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　　看点 数学就是计算吗？七宝德怀特IB数学教师、毕业于美国哥伦比亚大学数学系的丁易人有不同看法。他认为数学的精髓在于发现规律并解释规律。在外滩微课55讲的课堂上，他分享了自己从初中开始在美国学习数学的经历，并讲解了什么是数学、数学应该怎么学。这过程中做题是必不可少的，但学生要掌握合适的解题思路，才能真正发现数学之美，找到学习乐趣。
主讲 | 丁易人 策划丨厉校麟
剪辑丨洪宇哲 整理、编辑 | 李臻
　　在没见到丁易人老师之前，我对他的了解是来自2009年《扬子晚报》的报道：
　　“10年前，年仅8岁的他，被吉尼斯提名，成为我国年龄最小的10级琴童，该记录至今无人能破。
　　5年前，他跟随去国外读博的母亲到美国读书。
　　去年10月2日，他参加美国高考，凭借高中阶段各科成绩全A、高考数学满分的优异成绩，被包括美国哥伦比亚大学、芝加哥大学、加州理工学院、纽约大学等在内的6所名校‘争抢’。”
　　从哥伦比亚大学毕业后，丁易人便任教七宝德怀特，成为一名IB数学老师。
　　这样的背景，总会给人留下“刻板学霸”的形象，甚至丁易人老师本人也会拿别人眼中的数学老师形象来调侃。
　　出其不意的是，外滩微课当天见到丁老师与之前的想象完全不同，他幽默健谈、青春阳光，乐于健身，也喜爱品茶。
　　丁易人老师的数学课，总能调动起学生的积极性，为了让学生对微积分感兴趣，他把看似无关的品茶和数学结合创造了“狭义喝茶论”。
　　他发现上图的函数图像就像是喝茶的过程，第一泡总是一般般，后面的“每一泡茶”会越来越好，直到到达一个高峰，口感会慢慢减弱。丁老师把这个函数称为“喝茶函数”。在给学生讲解时，学生也对这个函数有了更深刻的理解。
　　当然，这一切的动力都是源自于丁易人老师本人对于数学的兴趣，同时，这也是他想给学生传递的理念之一，不要只是不断地做练习题，而是要能在学习的过程中发现问题，发现规律。
　　外滩微课55期，丁老师保持往日教学特色，在长达一个小时的微课上，利用鲜活形象的数学例题，讲解学习数学的作用，并给家长们分享了学习数学的方法。
　　一、美国学生数学成绩真的不好吗？
　　2004年，丁易人前往美国密西西比州读书。当时留学的人数与现在相比少之又少，他是学校唯一的中国学生。
　　读初中时，丁易人就对数学产生了兴趣，期间参加了美国初中生竞赛，拿下全美中学生数学竞赛密西西比州第三名，并代表州参加美国全国决赛，获得团体奖。在上高中之前，丁易人已经到大学给数学基础薄弱的美国大学生上数学课了。
　　他发现，美国学生并不像传言中的那样数学差，反而他们在数学竞赛中表现十分优异。
　　美国有三大主流数学竞赛，第一轮考试叫做AMC10，只有十年级的学生可以参加。在11年级和12年级时，所有学生必须参加AMC12。
　　AMC考试共有25题，均为选择题，每题五个选项，选错会扣分，需要学生在75分钟内完成作答。
　　通过第一轮考试后，5%的学生可以进入AIME美国数学邀请赛，要求学生在3小时内完成15到数学题。
　　难度最大的是美国数学奥林匹克竞赛，通过前两轮考试后，学生也可以入选美国国家队。
　　和中国注重综合发展不同，美国教育注重发展学生特长，如果一名学生不喜欢数学，他可以选择不学数学，同样可以进入顶尖大学；反之如果一名学生在数学方面表现出天赋，他也有非常大的发挥空间和资源。
　　此外，美国学生对于自己感兴趣的学习内容，愿意自发地去探索，学校的图书馆基本每天都是爆满，有时找不到座位需要坐在地上。
　　在这样的情况下，反而更能放大学生的特长，因为兴趣能激发学生的勤奋。因此，我们在平时的生活和学习中，要注重培养学生自主学习的能力。
　　二、为什么要学数学？
　　一想到数学大家就会想到加减乘除，但数学真的就这么简单吗？其实不然，这只是算数，是一种运算方法，算数并不能称之为数学。
　　丁老师认为，数学的精髓就是寻找规律。比如说3，6，9，12……就是一个最简单的规律。在现实生活中，其实存在着很多非常美的规律，这些规律组成了整个世界。
　　例如，黄金分割、斐波纳契数列、二项分布区域正态分布、计算概率、中心极限定理等等。只有当学生发现了规律的情况下，他们才会对数学产生兴趣，想要做进一步的探究。因此，数学不是枯燥的，数学之美也在于学生去发现它的规律。
　　此外，数学会和直觉发生冲突。丁老师举了一个他曾在课上使用过的例子：
　　你的朋友称扔了10000次硬币，得到了5227次正面。你该相信他吗？
　　主观来看，5227大概是10000的一半，因此是可信的。
　　但用数学来解释的话，会感到非常的惊讶，抛一万次硬币可以得到5227次正面的概率为2.81乘以10的负六次方，概率为零。
　　当然，在我们发现规律的同时，也要学会解释规律。数学就是一种解释规律的语言。
　　我们生活中的很多现象规律，都可以用数学来解释，例如，最基本的系鞋带就可以用数学来表示。
　　数学是让我们站在不同层面上来透视一个问题，这也是丁老师在教学时，十分注重培养学生多种方法解题来达到一个深度理解的原因，只有这样才能促使一个人创新。
　　因此，学习数学是永远不会被淘汰的，因为人类的各种现象都需要用数学来解释，我们学习数学实际上是学习了数学思维，它是一种批判性思维，一种逻辑思维，掌握了这种思维方式，学生也可以很容易的掌握其他任何领域的知识。
　　三、数学应该怎么学？
　　学好数学是大家最关心的话题，那么应该怎么去学呢？
　　丁易人老师推荐了一本书，这本书同样是比尔盖茨推荐的，叫做《How Not to Be Wrong The Power of Mathematical Thinking》
　　书中有一个很形象的比喻，它将学好数学就像打好一场球赛，需要平时的练习积累才能在最后关键时刻爆发。因此不断地做题是十分有必要的。
　　那么我们平时学习生活中应该怎么去做练习呢？
　　丁老师总结了解题的三条思路：战略、战术和工具，缺一不可。
　　当学生在做练习时，没有战略和战术的话，就会变成一个“刷题机器”，也不具备创新和解决现实生活问题的能力。
　　我们可以把这三个思路比作爬山：
　　同爬山一样，解题也会遇到很多障碍，只有想办法克服这个障碍时，就算成功了。
　　所以学生每次遇到难题时，就可以想象自己是在爬山，按照一定的思路去解题。在解题的同时，我们还要善于很快地发现隐藏的思想和概念，这也需要学生去创新。
以上为外滩微课第55讲精华版实录
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中国高校校报协会副会长......
北京教育音像报刊总社评论部评论员.....
中国青少年研究中心首席专家
美国独立教育顾问协会认证顾问
中国人民大学政治学教授　　一道神奇的数学题，有厉害的能解释下吗？　　我们1÷3=3...........　　但是3.3333333.......×3=9.......　　难道1=9.999999.......　　有懂数学的解释一下，让咱学习学习！
楼主发言：1次 发图：0张 | 更多
　　你是骗回复吧?还是真的usb？1÷3是3.333?傻逼不解释。　　
　　无穷接近等于一，因为阿拉伯数学的十进制。　　
　　@遇熟女防御为0 1楼 　　你是骗回复吧?还是真的usb？1÷3是3.333?傻逼不解释。　　-----------------------------　　汗~~喝了点酒回来，有点晕，打错了——纠正一哈：　　我们1÷3=0.333333..........　　但是0.333333.......×3=0.99999......　　难道1=0.999999.......　　有懂数学的解释一下，让咱学习学习！
　　你肯定没有学过微积分。　　
　　我也问个题，比方说你站在静止的火车车箱里，随便拿个东西，举到车顶子上，撒手，东西会自由落体，落到地板上一个点，假如火车高速行驶时，还是这个动作，落地时会和静止时一个点吗？　　
　　证明1=0.99999.....　　设x=0.......　　10x = 9.....　　9x + x = 9......　　9x = 9...... - x　　9x = 9......- 0.9999999　　9x = 9　　x=1　　所以， x=0.......
　　@看不顺眼就要说
22:33:55　　你肯定没有学过微积分。　　-----------------------------　　嗯，微积分中1=0.999999.......吗？
　　@joyalion
23:02:42　　证明1=0.99999.....　　设x=0.......　　10x = 9.....　　9x + x = 9......　　9x = 9...... - x......　　-----------------------------　　恕俺愚钝，你证明了x=1
x=0.......那你也不能说1=0.999999.......啊？
　　@镗床哥
22:43:31　　我也问个题，比方说你站在静止的火车车箱里，随便拿个东西，举到车顶子上，撒手，东西会自由落体，落到地板上一个点，假如火车高速行驶时，还是这个动作，落地时会和静止时一个点吗？　　-----------------------------　　你说这个是惯性，理论上还是在一个点上，但是哲学上讲永远不可能在一个点上，就像人不能同时踏入一条河~
　　进寺庙要脱鞋，寺庙进去了无限多个人，门口有无限多双鞋，有人来在门口拿走了一万双鞋，后来从庙里出来的人又都穿着鞋走了。----------无限
　　1除以3等于1/3。三分之一乘以3等于一。楼主傻逼不解释　　
　　@千里狗
21:40:00　　一道神奇的数学题，有厉害的能解释下吗？　　我们1÷3=3...........　　但是3.3333333.......×3=9.......　　难道1=9......　　-----------------------------　　你白痴吧，回去重新上小学。1÷3=3...........？？？？？？？？？　　你数学老师怎么教你的，还有脸提问，
　　给你个简单的推理　　1÷3=0.3...........无限循环　　同理1÷3=1/3(三分之一)　　2÷3=0.6...........无限循环　　同理2÷3=2/3(三分之二)　　0....+0.6666666...=0............无限循环　　已知:1/3+2/3=3/3=1　　所以:1=0............无限循环
　　傻逼天天有，今天特别多
　　@hy楼 　　你白痴吧，回去重新上小学。1÷3=3...........？？？？？？？？？　　你数学老师怎么教你的，还有脸提问，　　-----------------------------　　抱歉，后面已经解释过了~
　　@insomac 11楼 　　1除以3等于1/3。三分之一乘以3等于一。楼主傻逼不解释　　-----------------------------　　你说这个我知道，你要骂是你自己修养的问题，我只是在想我们是不是根本就无法准确的用数字来解释这个世界~~
　　计算器算的吧，四舍五入　　
　　@aeolusluck 13楼 　　给你个简单的推理　　1÷3=0.3...........无限循环　　同理1÷3=1/3(三分之一)　　2÷3=0.6...........无限循环　　同理2÷3=2/3(三分之二)　　0....+0.6666666...=0............无限循环　　已知:1/3+2/3=3/3=1　　所以:1=0............无限循环　　-----------------------------　　多谢指教！那看来0.999999.....就是1了！
　　@你的机器猫 10楼 　　进寺庙要脱鞋，寺庙进去了无限多个人，门口有无限多双鞋，有人来在门口拿走了一万双鞋，后来从庙里出来的人又都穿着鞋走了。----------无限　　-----------------------------　　嗯，谢谢！
　　不懂　　
　　0.333…………不是个具体的数，是极限。同样的0.999…=1是正确的，它表示0.999…的极限是1。极限就是“无限接近于”　　
　　回复第6楼，@joyalion　　证明1=0.99999..... 　　设x=0....... 　　10x = 9..... 　　9x + x = 9...... 　　9x = 9...... - x 　　9x = 9......- 0.9999999 　　9x = 9 　　x=1 　　所以， x=0.......　　--------------------------　　有意思
　　兔子追乌龟，速度是乌龟的10倍，相距一百米，等兔子跑了一百时，乌龟又跑了十米，兔子再跑十米，乌龟又跑了一米，以此类推，那么难道兔子永远追不上乌龟么？显然不是，原因在于分析方法不对，楼主的错误在于，不能将无限的数字计算方法等同普通数字。总之，楼主，你着相了。在微积分里，按你的思维能推出无数个谬论来。^_^　　
　　回复@joyalion　　证明1=0.9999......　　----------　　@joyalion 这个证明无误，不错，巧妙运用相减化解了无限循环　　
　　回复第22楼，@dthtzxgsy　　0.333…………不是个具体的数，是极限。同样的0.999…=1是正确的，它表示0.999…的极限是1。极限就是“无限接近于” 　　[发自掌中天涯客户端 ]　　--------------------------　　对　　
　　@dthtzxgsy 22楼 　　0.333…………不是个具体的数，是极限。同样的0.999…=1是正确的，它表示0.999…的极限是1。极限就是“无限接近于”　　-----------------------------　　谢谢！那再请教一下，那数学是客观存在的，还是人定义的呢？实际上并不能揭示客观世界的规律？好奇怪——
　　回复@千里狗　　一道神奇的数学题，有厉害的能解释下吗？ 　　......　　----------　　SB一个不解释　　
　　看来我国教育制度是失败的
　　明眼人一看就知道楼猪打错字了、意思肯定懂。楼上N多人火气也忒大了点，这也值得骂人，讨论问题罢了，看不过眼了。
　　四舍五入　　
　　如果是3禁止，你就不会有这个问题了　　
　　回复第28楼，@千里狗　　@dthtzxgsy 22楼 　　0.333…………不是个具体的数，是极限。同样的0.999…=1是正确的，它表示0.999…的极限是1。极限就是“无限接近于” 　　----------------------------- 　　谢谢！那再请教一下，那数学是客观存在的，还是人定义的呢？实际上并不能揭示客观世界的规律？好奇怪—— 　　--------------------------　　其实你真的感兴趣，就好好看看微积分的入门书吧，不但对你的疑问有帮助，也能让你的思维有所拓宽。　　数学是人类用来了解这个客观世界的一种工具，也是我们描述客观世界的一个方法。　　
　　@有孙迦南1 33楼 　　其实你真的感兴趣，就好好看看吧，不但对你的疑问有帮助，也能让你的思维有所拓宽。　　数学是人类用来了解这个客观世界的一种工具，也是我们描述客观世界的一个方法。　　-----------------------------　　谢谢，我一定去看看微积分的入门书！
　　@dthtzxgsy 22楼 　　0.333…………不是个具体的数，是极限。同样的0.999…=1是正确的，它表示0.999…的极限是1。极限就是“无限接近于”　　-----------------------------　　1
　　刚才百度了一下，0.999…的词条，这个解释就很复杂了，看上去至少已经与俺现实生活无关了：　　产生　　　　在完备的实数系中，循环小数0.999…，也可写成、或表示一个等于1的实数。也就是说，
0.999…　　“0.999…”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被专业数学家所接受，并在教科书中讲授。目前这个等式已经有各种各样的证明，它们各有不同的严谨性、背景假设都蕴含实数的阿基米德性质、历史文脉、以及目标受众。　　研究
0.999…　　这类展开式的非唯一性不仅限于十进制系统。相同的现象也出现在其它的整数进位制中，数学家们也列举出了一些1在非整数进位制中的写法。这种现象也不是仅仅限于1的：对于每一个非零的有限小数，都存在另一种含有无穷多个9的写法。由于简便的原因，我们几乎肯定使用有限小数的写法，这样就更加使人们误以为没有其它写法了。实际上，一旦我们允许使用无限小数，那么在所有的进位制中都有无穷多种替代的写法。例如，18.6999…、18.3287000…，以及许多其它的写法，都表示相同的数。这些各种各样的等式被用来更好地理解分数的小数展开式的规律，以及一个简单分形图形──康托尔集合的结构。它们也出现在一个对整个实数的无穷集合的经典研究之中。
0.999…　　在过去数十年里，数学教育的研究人员研究了学生们对该等式的接受程度。许多学生至少在开始时怀疑或拒绝该等式。很多学生被老师、教科书和如下的术算推论说服接受两者是相等的。尽管如此，他们常感觉不到足够的舒服安心，而提出进一步的辩解。学生们否定或肯定该等式的原因，通常是基于对实数的一些错误直观；例如，每一个实数都有一个唯一的小数展开式，例如非零的无穷小应该存在，或者0.999…的展开式最终要停止。我们可以构造出符合这些直观的数系，但只能在用于初等数学或多数更高等数学中的标准实数系统之外进行。的确，某些设计含有“刚刚小于1”的数，不过，这些数一般与0.999…无关（因为与之相关的在理论上和实践上都没有什么用途），但在数学分析中引起了相当大的关注。　　简介
0.999…　　0.999…是书写于小数记数系统中的一个数，一些最简单的0.999… = 1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大多数的小数算术──加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，使用与整数差不多的数位层次的操作。与整数一样，任何两个有限小数只要数位不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形如0.99…9的数，只要只得有限个 9 ，这些 9 最终会停止，则该数都是严格小于1的。 　　误解0.999…中的“…”（省略号）的意义，是误解0.999… = 1的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99…9中的用法是不同的，0.99…9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，“…”则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。作为使用传统数学的结果，指派给记数表示式“0.999…”的值定义为一个实数，该实数为收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，…）的极限。“0.999…”是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999…=1这个等式就很直观了。
0.999…　　与整数和有限小数的情况不一样，其实记数法也可以多种方式表示单一个数值。例如，如果使用分数， 三分之一=六分之二 。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定含有无穷多个9，而另外一种则一定从某一位开始就全是循环重复的零。 　　0.999… = 1有许多证明，它们各有不同的严谨性。一个严谨的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数其实是同一个的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999…与1的差，就算存在也是非常的小。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差的大小一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德性质），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知 1 和 0.999… 是同一数。用相同的理由，也可以解释为什么0.333… =三分之一，0.111… = 九分之一，等等。　　...........　　/view/1834050.htm
　　证明1=0.99999.....　　设x=0.......　　10x = 9.....　　9x + x = 9......　　9x = 9...... - x　　9x = 9......- 0.9999999　　9x = 9　　x=1　　所以， x=0.......　　----妙
　　@千里狗 8楼 　　恕俺愚钝，你证明了x=1
x=0.......那你也不能说1=0.999999.......啊？　　-----------------------------　　可以这么理解　　0.99999....　　= (9 * 0.99999...) / 9　　= (10 * 0.9999... - 0.99999...) / 9　　= (9.9999... - 0.9999...) / 9　　= 9 / 9　　= 1
　　极限 　　许多小学阶段的东西,看着极简单.如果求源,就牵涉到微积分等东西了.　　这样讲吧,通俗地讲,小学数学教师如果是牛顿这个量级的人来担当,楼主就不会有此疑问了.
　　嗯，谢谢大家的回复~~昨晚吃饭，偶尔听到他们讲到这个问题，很好奇，天涯上能人很多嘛，就想听听大家的解释，因为俺原来是艺术类的，数学极烂，百度了一下，看着头疼，想看看有没有深入浅出的解释，最好带点哲学意味的解释，就像“谢耳朵”那样~哈哈~~　　再次谢谢大家的回复~~周末快乐！
　　精神病人思路广,弱智儿童欢乐多　　丽君已经不在了，青霞也老了，再不解放台湾，志玲也快不能要了
　　我来打个酱油哦。。。。。。。。。　　
　　看了上面的回答，真的很无语~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~　　一个一个的殊不知都走入了误区。被楼猪给误导。没有找到事情的本质。楼主第一步就错了（在高等数学里错了，初等里面是正确的）。请记住：分数是表达除值的最精确的方式。　　1÷3=0.3333....
这个式子在高等数学里成立吗？（当然1/3是不用怀疑的）一步错，接下来步步错。　　1÷3只是无线趋近于0.3333...
其实除法运算完，后面还有一个无限趋近于0的余值0.000...1。　　所以1=9.99999...
从严格上说是不成立的！他们是不同的数。　　你的式子应该这样写：　　1=0.333333...×3+(0.000...1/3)×3
　　上面把0.9999.....写成9.99999....了，在此更正！
　　回复第43楼(作者:@虾蟹联社 于
18:22)　　看了上面的回答，真的很无语~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~……　　==========　　你这说法有误，无限循环小数所表示的是极限，是一个确定的数，不是无限接近的过程。所以，1=的等式是对的。　　
　　我只是说1/3无限趋近于循环小数；并没说循环小数不是一个确定的数，是无限接近的过程。　　本题关键1/3， 0.3333...之间到底能不能简单的话画等号。　　简单的1÷3=0.3 余值0.1　　0.33
0.01　　0.333
0.001　　...
...　　所以如果无限循环小数0.3333....所表示的是极限的话，那么1/3应该是两个极限相加。
　　@虾蟹联社
18:22:17　　看了上面的回答，真的很无语~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~　　一个一个的殊不知都走入了误区。被楼猪给误导。没有找到事情的本质。楼主第一步就错了（在高等数学里错了，初等里面是正确的）。请记住：分数是表达除值的最精确的方式。　　1÷3=0.3333.... 这个式子在高等数学里成立吗？（当然1/3是不用怀疑的）一步错，接下来步步错。......　　-----------------------------　　名牌大学数学系的我笑喷了。。。。。哈哈哈。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
　　@虾蟹联社
00:15:11　　我只是说1/3无限趋近于循环小数；并没说循环小数不是一个确定的数，是无限接近的过程。　　本题关键1/3， 0.3333...之间到底能不能简单的话画等号。　　简单的1÷3=0.3 余值0.1　　0.33 0.01　　0.333 0.001......　　-----------------------------　　你饶了我吧，我被你整的笑的快死过去了，哈哈。。。。。
　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么简单的还有1=0.999...8;1=0.999...7等等也会成立。1将可以等于无穷多个数；　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么2=1.999...8也可以成立，2也可以等于无穷多个数，3也一样；　　有人说0.99999...的极限就是1，所以1=0.9999...。我觉得这种说法不妥，极限相对的是函数，而0.9999....就是一个确切的数。只能说这个数与1接近。当然1.000...1这个数也与1同样的接近。
　　这个问题我初中也问过老师，得到的回答是无限接近相当于1　　
　　好像无限循环小数不可以加减乘除，那听说的忘记了。
　　@千里狗 27楼 　　谢谢！那再请教一下，那数学是客观存在的，还是人定义的呢？实际上并不能揭示客观世界的规律？好奇怪——　　-----------------------------　　这话问得给力！　　我的理解是，数学是人造的概念，不是客观存在的事物。。。比如，世界上根本就不存在“1”这个东西，它根本就是人造的抽象概念。。。不是么？呵呵
　　目测- -
楼主智商和那个小数一样~
　　还是那句话：本题的关键1/3， 0.3333...之间到底能不能简单的画等号？？？？？　　小学时
1÷3=1/3=0.333333...　　有极限、无穷大、无穷小的概念之后，1÷3的关于小数的准确表达式应该这样　　　　要睡了.闪人
　　这个问题我在小学时也看到过，不过那时的学习报上很肯定的写着1＝0.999999......　　证明的方法也是用3来除。　　但是我始终将信将疑，我总觉得0.9999999……只是接近于1，还差那么一点点，因为我们同样可以用3来证明：1*３＝3，而0.99999……*３＝2.999999……7，1和2.99999……7不相等，这一点应该没有争议吧
　　@marvolo666 54楼 　　目测- -
楼主智商和那个小数一样~　　-----------------------------　　看上去你智商很高，那你说说　　如果1=0.999......　　那0.999...+0.000...1=?　　哈哈~
　　回复第49楼，@虾蟹联社　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么简单的还有1=0.999...8;1=0.999...7等等也会成立。1将可以等于无穷多个数； 　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么2=1.999...8也可以成立，2也可以等于无穷多个数，3也一样； 　　有人说0.99999...的极限就是1，所以1=0.9999...。我觉得这种说法不妥，极限相对的是函数，而0.9999....就是一个确切的数。只能说这个数与1接近。当然1.000...1这个数也与1同样的接近。 　　--------------------------　　仔细想了一下，你的结论是对的，无限循环小数，不等于1，多年不接触此类问题，基本概念都模糊了，百度上的解释是错误的，　　康托证明无理数不可数，就是基于任何一个无限长的数的排列，都代表书轴上不同的点。　　
　　但1/3=0.3333……是对的　　
　　@我是个哑巴 47楼 　　名牌大学数学系的我笑喷了。。。。。哈哈哈。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。　　-----------------------------　　来了名牌大学数学系的了，好！能简单解释解释吗？让俺们学习学习，呵呵~
　　@虾蟹联社
00:38:29　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么简单的还有1=0.999...8;1=0.999...7等等也会成立。1将可以等于无穷多个数；　　如果1=0.9999999...都可以成立的话；那么2=1.999...8也可以成立，2也可以等于无穷多个数，3也一样；　　有人说0.99999...的极限就是1，所以1=0.9999...。我觉得这种说法不妥，极限相对的是函数，而0.9999....就是一个确切的数。只能说这个数与1接近。当然1.000...1这个数也与1同样的接近。　　-----------------------------　　这个推断完全正确....+1
　　我也给他们看几道题目:　　(1)　　x=0.9999...　　x=1-Δ　　10x=10-10Δ　　10x-x=10-10Δ-1＋Δ　　9x=9-9Δ（而用小数表示时,到这下一步的答案是“9x=9”少减了9Δ）　　(2)　　x=0.999..　　x=1-Δ　　x=(1/3)*3-Δ　　x=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　0.999..=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　以上我做的两题,哪里有错?　　再看下一题　　(3)　　x=0.9999...　　1/（1-x）=？　　上题是=1/Δ,对其求极限(Δ趋向于0),结果=无穷大.　　但是根据错误的理论1=0.9999...,导致分母等于0,我们知道分母是不能等于0的,是无结果的.　　上面一位朋友"虾蟹联社",从逻辑上解释得很对. 一旦发生相邻数全等的绝对事实,那数列上的数是连续的,全是相邻的,一点点传递下来,最后全都相等,1能等于2了,1也等于3了,1能等于任何数,3也一样(这种情况可能会发生,我想是在黑洞里面吧,但是在我们的世界里是不会发生的,不然我们也成黑洞了),那数全都相等了,那么数还有什么意义?　　大家都知道微分吧,微分是什么,微分就是一个无穷小的数,这个数对它积分了,它就可以表现出人们通常能接受的数字;然而不对它积分,你会因为它是无穷小,就把它当作没有,就把它扔了,这就可以吗?显然这是完全不可以的,为什么?因为微分包含了一个数的结构信息.　　就是因为有了结构信息,所以0/0型的极限有了各种各样的结果,没有结构信息的话所有0/0型的极限,得到的结果都是一个,那就是"无意义".　　所以像0.3333...这样的,用小数与循环点表示的数,在最终答案的时候可以用于表示,但是在运算过程中,是不可以参与运算的,它只可以还原成1/3这个包含有结构信息的数才能参与正确的运算.　　最后结论就是,小数与循环点表示的数不能参与中间运算,因为它丢失了一个数的结构信息.
　　我也给他们看几道题目:　　(1)　　x=0.9999...　　x=1-Δ　　10x=10-10Δ　　10x-x=10-10Δ-1＋Δ　　9x=9-9Δ（而用小数与循环点表示时,到一步的答案是“9x=9”少减了9Δ）　　(2)　　x=0.999..　　x=1-Δ　　x=(1/3)*3-Δ　　x=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　0.999..=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　以上我做的两题,哪里有错?　　再看下一题　　(3)　　x=0.9999...　　1/（1-x）=？　　上题是=1/Δ,对其求极限(Δ趋向于0),结果=无穷大.　　但是根据错误的理论1=0.9999...,导致分母等于0,我们知道分母是不能等于0的,是无结果的.　　上面一位朋友"虾蟹联社",从逻辑上解释得很对. 一旦发生相邻数全等的绝对事实,那数列上的数是连续的,全是相邻的,一点点传递下来,最后全都相等,1能等于2了,1也等于3了,1能等于任何数,3也一样(这种情况可能会发生,我想是在黑洞里面吧,但是在我们的世界里是不会发生的,不然我们也成黑洞了),那数全都相等了,那么数还有什么意义?　　大家都知道微分吧,微分是什么,微分就是一个无穷小的数,这个数对它积分了,它就可以表现出人们通常能接受的数字;然而不对它积分,你会因为它是无穷小,就把它当作没有,就把它扔了,这就可以吗?显然这是完全不可以的,为什么?因为微分包含了一个数的结构信息.　　就是因为有了结构信息,所以0/0型的极限有了各种各样的结果,没有结构信息的话所有0/0型的极限,得到的结果都是一个,那就是"无意义".　　所以像0.3333...这样的,用小数与循环点表示的数,在最终答案的时候可以用于表示,但是在运算过程中,是不可以参与运算的,它只可以还原成1/3这个包含有结构信息的数才能参与正确的运算.　　最后结论就是,小数与循环点表示的数不能参与中间运算,因为它丢失了一个数的结构信息.
　　我也给他们看几道题目:　　(1)　　x=0.9999...　　x=1-Δ　　10x=10-10Δ　　10x-x=10-10Δ-1＋Δ　　9x=9-9Δ（而用小数与循环点表示时,到这一步的答案是“9x=9”少减了9Δ）　　(2)　　x=0.999..　　x=1-Δ　　x=(1/3)*3-Δ　　x=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　0.999..=1/3＋1/3＋1/3-Δ　　以上我做的两题,哪里有错?　　再看下一题　　(3)　　x=0.9999...　　1/（1-x）=？　　上题是=1/Δ,对其求极限(Δ趋向于0),结果=无穷大.　　但是根据错误的理论1=0.9999...,导致分母等于0,我们知道分母是不能等于0的,是无结果的.　　上面一位朋友"虾蟹联社",从逻辑上解释得很对. 一旦发生相邻数全等的绝对事实,那数列上的数是连续的,全是相邻的,一点点传递下来,最后全都相等,1能等于2了,1也等于3了,1能等于任何数,3也一样(这种情况可能会发生,我想是在黑洞里面吧,但是在我们的世界里是不会发生的,不然我们也成黑洞了),那数全都相等了,那么数还有什么意义?　　大家都知道微分吧,微分是什么,微分就是一个无穷小的数,这个数对它积分了,它就可以表现出人们通常能接受的数字;然而不对它积分,你会因为它是无穷小,就把它当作没有,就把它扔了,这就可以吗?显然这是完全不可以的,为什么?因为微分包含了一个数的结构信息.　　就是因为有了结构信息,所以0/0型的极限有了各种各样的结果,没有结构信息的话所有0/0型的极限,得到的结果都是一个,那就是"无意义".　　所以像0.3333...这样的,用小数与循环点表示的数,在最终答案的时候可以用于表示,但是在运算过程中,是不可以参与运算的,它只可以还原成1/3这个包含有结构信息的数才能参与正确的运算.　　最后结论就是,小数与循环点表示的数不能参与中间运算,因为它丢失了一个数的结构信息.
　　再来看这个数　　0.(142857)....　　把这个数乘以8,算算这个结果是多少吧!　　当你知道"0.(142857)...."这个数的结构之后,再让你做乘以8,你会说,计算乘以8有多大难啊?
　　1÷3=0.333333无限循环，所以后面一直写，一直写，写不完，那么应该如下↓。（除非你把这个数学题写完。）　　应该是1÷3≈0.33　　约等于不是等于！数学里=和≈是又区别的！！！
　　所以题目都出错了。。1=0.999999肯定也错了。。。应该是1≈0.999999........
　　除非你把这个数学题写完，那么就可以不用≈，不写完的话不能用=。。。
　　1÷3=0，33………混小子　　
　　真尼玛大傻逼，你算下1除以3等于几？ 尼玛等于0.3　　
　　1－0·99999···＝0···点，说起最后的一，那哪里是最后呢？因为小数点后有无数个零循环，没有最后，所以1＝0····成立。
　　@aeolusluck
00:18:35　　给你个简单的推理　　1÷3=0.3...........无限循环　　同理1÷3=1/3(三分之一)　　2÷3=0.6...........无限循环　　同理2÷3=2/3(三分之二)　　0....+0.6666666...=0............无限循环　　已知:1/3+2/3=3/3=1　　所以:1=0............无限循环　　-----------------------------　　太太棒了
<span class="count" title="万
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