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[第1课]矩阵简介
矩阵乘法(一)
矩阵乘法(二)
矩阵的逆(一)
矩阵的逆(二)
矩阵的逆(三)
矩阵法求解方程组
矩阵法求向量组合
三元线性方程
求解三元方程组
直线的参数表示
线性组合和向量张成的空间
关于线性无关
线性无关的进一步介绍
线性无关的相关例题
线性子空间
线性代数——子空间的基
向量的点积和模长
向量点积的性质及证明
不等式的证明
三角不等式
向量夹角的定义
R3中由点与法向量定义的平面
外积与夹角正弦值的关系
点积与外积的比较
矩阵行简化阶梯型1
矩阵行简化阶梯型2
矩阵行简化阶梯型3
讲解矩阵与向量的乘法定义
矩阵的零空间的定义与性质
矩阵的零空间的计算
零空间与线性无关间的关系
讲解矩阵的零空间的定义与性质
零空间与列空间
通过求出两个列向量的叉乘积求出平面的方程
通过反证法替换基底向量中的元素来推导出矛盾，得出所有子空间基底必相等。
求一个矩阵的零度的方法是将该矩阵化成阶梯型A，求Ax=0自由变量的个数即是零度。
通过把一个矩阵化成阶梯型，进而求出不相关主列的个数即秩
通过证明Rx=0和Ax=0中零空间的一致性，推出基底列和主列的关系。
从五个向量中选取了三个向量，证明了其符合张成C(A)空间的两个条件。
更加深入地探讨函数概念。
将函数的定义域范围从数字推广到了向量，用T代替f，、。
介绍了变换中一类特殊的变换----线性变换满足的两个条件。
本节讲述矩阵向量乘法和线性变换之间的关系。
介绍如何将一个线性变换表示成向量与矩阵乘积的形式。
通过线性变换将R2中的三角形映到R2中的另一个三角形
本节视频讲述子空间的变换 以及变换的像空间的概念。
介绍值域的子集合关于某个变换的原像的概念
线性变换中关于原像和核的定义及相关例题
介绍线性变换的加法运算规则和数乘运算规则。
详细介绍矩阵加法和标量乘法。
构造一种变换使得一个三角形翻转并在y方向上伸长。
线性变换的实例。
对R2中做旋转变换的扩展
介绍了单位向量的概念，以及构造与给定向量同向的单位向量的方法。
本集介绍了向量到直线投影的定义、几何含义及求法。
详细计算了投影到直线的情况。
介绍了两种线性变换及其复合变换。
验证复合变换的变换矩阵等于两个线性变换对应的变换矩阵的乘积。
举例来说明矩阵乘积问题，并从变换角度来看矩阵乘积问题。
利用线性变换证明两个或两个以上矩阵乘法满足结合律。
考察矩阵乘法的又一个性质。
介绍了逆函数的概念并证明了其性质。
利用函数可逆性的定义从两个方向相互证明一个函数f的可逆性和f(x)=y解的唯一性是等价的这一命题。
介绍满射函数和单射函数是如何定义的
证明一个函数是可逆的当且仅当它是一个映上的而且是一对一的函数。
通过这个变换的对应矩阵的维数可以判断变换是否是满射
通过线性变换求解Ax=b的解集。
介绍并论证矩阵在1-1映射下进行变换的条件。
某变换可逆的两个满足条件，以及条件所隐含的几何意义。
利用线性变换满足的两个条件：T(a+b)=T(a)+T(b) 和 T(ca)=cT(a)
（a和b都是同一集合中的向量）来证明逆矩阵是线性变换。
根据逆矩阵本身的定义：从值域到定义域的映射，利用增广矩阵及行变换来求出一个矩阵的逆矩阵。
通过上一课得到的方法，实际运用试求逆矩阵。
通过前两课学习的方法，用2×2矩阵的一般形式推导2×2矩阵的逆矩阵的一般形式以及2×2矩阵行列式的求法。
基于上一节课所学的2×2矩阵的行列式求法，寻求3×3矩阵行列式的求法。
本课介绍了递归的思想，通过递归定义以及前两课提及的最基本的2×2矩阵行列式的求法，推广出n×n矩阵一般形式的行列式求法。
上节课介绍了求矩阵行列式的基本方法，我们举的例子是沿着第一行算。这节课我们探索其它求矩阵行列式的方法，不仅仅是可以沿着第一行，而是能够任意挑选一行或一列，以达到简化运算的目的。
利用增广矩阵简单记忆求行列式公式。
探寻当矩阵的其中一行乘以一个系数k时行列式与原行列式的关系：即为原行列式的k倍。
对于上节课标记错误的一点修正。
当有三个矩阵X Y Z，出了某特定第i行以外全部相等，而Z的第i行为X和Y的第i行相加得到时，三个矩阵的行列式有如下规律：det(Z)=det(X)+det(Y)86.
矩阵有重复的行或列，行列式为0。
进行行变换不改变矩阵的行列式。
上三角矩阵行列式的求解。
一个4×4矩阵化简成上三角矩阵，并求解行列式。
求解由两个向量构造的平行四边形的面积。
一个区域在线性变换下映射到另一个区域，这两个区域的面积比就是变换矩阵的行列式的绝对值。
求解矩阵的转置矩阵。
方阵进行转置，行列式不变。
矩阵乘积的转置等于矩阵调换顺序之后分别做转置的乘积。
转置矩阵加法与求逆过程的运算一般性质。
向量转置的基本运算及重要性质。
通过例子讲解行空间与左零空间的定义。
由一个在R3中的例子而直观地看出左零空间和行空间。
讲解一般情形下的子空间V的正交补的定义性质及计算方法。
通过计算A与A的转置的的列空间的基向量的个数而证明出矩阵A的秩等于A的转置的秩。
通过计算子空间V的列空间的维数和左零空间的维数而证明出V的维数与V的正交补空间的维数的和等于n
找出子空间V的列空间的一组基和V的左零空间的一组基 并证明出它们合起来就是Rn的一组基
研究一个子空间与其正交补空间的正交补空间的关系并证明
给出零空间的正交补并证明
求方程Ax=b在行空间中的唯一解并证明其唯一性
用几何方法从图像上讨论方程Ax=b在行空间中的解
证明A'A可逆
介绍子空间上投影的概念并用投影的方法计算方程的解
将子空间上投影的定义应用于平面并从几何上来描述
证明子空间上的投影本质上是一个线性变换
R4中关于子空间投影矩阵的例子
求投影矩阵的一种简单方法
证明一个向量在子空间中的投影是该子空间的所有向量中距离原向量最近的向量
介绍最方程Ax=b小二乘解的定义及几何意义
利用最小二乘原理求到三条直线交点距离之和最小的点
利用最小二乘原理求过平面上四个点的直线的最佳逼近
定义一个向量在给定的一组基下的坐标
利用基的变换矩阵求一个向量在一组基下的坐标
在基向量的变换矩阵是可逆的条件下，一个向量在标准基下的坐标可以与它在其他基下的坐标相互转换
当把标准基底变成一个随意选取的基底时，线性变换矩阵也随之变换且和原来的矩阵有一定关系
本节视频是用一个具体的例子验证上节视频结论是否成立
本节视频是延续上一讲，用一个具体例子证明了所得结论是成立的，并且指出了选取恰当基底的重要性
本节视频从一个具体的变换（反射变换）出发，通过改变基底向量，使得求解变换矩阵A变得更简单。
本节引出了一类特殊的基底---标准正交基，并证明了它两个基本性质
本节介绍了标准正交基下求解坐标方法的特殊性和简洁性，并用一个具体的例子验证了这个结论。
利用正交基做向量到子空间上的投影
使用正交基计算向量到子空间上的投影矩阵
用改变基底的方式来计算镜像变换的矩阵
正交矩阵具有保角和保长度的性质
通过空间的一组非标准正交基获得一组标准正交基的常见作法
通过一个求平面上的一组标准正交基的例子掌握Gram-Schmidt过程
再次用Gram-Schmidt过程求解一组标准正交基
通过几何直观引入特征值和特征向量的概念并简介它的主要用途
证明求解特征值问题转化为求解行列式等于0下的λ这一等价命题
求解一个2×2矩阵的特征值：通过求解2×2矩阵的特征值获得求解一般方阵的特征值的方法
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个矩阵的特征向量及它的特征空间
用特征多项式求解方程确定3×3矩阵的特征值
根据特征值，特征向量，特征空间的定义计算一个3×3矩阵的特征向量及它的特征空间
通过求变换矩阵的特征向量获得一组基从而构建很好的坐标系
将三个向量a b c的外积a×b×c展开成用内积表示的形式
介绍在已知具体的平面方程的情况下如何求出该平面的法向量
推到点到平面的距离公式并进行应用
求两个相互平行的平面之间的距离
学校：可汗学院
讲师：Salman Khan
授课语言：英文
类型：数学 可汗学院
课程简介：理工类有三门基础课，一门是微积分，一门是概率与统计，另外的一门就是线性代数了。在这个课程里面，主讲者介绍了线性代数的很多内容，包括：矩阵，线性方程组，向量及其运算，向量空间，子空间，零空间，变换，秩与维数，正交化，特征值与特征向量，等等。以上这些内容是线性代数的关键内容，它们也被广泛地应用到现代科学当中。本课程的特点是每个专题都单独开设一个视频。观众无需从头到尾持续观看，可以有的放矢地选择自己感兴趣的章节来学习。
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可逆矩阵及求逆矩阵的方法
【阜阳师范学院论文栏目提醒】：本文主要为网学会员提供“可逆矩阵及求逆矩阵的方法 - 讲义教程”，希望对需要可逆矩阵及求逆矩阵的方法 - 讲义教程网友有所帮助，学习一下!
年第期上科技置向导◇高教论述◇可逆矩阵及求逆矩阵的方法胡淑娟河南财经学院成功学院马宝艳河南巩义【摘要我们学习了逆矩阵并且知道了用伴随矩阵和初等变换法可以求一个可逆阵的逆矩阵。&&&&本文将在此基础上介绍用分块求逆法、二阶矩阵的公式求逆法、利用解线性方程组等来求一个可逆矩阵的逆矩阵。&&&&【关键词】伴随矩阵初等变换逆矩阵【】【方法一伴随矩阵法定义设吩是级方阵用表示的『元的代数余子式√……矩阵卜。&&&&称为的伴随矩阵记作‘屯…厶若≠并且当可逆时有丌‘这种方法在理论上很有用在实际计算中常用于级或级矩阵。&&&&例用伴随矩阵法求解因为一所以可逆而一解因为陋一所以可逆而一。&&&&‖阿‖彳导三岔。&&&&阿‖卜三方法二二阶矩阵的公式求逆法设其中≠≠舻恒一罗【一一丽阻叫这个公式的推导思想是从啪可这个重要结论出发构造一个矩阵去左乘使其等于单位矩阵即若那么‘。&&&&这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。&&&&我们称为二阶矩阵的公式求逆法。&&&&方法三初等变换法这是一种最常用的一种方法为了看出如何用初等变换法求逆矩阵先证一个引理引理可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。&&&&换句话说可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。&&&&即皿‖同理有骂匕、例用初等变换法求――所以一―方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若忍级矩阵可逆则’可于是一的第列是线性方程组的≈的解。&&&&…因此我们可以去解线性方程组书其中卢…。&&&&’然后把所得的解的公共式中…。&&&&分别用…………代替便可求得一的第。&&&&…。&&&&列。&&&&这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。&&&&方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大如果把该矩阵分块再对分块矩阵求逆矩阵则可减少计算量。&&&&用分块求逆法解题的具体步骤为根据所给矩阵的特点分块为三笠选择适当的分块求逆公式常用的分块求逆公式有设曰…均可逆则。&&&&泞悟耋。&&&&黔留“孙絮。&&&&∞卜??‖??。&&&&≯二。&&&&轷∞∞●●●●●●●●●●●●●●●●●。&&&&五。&&&&一丑叶王万方数据◇高教论述◇科技目向导年第期上、。&&&&‘‘????管暖≯二二一例设四阶方阵―试求解设矿匕如则呈是分块矩阵易故一―三三方法六利用哈密尔顿凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿一凯莱定理设是数域上一个跏级矩阵以层“是的特征多项式贝彳‖一口口塑??????。&&&&埘“…设声口爿”啦”??????口一口其中舻一当可逆时≠即≠由”””…声可得一÷‖彳肛‘一舯…‘目一÷‖“吗和…口卜冒‘加和一和??一‘冒―例设试用哈密尔顿一凯莱定理求。&&&&―解以‖二弘―一一姒??“一三÷方法七利用最小多项式求逆矩阵定义以阶矩阵为根的多项式中其中次数最低的首项为的以为根的多项式称为的最小多项式。&&&&引理设是矩阵的最小多项式那么“以为根的充分必要条件是整除厂。&&&&。&&&&由上述引理和定义及哈密尔顿一凯莱定理知非退化矩阵的最小多项式的常数项非零即设的最小多项式为’一…¨坻则有常数项。&&&&又由于’’咀州…』则得一―“…‰届故一一―州…把届下面举例说明此法的应用但此法并不常用。&&&&例求的逆矩阵。&&&&解因为的特征多项式为一所以的最小多项式为―的因式显然―≠而―因此的最小多项式为一即≠所以由‘一―一”‰”。&&&&…‰届得纠』【参考文献】张新发初等变换的关系与可逆矩阵的分解明大学数学钱吉林高等代数题解精粹第二版【】大连大连理工大学出版社。&&&&骈俊生分块矩阵的初等变换及应用叨阜阳师范学院学报自然科学版“―田代军线性代数题解指南【】天津天津大学出版社张海涛逆矩阵的求法阴大同职业技术学院学报上接第页其次专业设置不尽合理学生所学知识过于陈旧也是影响大学生就业的主要因素。&&&&因此建议一些高校不要在一味追求规模上宏大的同时却忽视了与市场的完全对接更应在学生质量、专业设置、诚信教育以及所学文化知识的更新速度上下功夫。&&&&这样才能从根本上改变当前就业形势。&&&&完善就业指导机制和思路大学生就业形式日趋严峻这就要求各高校必须提高自身服务质量“既要领进门又要送出门”。&&&&高校要完善就业指导机制指派专职部门和专职老师负责指导要针对自身学生特点制定相应指导方案不要把就业指导单纯看成是几天或者几十天就能完成的事要从新生入学初期便开始对不同专业有针对性的进行就业指导帮助学生学习必备的求职技能和相关知识从而形成长效机制提高大学生竞争水平。&&&&结束语随着大批毕业生的陆续涌入社会当前我国大学生就业问题面临着前所未有的考验如何妥善安置大学生使其能够各尽其能、更好地服务于社会这是我国急需解决的重大问题。&&&&我认为只有通过社会各部门以及学生自身的共同努力当前就业问题才有可能得到缓解和改善才能让众多大学毕业生更好地服务予社会。&&&&【参考文献】【】张玲诚信缺失就业市场谁受伤中国大学生就业杂志【】杜德省大学生就业中存在的问题及对策当代文化与教育研究【】蒋旭平浅议大学生如何应对就业难闻题叨沿海企业与科技【李世广大学生就业指南【】广州华龄出版社《习三』万方数据可逆矩阵及求逆矩阵的方法作者胡淑娟 马宝艳作者单位河南财经学院成功学院河南巩义451200刊名科技致富向导英文刊名KEJI ZHIFU XIANGDAO年卷期20107被引用次数0次 1.张新发 初等变换的关系与可逆矩阵的分解 200322.钱吉林 高等代数题解精粹 20003.骈俊生 分块矩阵的初等变换及应用 200434.田代军 线性代数题解指南 20045.张海涛 逆矩阵的求法 20042 1.期刊论文 孙胜先.钱泽平.SUN Sheng-xian.QIAN Ze-ping 方阵积伴随矩阵的一个等式的证明及应用 -安徽工程科技学院学报自然科学版2005203 首先利用矩阵的初等变换给出了伴随矩阵的几个引理并利用这些引理及初等方阵的理论对n阶方阵AB证明了1&&
【】【】【】【】【】
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刘老师您好!我想问一下，在矩阵的初等变换与初等矩阵的关系中，那个相同的m阶初等矩阵怎么求的？是固定的？还是和矩阵A有关系？如果有是什么关系呢？
我妻由乃丶y1y
那个相同的m阶初等矩阵怎么求的？--什么意思
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问一下可逆矩阵的概念推倒问题.Ax=b如果存在B使BA=EB*Ax=BbEx=Bb从而得x=Bb我不懂E是矩阵,x是常数.怎么变成x=Bb的?E是单位矩阵在乘法有意义的情况下 总有 EA=AE=A
设Am行n列, 则 b是m行1列x 是列向量, 一个 n行1列的矩阵.
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