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线性代数 向量空间：设V1={x=(x1,x2,...xn)|xi为实数,满足x1+x2+...+xn=0},V1是否为向量空间?为什么?
在矩阵加法和数乘运算之下可以构成向量空间.由于 V1 是 R^n 的子集,而且若 x 和 y 是V1 中的两个元素,则容易得到,对数 k 有 kx 和 x+y 也是 V1 的元素.从而由子空间判别定理可知 V1 是 R^n 的子空间,因此是向量空间.
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判断V1={(x1,x2,x3)|3x1+2x2-x3=0}是否是向量空间并证明
我们令x3为任意常数t,x2为任意常数s,则x1=(t-2s)/3(x1,x2,x3) = t*(1/3,0,1) + s(-2/3,1,0)所以V1是e1=(1/3,0,1),和e2=(-2/3,1,0)为基张成的空间证明很简单,空间的三个条件1.0向量属于V1显然成立2.向量对加法封闭,这很容易证明v1 = s1 * e1 + t1 *e2,v2 = s2 * e1 + t2 *e2,v1 +v2 = (s1+s2)e1 + (t1+t2)e2显然也属于V13.向量对数乘封闭也同样可以证明
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扫描下载二维码向量空间及其12个相关数学词条
向量空间又称线性空间。在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
　　向量空间或称，是现代数学中的一个基本概念，是研究的基本对象。
　　向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其概念是：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘法两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。
向量空间相关图书
向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。
　　在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为。
公理化定义
　　给定域 F，一个向量空间是个集合 V 并规定两个运算： 　　向量加法：V + V → V 记作 v + w, & v, w ∈
V， 　　标量乘法：F & V → V 记作 a v, &a ∈ F 及 v ∈ V。 　　符合下列公理 (& a, b ∈ F 及
u, v, w ∈ V)：
相似度计算
向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w. 　　向量加法交换律: v + w = w + v.
　　向量加法的单位元: V 里有一个叫做零向量的 0，& v ∈ V , v + 0 = v. 　　向量加法的逆元素: &v∈V,
&w∈V, 导致 v + w = 0. 　　标量乘法分配于向量加法上: a(v + w) = a v + a w.
　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v. 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) =
(ab)v。 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 指示域 F 的乘法单位元. 　　有些教科书还强调以下两个闭包公理：
　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V. 　　V 闭合在标量乘法下: a v ∈ V. 　　简而言之，向量空间是一个F-模。
　　V的成员叫作向量而F的成员叫作标量 　　若F是实数域R，V称为实数向量空间. 　　若F是复数域C，V称为复数向量空间.
　　若F是有限域，V称为有限域向量空间 　　对一般域F，V称为F-向量空间
　　首5个公理是说明向量V在向量加法中是个可换群.余下的5个公理应用于标量乘法.
　　这些都是一些特性很容易从向量空间公理推展出来的.如下:
零向量 0 ∈ V (公理3) 是唯一的. 　　a 0 = 0 & a ∈ F. 　　0 v = 0 & v ∈ V 这里 0
是F的加法单位元. 　　a v = 0 ，则可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0. 　　可加的逆元向量 v (公理4)
是唯一的. (写成&v). 这个写法v & w 及 v + (&w) 都是标准的. 　　(&1)v = &v & v ∈ V.
　　(&a)v = a(&v) = &(av) & a ∈ F , & v ∈ V. 　　例子 　　参见 向量空间例子
子空间及基
　　一个向量空间 V 的一个非空子集合 W 在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为 V 的线性子空间。 　　给出一个向量集合
B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，纪作 span(B)。 　　给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为
V 的生成集。 　　一个向量空间 V 最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若 V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间 V，基是 V
最小的生成集。 　　如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V
是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如,实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …, R∞,
…中， Rn 的维度就是 n。 　　空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的。把基中元素排列，向量便可以坐标系统来呈现。 　　 　　给两个向量空间 V 和 W 在同一个F场, 设定由V到W的或“线性映射” .
这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数.这个集合包含所有由V到W的线性映射,以 L(V, W) 来描述,
也是一个F场里的向量空间. 当 V 及 W 被确定后, 线性映射可以用矩阵来表达. 　　同构是一对一的一张线性映射.如果在V
和W之间存在同构, 我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。
　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。
向量空间的同构
　　域F上两个向量空间V和V┡，如果存在V到V┡的一个双射φ:V→V┡,且满足条件φ(αu+bv)=αφ(u)+bφ(v),其中α、b是F中元素,u、v是V中元素,那么向量空间V和V┡称为同构的。域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。
概念化及额外结构
　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为 。
　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为。 　　一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。
扩展阅读：
什么是向量空间啊？
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向量空间或称线性空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象。
向量空间是线性代数的主体，它是数学中基本又重要的概念，其概念是：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。其理论和方法已应用到自然科学、工程技术及社会科学的诸多领域。
向量空间相关图书
向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算即向量加法，标量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律，已大致地描述了“向量空间”这个数学概念的直观形象。
在现代数学中，“向量”的概念不仅限于此，符合下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析
参考资料：
开放分类：
向量空间模型
向量空间，又称线性空间。向量空间是线性代数的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
向量空间 - 向量空间
向量空间 - 正文
　　又称线性空间。在里引入概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是的中心内容和基本概念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。
　　设V是一个非空集合,F是一个域。在V的元素之间定义了所谓加法,即对于V
的任意一对元素u、v,V
中有惟一确定的元素与之对应，这个元素称为u与v的和，记作u+v。在F
的元素与V的元素之间定义了所谓乘法，即对于F的任意元素α与V的任意元素u,V中有惟一确定的元素与之对应，这个元素称为α与u的积，记作αu。如果所述的加法和乘法满足以下规则，那么集合V称为域F上一个向量空间。
　　加法的四条规则①结合律,即u+(v+w)=(u+v)+w;②交换律,即u+v=v+u;③在V中存在一个“零元素”,记作0,对于V的任意元素u都有0+u=u;④对于V的每一个元素u，在V中存在负元素－u，使得(-u)+u=0。
　　乘法的两条规则　⑤结合律，即(αb)u=α(bu)；⑥u是V中的任意元素，1是F的单位元素，1u=u。
　　加法和乘法的两条规则
⑦α(u+v)=αu+αv;⑧(α+b)u=αu+bu，以上各式中的u、v、w
是V的任意元素,α、b是F的任意元素。
　　域F上向量空间V
的元素，称为向量。V中的零元素，称为零向量。V的元素u的负元素-u,称为u的负向量。域F中的元素，称为纯量。
　　向量空间的加法和乘法表达出向量之间的基本关系。随着所考虑的对象不同，这两种运算的定义也不同。例如,令R是实数域，R3是一切三元实数组所成的集合，即，加法的定义是 ,乘法的定义是，这里都是R3中元素,α是R中元素。于是R3是实数域上一个向量空间。设F是一个域，n是任意取定的一个正整数，定义加法为x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)，定义乘法为αx＝(αx1,αx2,…,αxn)，这里x＝(x1,x2,…,xn),y＝(y1,y2,…,yn)都是Fn中元素,α是F的元素,则Fn是域F上一个向量空间。Fn是R
3的推广。在某一闭区间上连续的实函数全体所成的集合，对于函数的加法和实数与函数的乘法，是实数域上一个向量空间。次数不超过某一给定的非负整数
n的复系数多项式的全体与零多项式所成的集合p,对于多项式的加法和复数与多项式的乘法，是复数域上一个向量空间。
　　子空间&　如果域F上一个向量空间V的非空子集W,对V的加法和乘法也构成F上一个向量空间，那么W
称为V的一个线性子空间，简称子空间。如果V的任一向量v可惟一的表为其子空间Wi的向量ui(i=1,2,…,n)的和,即v
=u1+u2+…+un,那么V称为其子空间W1,W2,…,Wn的直和，记为V的一个非空子集是V的子空间的充分必要条件为：对于V的任意向量u、v以及F的任意纯量α、b，有αu+bv在W中。例如，向量空间V本身以及由一个零向量所成的集合{0}，都是V的子空间，称为V的平凡子空间。向量空间Fn的子集W＝{(x1,…,xn-1,0)|xj∈F,1≤i≤n-1},是Fn的一个子空间。系数在域F中的n元齐次线性方程组的所有的解，是Fn的一个子空间，并称为所给齐次线性方程组的解空间。
向量空间的实例，有系数矩阵的列空间，行空间和零空间（null
空间），零空间又称为系数矩阵对应的齐次方程组的解空间。&
　　基、坐标和维数&
设u1,u2,…,un是域F上一个向量空间V的向量,α1,α2,…,αn是域F的元素。表示式α1u1+α2u2+
… +αnun，称为u1,
u2,…,un的线性组合。如果存在F中不全为零的元素α1,α2,…，αn，使得线性组合，那么u1，u2,…，un称为线性相关。在相反情形，即α1u1＋α2u2＋…＋αnun仅当时才等于零向量，则称u1,u2,…,un线性无关。如果向量空间V的向量组u1，u2,…,un满足条件：①u1,u2,…,un线性无关;②V的每一个向量都可以表为u1,u2,…,un的线性组合，那么向量组u1,u2,…，un称为V在F上的一个基，简称V的一个基。设尣是V的任意一个向量,u1,u2,…,un是V的一个基，于是由基的定义可知,尣=x1u1+
x2u2+…+xnun,其中x1,x2,xn是F的元素,称为向量x关于基u1,u2,…,un的坐标。对于取定的一个基，V中向量尣的坐标是惟一确定的。
　　一个向量空间如果有基,那么不一定只有一个基,但是
V的任意两个基所含向量的个数是相同的。一个向量空间V的基所含向量的个数，称为V的维数。只含一个零向量的向量空间的维数，约定为零。如果对于每一个自然数n,V中都存在n个线性无关的向量,那么V称为无限维的。例如，向量空间R3是三维的,e1=(1,0,0)，e2=(0,1，0),e3=(0,0,1)是R3的一个基。向量空间Fn是n维的;连续函数构成的向量空间是无限维的；向量空间p是n+1维的。
　　向量空间的同构&　域F上两个向量空间V和V┡，如果存在V到V┡的一个双射φ:V→V┡,且满足条件φ(αu+bv)＝αφ(u)+bφ(v),其中α、b是F中元素,u、v是V中元素,那么向量空间V和V┡称为同构的。域F上每一n维向量空间都与向量空间Fn同构。
向量空间 - 配图
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