AB=10，由Rt△ABM∽Rt△AFE得，∴．∵AB平分∠MAN，∴．
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（1）连接AG，由直径对的圆周角是直角和垂径定理知∠AGF=∠AEF=90°，则A、E、G、F四点在以AF为直径的圆上，AF的中点是此圆的圆心，故有AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，由圆周角定理知，弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG，由同角的余角相等知，∠BAG=∠BFE，由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠BAM=∠FAG+∠BAG，有∠MAB=∠NGB由圆周角定理知∠NGB=∠NAB故有∠MAB=∠NAB即AB平分∠MAN；（2）连接OC、BM，由已知有OC=5，CE=3，则在Rt△OEC中由勾股定理得OE=4，所以AE=OA+OE=9，在Rt△AEF中EF=6，由勾股定理得，易得Rt△ABM∽Rt△AFE得，可求由（1）知AB平分∠MAN，故．
本题考点：
圆周角定理；余角和补角；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评：
本题利用了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，四点共圆的判定，直角三角形和相似三角形的性质，三角形的外角与内角的关系，同角的余角相等求解．
扫描下载二维码已知：⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．
证明：连接AD，∵⊙O的直径AB和弦CD，且AB⊥CD，∴弧AC=弧AD，∴∠AMD=∠ADC，∵A、M、C、D四点共圆，∴∠FMC=∠ADC（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），∴∠AMD=∠FMC．
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本题考点：
垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
考点点评：
本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点的应用，关键是作辅助线得出∠ADC=∠AMC，通过做此题培养了学生运用定理进行推理的能力．
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