第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案
一、 （42分）试解下列各题：
x?arctanxe
1、解：lim
2、解：方程的特征方程为：r2?6r?9?0，其特征根为r1?r2?3， 故方程的通解为：y?(c1?c2x)e3x 3、解：原式=2?4、解：?05
、解：s6、解：y
二、（8分）解：
，方程两边微分得： eydy?2xcosx2dx
=e(y?2xcosxe
三、（8分）解：xn?0, x2?x1?，因此x2?x1
xn?11?xn?1
(1?xn)(1?xn?1)
设xn?xn?1，则xn?1?xn?1?单调增加，且xn?1?
?2,故limxn存在
设limxn?a，则: a?1?
.因为a非负，
四、（8分）证：设函数f(x)在区间(a,b)内f?(x)?0，?x1,x2?(a,b)，且x1?x2，函数f(x)在[x1,x2]上可
导，由拉格朗日中值定理得:f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1),??(x1,x2)，由于f?(?)?0,x2?x1?0?f(x2)?f(x1)
由x1,x2的任意性，f(x)在(a,b)上单调增加。当f(x)在(a,b)上导数为正时，函数曲线y?f(x)在(a,b)上切
线的斜率为正，即切线与x轴正向夹角为锐角。 五、（15分）解：定义域为(??,0)?(0,??)
令y??0?驻点x
，不可导点x?0
1）故单调增加区间为：(??,0),(2,??) ，单调减少区间为：(0,2) 极小值为：f(2)?3，无极大值。
2）下凸区间为：(??,0),(0,??) ，无拐点，由lim
故x?0为函数图形的铅直渐近线。
故y?x为函数图形的斜渐近线。
?1lim[f(x)?x]?lim[
六、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：y?x
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学年第一学期高等数学期末考试试题
河北师范大学附属民族学院试题专用纸 A． （- ?,1)首页 B. （ 2,??) D. 都不是系别 预科 班级 学号 姓名 备注： ①试卷首页 必须用统一 的考试命题 专用纸，第二 页以后用专 用纸续页. ②试卷必须 打印成卷，字 迹要工整、清 楚. ③各题留出 答案空白. ④试卷打印 后应认真校 对，避免卷面 错误.
线 封 学年第一学期《高等数学》课程期末考试试题 （适用班级：数信 10 级 2 班）密一、填空题：每小题 2 分，共 24 分。把答案写在答题纸上。C. （- ?,1) 或（ 2,??) ＊2．当 x ? 0 时，变量 A. 无穷小1 1 sin 是（ ）. 2 x xC. 有界的， 但不是无穷小 D. 无界的， 但不是无穷大1、函数 f ( x) 的定义域为 R，且满足 f ( x) ? 2 f (? x) ? x 2 ? 2x ， f ( x) 的解析 式是 。.B. 无穷大3．曲线 y ? ln x 在点 (1,0) 处的切线与 x 轴的夹角是（ ）. A.2、设 f ( x) 的定义域为 [0,2] ，则 F ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) 的定义域为 3、 lim(x ??? 2B.? 2C.? 4）.D.? 6x ?1 x ) = x ?1.＊4．在下列极限中，正确的是（ A.4、 d[ln(2 ? 3x)] = 5、已知 x ? 0 时， a(1 ? cos x) 与 x 是等价无穷小，则 a ?2limlimsin(1 x) ?1 x ?0 1xB.limx ??x ? sin x 不存在 x ? sin x. .C.ln(1 ? x) ?1 x ?0 xx ??D.1 lim(1 ? ) x ? e x ?0 x）.6、 y ? 1 ?2x 的水平渐近线为 ( x ? 1) 2.，垂直渐近线为＊5．已知 lim( A. C.2x 2 ? 5 ? ax ? b) ? 3 ，其中 a , b 为常数，则（ x ?1B. D.7、 limn ??1? 2 ? 3 ??? n =___ n2a ? 1, b ? 3 a ? ?2, b ? 1a ? ?1, b ? 2 a ? ?1, b ? 3） C. 2 D. ? ）.8、 limx ?01? x2 ? 2 =___ 3x_.f (3 ? h) ? f (3) ? ▲9．已知 f ?(3) ? 2 ，则 lim h?0 2h10．函数 y ? xe x 在区间 上单调增加.(ln x) 2 ? 6. lim x ? ?? xA. 0（ B. 111 ． 对 函 数 f ( x) ? ln x 在 闭 区 间 [1, e] 上 应 用 里 格 朗 日 中 值 定 理 ， 求 得 的 点7．设函数 f ( x) 在 x ? x0 处取得极值，则有（ A.??f ?( x0 ) ? 0B. f ??( x0 ) ? 0 D.. ＊12． 曲线 y ? x ? x ? x ? 1 的凹区间为3 2C. f ?( x0 ) ? 0 或 f ?( x0 ) 不存在 ， 拐点为 .3 2f ?( x0 ) 不存在）.二、选择题：每小题 2 分，共 30 分。把答案写在答题纸上。 1．函数 y ?8．函数 f ( x) ? 2 x ? 3x 在点 [?1,4] 上的最小值为（ A. 1 B. -522x x 2 ? 3x ? 2C. 5D. 2 ）.的定义域是（）.9．点 x ? 1 是函数 f ( x ) ?1 的（ x ?1共3页第 1 页河北师范大学附属民族学院试题专用纸续页A. 连续点 C. 第一类间断点B. 可去间断点 D. 第二类间断点 题号 分数 一答题纸二 三 四 总分系别 班级 学号预科? x 2 ? sin ax ,x ? 0 ? 10．设函数 f ( x) ? ? 在 x ? 0 处连续，则 a 的值为（ ） 。 x ?2, x?0 ?A． ? 2 B． 2 C． 1 2 D． ? 1 2密 姓名 备注： ①试卷首页 必须用统一 的考试命题 专用纸，第二 页以后用专 用纸续页. ②试卷必须 打印成卷，字 迹要工整、清 楚. ③各题留出 答案空白. ④试卷打印 后应认真校 对，避免卷面 错误.线 封11．若 f ( ) ? A． 11 xx ?1 ，则 f ?( x) 等于（ x 1 x B. C. e x）. D.ln x）. D. y ? 1 ?一．填空题：每小题 2 分，共 24 分。 1. 2. 4. 5. 7. 8. 10. 11 二、选择题：每小题 2 分，共 30 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123. 6. 9. 12 13 14 1512．下列函数在 [ ?1,1] 满足罗尔中值定理条件的是（ A． y ? e x B. y ? 1 ? x C． y ? 1 ? x 2 ）.1 x三、计算：每小题 5 分，共 35 分。解答中应写出推理、演算步骤。 1．已知函数 y ?13. 不定积分 sin(3 x ? 2)dx 等于（?x arctanx ，求导数 y ? 。1 3 1 C： cos( 3 x ? 2) +C 314.A： sin(3x ? 2) +C B： ?1 sin(3x ? 2) +C 3 1 D： ? cos( 3 x ? 2) +C 3）.3?xx 2 ? 1dx 等于（1A． ( x 2 ? 1) 2 ? CB. ( x 2 ? 1) 2 ? C12．计算 lim x 1? xx ?11 2 C. ( x ? 1) 2 ? C 315.11 2 D. ( x ? 1) 2 ? C 3）. C.3? ? f ?( x) ? 1?dx 等于（A． f ( x )B. f ( x) ? x ? Cf ?( x) ? xD. f ?( x) ? C3．计算 lim(x ?1x 1 ? ) 计算 ? sin 3 xdx x ? 1 ln x共3 页第 2 页河北师范大学附属民族学院试题专用纸续页系别 预科 班级 学号 姓名 备注： ①试卷首页 必须用统一 的考试命题 专用纸，第二 页以后用专 用纸续页. ②试卷必须 打印成卷，字 迹要工整、清 楚. ③各题留出 答案空白. ④试卷打印 后应认真校 对，避免卷面 错误.＊7．计算 封 6．计算3 5．计算 sin xdx4．已知隐函数 y 3 ? 3 y ? 2ax ? 0 ， （ a 为常数） ，求dy dx密四．证明：本题共 11 分. 写出必要的证明过程。 1．证明函数 f ( x) ?x ? 在区间（0， ) 内单调减少. tan x 2(5 分）??x ln xdx▲2．证明：当 x ? 0 时，x ? ln(1 ? x) ? x x ?1(6 分）?x2 ? 9 dx x共 3 页 第 3 页
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