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中考数学压轴题解题方法大全和技巧
中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学 明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第 24 题和 25 题， 我们不妨把它分为函数型综合题和几何型 综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解 析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研 究图形的某些性质。初中已知函数
有：①一次函数（包括正比例函数）和常值 函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定 系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代 数法（解析法）。此类题基本在第 24 题，满分 12 分，基本分 2－3 小题来呈 现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动 点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数 的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义 域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等 腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条 件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值 等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列 出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写 成 y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x 和 y 的方程）和复合法 （列出含有 x 和 y 和第三个变量的方程， 然后求出第三个变量和 x 之间的函数 关系式，代入消去第三个变量，得到 y＝f（x）的形式），当然还有参数法， 这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定 理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找 图形的特殊位置 （极限位置） 和根据解析式求解。 而最后的探索问题千变万化， 但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。几何型综合 题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件 不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严 谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目， 其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本 技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参 考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点 是通过建立点与数即坐标之间的对应关系， 一方面可用代数方法研究几何图形 的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数， 即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的 思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之 而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性， 常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨 论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已 成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想， 初中数学中的转换大体包 括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识 之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合 试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识 点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的 知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐 惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得 不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段 的得分策略。 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是 第（1）小题较易，第（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1） 小题的分数一定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要 争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不 会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据 是“分段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识 点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地 发挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。2数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考 的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相 当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数 学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心 理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧（先以 2009 年河南中考数学压轴题为例） 。 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0） 、C（8，0） 、D（8， 8）.抛物线 y=ax +bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发．沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动．速度均为每秒 1 个单位 长度，运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F， 交抛物线于点 G.当 t 为何值时， 线段 EG 最长? ②连接 EQ．在点 P、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形?请 直接写出相应的 t 值. 解：(1)点 A 的坐标为（4，8） 将 A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=???????1 分21 ,b=4 2 1 2 x +4x 2???????3 分∴抛物线的解析式为：y=-（2）①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中，tan∠PAE=PE BC PE 4 = ,即 = AP AB AP 81 1 AP= t．PB=8-t． 2 2 1 ∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）. 2∴PE=31 1 1 1 2 2 （4+ t） +4(4+ t）=- t +8. ???????5 分 2 2 2 8 1 2 1 2 ∴EG=- t +8-(8-t) =- t +t. 8 8 1 ∵- ＜0，∴当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. ???????7 分 8∴点 G 的纵坐标为：②共有三个时刻. t1= ???????8 分 ???????11 分8 5 16 40 ， t2= ，t3= ． 3 13 2? 5压轴题的做题技巧如下： 1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心 定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜” 。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时 间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证 选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一 小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤 给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但 是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用 三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正 确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构， 以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐 含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条 件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思 路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条 件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。压轴题解题技巧练习一、 对称翻折平移旋转41． （2010 年南宁）如图 12，把抛物线 y ? ? x （虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再2向上平移 1 个单位长度， 得到抛物线 l1 ， 抛物线 l 2 与抛物线 l1 关于 y 轴对称.点 A 、O 、B 分别是抛物线 l1 、 l 2 与 x 轴的交点， D 、 C 分别是抛物线 l1 、 l 2 的顶点，线段 CD 交 y 轴 于点 E . （1）分别写出抛物线 l1 与 l 2 的解析式； （2）设 P 是抛物线 l1 上与 D 、 O 两点不重合的任意一点， Q 点是 P 点关于 y 轴的对称 点，试判断以 P 、 Q 、 C 、 D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由. （3）在抛物线 l1 上是否存在点 M ，使得S?ABM ? S?四边形AOED ，如果存在，求出 M 点的坐标，如果不存在，请说明理由.yCC1y M A B O PC1A xy N BQ O P 图 2（2） 2 E F xE D AOBxl1l2C2C3C42 图 （1） 112 题 2 2． （福建 2009 年宁德市）如图，已知抛物线 C1： y ? a? x ? 2 ? ? 5 的顶点为 P，与 x 轴 题 相交于 A、B图 两点（点 A 在点 B 的左边） ，点 B 的横坐标是 1． 12 （1）求P点坐标及a的值； （4分） （2）如图（1） ，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移 后的抛物线记为 C3，C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析 式； 分） （4 （3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到 抛物线 C4．抛物线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边） ，当 以点 P、N、F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点 Q 的坐标． 分） （55二、 动态：动点、动线3．(2010 年辽宁省锦州)如图，抛物线与 x 轴交于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，且 x1＞x2， 2 与 y 轴交于点 C(0，4)，其中 x1、x2 是方程 x －2x－8＝0 的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； y (2)点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PE∥AC，交 BC 于点 E，连接 CP，当△CPE C 的面积最大时，求点 P 的坐标； (3)探究：若点 Q 是抛物线对称轴上的点， E 是否存在这样的点 Q，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 B A 点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． x O P4． （2008 年山东省青岛市）已知：如图①，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝ 3cm，点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1cm/s；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向 向点 C 匀速运动，速度为 2cm/s；连接 PQ．若设运动的时间为 t（s） （0＜t＜2） ，解答下 列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥BC？ （2）设△AQP 的面积为 y（ cm ） ，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在， 求出此时 t 的值；若不存在，说明理由； （4）如图②，连接 PC，并把△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，那么是否存在某一 时刻 t，使四边形 PQP′C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2B B P C P P D CA 图 ①QCA 图 ②QP?AQB5． （09 年吉林省）如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米，∠B＝60° ．从初始时刻开始， 点 P、Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米/秒的速度沿 A→C→B 的方向运动，点 Q 以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C→D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时，P、Q 两点同时停止6运动．设 P、Q 运动的时间为 x 秒时，△APQ 与△ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这 ．．．． 里规定：点和线段是面积为 0 的三角形） ，解答下列问题： （1）点 P、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒； （2）点 P、Q 从开始运动到停止的过程中，当△APQ 是等边三角形时 x 的值是__________ 秒； （3）求 y 与 x 之间的函数关系式．6． (2009 年浙江省嘉兴市)如图， 已知 A、 是线段 MN 上的两点， B 以 MN ? 4 ， ? 1 ， ? 1 ． MA MBA 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、N 两点重合成一点 C， 构成△ABC，设 AB ? x ． （1）求 x 的取值范围； （2）若△ABC 为直角三角形，求 x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？ M A B （第 24 题） N C三、 圆7． （2010 青海） 如图 10，已知点 A（3，0） ，以 A 为圆心作⊙A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴的另一个交点为 B，过 B 作⊙A 的切线 l. （1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（0，9） ，求此抛物线的解析式； （2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作⊙A 的切线 DE，E 为切点，求此切线长； （3）点 F 是切线 DE 上的一个动点，当△BFD 与 EAD△相似时，求出 BF 的长 ．y A E O B x AyC CB xC D 图1GD 图28．(2009 年中考天水)如图 1，在平面直角坐标系 xOy，二次函数 y＝ax ＋bx＋c(a＞0)的 图象顶点为 D，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、B，点 A 在原点的左侧，点 B 的坐 标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝ 1 ． 372(1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切， 求该圆的半径长度； (3)如图 2，若点 G(2，y)是该抛物线上一点，点 P 是直线 AG 下方的抛物线上的一动 点，当点 P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点 P 的坐标和△AGP 的最大面积． 9． （09 年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知 A(－4，0)，B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C，过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D． （1）求点 C 的坐标和过 A，B，C 三点的抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E，F 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆， 恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． y C A－4y D B D x E A M O B C F x NO110． （2009 年潍坊市）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标 原点，且与两坐标轴分别交于 A、B、C、D 四点．抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交于点2D ，与直线 y ? x 交于点 M、N ，且 MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ．（1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆 O 于 F ，求 EF 的长． （3）过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明 理由．四、比例比值取值范围11． （2010 年怀化）图 9 是二次函数 y ? ( x ? m) ? k 的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).2（1）求出图象与 x 轴的交点 A,B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点 P，使 S ?PAB ? 标；若不存在，请说明理由；85 S ?MAB ,若存在，求出 P 点的坐 4（3）将二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得 到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线 y ? x ? b (b ? 1) 与此图象有两个 公共点时， b 的取值范围.图9 12． (湖南省长沙市 2010 年)如图，在平面直角坐 中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上， OA ? 8 2 cm， OC=8cm，现有两动点 P、Q 分别图1 标 系 从 O、C 同时出发，P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动，Q 在线段 CO 上 沿 CO 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒． （1）用 t 的式子表示△OPQ 的面积 S； （2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； 1 （3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 经过 B、P 两点，过线 4 段 BP 上一动点 M 作 y 轴的平行线交抛物线于 N，当线段 MN 的长取最大值时，求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比．y C BQOP第 26 题图Ax13． （成都市 2010 年）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴交2于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为 (?3， ，若将经 0)9过 A、C 两点的直线 y ? kx ? b 沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对 称轴是直线 x ? ?2 ． （1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式； （2）如果 P 是线段 AC 上一点，设 ?ABP 、 ?BPC 的面积分别为 S ?ABP 、 S ?BPC ， 且 S?ABP : S?BPC ? 2 : 3 ，求点 P 的坐标； （3）设 ? Q 的半径为 l，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 ? Q 与 坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若 设⊙Q 的半径为 r ，圆心 Q 在抛物线上运动，则当 r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？五、探究型14． （内江市 2010）如图，抛物线y ? mx 2 ? 2mx ? 3m ? m ? 0 ? 与 x 轴交于A、B 两点，与 y 轴交于 C 点.（1）请求出抛物线顶点 M 的坐标（用含 m 的代数式表示） A、B 两点的坐标； ， （2）经探究可知， △BCM 与 △ABC 的面积比不变，试求出这个比值； （3）是否存在使 △BCM 为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说 明 y 理由.DBoECAx26 题图15． （重庆市潼南县 2010 年）如图, 已知抛物线 y ?1 2 x ? bx ? c 与 y 轴相交于 C，与 x 2轴相交于 A、B，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；10（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE⊥x 轴于点 D，连结 DC，当△DCE 的面积 最大时，求点 D 的坐标； （3）在直线 BC 上是否存在一点 P，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标， 若不存在，说明理由. 16． （2008 年福建龙岩）如图，抛物线 y ? ax ? 5ax ? 4 经过 △ABC 的三个顶点，已知2BC ∥ x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC ? BC ．（1）求抛物线的对称轴； （2）写出 A B，C 三点的坐标并求抛物线的解析式； ， （3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 △PAB 是等 腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由． y C1yQHB PBAOxA 01xC17 ． 09 （ 钦州）26． （本题满分 10 分） 如图，已知抛物线 y＝年广西3 2 x ＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的坐 4 3 标为（－1，0） ，过点 C 的直线 y＝ x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动 4t 点，过 P 作 PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1．（1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示） ； （3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相 似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由． 18． （09 年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴 的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE⊥DC，交 OA 于点 E． （1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；11（2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一 边与线段 OC 交于点 G．如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐 6 标为 ，那么 EF＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理 5 由； （3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由． y y C B P NA EDA O C xM OBx19． （09 年湖南省长沙市）如图，抛物线 y＝ax ＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－3，0)、B 两点，与 y 轴相交于点 C(0， 3 )．当 x＝－4 和 x＝2 时，二次函数 y＝ax ＋bx＋c(a≠ 0)的函数值 y 相等，连结 AC、BC． （1）求实数 a，b，c 的值； （2）若点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、BC 边运动， 其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t 秒时，连结 MN，将△ BMN 沿 MN 翻折，B 点恰好落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值及点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得以 B，N，Q 为顶点的三 角形与△ABC 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 20． （08 江苏徐州）如图 1，一副直角三角板满足 AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°， ∠EDF＝30° 【操作】将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕 ．．．．．．． ． 点 E 旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q ．．．． 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图 2，当 （2） 如图 3，当22CE ＝ 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. 1 EA CE ＝2 时 EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. EA12（3） 根据你对（1）（2）的探究结果，试写出当 、 系式CE ＝m 时，EP 与 EQ 满足的数量关 EA为_________,其中 m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明) 【探究二】若，AC＝30cm，连续 PQ，设△EPQ 的面积为 S(cm )，在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理 由. （2） 随着 S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应 S 值的取值范围.AA(D)2A EFE P B Q F CP D B Q C FBC(E)D六、最值类22．(2010 年恩施) 如图 11，在平面直角坐标系中，二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象与 x2轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3） 点，点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式． （2）连结 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四 边形 POP C， 那么是否存在点 P，使四边形 POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在 请说明理由． （3） 当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最 大并求出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积./ /解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第 24 题和 25 题， 我们不妨把它分为函数型综合题和几何型 综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解 析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研 究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值13函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定 系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代 数法（解析法）。此类题基本在第 24 题，满分 12 分，基本分 2－3 小题来呈 现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动 点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数 的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义 域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等 腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条 件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值 等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列 出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写 成 y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x 和 y 的方程）和复合法 （列出含有 x 和 y 和第三个变量的方程， 然后求出第三个变量和 x 之间的函数 关系式，代入消去第三个变量，得到 y＝f（x）的形式），当然还有参数法， 这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定 理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找 图形的特殊位置 （极限位置） 和根据解析式求解。 而最后的探索问题千变万化， 但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。几何型综合 题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件 不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严 谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目， 其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本 技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参 考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点 是通过建立点与数即坐标之间的对应关系， 一方面可用代数方法研究几何图形 的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数， 即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的14思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之 而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性， 常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨 论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已 成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想， 初中数学中的转换大体包 括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识 之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合 试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识 点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的 知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐 惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得 不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段 的得分策略。 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是 第（1）小题较易，第（2）小题中等，第（3）小题偏难，在解答时要把第（1） 小题的分数一定拿到，第（2）小题的分数要力争拿到，第（3）小题的分数要 争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会， 要将片段的思路转化为得分点， 因此， 要强调分段得分， 分段得分的根据是“分 段评分”，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给 分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发挥自 己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐， 它不仅综合考查初中数学骨干知识， 如三 角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程 等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。此类题型也往往起到了考试的选拔作 用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离， 所以准确快速解决此类问题是赢得中考 数学胜利的关键。如何准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方 法DD以静制动。 另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生 一般都能拿分， 但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法， 是 特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答 案，更重要的是明确此题的方法和思路。 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，15然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例 1 ：（ 北 京 市 石 景 山 区 2010 年 数 学 期 中 练 习 ） 在 △ ABC 中 ， ∠ B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积； (2)现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q 从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B 方向运动。 如果点 P 的速度是 4CM/秒， Q 的速度是 2CM/秒， 点 它们同时出发， 几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？ (3)在第（2）问题前提下，P,Q 两点之间的距离是多少？ 点评：此题关键是明确点 P、Q 在△ABC 边上的位置，有三种情况。 （1）当 0tQ6 时，P、Q 分别在 AB、BC 边上； （2）当 6tQ8 时，P、Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上； A （3）当 t &8 时, P、Q 分别在 AB、BC 边上延长线上. 然后分别用第一步的方法列方程求解. 例 2: (北京市顺义 2010 年初三模考)已知正方形 ABCD 的边长是 1，E 为 CD 边的中点， P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发，沿 A →B → C →E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x，△APE 的面积为函数 y， （1）写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y＝B1 时，x 的值等于多少？ 3点评:这个问题的关键是明确点 P 在四边形 ABCD 边上的位置,根据题意点 P 的位置分三种情况:分别在 AB 上、BC 边上、EC 边上. 例 3：(北京市顺义 2010 年 初三模考)如图 1 ，在直角梯形 ABCD 中，∠B=90°，DC∥AB，动 点 P 从 B 点出发，沿梯形的边由 B→C → D → A 运动，设点 P 运动的路程为 x ,△ABP 的面积为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所示 ，那么△ ABC 的面积为（ ） A．32 B．18 C．16 D．10 y B 3 例 4： （09 齐齐哈尔）直线 y ? ? x ? 6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，4动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O → B → A 运动． （1）直 接写出 A、B 两点的坐标；P O Q A x（2） 设点 Q 的运动时间为 t 秒，△OPQ 的面积为 S ， 求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 S ?48 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边 516形的第四个顶点 M 的坐标． 点评：本题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 OB 上，点 P 在 BA 上。 例 5： （2009 宁夏） 已知： 等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米， 长为 1 厘米的线段 MN 在 △ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与 点 A 重合，点 N 到达点 B 时运动终止） ，过点 M、N 分别作 AB 边的垂线，与 △ABC 的 其它边交于 P、Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩 形的面积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t ．求四 边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范 Q 围． 解： （1）过点 C 作 CD ? AB ，垂足为 D ．则 AD ? 2 ， 当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形 MNQP 是矩形，即 AM ? P C3 时， 2A MNB四边形 MNQP 是矩形，? t ?3 秒时，四边形 MNQP 是矩形． 2PC Q3 3 ? PM ? AM tan 60°= 3 ，? S四边形MNQP ? 3 2 2（2） 1° 当 0 ? t ? 1 时， S四边形MNQP ?1 3 ( PM ? QN ? MN ? 3t ? ) 2 2AMN C P QB2° 当 1≤ t ≤ 2 时， S四边形MNQP ?3°当 2 ? t ? 3 时， S四边形MNQP ?1 3 ( PM ? QN ? MN ? ) 3 2 21 7 ( PM ? QN ? MN ? ? 3t ? ) 3 2 2AMN B点评：此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。 例 6 ：（ 2009 四 川 乐 山 ）． 如 图 （ 15 ）， 在 梯 形 ABCD 中 ， DC ∥ AB ，? ?A 0， 9 ° A 厘米，DC ? 4 厘米，BC 的坡度 i ? 3 4， P 从 A 出 ?D 6 ∶ 动点 发以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3 厘 D 米/秒的速度沿 B ? C ? D 方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其 c C c17Q cA cPE （3） c c图B c中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为 t 秒． （1）求边 BC 的长； （2）当 t 为何值时， PC 与 BQ 相互平分； （3）连结 PQ， △PBQ 的面积为 y， 设 探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时， y 有 最大值？最大值是多少？ 6. 解： （1）作 CE ? AB 于点 E ，如图（3）所示，则四边形 AECD 为矩形．∶ ? 又 ? AE ? CD ? 4，CE ? DA ? 6． ? i ? 3 4，2CE 3 ? ． EB ? 8，AB ? 12． 2 分 ? EB 42在 Rt△CEB 中，由勾股定理得： BC ? CE ? EB ? 10． （2） 假设 PC 与 BQ 相互平分． DC ∥ AB， PBCQ 是平行四边形 由 则 （此时 Q 在 CD 上） ． ??????????? ??????????? ?????????? ??????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????????? ??????????? ??????? ?????????? ??????????? ??????????? ?????????? ????????? 即 CQ ? BP， 3t ? 10 ? 12 ? 2t． t ? 解得22 22 ， t? 即 秒时， PC 与 BQ 相互平分． 5 5（3）①当 Q 在 BC 上，即 0 ≤ t ≤10 时，作 QF ? AB 于 F ，则 CE ∥QF． 3即?QF BQ ? ， CE BCQF 3t 9t 1 1 9t 9 81 ? ． QF ? ． S△PBQ ? PB QF ? (12 ? 2t ? = ? (t ? 3)2 ? ．?????? ? ? ? ) ?????? ????? 6 10 5 2 2 5 5 5当 t ? 3 秒时，? S△ PBQ 有最大值为81 厘米2． 5②当 Q 在 CD 上，即10 14 1 1 ≤ t ≤ 时，? S△PBQ ? PB CE ? (12 ? 2t ) ? 6 = 36 ? 6t． ? 3 3 2 2 10 10 2 秒时，? S△ PBQ 有最大值为 36 ? ? 6 ? 16厘米 ． 3 3易知 S 随 t 的增大而减小．故当 t ?18? 9 2 54 ? 10 ? ? ? 5 t ? 5 t，0 ≤ t ? 3 ? 81 ? ? ? ? ? 16，y ? ? 5 ? ??6t ? 36．10 ≤ t ≤ 14 ? ? ? ? 3? ? 3 ?综上，当 t ? 3 时， S△ PBQ 有最大值为81 厘米2． 5二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直 接转化为函数或方程。 例 7： （包头）如图，已知 △ABC 中， AB ? AC ? 10 厘米， BC ? 8 厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等， 经过 1 秒后，△BPD 与 △CQP B 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够 使 △BPD 与 △CQP 全等？ （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出 发，都逆时针沿 △ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ABC 的哪条 边上相遇？ 解： （1）①∵ t ? 1秒，∴ BP ? CQ ? 3 ?1 ? 3 厘米， ∵ AB ? 10 厘米，点 D 为 AB 的中点，∴ BD ? 5 厘米． 又∵ PC ? BC ? BP，BC ? 8 厘米，∴ PC ? 8 ? 3 ? 5 厘米，∴ PC ? BD ． 又∵ AB ? AC ，∴ ?B ? ?C ，∴ △BPD ≌△CQP ． ②∵ vP ? vQ ， ∴ BP ? CQ ， 又∵ △BPD ≌△CQP ， ?B ? ?C ，则 BP ? PC ? 4，CQ ? BD ? 5 ， ∴点 P ，点 Q 运动的时间 t ? DAQ CPBP 4 CQ 5 15 ? 秒，∴ vQ ? ? ? 厘米/秒． 4 4 3 3 t 3 15 80 x ? 3x ? 2 ?10 ，解得 x ? 3 4（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得 秒．19∴点 P 共运动了80 ? 3 ? 80 厘米． 380 秒点 P 与点 Q 第一次在 3梯 形∵ 80 ? 2 ? 28 ? 24 ，∴点 P 、点 Q 在 AB 边上相遇，∴经过 边 AB 上相遇． 例 8 ： （09济南）如图，在ABCD中，A ∥ D， C 3，A D ? 5 B ? ，D ?，∠ 2 A ． M ?5 B 点出发沿线段 BC C4 B? 4 从 B 动点以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为 t 秒． （1）求 BC 的长． （2）当 MN ∥ AB 时，求 t 的值． （3）试探究： t 为何值时， △MNC 为等腰三角形． 解：1） （ 如图①， A 、 分别作 AK ? BC 于 K ， 过 则四边形 ADHK D DH ? BC 于 H ， 是矩形 ∴ KH ? AD ? 3． Rt△ABK 中， AK ? AB ? 45? ? 4 2． 在 sin2 ?4 2BK ? AB?cos 45? ? 4 2 ?2 ? 4 在 ， Rt△CDH 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ， 2HC ? 52 ? 42 ? 3∴ BC ? BK ? KH ? HC ? 4 ? 3 ? 3 ? 10 A D A D N B M （图①） （图②） （2）如图②，过 D 作 DG ∥ AB 交 BC 于 G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形 ∵ MN ∥ AB ∴ MN ∥ DG ∴ BG ? AD ? 3 ∴ GC ? 10 ? 3 ? 7 由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时， CN ? t，CM ? 10 ? 2t． ∵ DG ∥ MN ∴∠NMC ? ∠DGC 又∠C ? ∠C ∴ △MNC ∽△GDC ∴ K H C B GCCN CM t 10 ? 2t 50 ? 即 ? 解得， t ? CD CG 5 7 17（3）分三种情况讨论：①当 NC ? MC 时，如图③，即 t ? 10 ? 2t ∴ t ? A D N10 320AD N②当 MN ? NC 时，如图④，过 N 作 NE ? MC 于 E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 EC ?1 1 MC ? ?10 ? 2t ? ? 5 ? t 2 2在 Rt△CEN 中， cos c ?EC 5 ? t CH 3 ? ? ∴ 又在 Rt△DHC 中， cos c ? NC t CD 55?t 3 25 ? 解得 t ? t 5 8∵ ∠C ? ∠C，?DHC ? ?NEC ? 90? ∴ △NEC ∽△DHC ∴NC EC ? 即 DC HCt 5?t 25 ? ∴t ? ??????????? ??????????? ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????????? ???????? ?????????? ??????????? ??????????? ??????? 5 3 8③当 MN ? MC 时，如图⑤，过 M 作 MF ? CN 于 F 点. FC ? 解法一： （方法同②中解法一）1 1 NC ? t 2 2A D1 t 60 FC 3 cos C ? ? 2 ? 解得 t ? 17 MC 10 ? 2t 5解法二： ∵ ∠C ? ∠C，?MFC ? ?DHC ? 90? ∴ △MFC ∽△DHCB （图⑤）HM1 FC MC 2 t 10 ? 2t 60 ? ∴ 即 ∴t ? ? HC DC 17 3 5综上所述，当 t ?25 60 10 、t ? 或t ? 时， △MNC 为等腰三角形 8 17 3例 9： （呼和浩特）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90? ，AB＝12cm， AD＝8cm，BC＝22cm，AB 为⊙O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、 A P D21OC 同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t(s)． (1)当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？ (2)当 t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？ 解：(1)∵直角梯形 ABCD， ∥ BC ? PD ∥QC AD?当 PD ? QC 时，四边形 PQCD 为平行四边形．由题意可知： AP ? t，CQ ? 2t A P D?8 ? t ? 2t ， 3t ? 8 ， t ?8 3O B A P H D Q8 ?当 t ? s 时，四边形 PQCD 为平行四边形． 3（2）解：设 PQ 与 ⊙O 相切于点 H， 过点 P 作 PE ? BC， 垂足为 EO?直角梯形 ABCD，AD ∥ BC? PE ? AB 由题意可知： AP ? BE ? t，CQ ? 2t ? BQ ? BC ? CQ ? 22 ? 2tEQ ? BQ ? BE ? 22 ? 2t ? t ? 22 ? 3tB EQ? AB 为 ⊙O 的 直 径 ， ?ABC ? ?DAB ? 90° ? AD、BC 为 ⊙O 的 切 线? AP ? PH，HQ ? BQ ? PQ ? PH ? HQ ? AP ? BQ ? t ? 22 ? 2t ? 22 ? t在Rt△PEQ中，P 2E ?E2 Q ?2 ?P 2 2 1 Q ?2 ? t 2 ?2 (?3 t2 )即 ： 2 2 ()8t 2 ? 8 ? 8 ? 1 4 4 t07分t 2 ? 11t ? 18 ? 0 ， (t ? 2)(t ? 9) ? 0 ? t1 ? 2，t2 ? 9因为 P 在 AD 边运动的时间为AD 8 ? ? 8 秒，而 t ? 9 ? 8 ?t ? 9 （舍去） 1 1P N?当 t ? 2 秒时， PQ 与 ⊙O 相切．A例 10. (2009 山东淄博) 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，22 BDQM （第 25 题）CQ，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动， 当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若 BQ=xcm( x ? 0 )，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 解： （1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点 P 与点 N 重合时，由x 2 ? 2 x ? 20，得 x1 ? 21 ? 1 ，x2 ? ? 21 ? 1（舍去）．因为BQ+CM= x ? 3x ? 4( 21 ? 1) ? 20 ，此时点 Q 与点 M 不重合．所以 x ? 21 ? 1 符合题意． ②当点 Q 与点 M 重合时，由x ? 3x ? 20,得 x ? 5 ．此时 DN ? x2 ? 25 ? 20 ，不符合题意．故点 Q 与点 M 不能重合．所以所求 x 的值为 21 ? 1 ． （2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧， ①当点 P 在点 N 的左侧时，由 20 ? ( x ? 3x) ? 20 ? (2 x ? x2 ) ，解得 x1 ? 0(舍去)，x2 ? 2 ． 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形． ②当点 P 在点 N 的右侧时， 20 ? ( x ? 3x) ? (2 x ? x2 ) ? 20 ， 解得 x1 ? ?10(舍去) ，x2 ? 4 ． 由 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形．所以当 x ? 2 或x ? 4 时，以 P，Q，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形． （3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F．由于 2x&x，所以点 E 一定在 点 P 的左侧． 若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF， 即 2 x ? x ? x2 ? 3x ．解得 x1 ? 0(舍去)，x2 ? 4 ． 由于当 x=4 时， 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形． 第一是以静化动， 把问的某某秒后的那个时间想想成一个点， 然后再去解， 第二是对称性， 如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图23画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的动点题也就没 问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着 圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个 范围内1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想 纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是 通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的 性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思 想。例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而 得。 3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论, 就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为 新的热点。 4、综合多个知识点,运用等价转换思想 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包 括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之 间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、 几何、 三角于一体的综合试题, 转换的思路更要得到充分的应用。 中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并 非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广, 所使用的数学思想方法也较全面。 因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自 己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数, 为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。 5、 分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第(1) 小题较易,第(2)小题中等,第(3)小题偏难,在解答时要把第(1)小题的分数一定拿 到,第(2)小题的分数要力争拿到,第(3)小题的分数要争取得到,这样就大大提高 了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将 片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评 分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多 踏多给分。 因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平, 把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。24二. 重点难点： 1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索 不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以 及发现所形成的客观规律。 2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。 三. 具体内容： 通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型： 1. 条件探索型――结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。 2. 结论探索型――给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与 之相应的结论的题目。 3. 存在探索型――在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的 题目。 4. 规律探索型――在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有 的规律性或不变性的题目。 由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固 定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： （1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、 概括，从特殊到一般，从而得出规律。 （2）反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是 推导出矛盾还是能与已知条件一致。 （3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则 需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不 同结论综合归纳得出正确结果。 （4） 类比猜想法。 即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似 问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注 重数学思想方法的综合运用。25【典型例题】 [例 1] 2007 呼和浩特市） （ 在四边形 构成一个新的四边形， 请你对四边形 为一个菱形，这个条件是 。 中， 顺次连接四边中点 填加一个条件，使四边形 ， 成解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）[例 2]（2007 荆门市）将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设 较短直角边为 1。（1）四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： ______________。 （2）如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△B1C1D1 的位置，四边形 ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________。26（3） Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中， 在 当点 B 的移动距离为______ 时，四边形 ABC1D1 为矩形，其理由是______________________；当点 B 的移动 距离为______时，四边形 ABC1D1 为菱形，其理由是______________________。 （图 3、图 4 用于探究） 解： （1）是，此时 AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）是，在平移过程中，始终保持 AB C1D1，一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形。（3），此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形。，此时点 D 与点 B1 重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱 形。 [例 3]（2006 广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， BC∥OA，OA=7，AB=4， COA=60°，点 P 为 x 轴上的―个动点，点 P 不与点 O、 ∠ 点 A 重合。连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D。 （1）求点 B 的坐标； （2）当点 P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；（3）当点 P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 的坐标。= ，求这时点 P27解析：（1）过 C 作 CH⊥OA 于 H，BE⊥OA 于 E 则△OCH≌△ABE，四边形 CHEB 为矩形 ∴OH=AE，CH=BE ∵OC=AB=4，∠COA=60° ∴CH= ∴CB=HE=3 ∴OE=OH+HE=5 ∵BE=CH= ∴B（5， ） ，OH=2（2）∵∠COA=60°，△OCP 为等腰三角形 ∴△OCP 是等边三角形 ∴OP=OC=4 ∴P（4，0） 即 P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形 （3） ∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60° ∴∠OPC+∠DPA=120° 又∵∠PDA+∠DPA=120° ∴∠OPC=∠PDA ∵∠OCP=∠A=60° ∴△COP∽△PAD28∴∵，AB=4∴BD=∴AD=即 ∴ 得 OP=1 或 6 ∴P 点坐标为（1，0）或（6，0） [例 4]（2007 云南省）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（AD＞AB），点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DF⊥AE，垂足为 F。 请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出 你所得到的结论并给予证明。解：经探求，结论是：DF = AB 证明如下： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠B =AD∥BC，29∴ ∠DAF = ∠AEB。 ∵ DF⊥AE ∴ ∠AFD = ∵ AE = AD ∴ABE ≌DFA∴ AB = DF [例 5]（2007 北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类 似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在 点 ，若 ， 中，点 分别在 。 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边 上，设 相交于请你写出图中一个与 形； （3） 在 中， 如果是不等于的锐角，点分别在上，且 。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边 四边形，并证明你的结论。解：（1）回答正确的给 1 分（如平行四边形、等腰梯形等）。 （2）答：与 四边形 相等的角是 是等对边四边形。30（或）。（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形 证法一：如图 1，作 于 点，作。 交 延长线于 点。因为 所以 。因为 ， 。 。 。，为公共边，所以 ，。所以 可证 所以 所以四边形是等边四边形。 ， 交 于 点。证法二：如图 2，以 为顶点作因为 所以 。，为公共边，31所以 所以 因为 所以 所以 所以 所以 所以四边形 说明：当， 。。， 。 。 。 。 是等边四边形。 时，，仍成立。只有此证法，只给 1 分。 ， ， 边上自由移动。[例 6]（07 山东滨州）如图 1 所示，在 中， 为 的中点，动点 在 边上自由移动，动点在（1）点 的移动过程中， 是否能成为 的等腰三角 形？若能，请指出 为等腰三角形时动点 的位置。若不能，请说明 理由。 （2）当 写出 的取值范围。 时，设 ， ，求 与 之间的函数解析式，（3）在满足（2）中的条件时，若以 为圆心的圆与 试探究直线 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论。相切（如图 2），32解：如图， （1）点 此时点 ① 是 ② （2） 在 和 。 移动的过程中， 的位置分别是： 的中点， 。③ 与 与 重合。 重合， 是 的中点。 ， ， 能成为 的等腰三角形。中，又，。。，，，。（3）与圆 O 相切。，。。即。又 。，。点 到 点 到和的距离相等。与圆 O 相切，的距离等于圆 O 的半径。与圆 O 相切。 [例 7]（2007 乐山）如图，在矩形 中， ， 。直角尺的直 角顶点 在 上滑动时（点 与 不重合），一直角边经过点 ，另一 直角边 交于点 。我们知道，结论“ ”成立。 （1）当 时，求 的长；33（2）是否存在这样的点 ，使 的周长等于 存在，求出 的长；若不存在，请说明理由。周长的 倍？若解：（1）在中，由，得，由知， （2）假设存在满足条件的点 ，设。 ，则由知，，解得 此时 ，， 符合题意。[例 8]（2006 湖南衡阳）观察算式： 1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 用代数式表示这个规律（n 为正整数）：1+3+5+7+9++（2n?1）= 。 分析与解答：由以上各等式知，等式左端是从 1 开始的连续若干个奇数之 和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得 1+3+5+7+?+（2n?1）=n2，填 n2。 【模拟试题】341.（2006 年山东省）如图，△ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O。给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD。 （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写 出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。2.（2006 年随州市）如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点。 （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）请你探索，当矩形 ABCD 中的一组邻边满足何种数量关系时，有 BM⊥ CM 成立，说明你的理由。3. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一个动点（D 点与 B、C 不重合），且 DE∥ AC 交 AB?于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F。 （1）试探究，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 是菱形？并说明理由。 （2）在（1）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？ 请说明理由。354. 如图，AB 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，切点是 C。点 D 是 EF 上一个 动点，连接 AD。试探索点 D 运动到什么位置时，AC 是∠BAD 的平分线，请说 明理由。5.（2006 年成都市）已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC? 延长线上一点，过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F，连结 AE、 CF。 （1）求证：AF=CE；（2）若 AC=EF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边 形，并证明你的结论。6.（2006 广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个 合适的数，这个数是 .7.（2006 广西百色市）如图，A1A2B 是直角三角形，且 A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B， 垂足为 A3，A3A4⊥A2B，垂足为 A4，A4A5⊥A3B，垂足为 A5，??，An+1An+2⊥AnB，垂 足为 An+2，则线段 An+1An+2（n 为自然数）的长为（ ）A.B.C.D.368.（2007 成都市）在平面直角坐标系 的图象与 轴交于 轴交于点 ，其顶点的横坐标为 1，且过点 （1）求此二次函数的表达式；中，已知二次函数 两点 （点 和 在点 。 的左边） 与 ，（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则 是否存在这样的直线 ， 使得以 为顶点的三角形与 相似？若存 在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一 点，试比较锐角 与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐 标 的取值范围。9.（2007 绵阳市）如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M（1，m）恰好在此抛物线的 对称轴上，⊙M 的半径为 。设⊙M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E。（1）求 m 的值及抛物线的解析式；37（2）设∠DBC = ?，∠CBE = ?，求 sin（?－?）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由。动点与相似1．已知∠AOB=45°，P 是边 OA 上一点，OP= 4 2 ，以点 P 为圆心画圆，圆 P 交 OA 于 点 C（点 P 在 O、C 之间，如图） 。点 Q 是直线 OB 上的一个动点，连 PQ，交圆 P 于点 D， 已知，当 OQ=7 时，PD 2 ? ， DQ 3（1）求圆 P 半径的长； （2）当点 Q 在射线 OB 上运动时，以点 Q 为圆心，OQ 为半径作圆 Q，若圆 Q 与圆 P 相 切，试求 OQ 的长度； （3）连 CD 并延长交直线 OB 于点 E，是否存在这样的点 Q，使得以 O、C、E 为顶点的 三角形与△OPQ 相似，若存在，试确定 Q 点的位置；若不存在，试说明理由。 A C P P D D O O Q B38A CEQB2. 已知：如图，在平面直角坐标系中， △ABC 是直角三角形， ?ACB ? 90? ，点 A，C 的坐标分别为 A(?3， ， C (1 0) ，∠BAC 的正切值是 3／4 0) ， （1）求过点 A，B 的直线的函数解析式； （2）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得 △ADB 与 △ABC 相似（不包括全等） ，并求 点 D 的坐标； （ 3 ） 在 （ 2 ） 的 条 件 下 ， 如 果 P，Q 分 别 是 AB 和 AD 上 的 动 点 ， 连 接 PQ ， 设 ， 使得 △ APQ 与 △ADB 相似， 如存在， 请求出 m AP ? DQ? m 问是否存在这样的 m ， 的值；如不存在，请说明理由． y BAx O C2 8 8 和 y ? ? 在第二象限中的图像，A 点在 y ? ? 的图像上，点 x x x 2 A 的横坐标为 m（m＜0） ，AC∥y 轴交 y ? ? 图像于点 C，AB、DC 均平行 x 轴，分别交 x 2 8 y y ? ? 、 y ? ? 的图像于点 B、D. x x3.如图，双曲线 y ? ?（1）用 m 表示 A、B、C、D 的坐标； （2）求证：梯形 ABCD 的面积是定值； （3）若△ABC 与△ACD 相似，求 m 的值.ABD C O x394 ． 如 图 ， 直 线 y ? ?2 x ? n ( n ＞ 0 ) 与 x轴、y轴 分 别 交 于 点A、B , S ?OAB ? 16 ，抛物线 y ? ax2 ? bx(a ? 0) 经过点 A ，顶点 M 在By直线 y ? ?2 x ? n 上． （1）求 n 的值； （2）求抛物线的解析式； （3）如果抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N ，那么在对称轴上找一点 P ，使得 ?OPN 和 ?AMN 相似，求点 P 的坐标．OAx5.如图所示，抛物线 y ? ? x ? 3m (m&0)的顶点为 A，直线 l： y ???23 x?m与 y 轴 3交点为 B. （1）写出抛物线的对称轴及顶点 A 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）证明点 A 在直线 l 上，并求∠OAB 的度数； （3）动点 Q 在抛物线对称轴上，问抛物线上是否存在点 P，使以点 P、Q、A 为顶点的三 角形与SOAB 全等？若存在，求出 m 的值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不 存在，请说明理由.y 3 l: y= A O B 3 x- m x y= -? x - 3 m ? 240第25题图6. 在平面直角坐标系 xOy 中， 将抛物线 y ? 2 x 沿 y 轴向上平2y5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5移 1 个单位，再沿 x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶 点坐标记作 A， 直线 x ? 3 与平移后的抛物线相交于 B， 与直线 OA 相交于 C． （1）求△ABC 面积； （2）点 P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的 P 点坐标．x7. 设抛物线 y ? ax ? bx ? 2 与 x 轴交于两个不同的点 A(一 1，0)、2B(m，0)，与 y 轴交于点 C.且∠ACB=90° ． (1)求 m 的值和抛物线的解析式； (2)已知点 D(1，n )在抛物线上，过点 A 的直线 y ? x ? 1 交抛物 线于另一点 E．若点 P 在 x 轴上，以点 P、B、D 为顶点的三 角形与△AEB 相似，求点 P 的坐标． (3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________． y C Q D B C E Q P 图1 A x O 图2 P A x y B8．将一矩形纸片 OABC 放在平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O(0， ， 0)A(6， ， C (0， ．动点 Q 从点 0) 3)OO 出发以每秒 1 个单位长的速 度沿 OC 向终点 C 运动，运动412 秒时， 动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 AO 向终点 O 运动． 当其中一点到达终点时， 3 另一点也停止运动．设点 P 的运动时间为 t （秒） ．（1）用含 t 的代数式表示 OP，OQ ； （2）当 t ? 1 时，如图 1，将 △OPQ 沿 PQ 翻折，点 O 恰好落在 CB 边上的点 D 处，求 点 D 的坐标； （3）连结 AC ，将 △OPQ 沿 PQ 翻折，得到 △EPQ ，如图 2．问： PQ 与 AC 能否平 行？ PE 与 AC 能否垂直？若能，求出相应的 t 值；若不能，说明理由．9. 在直角坐标系 xOy 中，设点 A ( 0, t ) ，点 Q ( t , b ) ( t, b 均为非零常数). 平移二次函数y ? ?t x 2 的图象, 得到的抛物线 F 满足两个条件: ① 顶点为 Q ; ② 与 x 轴相交于 B, C两点( | OB | ? | OC | ). 连接 AB . (1) 是否存在这样的抛物线 F ，使得 | OA | ? | OB | ? | OC | ? 请你作出判断，并说明理由；2(2) 如果 AQ // BC , 且 tan ?ABO ?3 ，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式. 210. 已知： 抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c (a≠0)， 顶点 C (1， 3 )， x 轴交于 A、 两点，A(?1 0) ． B ? 与 ， （1）求这条抛物线的解析式． （2）如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接 A、D、B、E，点 P 为线段 AB 上一个动点(P 与 A、B 两点不重合)，过点 P 作 PM⊥AE 于 M，PN⊥42DB 于 N，请判断PM PN 是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ? BE AD PA EF 是否成立．若 ? PB EG（3）在(2)的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FG⊥EP ，FG 分别与边 AE、 ．BE 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合)，请判断成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．y EM A D O P N B xC11. 抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 5) 与 x 轴的交点为 M、N．直线 y ? kx ? b 与 x 轴交于 P(－2， 0)．与 y 轴交于 C，若 A、B 两点在直线 y ? kx ? b 上．且 AO=BO= 2 ， AO⊥BO．D 为线段 MN 的中点。OH 为 Rt△OPC 斜边上的高． (1)OH 的长度等于 ；k= ，b= ．(2)是否存在实数 a，使得抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 5) 上有一点 F．满足以 D、N、E 为顶 点的 三角形与△AOB 相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解 析式．同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的 E 点(简要说明理由)．并进一 步探索对符合条件的每一个 E 点，直线 NE 与直线 AB 的交点 G 是否总满足 PB?PG ? 10 2 ，写出探索过程4312.在直角坐标系 xOy 中，设点 A ( 0, t ) ，点 Q ( t , b ) ( t, b 均为非零常数). 平移二次函数y ? ?t x 2 的图象, 得到的抛物线 F 满足两个条件: ① 顶点为 Q ; ② 与 x 轴相交于 B, C两点( | OB | ? | OC | ). 连接 AB . (1) 是否存在这样的抛物线 F ，使得 | OA | ? | OB | ? | OC | ? 请你作出判断，并说明理由；2(2) 如果 AQ // BC , 且 tan ?ABO ?3 ，求抛物线 F 对应的二次函数的解析式. 213.已知抛物线的顶点为 ? 2,1? ，且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。 （1）求抛物线的解析式； （2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且一 O,C,D,B 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求 D 的坐标。 （3）连接 OA, AB，在 x 轴的下方的抛物线上是否存在点 P，使得 ?OBP∽ OAB ? 若存 ? 在，求出 p 点坐标；若不存在说明理由 。4414.直线 y=1 x+2 分别交 x, y 轴与点 A, C。 P 是直线上在第一象限内的一点，PB⊥x 轴， 2B 为垂足， S ? ABP ? 9 . （1）求点 P 的坐标 （2）设点 R 与点 P 在同一个反比例函数的图像上，且点 R 在直线 PB 的右侧 。作 PT⊥x 轴，T 为垂足，当△BTR 与△AOC 相似时，求点 R 的坐标。15.抛物线经过点 A（4，0） (1，0)，C(0，2)三点。 ，B （1）求此抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM⊥X 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A,P,M 为顶点的三角形与△OAB 相似？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由； （3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得△DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标。45第一是以静化动， 把问的某某秒后的那个时间想想成一个点， 然后再去解， 第二是对称性， 如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图 画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的动点题也就没 问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着 圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个 范围内1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想 纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是 通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的 性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表 示的图形。因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思 想。例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而 得。 3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多 变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论, 就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为 新的热点。 4、综合多个知识点,运用等价转换思想 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包 括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之 间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、 几何、 三角于一体的综合试题, 转换的思路更要得到充分的应用。 中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并 非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广, 所使用的数学思想方法也较全面。 因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自 己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数, 为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。 5、 分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第(1) 小题较易,第(2)小题中等,第(3)小题偏难,在解答时要把第(1)小题的分数一定拿 到,第(2)小题的分数要力争拿到,第(3)小题的分数要争取得到,这样就大大提高 了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将 片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评46分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多 踏多给分。 因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平, 把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。二. 重点难点： 1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索 不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以 及发现所形成的客观规律。 2. 难点： 探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律。 三. 具体内容： 通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型： 1. 条件探索型――结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。 2. 结论探索型――给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与 之相应的结论的题目。 3. 存在探索型――在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的 题目。 4. 规律探索型――在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有 的规律性或不变性的题目。 由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固 定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： （1）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、 概括，从特殊到一般，从而得出规律。 （2）反演推理法（反证法），即假设结论成立，根据假设进行推理，看是 推导出矛盾还是能与已知条件一致。 （3）分类讨论法。当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则 需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不 同结论综合归纳得出正确结果。47（4） 类比猜想法。 即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似 问题的结论或解决方法，并加以严密的论证。 以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注 重数学思想方法的综合运用。 【典型例题】 [例 1] 2007 呼和浩特市） （ 在四边形 构成一个新的四边形， 请你对四边形 为一个菱形，这个条件是 。 中， 顺次连接四边中点 填加一个条件，使四边形 ， 成解：或四边形是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）[例 2]（2007 荆门市）将两块全等的含 30°角的三角尺如图 1 摆放在一起，设 较短直角边为 1。48（1）四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： ______________。 （2）如图 2，将 Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt△B1C1D1 的位置，四边形 ABC1D1 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________。 （3） Rt△BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中， 在 当点 B 的移动距离为______ 时，四边形 ABC1D1 为矩形，其理由是______________________；当点 B 的移动 距离为______时，四边形 ABC1D1 为菱形，其理由是______________________。 （图 3、图 4 用于探究） 解： （1）是，此时 AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （2）是，在平移过程中，始终保持 AB C1D1，一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形。（3），此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形。，此时点 D 与点 B1 重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱 形。 [例 3]（2006 广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， BC∥OA，OA=7，AB=4， COA=60°，点 P 为 x 轴上的―个动点，点 P 不与点 O、 ∠ 点 A 重合。连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D。 （1）求点 B 的坐标； （2）当点 P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点 P 的坐标；（3）当点 P 运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且 的坐标。= ，求这时点 P49解析：（1）过 C 作 CH⊥OA 于 H，BE⊥OA 于 E 则△OCH≌△ABE，四边形 CHEB 为矩形 ∴OH=AE，CH=BE ∵OC=AB=4，∠COA=60° ∴CH= ∴CB=HE=3 ∴OE=OH+HE=5 ∵BE=CH= ∴B（5， ） ，OH=2（2）∵∠COA=60°，△OCP 为等腰三角形 ∴△OCP 是等边三角形 ∴OP=OC=4 ∴P（4，0） 即 P 运动到（4，0）时，△OCP 为等腰三角形 （3）50∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60° ∴∠OPC+∠DPA=120° 又∵∠PDA+∠DPA=120° ∴∠OPC=∠PDA ∵∠OCP=∠A=60° ∴△COP∽△PAD∴∵，AB=4∴BD=∴AD=即 ∴ 得 OP=1 或 6 ∴P 点坐标为（1，0）或（6，0） [例 4]（2007 云南省）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形（AD＞AB），点 E 在 BC 上，且 AE =AD，DF⊥AE，垂足为 F。 请探求 DF 与 AB 有何数量关系？写出 你所得到的结论并给予证明。51解：经探求，结论是：DF = AB 证明如下： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠B =AD∥BC，∴ ∠DAF = ∠AEB。 ∵ DF⊥AE ∴ ∠AFD = ∵ AE = AD ∴ABE ≌DFA∴ AB = DF [例 5]（2007 北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类 似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在 点 ，若 ， 中，点 分别在 。 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边 上，设 相交于请你写出图中一个与 形；52（3） 在中， 如果是不等于的锐角，点分别在上，且 。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边 四边形，并证明你的结论。解：（1）回答正确的给 1 分（如平行四边形、等腰梯形等）。 （2）答：与 四边形 相等的角是 是等对边四边形。 。 交 延长线于 点。 （或 ）。（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形 证法一：如图 1，作 于 点，作因为 所以 。因为 ， 。 。，为公共边，所以 ，。所以 可证53所以 所以四边形。 是等边四边形。 ， 交 于 点。证法二：如图 2，以 为顶点作因为 所以 所以 所以 因为 所以 所以 所以 所以 所以四边形 说明：当 。 。 。 。 ， 。 。，为公共边，。，，是等边四边形。 时， 仍成立。只有此证法，只给 1 分。 ， ， 边上自由移动。[例 6]（07 山东滨州）如图 1 所示，在 中， 为 的中点，动点 在 边上自由移动，动点在54（1）点 的移动过程中， 是否能成为 的等腰三角 形？若能，请指出 为等腰三角形时动点 的位置。若不能，请说明 理由。 （2）当 写出 的取值范围。 时，设 ， ，求 与 之间的函数解析式，（3）在满足（2）中的条件时，若以 为圆心的圆与 试探究直线 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论。相切（如图 2），解：如图， （1）点 此时点 ① 是 ② （2） 在 和 。 移动的过程中， 的位置分别是： 的中点， 。③ 与 与 重合。 重合， 是 的中点。 ， ， 能成为 的等腰三角形。中，又，。。，，，。55（3）与圆 O 相切。，。。即。又 。，。点 到 点 到和的距离相等。与圆 O 相切，的距离等于圆 O 的半径。与圆 O 相切。 [例 7]（2007 乐山）如图，在矩形 中， ， 。直角尺的直 角顶点 在 上滑动时（点 与 不重合），一直角边经过点 ，另一 直角边 交于点 。我们知道，结论“ ”成立。 （1）当 时，求 的长； 周长的 倍？若（2）是否存在这样的点 ，使 的周长等于 存在，求出 的长；若不存在，请说明理由。解：（1）在中，由，得，由知，。56（2）假设存在满足条件的点，设，则由知，，解得 此时 ，， 符合题意。[例 8]（2006 湖南衡阳）观察算式： 1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 用代数式表示这个规律（n 为正整数）：1+3+5+7+9++（2n?1）= 。 分析与解答：由以上各等式知，等式左端是从 1 开始的连续若干个奇数之 和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得 1+3+5+7+?+（2n?1）=n2，填 n2。 【模拟试题】 1.（2006 年山东省）如图，△ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O。给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD。 （1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写 出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形。2.（2006 年随州市）如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点。 （1）求证：△ABM≌△DCM；57（2）请你探索，当矩形 ABCD 中的一组邻边满足何种数量关系时，有 BM⊥ CM 成立，说明你的理由。3. 如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一个动点（D 点与 B、C 不重合），且 DE∥ AC 交 AB?于点 E，DF∥AB 交 AC 于点 F。 （1）试探究，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 是菱形？并说明理由。 （2）在（1）的条件下，△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？ 请说明理由。4. 如图，AB 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的切线，切点是 C。点 D 是 EF 上一个 动点，连接 AD。试探索点 D 运动到什么位置时，AC 是∠BAD 的平分线，请说 明理由。5.（2006 年成都市）已知：如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC? 延长线上一点，过点 A 作 BE 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F，连结 AE、 CF。 （1）求证：AF=CE；（2）若 AC=EF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边 形，并证明你的结论。586.（2006 广西贺州市）观察图中一列有规律的数，然后在“？”处填上一个 合适的数，这个数是 .7.（2006 广西百色市）如图，A1A2B 是直角三角形，且 A1A2=A2B=a，A2A3⊥A1B， 垂足为 A3，A3A4⊥A2B，垂足为 A4，A4A5⊥A3B，垂足为 A5，??，An+1An+2⊥AnB，垂 足为 An+2，则线段 An+1An+2（n 为自然数）的长为（ ）A.B.C.D.8.（2007 成都市）在平面直角坐标系 的图象与 轴交于 轴交于点 ，其顶点的横坐标为 1，且过点 （1）求此二次函数的表达式；中，已知二次函数 两点 （点 和 在点 。 的左边） 与 ，（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则 是否存在这样的直线 ， 使得以 为顶点的三角形与 相似？若存 在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；59（3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一 点，试比较锐角 与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐 标 的取值范围。9.（2007 绵阳市）如图，已知抛物线 y = ax2 + bx－3 与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点，经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M（1，m）恰好在此抛物线的 对称轴上，⊙M 的半径为 。设⊙M 与 y 轴交于 D，抛物线的顶点为 E。（1）求 m 的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC = ?，∠CBE = ?，求 sin（?－?）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，请指出点 P 的位置，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由。6061
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