求偏微分方程程y'=x/y+y/x的通解 求详细步骤

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-03-04 02:54 标签： 微分方程的通解
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常微分方程求解
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人在江湖哀
xy'-2y=x^3*e^{x}方程两边同时除以x^3得：y'/x^2-2y/x^3=e^{x}即(y/x^2)'=e^{x}积分得：y/x^2=e^{x}+Ay=x^2(e^{x}+A)
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e^x(y'+y)=1 (ye^x)'=1 两边积分：ye^x=x+C y=e^(-x)(x+C) 令x=0：2=C 所以y=e^(-x)(x+2)
扪心自问心
xy'+y=-xe^x (xy)'=-xe^x 两边积分：xy=-∫xe^xdx=-xe^x+∫e^xdx=-xe^x+e^x+C 令x=1：0=-e+e+C,C=0 所以xy=-xe^x+e^x 显然x≠0 所以y=-e^x+e^x/x
(xy)' = e^x xy = e^x + C ab = e^a + C C = e^a - ab xy = e^x + e^a - ab y = e^x / x + (e^a - ab) / x
ylny+xy'=0 分享变量得 dy/(ylny)=-xdx dlny/lny=-xdx 两边积分得 lnlny=-x^2/2+C 把y（1）=e代入得 C=1/2 lnlny=-x^2/2+1/2
令z=y^2 dz/dx=2y(dy/dx)=2yy' 所以原方程变为 z'-xz=xe^x z(0)=y(0)^2=1 然后利用积分因子 e^(∫-xdx) =e^(-x^2/2) 两边同乘，左边是一全微分 (ze^(-x^2/2))'=xe^(x-x^2/2) 两边积分 ze^(-x^2/2)=∫ te^(t-t^2/2) dt +C z=e^(x^2/2)[∫ te^(t-t^2/...
y'+2xy=xe^(-x) y'+2xy=0 y'=-2xy dy/y=-2xdx y=C0e^(-x^2) 设y=c0(x)e^(-x^2) C0'e^(-x^2)=xe^(-x) dC0=xe^(x^2-x)dx ∫xe^(x^2-x)dx=(1/2)∫(2x)e^(x^2-x)dx=(1/2)∫e^(x^2)d(x^2)/e^x=(1/2)∫de^(x^2)/e^x =(1/2)∫d(e^x^2)/(e^(x^2))^(1/2) =(e^x...
代入y=e^x，得xe^x+p(x)e^x=x，即：p(x)=x(e^(-x)-1)； 代回微分方程xy'+p(x)y=x；得：y'+(e^(-x)-1)y=1； 取y=(q+1)e^x，代入得：(q+1)e^x+q'e^x+q+1-(q+1)e^x=1， 即：q'e^x+q=0； 解得：q=Ae^(e^(-x))， 故： y=(Ae^(e^(-x))+1)e^x； 由y(x=I...
不必费心结束
xdy/dx=ylny dy/(ylny)=dx/x 两边积分：ln|lny|=ln|x|+C lny=Cx y=(e^C)^x 即y=C^x 令x=1：2=C 所以y=2^x
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分离变量： sinydy/cosy=-dx/(1+e^-x) d(cosy)/cosy=dx*e^x/(1+e^x) d(cosy)/cosy=d(e^x)/(1+e^x) 积分：ln|cosy|=ln(1+e^x)+C1 得cosy=C(1+e^x) 代入x=0,y=0,得：1=C(1+1),得C=1/2 所以解为：cosy=(1+e^x)/2

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