因此，当有危险的牌出现时，你应该在河牌圈中过牌；不管是多少人数的桌子，都可以笼统地划分为earl；前位(earlyposition)是较差的位置，；位置的优势其实是个空架子，没有实实在在的牌武装它；sb,smallblind，最差的位置，flop；Dbutton,最有力的位置，如果把牌桌比作一座；是的，数学的确在扑克里扮演一个重大的角色；最重要的――最难的―
因此，当有危险的牌出现时，你应该在河牌圈中过牌。无论怎样你都打算在河牌圈下注的话，那么过牌后加注会让你用同样代价看摊牌。同样，你也可能在用这一技巧引诱对方作出吓唬或犯错。我想起很多情景，我手里有AK，桌板上有A-8-9-7-9的牌。当我在河牌圈过牌时，对手用A-J或A-10下注了，当危险的牌出现的时候，就别在不由自主的过牌了。你要试着权衡一下，在河牌圈赢钱和损失很多哪一样会好些。这需要有多年的经验才能掌握得到。
不管是多少人数的桌子，都可以笼统地划分为early position(前位)，middle position(中位)，late position(后位)三种位置，也就是把桌上总人数按前后位置分成三组。位置越靠前越被动，越往后越占优。
前位(early position)是较差的位置，只有提高出牌质量才能弥补先天不足的位置。在full game(10个玩家)的靠前位置，小对子都不应该玩。 中位middle position,在之前没有玩家call或raise的情况下可以打得猛一点，但是也要考虑到后面还有玩家随时与你为敌。被前后玩家夹成三明治是中间位置的一个弱点，建议不要在middle position玩太多连张或同花的牌，需要补牌被夹在中间是很痛苦的。应该多打对儿，并且要打得凶，扔的快。 后位late position，有利的位置，可以考虑call一些小连张小同花的牌，特别是进flop的玩家很多的时候。在紧的桌子也可以利用位置多打一些bluff，但在很松的桌子就不应该太随意出手，以免把优势的位置变为吸钱的黑洞。
位置的优势其实是个空架子，没有实实在在的牌武装它是没有用的。要利用位置，但不能依赖位置，记住是你决定在什么位置打什么牌，而不是位置决定了你打什么牌。有牌的话，即使没有好的位置，也可以利用preflop和flop的加注来占领有利位置，也就是说位置不是死的，跟玩家的处理方式方法息息相关。下面再说说几个比较特殊的位置。
sb,small blind，最差的位置，flop开始就是第一个叫牌，因此出牌质量格外重要。在flop中牌时可以check-raise去夺取有利位置，也可以赶走一些中小对或想买back door的玩家，增加赢牌的几率。但是，同样的sb却还有不同。拿10-20和15-30作比较，10-20的blinds是5-10，比例为1/2；而 15-30的blinds在一些地方(网上实地都有)则是10-15，比例为2/3。所以从长远宏观地看，15-30的sb位置可以打得比10-20的 sb松，出牌质量可以在10-20的基础上稍稍降低。 big blind，虽然也同为较差的位置，但bb有一个不明显的优势，在preflop有最后行动权，平时都不显着，等拿到AA,KK的时候，bb就可以是一个敛财的位置。有时候因桌上情况也可以选择拿着好牌在bb当核潜艇，潜伏不动，到flop或者turn才给敌人以致命打击。
Dbutton,最有力的位置，如果把牌桌比作一座山，button就是峰顶，势能最大，攻防战时如能配上凶猛火力，将对敌人起到强大的压制作用。并且从flop开始，button就是最后叫牌，可以随机应变，实虚参半，叫对手极不舒服。
是的，数学的确在扑克里扮演一个重大的角色。但你需要知道的不是像数学般艰深的，所有复杂的那些，――它没什么仅要一个四年级合理的能力用一点点练习就能处理。
最重要的――最难的――琐事是计算彩池赔率和隐含赔率。所有这些都是需要的，不过，是简单的加法，乘法，和除法。更高的数学和统计向导，以往任何时候都很少是必要的，在玩的过程中。
这章将帮助指引你通过(那些)将使你成为更好的无限德州扑克玩家的数学概念。我尽我所能使这些页尽可能的直截了当和简单易懂。如果你觉得你迷惑了，来个深呼吸，离开筹码，铅笔和纸，从实例中走开几次。如果感觉太受挫，放松跳到关于心理的下一章。经过些时间，扑克数学变成第二本能，你将几乎总是做正确的事。
我已经发现一个快的和容易的途径指出，多大可能我将抽中我的赢牌在翻牌后。首先我计算我的D出牌‖，或者将给我一个赢手的牌。例如，让我们说我拥有 T(c)9(d)而我认为我的对手是A-K(当它翻开，是A(s)K(d))。翻牌来了A(c)T(d)7(h)。我的对手领先，当然了，翻到一对A，但这有五张牌――余下的两张十和三张九――将让我领先。换句话说，我有五张出牌。
我能计算在转牌或河牌抓到一张我的牌的近似的概率，通过用四乘以出牌数。在这个例子中： 5×4=20%
根据这个D四法则‖我有大概20%的机会抓到一张赢牌在转牌或河牌。实际翻出的概率是21.2%，一个微小的不同无关宏旨。
仅有河牌要来，D四法则‖变成D二法则‖。我们说转牌来了8(c)。我们找的五个出牌没有来，但它让我们的手牌变成两头顺子兆牌能用任何一张J或6凑成顺。增加的八个出牌总共给我们十三张出牌。用D二法则‖：
实际翻出的百分比是29.5%，但再次的，那已经足够接近。
若纯粹为了坚持精确，我在书的末尾收录了表格列出了精确的百分比。看270页的D出牌‖。 (注释：D四法则‖被轻微地打破在有大数量的出牌时。当有十五个或更多的出牌，公式对赢的机会估计过高，但当有那么多出牌，赢的机会如此大使得将几乎没有问题。加上，你通常仅在Omaha里有那么多出牌，在无限德州扑克里不会。)
首先(也是最重要的一点)在我看来这最重要的技巧就是一定要摆正心态：牢记着您来玩牌不是为了来寻开心的，我们的目的是为了赢钱。如果您只是为了来寻开心的，这时您真的就该考虑退出啦。我们可能都听到过一个流行的说法 -
- fold emC 离开或类似的事。
玩扑克的意义远远大于您拿到一手好牌。高手都应该明白拿到好牌和坏牌只是一种偶然的几率。当然，一盘好局是基于机会或运气的，但懂得几率的学问将会使您更容易地拿到好牌。 扑克比赛也有很多种变化，而您只需要参加您熟悉的比赛 C 尤其是在玩钱的时候。这将给您最佳的机会去赢得比赛，同时也因为一些显而易见的原因 C 比如说如果您根本不知道如何玩，那您又怎么可能会赢呢。那不是说您不能每次都能那么好运，但如果您想要成为一名D常胜将军‖，您就非得明明白白地知道自己您需要怎么进行比赛。
Stay sharp C 就是说如果您感觉到疲倦或是背运时应该适时地休息。如上所述，玩扑克是很需要运气的，但同样也不可缺少的是玩家的智慧，聪明的玩家才能机智地取胜。这种智慧只能是来源于比赛的积累。您应该认识到是多么应该在低成本的比赛中不断地磨练自己的技巧。同样，明智的您也应该明白在进行这类比赛的同时，尝试不同的扑克玩法是大有益处的。 学着去想对手之所想。您真的需要去试着设身处地地想想，看自己是否能读懂对手的一举一动并从他们自己不经意的暗示中获知其手中握有的王牌。学会这些将使您有更大的赢面。 看扑克的书籍
牛顿说：如果说我可以看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。在到处都是丰富的，生动的POKER资料的情况下，没有一个POKER学徒会孤军奋斗。
如果你想在百易德州扑克赢分，你就要得到以下七种武器：
1、耐心，非常有耐心：德州扑克是一种需要极大耐心的游戏，实际上，如果你想赢分，这种游戏有时候非常无聊乏味，长时间弃牌会让许多很有耐心的玩家失去耐心，从而玩一些不值得玩的牌，这是许多玩家输钱的主要原因。一个人你可以耐心一小时，一天，一周，那么一年呢，十年呢？要在属于别人的时间里等待自己的时间到来，虽然痛苦但是这也是人生所
必须的。如果有耐心一月内收入1000绝对没问题。这就是我要说的第一种武器D耐心‖。
2、观察，观察对手，同时隐蔽自己，网络中通过对手的id，言语，习惯，位置，加注，表情等等判断对手牌的强弱，是德州扑克最重要的一种游戏技巧。无论你手中有什么样的牌，都要冷静思考，隐藏自己真实目的，通过各种手段让对手无法通过你的下注猜测你的牌型。当然在网上玩扑克，你的下注节奏依然能够透露出一些秘密，所以要注意不断改变自己的下注节奏。这就是我要说的第二种武器D观察‖。
3、目标，输赢多少是你的底线。赢则随机应变，输分三分之一或者二分只一就要休息，终止游戏，明天你还可以继续玩，百易不会因为你一天的不玩就关闭。赢就不多说了，关键在输，当你输掉所有分的一半的时候，一定要冷静，休息，如果你能做到这点，你就是高手中的高手，当然不是指玩牌的技巧，而是你的人生都会因此而不同。这就是第三种武器D目标‖。
4、情绪，可以随时随地调节自己的情绪，不会让情绪影响自己的游戏原则。游戏情绪化，是每个玩家都可能犯的错误。有人说，在德州扑克牌桌上赢钱，靠的是你的对手多犯错误，而你少犯或不犯错误。特别是游戏中连续被bb后，玩家会疯狂失去理智，那时候即使你输光所有的分，别人还笑你是傻b呢！比如我，第一次打到1500万，一周内输到3000分，又打到1900万，前天因与女友吵架情绪失控一小时输掉1100万。昨天认为自己很有信心能用剩下的400 万继续战斗，原来这是自己内心的盲点，这不是自信，是自负。学不会控制自己，在多的分都会在瞬间化为乌有，这就是德州扑克的危险。第四种武器是目前很多破产n次万玩家最想要的D控制情绪‖。
5、进攻，we.sky说让你的进攻让对手犯错误去吧！拿出你最有利的武器去进攻敌人，对于敌人坟墓就是送给他最好的礼物。拥有这件武器的人是最能利润最大化的，用敏锐的分析洞察来攻击敌人最薄弱的环节。这些玩家不会放过任何机会从对方的口袋拿自己的利润。这就是最锐利的武器D进攻‖。
6、放弃。知道什么时候该放弃，什么时候该坚持：不要为了芝麻而丢了西瓜。该坚持时要坚持，不要因为连输几次而怨天尤人，要相信运气总有眷顾你的时候，只要你能坚持到那一刻，你就能战胜对手。竹鱼里面懂得放弃手中的牌的人很多，他们已经练会了第六武器的基本招数，放弃手中的牌，其实工作，爱情，事业，朋友，所有的所有都会面临着放弃还是坚持。我个人认为德州扑克教会我们最伟大的收获，最应该得到的就是这第六种武器，放弃。
7、学习，将玩德州扑克游戏当成一种娱乐。不要长时间沉溺其中。关于第七种武器，是我自己目前拥有的唯一武器，因为古龙大师写的七种武器只有六种，第七种就没有，第七种武器就是自己的感悟吧。
相传扑克最早起源于中国，并可追溯至公元969年辽穆宗时期的D叶子戏‖。同时也有人相信扑克来自波斯的阿斯纳斯、埃及的塔罗牌、甚至印度、法国、德国等地。众说纷纭，难以定论。想确认扑克真正的发源地，恐怕比得个皇家同花顺还难。
据说今日的德州扑克最早出现于一百年前的达拉斯。这个易学难精的游戏在过去三十年内已经流传甚广，并受世界各国的棋牌游戏爱好者所青睐。至今，征服世界扑克系列赛是扑克界至高的荣誉，也是每个扑克迷的梦想。在这里，我们将简单地介绍德州扑克的基本玩法，带你进入德州扑克的精彩世界。
1、基本知识
德州扑克用52张扑克牌，没有王牌。与D梭哈‖不同的是，每个玩家只分得两张牌，称之为D底牌‖。接下来的是五张陆续朝上发出的公共牌。每个玩家的最终成手以五张公共牌和自己的底牌中最好的五张牌凑成。所用的公共牌和底牌的数目不限。
每个玩家在牌局开始的时候都会发得两张面朝下的底牌。在经过所有的押注圈以后若仍不能分出胜负，游戏则会进入D摊牌‖阶段，也就是让所剩的玩家亮出各自的底牌以较高下。
2、成手的强弱
这代表成手的大小。在摊牌阶段，每个玩家以七张牌(自己的两张底牌和五张公共牌)里面的最好五张组成自己的最佳成手。成手最强的胜出。这可以是玩家的两张底牌和三张公共牌，或一张底牌加四张公共牌。有时甚至五张公共牌皆是每个人的最佳成手，则大家可以平分D底池‖(奖金)。
每一成手必定由五张牌组成。如果两个玩家同样有一对DA‖，则拥有较大的D起脚牌‖(即不成对的最大的一张牌)的玩家胜出，把对手D踩在脚下‖。
在德州扑克里，四种花色不分大小。而同花A，K，Q，J，10和同花K，Q，J，10，9之间是拥有高牌A的玩家胜出。
3、成手举例
玩家A有一对A和一张K作为起脚牌。
玩家B也有一对A，但起脚牌是Q，所以牌面上次于玩家A。
玩家C有三条。他的口袋9(成对的底牌称之为D口袋对子‖)和公共牌里的9为他凑成了有利的三条9。他的牌面因此胜过前面两位。
玩家D更胜一筹！凭自己的两张底牌和公共牌里的9，10，J，他凑成了8－Q的顺子。 玩家E以自己的两张D方片‖加上公共牌里的三张D方片‖组成了一手方片同花，因此在牌面上是压倒性的赢家！
4、押注的顺序
每一圈押注的顺序决定于庄家D按钮‖的位置。这是一个玩家顺时针轮流持有的一个标志。每圈押注由按钮左侧的玩家开始。玩家按顺时针的次序D叫注D(做决定)，持有按钮的玩家当然就是最后一个作决定的人。所以，D按钮‖的位置是较为有利的，因为他可以在参考众人的决定后才想出应对策略。依下图的情况，玩家A先叫注，玩家B第二，持有按钮的玩家C最后一个叫注。
在每一局开始以前，也就是在给每个玩家发两张底牌以前，台面上必须有D盲注‖。这是对玩家强制性的押注，为的是确保D底池‖(每一牌局的奖金)至少有个数。德州扑克里的盲注一般由按钮左侧的两人付出。左侧第一位押相等于下限注的一半的D小盲注‖；左侧第二位押相等于最低注的D小盲注‖。盲注是强制性的。在场的玩家自然随着每一轮换庄而轮流担起押盲注的任务。
按照下图的情况，是玩家A和玩家B押小、大盲注。盲注只在牌局开始的时候押。
下了盲注，发了牌，就是开始押注的时候了。
第一圈押注称为D前翻牌圈‖或者D底牌圈‖。这个押注圈未发公共牌，所以玩家只有各自的底牌。底牌圈过后是D翻牌圈‖，即在同时发出三张公共牌以后进行。接下来是D转牌圈‖，在第四张公共牌发出以后进行。而在五张牌都出现以后的押注圈就是D河牌圈‖了。
每个玩家基本上在轮到叫注的时候都有五个选择？？押注、跟进、让牌、添加筹码或封牌。在一圈里尚未有人押上筹码的时候押上筹码称之为D押注‖。D跟进‖是指跟着押上同等于众人已经押上了的注额。D让牌‖是在本身所押上的注额早已同等于众人押上的注额时，或者在尚未有人押注的情况下选择不押注，把机会 D让‖给下一位。D添加筹码‖是抬高注额。下一个人想要继续参与游戏就得押上和众人一样高的注额，否则就得D收牌‖，也即是放弃。
每一个押注圈在大家都D跟进‖至同等的注额时结束，并进入另一圈押注。若大家都在押注圈里收牌，则剩下的一个是赢家。记得，向来是按钮左侧的玩家先开始行动。但由于被迫押上盲注也等于一次叫注，所以在开局的时候都会跳过按钮左侧的两位玩家由左侧第三个玩家开
D全押‖指的是把手上剩下的所有筹码一次押上。一个人在没有足够筹码跟进的时候可以把仅剩的筹码全部押上。在D无上限‖游戏里，D全押‖是一种策略。一旦有人全押，底池即会分出一个D边池‖。边池的奖金数只包含众人从牌局开始到跟进他的D全押‖为止，这时间内所投入的注金。如果牌局在此人全押以后仍然继续，则此人有权利赢走D边池‖，但不能赢得其他玩家在他全押以后投进D底池‖的奖金。在这种情况下，第二强的成手将赢走全押以后，也即是剩余的奖金。
9、限注游戏
每个牌局都有一个指定的注限。注限的高低决定盲注的大小。在一个$1/$2牌局里，小盲注(按钮左侧)是$0.50，大盲注（按钮左侧第二）是$1。在限注游戏里，$1/$2牌局代表下限注$1，上限注$2。意思是每局的首两个押注圈里（即底牌圈和翻牌圈），每一次押注或添加筹码限定为$1，而在后两个押注圈里(即转牌圈和河牌圈)则是$2。
需要注意的是每一个押注圈只允许三次添加筹码。打个比方――在翻牌圈里，某人开始押注$1。下一个玩家如果选择添加筹码(只能加$1)，注额就是$2。接下来的人可以不跟(收牌)，或D跟进‖至$2，或者D反加‖至$3。若有人跟进至$3，后面的玩家也可以再反加至$4。可是一旦有人反加至$4，此押注圈就到了三次添加筹码的上限次数，任何人都不能再D反加‖了。接下来的玩家于是只能跟进至$4或者收牌。
因此，选择适当的注限是很重要的。你若只有$100，可以考虑回避$10/$20的限注游戏，以免被迫提早把老本全押上。
10、无上限
D无上限‖是德州扑克里最受欢迎的形式。在无上限游戏里，任何人都可以在任何时候押上任何数目的筹码，但最低限度得等于该押注圈的注限。若有人全押，其他手上有更多筹码的玩家也可以D反加‖他。如果这时候没有其他人有足够的筹码再反加，而只能跟进，这个牌局就直接进入D摊牌‖阶段。若第一个玩家的成手最好，他仍能赢走D边池‖。
掌握了德州扑克的基本玩法，你如今可以出去闯荡江湖了！开始的时候碰点钉子是不可避免的，但渐渐地你就会抓到窍门了。祝你你早日成为一位牌艺高手！
在河牌圈中，你应该考虑一下和对手潜在的牌相比，你手中的牌处于什么样的等级上。这是一个最基本的过程，但是确实必须经历的重要环节。我看过一些玩家曾经犯过相当可怕的错误，只是因为他们没有估计出什么样的牌会击败他们。一天晚上，我记得一个玩家持有8-8，桌板上是8-J-J-J-J，在河牌圈中他下注。如果他考虑过的话，那么他应该放弃下注。我还记得有一次，一个玩家手里有Jh-10h，桌板上是10s-Js-Qs-Ks-Qd,他在其它玩家下注后随即跟注。多么可怕的决定啊。
在河牌圈中利用这样的技巧会帮助你很好的洞察对手。举个例子，如果你有AK，桌板上是：Ad-7s-5s-3h-7d，那么7-x、A-A、5-5、 3-3或4-6就可以把你击倒。现在你要试着换位思考，估算出对手会有什么牌。如果我的对手经常用适当的好牌下注，但在这种情况下又不这么做了，我就能排除A-A、5-5、3-3、A-7、7-5、7-3或4-6这些牌了。这样，我的对手不可能有7-x要不他就是在吓唬别人。如果你把那些可能性变小了，我希望我能进一步给你一些建议以便让你作出正确的决断。这需要很好的了解你的对手，掌握技巧，这样才能进入世界级高手的行列，尤其是在大DU注扑克比赛中。
生死线上的较量
在河牌中加注时有一些事情是需要注意的：你的对手异常坚信他可以击跨你。在翻牌圈叫注不是很危险的，因为你的对手偶然会在这个阶段试探你一下。如果一个玩家在河牌时候加注，
三亿文库包含各类专业文献、中学教育、各类资格考试、外语学习资料、专业论文、生活休闲娱乐、14德州扑克基本常识(规则、术语、基本策略、各种技巧)等内容。　
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学年高二数学新人教B版选修2-3学案：2.2.2事件的独立性
学年高二数学新人教B版选修2-3学案：2.2.2事件的独立性
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2.2.2　事件的独立性
1.理解相互独立事件的定义及意义.(难点)
2.理解概率的乘法公式.(易混点)
3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.(重点)
[基础·初探]
教材整理　事件的相互独立性
阅读教材P50～P52例2以上部分，完成下列问题.
设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(1)当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也相互独立.
(2)若事件A，B相互独立，则P(B)＝P(B|A)＝，P(A∩B)＝P(A)×P(B).
3.n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立.
4.n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.
下列说法正确有________(填序号).
①对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；
②若事件A，B相互独立，则P(∩)＝P()×
③如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝
④若事件A与B相互独立，则B与相互独立.
【解析】　若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以①正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与相互对立，不是相互独立，故④错误.【答案】　①②③
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：　解惑：　
[小组合作型]
相互独立事件的判断　判断下列各对事件是否是相互独立事件.
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
【精彩点拨】　(1)利用独立性概念的直观解释进行判断.(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断.(3)利用事件的独立性定义式判断.【自主解答】　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝.∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立.
判断事件是否相互独立的方法
1.定义法：事件A，B相互独立P(A∩B)＝P(A)·P(B).2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.3.条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.
[再练一题]
1.(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B.袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D.A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥
【解析】　(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响.故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件.故选A.【答案】　(1)A　(2)A
相互独立事件发生的概率　面对非洲埃博拉病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，.求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率.
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)他们都研制出疫苗，即事件A、B、C同时发生，故P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝××＝.
(2)他们都失败即事件
故P(∩∩)＝P()×P()×P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(∩∩)＝1－＝.
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生.
[再练一题]
2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率.
【解】　记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件.(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝×＝×＝.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
[探究共研型]
事件的相互独立性与互斥性探究1　甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件∩B与A∩呢？
【提示】　事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而∩B与A∩是互斥事件.
探究2　在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
【提示】　“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝∩B＋A∩.所以P(C)＝P(∩B＋A∩)＝P(∩B)＋P(A∩)＝P()·P(B)＋P(A)·P()＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
探究3　由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
【提示】　相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件 互斥事件条件 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件符号 相互独立事件A，B同时发生，记做：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记做：A∪B(或A＋B)计算公式 P(A∩B)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)　红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率.
【精彩点拨】　弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.【自主解答】　设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩∩ ，∩E∩ ，∩ ∩F，以上3个事件彼此互斥且独立.
∴红队有且只有一名队员获胜的概率
P1＝P[(D ∩ ∩)∪(∩E ∩)∪(∪ ∪F)]＝P(D∩
∩)＋P(∩E∩)＋P(∩∩F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E ∩，D∩∩F，∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(D∩E∩ )＋P(D∩ ∩F)＋P(∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件∩∩，且P(∩∩)＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(∩
∩)＝1－0.35－0.1＝0.55.
1.本题(2)中用到直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法.
2.求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
[再练一题]
3.(2016·邯郸高二检测)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大.
【解】　记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率：
P3＝(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝(∩∩)＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.
[构建·体系]
1.抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A.互斥事件 B.对立事件
C.相互独立事件 D.不相互独立事件
【解析】　由已知，有P(A)＝1－＝，P(B)＝1－＝，P(A∩B)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.【答案】　C
2.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是(　　)
A.互斥事件 B.相互独立事件
C.对立事件 D.非相互独立事件
【解析】　根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件.【答案】　D
3.明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
【解析】　设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)＝1－0.20×0.10＝0.98.【答案】　0.98
4.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________.
【解析】　加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率为1－＝.【答案】　
5.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率.
【解】　记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.(1)P(A∩B)＝P(A)×P(B)＝×＝.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(∩)＝1－P()×P()＝1－×＝.
我还有这些不足：
(1)　(2)　
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一、选择题
1.有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”.
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有(　　)
A.3个 B.2个　　
C.1个　　 D.0个
【解析】　①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，P(N)＝.即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(M∩N)＝，P(M∩N)＝P(M)P(N)，因此M，N是相互独立事件.【答案】　C
2.(2016·东莞调研)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则表示(　　)
A.2个球不都是红球的概率
B.2个球都是红球的概率
C.至少有1个红球的概率
D.2个球中恰有1个红球的概率
【解析】　分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确.【答案】　C
3.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
【解析】　问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.【答案】　A
4.在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图2-2-2所示.假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　)
【解析】　青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，P2＝××＝.所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.【答案】　A
5.如图2-2-3所示，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
【解析】　“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A，则P(A)＝＝，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝，事件A，B相互独立，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝，故选A.【答案】　A
二、填空题
6.(2016·铜陵质检)在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________.
【解析】　“从200个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B.“从240个螺母中任取一个是A型”记为事件C，则P(B)＝，P(C)＝.∴P(A)＝P(BC)＝P(B)·P(C)＝·＝.【答案】　
7.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________.
【解析】　用A，B，C分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
且P( ∩∩ )＝P()P()P()＝××＝.
所以此密码被破译的概率为1－＝.
【答案】　
8.台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________.
【解析】　设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确记为，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立.所以至少两颗预报准确的概率为P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.【答案】　0.902
三、解答题
9.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(1)求该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【解】　记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.
10.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列.
【解】　设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0,1,2,3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3,2,1,0，所以ξ的可能取值为1,3.则P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(1∩2∩3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(1)·P(2)·P(3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：ξ 1 3
P 0.76 0.24
[能力提升]
1.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
【解析】　由P(A∩ )＝P(B∩ )，得P(A)P()＝
P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B).又P( ∩)＝，
∴P()＝P()＝，∴P(A)＝.
【答案】　D
2.三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图2-2-4的电路中，电路不发生故障的概率是(　　)
【解析】　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)
＝×＝.故选A.
【答案】　A
3.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是，，两人租车时间都不会超过四小时.求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.
【解析】　由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为，，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.【答案】　
4.在一段线路中并联着3个自动控制的开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.
【解】　如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P()＝1－0.027＝0.973.
即在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.
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