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晶体取向与多晶体织构? ? ? ? ? ? 晶体投影 晶体取向 晶体学织构 取向分布函数 取向空间 取向分布函数分析 晶体投影? 概念：把三维晶体结构中的晶向和晶面位置关系和数量关系投影 到二维平面，称为晶体投影。 ? 目的：为了方便地研究晶体中各晶向、晶面、晶带以及对称元素 之间的关系。 ? 种类：有球面投影、极射赤面投影、心射投
影等。1、球面投影? 取一相对晶体尺寸其半径极大的参考球，将安放 在球心上的晶体的晶向和晶面投影到球面上，称为 球面投影 。 ? 晶向迹式球面投影：将晶向延长与球面相交一点， 为该晶向迹点。 ? 晶面极式球面投影：由球心引晶面法向交投影球 于一点，为晶面极点。 晶体投影? 球面坐标的标记 晶向、晶面之间的角度关系通过球面上 的经纬度表示，类似于地球仪。 有经线、本初子午线、纬线、赤道。任一经线与本初子午线间夹角叫经度， 用?标记。本初子午线的经度为0?。从N极沿子午线大园向赤道方向至某一 纬线间的弧度，叫极距，用?标记。赤 道的极距为90?。 投影点的球面坐标为(?, ?). 晶体投影2、极射赤面投影? 将球面投影再投影到赤道平面上去的一种投影。 ? 投影方法如图所示。 晶体投影? 另一种极射投影方法 晶体投影3、标准投影：选择晶体中对称性高的低指数晶面，如（001）、（011）等作为投影面，将晶体中各个晶面的极点都投影到所 选的投影面上，这样的投影图称为标准投影图。 晶体投影 晶体投影4、极射投影上晶面（向）位向关系的度量? 极式网：将经纬线坐标网，以它本身的赤道平面为投影面作 极射赤面投影，所得的极射赤面投影网。它不能测量落在不 同直径上的点之间角度。? 吴里夫网：将经纬线网投影到与经纬线网NS轴平行的投影面 上，作出的极射赤面投影网。? 标准极式网和吴氏网直径为20cm，大园弧与小圆弧互相均分 的角度间隔为2?。 晶体投影极式网吴氏网 晶体投影5、吴氏网的应用测量两极点夹角 晶体投影5、吴氏网的应用测量两极点夹角 晶体投影5、吴氏网的应用晶带和晶带轴的位置关系 晶体投影5、吴氏网的应用 晶带和晶带轴的位置关系 晶体投影5、吴氏网的应用沿NS轴转动的操作 晶体投影5、吴氏网的应用沿倾斜轴转动的操作 晶体取向1、晶体取向的概念? 设空间有一个参考直角坐标系A：0-XYZ和一个立方晶体坐标 系，当晶体坐标系的三个坐标轴分别取为：[100]//X轴， [010]//Y轴，[001]//Z轴，把这种排布方式叫初始取向e。 若把一个多晶体或任一单晶体放在坐标系A内，则每个晶粒坐标 系的&100&方向通常不具有初始取向，而只具有一般取向。 用具有初始取向的坐标系转到与一实际晶体（粒）坐标系重合时 所转动的角度来表达该实际晶体（粒）的取向。? ?初始取向一般取向 晶体取向2、晶体取向的表达方式? 用晶体的某晶面、晶向在参考坐标系中的排布方式来表达晶体的 取向。如在立方晶体轧制样品坐标系中用(hkl)[uvw]来表达某一晶 粒的取向，这种晶粒的取向特征为其(hkl)晶面平行于轧面，[uvw] 方向平行于轧向，还可以用[rst]=[hkl]?[uvw]表示平行于轧板横向 的晶向，从而构成一个标准正交矩阵，若用g代表这一取向，则：? g11 g ? ? g 21 ? ? g 31 ?g12 g 22 g 32g13 ? ? u r h ? g 23 ? ? ? v s k ? ? ? ? g 33 ? ? w t l ? ? ? ??1 0 0? e ? ?0 1 0 ? ? ? ?0 0 1 ? ? ?显然对于初始取向有： 晶体取向? Bunge定义的欧拉角：从起始取向出发，按?1、?、?2的顺序所作 的三个转动，可以实现任意晶体取向，因此取向g可以表示成： g=(?1，?，?2） 显然对于起始取向e有： e=(0, 0, 0)取向的欧拉转动 晶体取向? 两种取向表达式的换算关系为：9个变量中只可能有3个变量是独立的，3个欧拉角刚好反映出了 取向的3个独立变量。 晶体学织构1、概念? 多晶体取向分布状态明显偏离随机分布的结构，称为织构。? 当多晶体材料各晶粒完全随机分布时，晶体取向密度在空间应处 处是1。若晶体取向密度有峰值或发生突变，就说明存在织构。 晶体学织构2、织构的种类? ? ? 宏观织构(macrotexture)：多晶体中的晶粒被看作是单一的统计集 体而不涉及局域空间中任何特定晶粒及与其相邻晶粒之间的关系。 微观织构(microtexture)：所有晶粒中每个晶粒的取向、取向特征 以及相对于近邻晶粒之间取向差程度的测定 。 宏观织构的类型有： 纤维织构(fiber texture)：某一特殊晶向&uvw&倾向于沿着材料中单 一方向排列，而且，相对于这个晶向的所有方位角都是等同的。 这种织构发现于某些铸锭、电镀物、蒸镀薄膜，特别是冷拔丝或 挤压材料中。统计和研究表明，bcc和fcc金属的快速生长方向和枝 晶晶轴方向都是&100&方向。 板织构(sheet texture)：多数晶粒以同一晶面{HKL}与轧面平行 或近似于平行，以同一晶向&uvw&与轧向平行或近似于平行，记为 {HKL}&uvw& 。 板 织 构 从 其 起 源 上 又 分 为 轧 制 织 构 （ rolling texture）和再结晶（退火）织构(annealing texture)。? 晶体学织构? Fcc金属冷轧之后的织构受层错能影响很大。一般有：铜型织构{112}&111&； S型织构{123}&634&； 黄铜型织构{001}&211&； 高斯织构{011}&100&。层错能较高时铜型和S型织构成分要多一些，层错能低时，黄铜型织构成 分要多一些。 ? Bcc金属冷轧后的织构一般是：旋转立方织构{001}&110&； {112}&110&； {111}&110&，{111}&112&。? Fcc金属的再结晶织构有：立方织构{001}&100&； R型织构{124}&211&； 黄铜R型织构{236}&385&。? Bcc立方金属的再结晶织构通常是：{111}&110&；{111}&112&； 高斯织构{011}&100&； 立方织构{001}&100&。 晶体学织构3、织构的极图表达? 极图的概念：将试样中各晶粒的 任一（一般用低指数）晶体学面 族{HKL}和试样的外观坐标同时 投影到某个外观特征面上的极射 赤面投影图，称为极图。极图用 被投影的晶面族指数命名，记 {HKL}极图。 纤维织构极图：投影面有两种 a. 与织构轴平行； b. 与织构轴垂直。? 晶体学织构? 板织构极图：投影面取轧面，并将轧向(R. D)和横向(T. D)也一 同投影到轧面上。 晶体学织构? 极图上各点的位置可用?和?两角表示。?角表示{HKL}晶面法向 与样品系板法向的夹角，?角表示该{HKL}晶面法向绕板法向转 动的角度。■ {001}&100&; □ {124}&211&; {011}&100&● 晶体学织构? 极密度分布：把球面上每个投影点所代表的晶粒体积作为这个点 的权重，则这些点在球面上的加权密度分布称为极密度分布。球 面上极密度分布在赤面上的投影分布图称为极图。 ? 极密度定义：?V V p (? , ? ) ? K q sin ? ? ?? ? ??式中，sin? ? ?? ? ??为p(?, ?)的方向元， ?V为{HKL}法向落在该 方向元内的晶粒体积，V为被试样的体积，Kq为比例系数，令为1。? 在测绘极图时，通常将无织构标样的{HKL}极密度规定为1，将织构极 密度与无织构的标样极密度进行比较定出织构的相对极密度。 ? 因为空间某方向的{HKL}衍射强度IHKL(?，?)与该方向参加衍射的晶 粒体积成正比，因此IHKL(?，?)与该方向的极密度成正比，此为衍射 法测定织构的理论基础。 晶体学织构4、极图的测定及分析? 极图最早是利用单色x-射线衍射照片确定的，有织构的材料的衍 射环强度分布不均匀，局部出现最大值。欲将衍射照片转换成极 图需要丝或板相对入射线方位不同的一系列衍射照片。 ? 现在，这种技术已经完全被配有计数器的衍射仪所代替，并由 Schulz最早发明。如图所示的装置为织构测角仪，能使试样在几 个方向转动，以便使每个晶粒都有机会处于衍射位置。一般说来， 与该种方法对应的极图上点的轨迹是螺旋状的，通过计算机程序， 计数器的计数直接转换成极图上极点强度计数，并自动插入等强 度值，所需的各种修正均自动完成。这种装置不仅可以以反射方 式工作，也可以透射方式工作。每种方式只能给出极图的一部分， 反射法给出极图的中心部分，透射法给出极图的边缘部分，将两 种方法相互补充就可以得到一张完整极图。 晶体学织构极图测定反射法起始位置（ ? ＝ 90° ， ? ＝0）：计数器定位在 被测反射面衍射角2?处，测量过程中固定不动， 通过?和?角的转动实现反射法测量。 ?顺时针转 为从90°变小， ?逆时针为正。起始位置对应的 极图中{HKL}极点转动角?＝90°，?＝90° 晶体学织构极图测定透射法起始位置（ ? ＝ 0 ， ? ＝0 ）：计数器定位在被测反射面衍射角 2?处，测量过程中固定不动，通过?和?角的转动实现透射射法测 量。 ? 、?顺时针为正。起始位置对应的极图中{HKL}极点转动 角?＝0，?＝0 晶体学织构IHKL(?, ?)? ?=0, IHKL(?, ?)~ ?曲线 晶体学织构? 极图分析 极图给出的是试样中各晶粒的某一晶面在试样外观坐标系中的投 影，必须再通过分析才能给出织构的类型和数量。 分析织构的类型，称为定性分析； 分析织构的离散度和各织构组分的百分数，称为定量分析。 ? 定性分析采用尝试法：将所测得的{HKL}极图与该晶体的标准投 影图（立方晶系通用）对照，找到标准投影图中的{HKL}点全部 落在极图中极密度分布集中区的标准投影图，此标准投影图中心 点的指数即为轧面指数(hkl)，与极图中轧向投影点重合的极点指 数即为轧向指数[uvw]，从而确定(hkl)[uvw]织构。 ? 若有几张标准投影图能满足上述对照，说明存在多重织构。 ? 校核极图分析的正确与否，或极图复杂时，可采用对同一试样测 绘几个不同{HKL}指数的极图，来验证或对照分析。 晶体学织构极图分析Fe-Si合金{200}极图 分析结果: (001)[100] (001)[110} (110)[100] 晶体学织构6、反极图? 材料中各晶粒对应的外观方向在晶体学取向坐标系中所作的极射 赤面投影分布图，由于和极图的投影坐标系及被投影的对象刚好 相反，故称为反极图。 ? 因为晶体中存在对称性，所以某些取向在结构上是等效的，各种 晶系采用的极射赤面投影三角形各不相同，立方晶系的反极图用 单位极射赤面投影三角形[００１]-[０１１]-[１１１]表示。 晶体学织构掺杂钨丝，冷变形98.1% (a) 横截面反极图 (b) 纵剖面反极图 取向分布函数? 取向有3个自由度，因此需要用3维空间表达取向分布。 ? 极图或极密度分布函数p(?, ?)所使用的是一个二维的空间，它上面的一个点不足以表示三维空间内的一个取向，用极图分析多晶 体的织构或取向时会产生一定的局限性和困难。? 为了细致、精确并定量地分析织构，需要建立一个利用三维空间描述多晶体取向分布的方法，这就是取向分布函数(Orientation Distribution Function)分析法，简称ODF法。? 尽管极图有很大的局限性，但它通常是计算取向分布函数的原始数据基础，所以不可缺少。因为计算取向分布函数非常繁杂，实 际工作中极图还是经常使用，极图分析和取向分布函数法二者可 以互相补充。 取向分布函数计算原理? 极密度分布函数phkl(?, ?)表达了多晶体内各晶粒的{HKL}晶面法lmax l向位于(?, ?)处的分布强弱。根据极密度分布函数的性质，可以将 它转换成球函数级数展开式：phkl (? , ? ) ? ? ? Fl nhkl ) Kln (? , ? ) (l ?0 n ? ? l(0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? 2? )Kln (? , ? ) 是已知的球函数；Fl nhkl ) 是级数展开式常系数组 (? 取向分布函数f(g)表达了三维取向空间内不同取向(?1，?，?2）上的取向密度。根据类似的数学原理可以把取向分布函数转换成广 义球函数级数展开式：f ( g ) ? f (?1 , ?, ? 2 ) ? ? ? ? Clmn Tl mn (?1 , ?, ? 2 )l ?0 m ? ? l n ? ? l lmax l l(0 ? ?1 ? 2? ,0 ? ? ? ? ,0 ? ? 2 ? 2? )Tl mn (?1 , ?,?2 ) 是已知的广义球函数； Clmn 是级数展开式常系数组 取向分布函数计算原理? 根据极密度分布函数和取向分布函数间的关系（g s=(?1，?，?2)=( ?+?/2，?，?) ）：1 p(? , ? ) ? 2?2? 2??01 f ( g )d? ? 2?? f (? , ? , ? )d?0可以推导出两个级数展开式系数的关系：Fn l ( hkl )4? l mn *m ? ? Cl Kl (? hkl ,?hkl ) 2l ? 1 m??l(? hkl , ?hkl ) 是晶向[hkl]在晶体坐标系中的方位角? 这两套常数系数组分别包含了不同的极密度分布函数和取向分布函数的全部信息，所以它们的关系实际上也反应了两种函数间的换 算关系。 取向分布函数计算原理? 通过实际测量若干极密度分布并归一处理可获得phkl(?, ?)数据，根据已知的球函数可求出各 Fl nhkl ) (? 根据测量的极密度指数[hkl]确定(?hkl, ?hkl)，进而可计算出Kl*m (? hkl , ?hkl )? 根据系数关系式算出取向分布函数的展开系数 ? 最后算出取向分布函数f(g)。Clmn 取向空间? 用一组?1，?，?2值即可表达晶体的一个取向，且有：0??1?2?，0????，0??2?2? 。用 ?1，?，?2作为空间直角坐标系的三个变量 就可以建立起一个取向空间，即欧拉空间。 ? 立方晶系：板材内的织构相对于轧板坐标系（轧向、横向、板法 向）具有正交对称性222。立方晶系自身通常具有的对称性432， 所以一个取向在上述取向空间内会多次出现在不同的地方。这种 多重性用Z表示。对于一般取向其Z值为96，对高对称性的取向其 Z值可能会是48或24等。因此分析取向分布函数取向时可大大缩 减取向空间的范围。通常取0??1??/2，0????/2，0??2??/2 。这个 范围仍可划分成三个小的子空间，它对应着&111&方向的三次对 称性。 取向空间立方晶系取向子空间划分 取向分布函数分析? 根据实测极密度数据，用前述方法计算出多晶样品的取向分布函数f(g)之后，可将f(g)在不同取向g上的值（取向密度）用恒定?1或 ?2的截面图绘制出来。一般对fcc金属常取垂直于?2方向的截面， 对于bcc金属常取垂直于?1方向的截面。如图 给出了fcc和bcc金属 形变织构的ODF截面图。? 取向（?1，?，?2）与(hkl)&uvw&织构类型之间的解析关系式为：h : k : l = sin?sin?2 : sin?cos?2 : cos? u : v : w = (cos?1cos?2 - sin?1sin?2cos?) : (-cos?1sin?2 - sin?1cos?2cos?) : sin?1sin? 取向分布函数分析 取向分布函数分析? 取向线大量的实验表明，在物理冶金过程中金属的各晶粒取向倾向于聚集在取向空间内某些线上，突出这些重要的取向可为分析 带来极大方便，这就是取向线分析方法。 立方晶系中重要取向 取向分布函数分析?线：?1=0??90?，?=45?，?2=90??线上重要的取向有： 高斯（Goss）取向（0?，45?，90?），即 {011}&100& 黄铜取向（35?，45?，90?），即{011}&211&?线：?2=45??90?，?1和?值不确定?线上重要的取向有： 黄 铜 取 向 （ 35? ， 45? ， 90? ） ， 即 {011}&211& S取向（61?，34?，64?），即{123}&634& 铜取向C（90?，35?，45?），即{112}&111& R取向（57?，29?，63?）,即{124}&211& 取向分布函数分析工业纯铝板冷轧过程中?线上取向密度的变化情况， 由于? 取向线位置不固定，所以需给出位置变化图。 取向分布函数分析? {001}&100& ? {011}&100& ? {124}&211& ? {011}&211& ? {001}&110& ? {111}&211&退火后铝板内主要有立方织构和少许R织构 织构组分分析? 织构定量分析是要确定各织构组分的相对体积量。 ? 如图，某晶体材料内取向g1和取向g2附近有取向聚集。通常认为多晶体倾向于散布在某一状态下的稳定取向附近，且基本服从三 维正态分部规律。 织构组分分析? 把晶体取向在g1和g2处的聚集看成各有一个正态分布函数f1(g)和f2(g)，从而可认为f(g)是由f1(g)、f2(g)和一个随机分布函数fr(g)。f (g) ? fr (g) ? ? f j (g)j ?1n? 可导出某一织构组分的体积含量：Vj ? 1 2 ? Z j S0 j? j [1 ? exp(??2 j4)]Zj为多重因子；Soj为正态分布织构组分中心的取向密度； ?j为取向密度由中心的Soj降至Soj/e时偏离中心的角度。 ? 通过啮合计算可以求得各织构组分的体积量Vj和散布宽度?j。 织构组分分析? 工业纯铝板在冷轧过程中各织构组分的定量变化。 ? 随变形量的增加各主要冷轧织构组分均不断增长，而且随机量逐渐降低。 ? {011}&100&组分是个过渡组分，其余各冷轧织构组分的散步宽度 却在减少，表明在冷轧过程中织构在不断地向锋锐化转变。
实行 H 型组 织结构的公司一般拥有很多不相关的产业单元(子公司),每一个子...美国通用汽车公司正是采用了这种新的组织结 构,才在应付
年经济...两种可能的组织设计可以满足以上条件: 集权的功能性结构形式和分权的多分部结 构...管理跨度在很大程度上决定了组 织中管理层次的数目及管理人员的数量。 传统观点...其组 织结构如图 4.8 所示。同样,顺驰置业有限公司的组织结构也为事业部制。 ...因为各交易中心的规模还比较小,还不能构 成事业部,所以武汉顺驰的组织结构现在...进行详细 的组织结构分析,学习国外先进的组织管理模式并提出我校的组织结构改革建议...按工作性质和市场建立机构分是事业部组 织结构的一大特点,我们可以看出其中五个...组织结构类型分析_管理学_高等教育_教育专区。组织结构类型、直线型组织结构示意图...事业部组织结 构 7、委员会结构 8、控股型结构 9、网络型结构 一)、直线制...国​际​投​行​组​织​架​构​变​革​分​析国际投行组织架构变革分析之摩根士丹利 国际投行组织架构变革分析之美林国际投行组织架构变革...焊​接​接​头​组​织​结​构​及​成​分​分​析 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档焊接接头组织结构及成分分析 ...组织结构的设计与优化对于实现组 织目标,确保组织高效运行具有十分重要的意义。一般的说,现代企业的组织结 构包括三种基本的形式,U 型组织机构、H 型组织机构、M ...中国共产党的组 织,是自上而下设立的,分中央组织、地方组织、基 层组织,三者...中国共产党组织的内部结 构,总体呈现“紧密状”,政党组织内部关联密切。 西方...但是,随着竞争日益激烈,传统的组 织结构已不能满足现在的需要,改变组织结构迫在...成为以家电业为主的大型综合性现代化企业集团, 这与它的组织结 构发生变化是密...
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傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
１概念 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做 F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小)。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).2性质 线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。具体而言，假设函数和的傅里叶变换和都存在，和为任意常系数，则有若函数的傅里叶变换为，则对任意的非零实数，函数的傅里叶变换存在，且等于对于的情形，上式表明，若将的图像沿横轴方向压缩倍，则其傅里叶变换的图像将沿横轴方向展宽倍，同时高度变为原来的。对于的情形，还会使得傅里叶变换的图像关于纵轴做镜像对称。若函数的傅里叶变换为，则对任意实数，函数也存在傅里叶变换，且其傅里叶变换等于也就是说，可由向右平移得到。若函数的傅里叶变换为，且其导函数的傅里叶变换存在，则有即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。更一般地，若的阶导数的傅里叶变换存在，则即阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子。若函数以及都在上绝对可积，则卷积函数的傅里叶变换存在，且若函数以及平方可积，二者的傅里叶变换分别为与，则有上式被称为Parseval定理。特别地，对于平方可积函数，有上式被称为Plancherel定理。这两个定理表明，傅里叶变换是平方可积空间上的一个运算符（若不考虑因子）。3特殊变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分形式：上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数表示为频率域的函数的积分。反过来，其正变换恰好是将频率域的函数表示为时间域的函数的积分形式。一般可称函数为原函数，而称函数为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。当为奇函数（或偶函数）时，其余弦（或正弦）分量为零，而可以称这时的变换为余弦变换（或正弦变换）。主条目：傅里叶级数连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，它的傅里叶级数（Fourier series）表示被定义为：其中为函数的周期，为傅里叶展开系数，它们等于对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：其中和是实频率分量的振幅。主条目：离散时间傅里叶转换离散时间傅里叶变换（discrete-time Fourier transform, DTFT）针对的是定义域为Z的数列。设为某一数列，则其DTFT被定义为相应的逆变换为DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的，它一般用来对离散时间信号进行频谱分析。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，序列的离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）为其逆变换为直接使用DFT的定义计算的计算复杂度为，而快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）可以将复杂度改进为。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中，一个变换从一个群变换到它的对偶群（dual group）。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。下表列出了傅里叶变换家族的成员。容易发现，函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性，反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。变换时间域频率域连续傅里叶变换连续， 非周期性连续， 非周期性傅里叶级数连续， 周期性离散， 非周期性离散时间傅里叶变换离散， 非周期性连续， 周期性离散傅里叶变换离散， 周期性离散， 周期性 4相关 变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, )和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, )，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换(real DFT)，再去理解复数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。如 上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。&任意&的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外说明以下几点：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。5例子 一个关于实数离散傅里叶变换(Real DFT)实例先来看一个变换实例，一个原始信号的长度是16，于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波（一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号，这是为什么呢？结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解，一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率，再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围），如下图：9个正弦信号：9个余弦信号：把以上所有信号相加即可得到原始信号，至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的，我们先不急，先看看对于以上的变换结果，在程序中又是该怎么表示的，我们可以看看下面这个示例图：上图中左边表示时域中的信号，右边是频域信号表示方法，从左向右表示正向转换(Forward DFT)，从右向左表示逆向转换(Inverse DFT)，用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组, 用大写X[]表示每种频率的幅度值数组, 因为有N/2+1种频率，所以该数组长度为N/2+1，X[]数组又分两种，一种是表示余弦波的不同频率幅度值：Re X[]，另一种是表示正弦波的不同频率幅度值：Im X[]，Re是实数(Real)的意思，Im是虚数(Imagine)的意思，采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示，但这里我们不考虑复数的其它作用，只记住是一种组合方法而已，目的是为了便于表达（在后面我们会知道，复数形式的傅里叶变换长度是N，而不是N/2+1）。FFT是离散傅里叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。FFT结果的具体物理意义。一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍。采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n&=N/2）对应的信号的表达式为：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。下面以一个实际的信号来做说明。假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？我们来看看FFT的结果的模值如图所示。从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：1点： 512+0i2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i51点：332.55 - 192i52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i75点：-2..0076E-12i76点：3.4315E-12 + 192i77点：-3..5609E-13i很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：1点： 51251点：38476点：192按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3..5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。6应用 尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。&任意&的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似!奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇： 傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子; 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段; 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 有关傅里叶变换的FPGA实现 傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。 整体结构 一般情况下，N点的傅里叶变换对为： 其中，WN=exp(-2pi/N)。X(k)和x(n)都为复数。与之相对的快速傅里叶变换有很多种，如DIT(时域抽取法)、DIF(频域抽取法)、Cooley-Tukey和Winograd等。对于2n傅里叶变换，Cooley-Tukey算法可导出DIT和DIF算法。本文运用的基本思想是Cooley-Tukey算法，即将高点数的傅里叶变换通过多重低点数傅里叶变换来实现。虽然DIT与DIF有差别，但由于它们在本质上都是一种基于标号分解的算法，故在运算量和算法复杂性等方面完全一样，而没有性能上的优劣之分，所以可以根据需要任取其中一种，本文主要以DIT方法为对象来讨论。 N=8192点DFT的运算表达式为： 式中，m=(4n1+n2)()(n=4n1+n2，k=)其中n1和k2可取0,1，...，2047,k1和n2可取0,1,2,3。 由式(3)可知，8k傅里叶变换可由4×2k的傅立叶变换构成。同理，4k傅立叶变换可由2×2k的傅里叶变换构成。而2k傅里叶变换可由128×16的傅立叶变换构成。128的傅里叶变换可进一步由16×8的傅里叶变换构成，归根结底，整个傅里叶变换可由基2、基4的傅里叶变换构成。2k的FFT可以通过5个基4和1个基2变换来实现;4k的FFT变换可通过6个基4变换来实现;8k的FFT可以通过6个基4和1个基2变换来实现。也就是说：FFT的基本结构可由基2/4模块、复数乘法器、存储单元和存储器控制模块构成，其整体结构如图1所示。 图1中，RAM用来存储输入数据、运算过程中的中间结果以及运算完成后的数据，ROM用来存储旋转因子表。蝶形运算单元即为基2/4模块，控制模块可用于产生控制时序及地址信号，以控制中间运算过程及最后输出结果。 蝶形运算器 基4和基2的信号流如图2所示。图中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要进行变换的信号，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3为旋转因子，将其分别代入图2中的基4蝶形运算单元，则有： A′=[r0+(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)+(r3×c3-i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? (4) B′=[r0+(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)-(i3×c3+r3×s3)]+j[i0-(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)+(r3×c3-i3×s3)] (5) C′=[r0-(r1×c1-i1×s1)+(r2×c2-i2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]+j[i0-(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)-(i3×c3+r3×s3)] (6) D′=[r0-(i1×c1+r1×s1)-(r2×c2-i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1-i1×s1)-(i2×c2+r2×s2)-(r3×c3-i3×s3)]? (7) 而在基2蝶形中，Wk0和Wk2的值均为1，这样，将A，B，C和D的表达式代入图2中的基2运算的四个等式中，则有： A′=r0+(r1×c1-i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? (8) B′=r0- (r1×c1-i1×s1)+j[i0-(i1×c1+r1×s1)] (9) C′=r2+(r3×c3-i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? (10) D′=r2-(r3×c3-i3×s3)+j[i0-(i3×c3+r3×s3)]? (11) 在上述式(4)～(11)中有很多类同项，如i1×c1+r1×s1和r1×c1-i1×s1等，它们仅仅是加减号的不同，其结构和运算均类似，这就为简化电路提供了可能。同时，在蝶形运算中，复数乘法可以由实数乘法以一定的格式来表示，这也为设计复数乘法器提供了一种实现的途径。 以基4为例，在其运算单元中，实际上只需做三个复数乘法运算，即只须计算BWk1、CWk2和DWk3的值即可，这样在一个基4蝶形单元里面，最多只需要3个复数乘法器就可以了。在实际过程中，在不提高时钟频率下，只要将时序控制好?便可利用流水线(Pipeline)技术并只用一个复数乘法器就可完成这三个复数乘法，大大节省了硬件资源。 图2 基2和基4蝶形算法的信号流图 FFT的地址 FFT变换后输出的结果通常为一特定的倒序。因此，几级变换后对地址的控制必须准确无误。 倒序的规律是和分解的方式密切相关的，以基8为例，其基本倒序规则如下： 基8可以用2×2×2三级基2变换来表示，则其输入顺序则可用二进制序列(n1 n2 n3)来表示，变换结束后，其顺序将变为(n3 n2 n1)，如：X?011 → x?110 ，即输入顺序为3，输出时顺序变为6。 更进一步，对于基16的变换，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式来构成，相对于不同的分解形式，往往会有不同的倒序方式。以4×4为例，其输入顺序可以用二进制序列(n1 n2 n3n4)来表示变换结束后，其顺序可变为((n3 n4)(n1 n2))，如：X?0111 → x?1101 。即输入顺序为7，输出时顺序变为13。 在2k/4k/8k的傅里叶变换中，由于要经过多次的基4和基2运算，因此，从每次运算完成后到进入下一次运算前，应对运算的结果进行倒序，以保证运算的正确性。 旋转因子 N点傅里叶变换的旋转因子有着明显的周期性和对称性。其周期性表现为： FFT之所以可使运算效率得到提高，就是利用了对称性和周期性把长序列的DFT逐级分解成几个序列的DFT，并最终以短点数变换来实现长点数变换。 根据旋转因子的对称性和周期性，在利用ROM存储旋转因子时，可以只存储旋转因子表的一部分，而在读出时增加读出地址及符号的控制，这样可以正确实现FFT。因此，充分利用旋转因子的性质，可节省70%以上存储单元。 实际上，由于旋转因子可分解为正、余弦函数的组合，故ROM中存的值为正、余弦函数值的组合。对2k/4k/8k的傅里叶变换来说，只是对一个周期进行不同的分割。由于8k变换的旋转因子包括了2k/4k的所有因子，因此，实现时只要对读ROM的地址进行控制，即可实现2k/4k/8k变换的通用。 存储器控制 因FFT是为时序电路而设计的，因此，控制信号要包括时序的控制信号及存储器的读写地址，并产生各种辅助的指示信号。同时在计算模块的内部，为保证高速，所有的乘法器都须始终保持较高的利用率。这意味着在每一个时钟来临时都要向这些单元输入新的操作数，而这一切都需要控制信号的紧密配合。 为了实现FFT的流形运算，在运算的同时，存储器也要接收数据。这可以采用乒乓RAM的方法来完成。这种方式决定了实现FFT运算的最大时间。对于4k操作，其接收时间为4096个数据周期,这样FFT的最大运算时间就是4096个数据周期。另外，由于输入数据是以一定的时钟为周期依次输入的，故在进行内部运算时，可以用较高的内部时钟进行运算，然后再存入RAM依次输出。 为节省资源，可对存储数据RAM采用原址读出原址写入的方法，即在进行下一级变换的同时，首先应将结果回写到读出数据的RAM存贮器中;而对于ROM，则应采用与运算的数据相对应的方法来读出存储器中旋转因子的值。 在2k/4k/8k傅里叶变换中，要实现通用性，控制器是最主要的模块。2k、4k、8k变换具有不同的内部运算时间和存储器地址，在设计中，针对不同的点数应设计不同的存储器存取地址，同时，在完成变换后，还要对开始输出有用信号的时刻进行指示。7通俗解释 首页，使用正余弦波，理论上可以叠加为一个矩形。第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——再清楚一点：可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
