一道几何求解 用向量内积的几何意义做

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-06-04 12:42 标签： 向量点乘的几何意义
算法-计算几何
本博客转自lzxzxx神犇，原地址——
AB-→-表示一个从点A到点B的向量。
向量满足：
加法的交换性：a?&+b?&=b?&+a?&
加法的结合性：(a?&+b?&)+c?&=a?&+(b?&+c?&)
加法恒等式：0?&+a?&=a?&
对于一个实数k，有ka?&的方向与a?&相同，|ka?&|=k|a?&|
对于任意一个向量X?&，存在一个向量-X?&(模相等，方向相反)使得X?&+(-X?&)=0
对于实数r,s，向量满足：
纯量乘法的结合性：r(sX?&)=(rs)X?&
纯量乘法的分配性：(r+s)X?&=rX?&+sX?&
向量加法的分配性：r(X?&+Y?&)=rX?&+rY?&
向量的坐标表示法：
对于两个维数相同的点A(x1,x2,...,xn)，B(y1,y2,...,yn)，AB-→-=(y1-x1,y2-x2,...,yn-xn)
向量加减法：
1°平行四边形法则。
2°对于两个维数相同的向量：它们的加(减)法得出的向量各坐标等于这两个向量各坐标分别相加(减)。
向量的模，即向量的长度：
对于向量a?&=(x1,x2,...,xn),|a?&|=∑i=1nx2i-----√
向量乘法：
对于两个维数为n的向量a?&=(x1,x2,...,xn),b?&=(y1,y2,...,yn)a?&?b?&=|a?&||b?&|cosθ=∑i=1nxiyi
点积求出的是一个标量。
二维向量a?&=(x1,y1),b?&=(x2,y2),a?&×b?&=x1y2-x2y1
叉积求出的数值为以a?&,b?&为邻边的平行四边形的有向面积。常用叉积来计算三角形或平行四边形面积及判断两向量的相对方向（即向左拐或向右拐）。
向量的旋转：
向量&x,y&逆时针旋转α角度变成&x*cosα-y*sinα,x*sinα+y*cosα&
两线段相交
判断两线段是否相交
已知两线段P1P2,Q1Q2
要求这两线段是否相交。
快速排斥试验
若两线段相交，则以这两线段为对角线分别作两个矩形，这两个矩形必须相交。这就是快速排斥试验。
若P1P2跨立Q1Q2，则矢量(P1-Q1),(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧。即满足(P1-Q1)×(Q2-Q1)*(P2-Q1)×(Q2-Q1)&0。若(P1-Q1)×(Q2-Q1)*(P2-Q1)×(Q2-Q1)=0，说明P1或P2在直线Q1Q2上，但因为已通过快速排斥试验，所以这两线段是相交的。故上式可改写成 (P1-Q1)×(Q2-Q1)*(P2-Q1)×(Q2-Q1)≤0
同理，若Q1Q2跨立P1P2，则要满足(Q1-P1)×(P2-P1)*(Q2-P1)×(P2-P1)≤0
当P1P2跨立Q1Q2且Q1Q2跨立P1P2，跨立试验成功。
当快速排斥试验与跨立实验都成功时，这两条线段相交。
求两线段交点
由相似三角形、定比分点等知识我们可以得出两线段交点公式。套用向量乘法，我们能简便地求出两线段交点。
三角形面积
公式很多，在此不赘述，用得较多的是叉积绝对值的一半。
多边形面积
选取多边形上一个顶点作为三角形的一个固定顶点，每次选取多边形上另外两个相邻顶点作为三角形的另外两个顶点，求三角形面积和。
也可看成每次选取多边形上两个相邻顶点，求前一个顶点与后一个顶点关于原点的有向面积和。证明显然。
一个n边形的面积公式：
S=∑i=1n(XiYi+1-Xi+1Yi)2
（顶点按顺时针（或逆时针）排序后第i个顶点坐标(Xi,Yi)，Xn+1=X1,Yn+1=Y1)
平面上N个点，用一个最小（周长、面积）的凸多边形包住它们，使每个点落在凸多边形内或凸多边形上。
Graham扫描法
选择一个x坐标(相同情况下y坐标)最小的点作为基点，使其他所有点落在第一、四象限上，然后进行极角排序，按逆时针插入其他点，用栈存储凸包上的点，插入时用叉积判断维护栈顶凸性。
参考知识库
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(13)(27)(14)(1)(2)(14)(7)(4)(3)(1)求证一道几何题求用向量法证明此题。
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扫描下载二维码一道几何问题,不要用向量方法做.如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F,使EC∥平面FBD?若存在,求出EF/EA&& &；若不存在,说明理由．
（Ⅰ）证明：取AB中点M,连接EM、DM.因△ABE为等腰直角三角形,故EM⊥AB因AB=2CD=2BC,故四边形BCDM为正方形,故DM⊥AB故AB⊥平面DEM所以有AB⊥DE因直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直,且BC⊥交线AB,故BC垂直平面ABE.而BE⊥AE,故直线EC与平面ABE所成角即为
AD/AB不会等于1/2吧
哦，笔误。是CN/AN=CD/AB=1/2
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用向量法解立体几何问题
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细微之处显善良
男青年把这种感激化作了更多小小的善，带到了社会的角角落落。404页面没有找到

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