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& 步步高2014届高考数学江苏专用（文）二轮专题突破：专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用
步步高2014届高考数学江苏专用（文）二轮专题突破：专题三 第2讲 数列求和及数列的综合应用
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资料概述与简介
第2讲　数列求和及数列的综合应用
【高考考情解读】　高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．
1． 数列求和的方法技巧
(1)分组转化法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法
这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)倒序相加法
这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝.
常见的拆项公式：
②＝(－)；
③＝(－)；
④＝(－)．
2． 数列应用题的模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.
考点一　分组转化求和法
例1　等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.
故an＝2·3n－1 (n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
当n为偶数时，Sn＝2×＋ln 3
＝3n＋ln 3－1；
当n为奇数时，Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3
＝3n－ln 3－ln 2－1.
综上所述，Sn＝
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．
(2013·安徽)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)由题设可得f′(x)＝(an－an＋1＋an＋2)－an＋1sin x－an＋2cos x，
又f′＝0，则an＋an＋2－2an＋1＝0，
即2an＋1＝an＋an＋2，
因此数列{an}为等差数列，设等差数列{an}的公差为d，
由已知条件，
an＝a1＋(n－1)d＝n＋1.
(2)bn＝2＝2(n＋1)＋，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(n＋3)n＋1－
＝n2＋3n＋1－.
考点二　错位相减求和法
例2　(2013·山东)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.
解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由得a1＝1，d＝2，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，①
当n≥2时，＋＋…＋＝1－，②
①－②得：＝，
又当n＝1时，＝也符合上式，
所以＝(n∈N*)，
所以bn＝(n∈N*)．
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋＋…＋.
Tn＝＋＋…＋＋.
两式相减得：
所以Tn＝3－.
错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．
设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)由已知，得当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n·22n－1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②
①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
考点三　裂项相消求和法
例3　(2013·广东)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋0，∴a2＝.
(2)解　当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，
∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，
即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，
又an>0，∴an＋1＝an＋2，
∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．
又a2，a5，a14成等比数列．
∴a＝a2·a14，
即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.
由(1)知a1＝1.
又a2－a1＝3－1＝2，
∴数列{an}是首项a1＝1，
公差d＝2的等差数列．
∴an＝2n－1.
(3)证明　＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)．
(1)求数列{an}的第n＋1项；
(2)若是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.
解　(1)因为，，(x≥0)成等差数列，
所以2×＝＋，整理，得f(x)＝(＋)2.
因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝(＋)2，
所以＝＋，即－＝，
所以{}是以为公差的等差数列．
因为a1＝3，所以S1＝a1＝3，
所以＝＋(n－1)＝＋n－＝n.
所以Sn＝3n2(n∈N*)．
所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3.
(2)因为是与的等比中项，
所以()2＝·，
所以bn＝·＝
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
考点四　数列的实际应用
例4　(2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．
(1)由第n年和第(n＋1)年的资金变化情况得出an与an＋1的递推关系；
(2)由an＋1与an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解．
解　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d.
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d
＝2an－2－d－d＝…
＝n－1a1－d.
整理得an＝n－1(3 000－d)－2d
＝n－1(3 000－3d)＋2d.
由题意，知am＝4 000，
即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，
解得d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．
用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．
某产品在不做广告宣传且每千克获利a元的前提下，可卖出b千克．若做广告宣传，广告费为n(n∈N*)千元时比广告费为(n－1)千元时多卖出千克．
(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b表示销售量S；
(2)试写出销售量S与n的函数关系式；
(3)当a＝50，b＝200时，要使厂家获利最大，销售量S和广告费n分别应为多少？
解　(1)当广告费为1千元时，销售量S＝b＋＝.
当广告费为2千元时，销售量S＝b＋＋＝.
(2)设Sn(n∈N)表示广告费为n千元时的销售量，
由题意得S1－S0＝，
S2－S1＝，
Sn－Sn－1＝.
以上n个等式相加得，Sn－S0＝＋＋＋…＋，
即S＝Sn＝b＋＋＋＋…＋＝
＝b(2－)．
(3)当a＝50，b＝200时，设获利为Tn，则有
Tn＝Sa－1 000n＝10 000×(2－)－1 000n
＝1 000×(20－－n)，
设bn＝20－－n，
则bn＋1－bn＝20－－n－1－20＋＋n＝－1，
当n≤2时，bn＋1－bn>0；当n≥3时，bn＋1－bn<0.
所以当n＝3时，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此时S＝375，
即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375千克和3千元．
1． 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：
(2)递推关系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通项．
(3)递推关系形如＝f(n)，常用累乘法求通项．
(4)递推关系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{an＋λ}是一个等比数列．
(5)递推关系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4)，或同除以pn＋1转为用迭加法求解．
2． 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：
(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．
(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和．
(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．
提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1项中的前n项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．
3． 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.
1． 在一个数列中，如果n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k为这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
2． 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．
解析　由于an＋2－an＝1＋(－1)n，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30构成公差为2的等差数列，
所以a1＋a2＋…＋a29＋a30
＝15＋15×2＋×2＝255.
3． 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)若1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；
(2)设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn0，
∴a2<a4，∴a2＝5，a4＝13.
∴a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3.
由于1<i<21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，
∴a1·a21＝a，
即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
所以bn＝＝，
b1＋b2＋…＋bn
所以存在m＝使b1＋b2＋…＋bn0，S160，
S16＝＝8(a8＋a9)0，a90，>0，…，>0，<0，<0，…，<0，
而S1<S2<…a2>…>a8，
所以在，，…，中最大的是.
6． 数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋＝________.
解析　令m＝1得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，
于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因此＝＝2，
所以＋＋＋…＋
7． 已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＝________.
答案　2 012
解析　当n为奇数时，
an＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－(2n＋1)；
当n为偶数时，
an＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 012
＝2(－1＋2－3＋4＋…－2 011＋2 012)＝2 012.
8． 数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝________.
答案　(9n－1)
解析　∵a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．
则n≥2时，两式相减得，an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，
∴an＝2·3n－1(n∈N*)．∴a＝4·9n－1，
则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．
∴a＋a＋a＋…＋a＝
＝(9n－1)．
9． 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4(n≥1)且a1＝9，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是________．
解析　由递推式变形得3(an＋1－1)＝－(an－1)，
∴{an－1}是公比为－的等比数列．
则an－1＝8·(－)n－1，
即an＝8·(－)n－1＋1.
于是Sn＝＋n
＝6[1－(－)n]＋n＝6－6·(－)n＋n，
因此|Sn－n－6|＝|6×(－)n|
＝6×()n250，
∴满足条件的最小n＝7.
10．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．
解析　由题意得，每天的维修保养费是以5为首项，为公差的等差数列．设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为
＝＋＋≥2＋，
当且仅当＝时取得最小值，此时n＝800.
二、解答题
11．已知等差数列{an}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.
解　(1)设数列{an}的公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.
当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；
当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1)．
所以数列{bn}的前n项和
12．将函数f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解　(1)化简f(x)＝sin x·sin (x＋2π)·sin (x＋3π)＝－sin x，
其极值点为x＝kπ＋(k∈Z)，
它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，故an＝＋(n－1)π＝nπ－.
(2)bn＝2nan＝(2n－1)·2n，
∴Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]，
则2Tn＝[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]两式相减，得
∴－Tn＝[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]，
∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]．
13．在等比数列{an}中，a2＝，a3·a6＝.设bn＝log2a2·log2a2，Tn为数列{bn}的前n项和．
(1)求an和Tn；
(2)若对任意的n∈N*，不等式λTn<n－2(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．
解　(1)设{an}的公比为q，由a3a6＝a·q5＝q5＝得q＝，
∴an＝a2·qn－2＝()n.
bn＝log2a2·log2a2＝log()2n－12·log()2n＋12
∴Tn＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝.
(2)①当n为偶数时，由λTn<n－2恒成立得，
λ<＝2n－－3恒成立，
即λ<(2n－－3)min，
而2n－－3随n的增大而增大，
∴n＝2时(2n－－3)min＝0，
②当n为奇数时，由λTn<n＋2恒成立得，
λ<＝2n＋＋5恒成立，
即λ<(2n＋＋5)min
而2n＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当2n＝，即n＝1时等号成立，
综上，实数λ的取值范围为(－∞，0)．
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《数列》的教学分析
1.为什么特别重视等差、等比数列？
2.在数列教学中要关注什么？
《课标》与《大纲》的比较
《课标》与《大纲》内容和目标的对比
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
①通过实例，理解等差数列的概念。
②探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。
④体会等差数列与一次函数的关系。
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
①通过实例，理解等比数列的概念。
②探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
④体会等比数列与指数函数的关系。
理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
&“数列”的教育价值主要体现在：
1.认识数学与现实生活的联系，培养和发展数学应用意识
数列是一种离散函数，它是刻画离散过程的一种重要数学模型。日常生活中遇到的大量实际问题，如贷款、利率、折扣，人口增长，放射性物质的衰变等都可以用等差数列或等比数列来刻画。通过这部分的学习，将帮助学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。
2.进一步认识和理解函数思想
数列为学生提供了离散函数模型，同时将等差数列、等比数列与一次、二次函数，指数函数相联系起来，有助于学生加深对一次、二次函数，指数函数的认识，从而提升学生对函数思想的理解水平。在本章学生初步了解数列是特殊的函数，并明确数列的定义域一般是指非负的正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。数列作为一种特殊的函数，是重要的数学模型，等差数列、等比数列与一次函数、指数函数有密切关系。因此，我们可以利用一次、二次函数的方法解决等差数列的有关问题，利用指数函数的性质求解等比数列的有关问题。
3.借助数列的人文资料提升人文素养
数列中蕴含的大量的史料、故事，博大精深的数列文化展示着数学的风采与魅力，要充分利用数学史的功能引领知识、升华知识，这些内容容易激发学生浓厚的兴趣。由大量的素材提炼数学知识，培养学生的数学精神，大胆猜想，小心论证，思想活跃又不失严谨。数学史实、一流大师的风采都会对学生产生震撼。教授本章内容教师要挖掘数学中的文化气息，欣赏数学的美，培养学生的创新个性，大力弘扬人文精神，积极介绍数学文化，做到科学与人文精神的有机整合。帮助学生“初步了解数学科学与人类社会之间的相互作用，体会数学科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识”。
1．数列是一个数学模型
数列是一个数学模型。在现实生活中，原始信息主要是离散的，自变量是取整的，因此对数列的研究更具有实用的价值。数列中一系列的经典案例也能很好的提升学生亲近数学、探究数学的积极性。在数列中最亮丽的风景是等差数列与等比数列。
2．数列是一种特殊的函数
数列是一种特殊的函数，从函数的观点去研究数列不仅是水到渠成，而且更是豁然开朗。在“数列的概念”设计中如果以函数为主线把零碎的概念串联起来，会使整个课堂环环相扣、层层递进，高屋建瓴地把知识串接在一起，实现了知识的深化与对接。数列可以看成是定义域为正整数集N*（或它的有限子集）的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式。由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数。把数列看作一种特殊函数，实现了对函数知识认识和对函数思想理解螺旋式的上升。
3．等差、等比数列是应用广泛的重要数学模型
如前所说，数列是一个数学模型，特别是等差与等比是重要的数列模型。首先等差数列、等比数列结构简单，容易理解，便于把握，是数列中最基础、最常见、最重要的两种模型；其次与生活现实联系紧密，与学生熟悉的函数模型一致。如等差数列通项公式与一次函数，前n项和与二次函数的关系、等比数列当 时通项公式及其前n项和与指数函数的关系等等。在这种整体的、动态的观点之下，数列的某些性质呈现的更加清晰，对实际问题的引领更加丰富多彩。例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关，它们都可以用等差数列或等比数列模型来刻画。在数列的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，而数学问题本身并不难。这种转化对于学习数学是非常重要的，它可以提高学生的数学阅读能力和数学建模能力；第三，在对等差、等比数列问题处理过程中，方程和方程组的思想体现的更加充分，减少了繁难技能训练，增强了对学生从实际问题中抽象出数列模式能力的培养。更注重对数列模式本质的理解；第四，包含了重要的数学思想方法，其中有方程的思想、函数的思想、化归的思想，即列出并求解关于五个基本量 的方程、研究 与Sn关于n的函数的性质、将某些非等差、等比数列问题转化为等差数列、等比数列问题求解；第五，数列和函数研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，这两类数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等。
4．数列是培养运算能力的载体
运算能力是思维能力与计算能力的结合。它不仅是能根据法则公式列式计算，而且要求能理解算理，根据条件寻求合理、简洁的运算途径。数列部分大量的运算中又包含了深刻的算理。观察、归纳、猜想、证明无处不在，复杂问题的整体性处理时刻提醒学生要“眼尖”。数列部分是培养学生“不怕计算,乐于计算”的优质资源。
5．数列中独特的递推关系体现了数学中的递归思想
数列是特殊的数学模型，除从函数特征认识的定义域特殊外，还呈现在相邻项之间的递推关系体现了数学中的递归思想。项之间的相互依存关系丰富了数列的内涵，使其具有了更广泛的应用价值。毕竟现实生活表现突出的是依存与互助合作的和谐关系，自然界中的递推关系随处可见。如：生物学中的斐波那契数列：向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数；菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜。递推思想是研究数列的基本思想，在现代数学及科学研究起着巨大的作用。例如，研究差分数列就依赖于递推，而递推关系的确立也为计算机编程提供有力的保证。
6．数列是研究一般函数的基本工具
数列这类特殊的函数，将来还是用来研究一般函数的基本工具,它实现了把连续转化为离散，再对接为连续，进而更好地去研究函数。例如用数列的极限讨论函数的极限，数列是研究函数的最基本模式。这是学生在进入大学后继续学习中要深入探讨的问题。
7．数列在沟通中学数学各部分知识间的联系方面发挥了重要作用
数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，它既具有相对其他内容的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，很多知识都与数列有着密切联系。如函数、方程、不等式、数列与函数的极限等知识都与数列有着密切联系，数列在将各部分知识间的相互沟通方面发挥了重要作用，例如不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与数列知识有关。
问题关注及教学建议
（一）问题关注
1．为什么特别重视等差、等比数列？
等差数列、等比数列是最基本的数列模型。首先结构简单，易于把握，在等差、等比数列中仅有五个基本量 ，这五个量知三可求二，是培养学生运算能力的载体；其次与现实生活联系紧密，与学生熟悉的函数模型一致，有利于学生把数学应用于实际。它们涉及的领域宽广，如物理中一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过多少米的路程问题；特别是日常经济生活有关规律的刻画处处都留有等差或等比数列的印记，可以说生活处处皆数列，解决多用差和比。具体请参考前面的相关表述，它们都可以用等差数列或等比数列模型来刻画。在数列的应用中，关键是把实际问题转化成数学问题，这种转化对于学习数学是非常重要的，它有利于提高学生的数学阅读能力和数学建模能力。
【案例1】买新车，使用多少年最合算？
随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民汽车拥有量比2005年初翻了一番。某种汽车购车费是10万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，试问这种车使用多少年时它的平均费用最少？
点评：这样的问题既现实又能令学生感兴趣，利用数列知识就能很快解决。
2.在数列教学中要关注什么？
（1）要重视概念的形成
数列的教学要让学生体验知识形成过程。因为数学的概念属于陈述性知识，学生浅层次理解认识没问题，但深入到问题实质就措手不及。而如果让学生体验知识的形成过程，则可有效地防止这类情况的发生。
【案例2】 若数列满足 ，它是等差数列吗？
分析：这个问题在等差数列概念后设计出来时，有些学生套用公式回答为“是等差数列”，这说明学生知道概念，但不清楚其内涵。因此教学时要注重建构概念的多元理解，引导学生多角度、多层次透视概念。对于等差数列概念，①要把握关键词：“从第二项起”、“每一项与前一项的差”、“同一常数”；②对概念形式化概括，简单明了地揭示数量关系：“+-=”、“+-=--=…=2-1”、“2+=-++ ， ”；③层次递进，乘胜追击：寻求通项公式与前项和公式；④深入刻画，数形结合：引导学生在熟练掌握了等差数列的“数”的特征后，发现其中蕴涵的函数关系，从“形”的角度把握规律，把等差数列与函数方程、不等式、图像性质联系起来，对原有的认识不断重组更新，达到完善。
(2)要关注公式的获得
有的教师认为：重视传授知识的结论而不关注知识形成过程，学生同样可以解决相关问题。但被他忽视的一个问题是，这种做法不能有效地促成学生基本素质的提高。“学生要学怎么去思维，而且数学里面有很多思维方法确实是人类普遍的财富，这个我们应该教给学生，只是去观察，只是去模仿，这个确实不是我们教学的目的”（中科院院士马志刚语）。等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的推导都是提高学生演绎推理能力的极好素材，也是解决一些特殊数列问题的极佳工具。一定注意“过程与结果并重”。
【案例3】 对等差数列的前项和的认识
分析：让学生从熟悉的特例“求1+2+3+…+100的高斯算法”出发，学生会提出从两边往中间“夹”的方案，将这种规律性推广到一般等差数列，分为奇偶讨论，从而获得一般等差数列的求和思路，这可是归纳思想的生动案例，再升华为倒序相加，解决的问题又进一步深化了。
【案例4】对等比数列前项和公式的探究
分析：由等比数列的定义，思路一：
由合比定理
（当然在此处有个瑕疵，当公比为-1时，若为奇数时，分母为0，这个可以在熟悉公式后，再让学生返回来思考，也提醒学生“依次项的和成等比”是有条件限制的）
思路二： ，这-1个等式两边分别相加，同样得到前面的结论。从学生的最近发展区展开讨论，既巩固了概念又深化了知识。至于错位相减法，并不是学生马上可以认识的，作为求和的一种特殊方法再给学生介绍会更好些。提醒我们在教学中创设的情景必须促进学生的思考，贴近学生的思维实际，引导学生在学习实践中去发现、探索、解决问题。
（二）教学建议
1．渗透函数意识，落实《课标》理念
函数思想贯穿于高中数学的始终。在其他章节中出现的函数主要是连续函数，而数列为学生提供了离散函数模型。教学中要通过列表、图像、通项公式表示数列，把数列融于函数之中，有助于提升学生对函数思想的理解水平。任何数列问题中都蕴含着函数的本质与意义，具有函数的一些固有特征。因此教学中解决数列问题可利用函数的性质去分析，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，有效地解决数列问题。
【案例5】 数列 的通项公式为 ,它的前30项中最大项是第几项?最小项是第几项?
分析：画出函数的图像，感受数列与函数的内在联系，观察图像很容易得到结论。
点评：不过在解决数列问题注重函数的同时也要引导学生注意两者差异引起的问题变化，数列作为一种特殊函数，也有自己的特点，滥用函数性质就会导致解法不适宜或不经意的差错发生，注意培养学生思维的批判性与严密性。
【案例6】 已知数列 是递增数列，且对任意的正整数都有 恒成立,则实数 的取值范围是&&& 。
点评：本题多数学生会画二次函数图像得到 ，这种解决问题的思路是对的，但没有注意到数列是离散函数这一信息，没有挖掘与利用潜在信息：“离散的点”，错误产生原因找到，学生会留下一定的印记，修正结果由图像应有 即可。作为对比，要求学生再用递增数列的定义n+1&n推到得到： 。
2．强调掌握基本知识，着意培养计算能力
在等差数列、等比数列公式教学中，一定要将等差数列、等比数列（ ）与一次函数、二次函数、指数函数联系起来，这对学生来说，既能加深对一次函数、指数函数的认识，又能提升对数列性质的认识。在五个基本量中确定三个通过解方程或方程组一般都可以得到另两个量。这方面的内容要确实加强，例子很多不再赘述。与此同时还要关注计算选择的科学性，提高计算能力。知三求二并不是简单的模仿。
【案例7】 已知含有项的等差数列｛｝的前四项和为35，后四项的和为125，所有项的和为280，求此数列的项数。
分析：这一问题如果利用基本量构造方程组会陷入计算困境，难以自拔。同样的在等比数列中当项数不多的时候求和若选用前项和公式不仅要讨论公比是否为1，还增加了运算中指数幂的次数，运算难度增加。
略解& 由题意：1+2+3+4=35;+-+-+-=125
而1+=2+-=3+3=4+4
所以4(1+)=160,即1+=40，又=
因此得到：280= ，=14
点评：此题的关键是要通过整体的处理方案，把已知条件联系在一起。
3．淡化技巧，回归自然
在各种资料中都介绍了关于等差、等比数列的很多性质，作为高三总复习无可厚非，但一味强记会事倍功半。真正的技巧来自于对概念及公式的深入理解，只有自然的想法才是最好的方法。
【案例8】已知等比数列 的前项和为， 则 =&&&
分析：有些学生套用结论：“等比数列中， 仍成等比”是可以的，但错用为“ 成等比”的占一大部分。事实上，可以回归基础，消除差异： , ， =117
点评：教学中尽量用基础知识与基本技能，尽量反映解题的思维的历程，反映知识的本质属性。以等差数列的一条教师关注的结论为例：在等差数列 中，若 ，则有 。怎么会有这样的性质？这是如何被发现的？如果让学生观察数列，这一性质是自然的，如等差数列 是 与 的等差中项，也是 的等差中项，当然应有和相等的性质，而且可归纳到一般性结论，同时还有等差数列从第二项起，每一项都可以作为某两项的等差中项，让性质在自然中形成，而不是强加或要求学生强记。
4．感悟数学文化，提升课堂的亲和力
《课标》要求让学生探究等差数列、等比数列。因此教师要提供一些好的素材，明确学生要干什么，给出门口宽、入口低的问题，让学生能够积极参与探究。让学生体会从特殊到一般认识事物的方法。养成在探索未知事物时大胆猜想严格论证的科学精神。选择一些与数列有关的背景材料，让学生体会数学的科学价值，潜移默化中熏陶学生，提升探究、钻研精神。如斐波那契数列是非常有价值的数列，可以在数列概念教学中引入，通过“兔子繁殖问题”列出数列，再简单介绍自然界中许多花的花瓣、植物的茎、叶都具有此数列的特征；观察数列的项的特征，不易得到通项公式，但前后项关系很明显，从而又可引出递推数列的概念，得到一种新的表示数列的方法；提倡学生上网查阅有关材料写成小论文，大家分享。
5．介绍一点递推数列知识，但不扩大化
在数列中递推关系的确立是常态的，尽管《课标》不再要求，介绍一点儿递推关系有利于学生提升对后继的等差等比数列概念的认识。如前面提到了斐波那契数列，再如给出下面的例子：① 1，3，5，7，9，…；② 1，2，4，7，11，…；③ 1，2，4，8，…；④ 1，2，8， 64，…，等等，再提出问题：前后项之间有何关系？你能否得到一般性的结论？当然，学生不追问时教师不要在此纠缠，避免加重学生的负担，偏离《课标》的要求。
6．重视应用，关注数学建模教学
等差、等比数列是描绘离散现象的两个重要模型，应用广泛。在教学中要注意通过事例使学生明确模型的作用，培养学生从实际问题抽象出数列模型并解决问题的能力。如欣赏“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”（答案3盏）这样以诗情的设计，拉近了数学与学生的距离，等比数列的前项和作用也得以彰显。教师要关注生活中与学生联系密切的问题，引导学生抽象问题，解决问题并应用于实际生活。
【案例9】用分期付款的方式购买价格为1150元的手机，如果购买时先付150元，余款分20次付完。以后每月付50元加上本月欠款的利息。如果月利息为1%，那么第10个月要付多少钱，总共要付多少钱？
点评：这是学生感兴趣的问题，从列举到归纳总结，学生能切身体会到数学的价值。
【案例10】流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到日，每天新感染者人数构成一等差数列；从+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
本题略解 由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列｛｝，1=20,1=50,11月日新感染者人数=50―30；从+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列｛｝,1=50-60,2= -30，bm=(50-60)+(-1)(-30) ,11月30日新感染者人数为30-=(50-60)+(30--1)(-30)=80-930
故共感染者人数为：&+=8670，化简得：2-61+588=0,解得=12或=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。
点评：这个问题较综合，但事实明确，对提高学生的实际问题转化能力大有裨益。
在实际数学情景的创设时要注意反映日常生活的本来面目，数学素材和情景应是仿真的，设置问题要注意以现实生活为背景，不可以只关注数量关系，忽略现实存在的可能性。以免因情节失真与生活脱节甚至矛盾，这更不利于学生应用意识的形成。
7．重视章节导入，激发学生学习兴趣
章节开场白对学生提出有价值的问题，会引起学生的探究欲望，产生对本章知识的期待与追求，对相关问题产生“疯狂的思考”。对数列这一新的数学模型更应关注导引，提升学生的学习欲望。数学5某种版本的教科书就提供了这样一种本章的开场白：
【案例11】 普鲁士天文学家迪留斯1766年研究太阳系星球到太阳的距离的数据表
观察得到规律：0.3,& 0.6,& 1.2；后一项是前一项的2倍，4.8,& 9.6,也满足后一项是前一项的2倍.
提出猜想：是否存在一个星球到太阳的距离为2.4？太阳系除上述星球之外是否还有新的星球？
这样既有意义又令学生感兴趣的开场白还有：
【案例12】 “玉兔子孙世代传，棋盘麦塔上摩天，坛坛罐罐求堆垛，步步为营算连环”
这是数列教学的引入例。四句诗概括了数学的主要精神，也为章节的学习营造了活跃的气氛，四个故事蕴含其中，让学生去查阅交流，效果极佳。
【案例13】如果你是一个公司的老板，一位大学毕业生到你公司求职，他开出的工资条件是第一个月工资1分钱，第二个月工资2分钱，第三个月工资4分钱，以后每个月的工资是前一个月工资的两倍，他要求与你签订三年的劳动合同，你同意吗？
点评：这是“等比数列前n项和”教学引入案例。直觉告诉我们当然该签，事实上三年工资总额为元。
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