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& 数学：16.2《排列问题》素材（沪教版高中三年级 第一学期）
数学：16.2《排列问题》素材（沪教版高中三年级 第一学期）
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资料概述与简介
高考排列问题的解决方案
内容提要:本文把常见的排列问题归纳成三种典型问题，并在排列的一般规定性下，对每一种类型的问题通过典型例题归纳出相应的解决方案，并附以近年的高考原题及解析,使我们对排列问题的认识更深入本质,对排列问题的解决更有章法可寻．
关键词: “特殊优先”,“大元素”，“捆绑法”,“插空法”,“等机率法”
排列问题的应用题是学生学习的难点，也是高考的必考内容,笔者在教学中尝试将排列
问题归纳为三种类型来解决：
下面就每一种题型结合例题总结其特点和解法，并附以近年的高考原题供读者参研．
能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)
解决此类问题的关键是特殊元素或特殊位置优先.或使用间接法．
例1．（1）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(2)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
(3)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？
(4)7位同学站成一排，其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？
解析:(1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共种方法；
(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有种，共种方法；
(3) 先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有种，再在余下的5个位置排另外5位同学排法有种，共种方法；本题也可考虑特殊位置优先,即两端的排法有,中间5个位置有种，共种方法；
(4)分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有种，中间5个位置选1个安排乙的方法有，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有，故共有种方法；本题也可考虑间接法，总排法为，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有种．
例2.某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？
解法1：对特殊元素—数学和体育进行分类解决
（1）数学、体育均不排在第一节和第六节，有种，其他有种，共有种；
（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种，其他有种，共有种；
（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种，其他有种，共有种；
（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种，其他有种，共有种；
所以符合条件的排法共有种
解法2：对特殊位置—第一节和第六节进行分类解决
（1）第一节和第六节均不排数学、体育有种，其他有种，共有种；
（2）第一节排数学、第六节排体育有一种，其他有种，共有种；
（3）第一节排数学、第六节不排体育有种，其他有种，共有种；
（4）第一节不排数学、第六节排体育有种，其他有种，共有种；
所以符合条件的排法共有种．
解法3：本题也可采用间接排除法解决
不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节有种；（2）体育排在第一节有种；考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况种所以符合条件的排法共有种
附：1、（2005北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(
解析：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)，先排甲工程队有，其它4个元素在4个位置上的排法为种，总方案为种．故选(B)．
2、（2005全国卷Ⅱ）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有
解析：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊位置的限制，个位为1、2、3、4中的某一个有4种方法，千位在余下的4个非0数中选择也有4种方法，十位和百位方法数为种，故方法总数为种．
3、（2005福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
解析：本题在解答时只须考虑巴黎这个特殊位置的要求有4种方法，其他3个城市的排法看作标有这3个城市的3个签在5个位置（5个人）中的排列有种，故方法总数为种．故选（B）．
上述问题归结为能排不能排排列问题，从特殊元素和特殊位置入手解决,抓住了问题的本质，使问题清晰明了，解决起来顺畅自然．
二.相邻不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)
相邻排列问题一般采用大元素法,即将相邻的元素“捆绑”作为一个元素，再与其他元素进行排列，解答时注意“释放”大元素，也叫“捆绑法”．不相邻排列问题(即某两或某些元素不能相邻的排列问题)一般采用“插空法”．
例3． 7位同学站成一排，
(1)甲、乙和丙三同学必须相邻的排法共有多少种？
(2)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
（3）甲、乙两同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？
解析：(1)第一步、将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为种，
第二步、“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有种，所以共种；
(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共种方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空挡中的任何3个都符合要求，排法有种，所以共有种；（3）先排甲、乙，有种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有种排法，将已经排好的4人当作一个大元素作为“新人”参加下一轮4人组的排列，有种排法，所以总的排法共有种．
附：1、（2005辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有
个.（用数字作答）
解析：第一步、将1和2“捆绑”成一个大元素，3和4“捆绑”成一个大元素，5和6“捆绑”成一个大元素，第二步、排列这三个大元素，第三步、在这三个大元素排好后产生的4个空挡中的任何2个排列7和8，第四步、“释放”每个大元素（即大元素内的每个小元素在“捆绑”成的大元素内部排列），所以共有个数．
2、 （2004. 重庆理）某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，
二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰
好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为 （
解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素，第二步、这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排列，第三步、在这个大元素与其它班的5位同学共6个元素的全排列排好后产生的7个空挡中排列二班的2位同学，第四步、“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素，所以共有个；而基本事件总数为个，所以符合条件的概率为．故选（ B ）．
3、（2003京春理）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（
解析：分两类：增加的两个新节目不相邻和相邻，两个新节目不相邻采用“插空法”，在5个节目产生的6个空挡排列共有种，将两个新节目“捆绑”作为一个元素叉入5个节目产生的6个空挡中的一个位置，再“释放”两个新节目 “捆绑”成的大元素，共有 种，再将两类方法数相加得42种方法．故选（ A ）．
三.机会均等排列问题(即某两或某些元素按特定的方式或顺序排列的排列问题)
解决机会均等排列问题通常是先对所有元素进行全排列,再借助等可能转化，即乘以符合要求的某两（或某些）元素按特定的方式或顺序排列的排法占它们（某两（或某些）元素）全排列的比例，称为“等机率法”；或将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决.
例4、 7位同学站成一排．
(1)甲必须站在乙的左边?
(2)甲、乙和丙三个同学由左到右排列?
解析：（1）7位同学站成一排总的排法共种,包括甲、乙在内的7位同学排队只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边两类，它们的机会是均等的，故满足要求的排法为，本题也可将特定顺序的排列问题理解为组合问题加以解决，即先在7个位置中选出2个位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左边共有种，再将其余5人在余下的5个位置排列有种，得排法数为种；
（2）参见（1）的分析得（或）．
本文通过较为清晰的脉络把排列问题分为三种类型，使我们对排列问题有了比较系统的认识.但由于排列问题种类繁多，总会有些问题不能囊括其中，也一定存在许多不足,希望读者能和我一起研究完善．
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数学选修2-3解排列问题的常用技巧2
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解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清楚需要分步，还是需要分类。原则：有序排列，无序组合，分类为加，分步为乘。
解排列组合应用题时，通常有以下途径：
（1）以元素为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他元素；
（2）以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他的位置；
（3）先不考虑附加条件，计算出所有的排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数。 典型题型的技巧解法：
1、相邻问题“捆绑法”
第一步：把相邻的元素捆在一起作为一个元素与其他元素作一次排列；
第二步:再对捆在一起的元素进行排列。
例1：A、B、C、D、E五个人排成一排，如果A、B必须相邻，那么不同的排法有多少种？
2、不相邻问题“插空法”
第一步：将没有限制要求的元素进行排列；
第二步:再在每两个元素间插入不能排在一起的元素。
例2：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数的个
3、定序问题“缩倍法”：限制某几个元素必须保持一定的顺序。
例3：A、B、C、D、E五人并排站在一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的排法共有（
4、定位问题“优先法”：某个（或某几个）元素要排在指定位置，可先排这个（或几
个）元素，再排其他元素。
例4: 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端，则不同的排法有
5、多元问题的解法：元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几
类情况分别计算，最后计总。
例5：用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十
位数字的共有（
6、“最多”和“最少”、“都不是”和“不都是”问题的解法
常采用间接法，即先求出没有附加条件的排列组合数，然后减去不符合要求的排列组合数，得出所求的解。
例6: 12件产品，其中5件一级品，4件二级品，3件三级品，从中取出4件，使得
（1）至少1件一级品，共几种取法？
（2）至多2件一级品，有几种取法？
（3）不都是一级品，有几种取法？
（4）都不是一级品，有几种取法？
1、将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（
2、正方形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有（
3、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与各棱的中点中取三个点，使它们和点A在同一个
平面上，不同取法有（
4、四面体的顶点和棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（
5、四个不同的小球放在编号为1、2、3、4的四个盒子内，则恰好有一个味空盒的放法
6、乒乓球队10名运动员中有3名主力动员，排5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共 有
种（用数字作答）。
7、a、b、c、d、e排成一排，依下列条件有多少种排法？
（1）a必在正中间；
（2）a必须排在首位或末位；
（3）a不排在首位或末位；
（4）a不排在首且b不排在尾；
（5）a，b，c必相邻；
（6）a，b，c不全相邻；
（7）a，b，c中恰有两个相邻；
（8）a，b，c中至少有两个相邻；
（9）a，b，c中至多有两个相邻；
（10）从a、b、c、d、e中取4个且a在b的前面。
8、某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表
有多少种不同的排法。
（1）一天开设七门不同的课程，其中体育不排在第一节也不排在第七节；
（2）一天开设四门不同的课程，其中体育不排在第一节也不排在第四节。
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