二阶非齐次线性微分方程组的特解怎么设

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-07-28 07:09 标签： 齐次线性微分方程通解
设y1(x),y2(x)为二阶线性非齐次微分方程的两个相异的特解,求证y(x)=y1(x)-y2(x)为该方程对应的齐次方程的一个特解
设y1和y2是ay''+by'+cy=f(x)的2个特解,则有ay1''+by'+cy=f(x)ay2''+by2'+cy=f(x)2式相减得a(y1''-y2'')+b(y1'-y2')+c(y1-y2)=0所以y(x)=y1(x)-y2(x)为该方程相应的其次方程的特解.
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将y1和y2分别代入非齐次方程,两个等式相减便得结论
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待定系数法
常数变异法
关键词：微分方程，特解，通解，
二阶齐次线性微分方程
常系数微分方程
待定系数法
解决常系数齐次线性微分方程
特征方程 特征根是单根的情形
设是特征方程的的个彼此不相等的根，则相应的方程有如下个解：
如果均为实数，则是方程的个线性无关的实值解，而方程的通解可表示为
如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设是一特征根，则也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程有两个复值解
它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根，我们可求得方程的两个实值解
特征根有重跟的情形
若特征方程的重零根，对应于方程的个线性无关的解。
若这个重零根设特征根为其重数为。方程的解为
对于特征方程有复重根的情况，譬如假设是重特征根，则也是重特征根，可以得到方程的个实值解
例1 求方程的通解。
解 特征方程的根为有两个实根，均是单根，故方程的通解为
这里是任意常数。
例2 求解方程 的通解。
解 特征方程的根为有两个复根，均是单根，故方程的通解为
这里是任意常数。
某些变系数线性齐次微分方程的解法
化为常系数
在自变量变换下，可化为常系数的方程
一类典型的方程是欧拉方程
我们想找一个变换，使方程的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。根据方程本身的特点，我们选取自变量的变换，并取，即变换
就可以达到上述目的（这里设，当时，取，以后为确定起见，认为）。
事实上，因为
代入方程，则原方程变为
方程常系数二阶线性微分方程，由
上可求得方程的通解。再变换，代回原来的
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求二阶线性非其次微分方程通解的方法
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&&本​文​介​绍​了​各​类​二​阶​常​系​数​线​性​非​其​次​微​分​方​程​求​通​解​的​方​法
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