发布时间： 11:56:21
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，连接CO，AB，AO，∵AB＝AA，∠BAA＝&;，∴△BAA是正三角形，∴AO⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH，在底面ABCD内，可得CH＝HA，从而CF＝FP，在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝GP，由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面，由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F_AB_P的平面角在△PAG中，PA＝，PG＝PD＝，∠APG＝&;，由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝所以，二面角F_AB_P的余弦值为[总结反思]()当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的()注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角易混易错辨析如图四棱锥P_ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底t△POA中，OG＝PO&;OAPO＋OA＝&;＋＝在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝＝所以cos∠OGH＝_sin∠OGH＝_＝故二面角B_PA_C的余弦值为解法：()如图所示，以O为坐标⊥PA于G...
&&&&&&&&成才之路&;数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版&;选修_空间向量与立体几何第二章夹角的计算第二章知识要点解读预习效果检测课堂典例讲练课时作业易混易错辨析课前自主预习课前自主预习共面直线的夹角当两条直线l与l共面时，我们把两条直线交角中，范围在____________内的角叫作两直线的夹角异面直线的夹角当直线l与l是异面直线时，在直线l上任取一点A作AB∥l，我们把直线l与直线AB的夹角叫作异面直线l和l的夹角[，π]直线夹角的求法设直线l与l的方向向量分别是s，s当≤〈s，s〉≤π时，l与l的夹角等于____________；当π&〈s，s〉≤π时，l与l的夹角等于____________实际操作中，设l与l的夹角为θ，则cosθ＝____________〈s，s〉π_〈s，s〉|cos〈s，s〉|平面夹角的概念在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在____________内的角为两个平面的夹角平面夹角的求法设平面α与平面β的法向量分别为n与n，两平面的夹角为θ当≤〈n，n〉≤π时，θ＝____________；当π&〈n，n〉≤π时，θ＝____________即cosθ＝____________[，π]〈n，n〉π_〈n，n〉|cos〈n，n〉|直线与平面的夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角夹角的范围是[，π]直线与平面夹角的求法设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ当≤〈n，a〉≤π时，θ＝____________；当π&〈n，a〉≤π时，θ＝____________即sinθ＝____________π_〈n，a〉〈n，a〉_π|cos〈n，a〉|知识要点解读求异面直线所成的角设l与l是两异面直线，a、b分别为l、l的方向向量，l、l所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，∴cosθ＝|a&;b||a|&;|b|求二面角平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n，平面β的法向量为n，＝θ，则二面角α_l_β为θ或π_θ设二面角大小为φ，则|cosφ|＝|cosθ|＝|n&;n||n|&;|n|求直线与平面所成的角如图，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，θ＝〈a，n〉，则sinφ＝|cosθ|＝|cos〈a，n〉|＝|a&;n||a||n|由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点异面直线夹角与向量夹角的差异根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[，π]所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为和π时除外)预习效果检测若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于&;，则直线l与平面α所成的角等于()A&;B&;C&;D以上均错[答案]C若直线l与平面α所成角为π，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A??????，πB??????π，πC??????π，πD??????π，π[答案]D已知三棱锥底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，则侧棱与底面夹角的余弦值为()ABCD[答案]D如图，在长方体ABCD_ABCD中，AB＝BC＝，AA＝，则BC与平面BBDD所成角的正弦值为()ABCD[答案]D[解析]连结AC，设AC∩BD＝O，连结OB由已知得CO⊥平面BBDD，∴∠CBO为所求角在Rt△COB中，得sin∠CBO＝课堂典例讲练异面直线所成的角在正三棱柱ABC_ABC中，若AB＝BB，求AB与CB所成角的大小[解析]方法一：如图所示，以A为原点，射线AC、AA分别为y轴、z轴，过A垂直于AC、AA的射线为x轴，建立直角坐标系，取BB＝，则B(，，)，B(，，)，C(，，)，∴AB→＝(，，)BC→＝(_，，)∴AB→&;BC→＝&;(_)＋&;＋&;＝∴AB→⊥BC→，即异面直线AB与BC所成的角为&;方法二：如图所示，连接BC，设BC∩BC＝O取AC中点D，连OD，则OD∥AB即∠BOD为AB和BC所成的角取BB＝，在△BOD中，OD＝OB＝AB＝，BD＝，由余弦定理得cos∠BOD＝??＋??_??&;&;＝，∴∠BOD＝&;，即AB与BC所成的角为&;[总结反思]()向量法求异面直线所成的角的特点是程序化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积()方法二是求两异面直线所成的角的一般方法：通常是平移变异面直线为相交直线，然后解三角形在求两条直线所成的角时，容易忽略了两直线所成角的范围用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角(&;新课标Ⅱ理)直三棱柱ABC_ABC中，∠BCA＝&;，M、N分别是AB、AC的中点，BC＝CA＝CC，则BM与AN所成的角的余弦值为()ABCD[答案]C[解析]如图，分别以CB、CA、CC为x、y、z轴，建立空间直角坐标系令AC＝BC＝CC＝，则A(,,)，B(,,)，M(,,)，N(,,)∴BM→＝(_,，_)，AN→＝(，_，_)cosθ＝BM→&;AN→|BM→|&;|AN→|＝_＋&;＝故选C求二面角的大小(&;浙江理)如图，在四棱锥A_BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝&;，AB＝CD＝，DE＝BE＝，AC＝()证明：DE⊥平面ACD；()求二面角B_AD_E的大小[解析]()在平面四边形BCDE中，BC＝，在三角形ABC中，AB＝，BC＝，AC＝根据勾股定理逆定理∴AC⊥BC∵平面ABC⊥平面BCOE，而平面ABC∩平面BCDE＝BCAC⊥BC，∴AC⊥平面BCDE，∴AC⊥DE，又∵AC⊥DE，DE⊥DC∴DE⊥平面ACD()由()知分别以CD→、CA→为x轴、z轴正方向以过C平行DE→为y轴正向建立坐标系则B(,,)，A(,，)，D(,,)，E(,,)∴AB→＝(,，_)，AD→＝(,，_)，DE→＝(,,)设平面ABD法向量n＝(x，y，z)，由n&;AB→＝n&;AD→＝解得n＝(,，)设平面ADE法向量n＝(x，y，z)，则n&;DE→＝n&;AD→＝解得：n＝(,，)设平面ABD与平面ADE夹角为θ，cosθ＝|cos〈n，n〉|＝＋＋&;＝∴平面ABD与平面ADE的二面角平面角为π[总结反思]本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法在判断空间中直线位置关系时，常用勾股定理逆定理来证明线线垂直；求二面角的平面角是高考重点，可用空间向量来解决还有面积法、异面直线法，作三垂线定理法等要灵活应用如下图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝，C是AB︵的中点，D为AC的中点()证明：平面POD⊥平面PAC；()求二面角B_PA_C的余弦值[证明]解法：()连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC()在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由()知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC，又PA?面PAC，所以PA⊥OH在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连接HG，则有PA⊥平面OGH从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B_PA_C的平面角在Rt△ODA中，OD＝OA&;sin&;＝在Rt△POD中，OH＝PO&;ODPO＋OD＝&;＋＝在Rt△POA中，OG＝PO&;OAPO＋OA＝&;＋＝在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OHOG＝＝所以cos∠OGH＝_sin∠OGH＝_＝故二面角B_PA_C的余弦值为解法：()如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(,,)，A(_,,)，B(,,)，C(,,)，P(,，)，D??????_，，设n＝(x，y，z)是平面POD的一个法向量，则由n&;OD→＝，n&;OP→＝，得?????_x＋y＝，z＝所以z＝，x＝y取y＝，得n＝(,,)设n＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由n&;PA→＝，n&;PC→＝，得?????_x_z＝，y_z＝所以x＝_z，y＝z，取z＝，得n＝(_，，)因为n&;n＝(,,)&;(_，，)＝，所以n⊥n，从而平面POD⊥平面PAC()因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n＝(,,)，由()知，平面PAC的一个法向量为n＝(_，，)设向量n和n的夹角为θ，则cosθ＝n&;n|n|&;|n|＝＝由图可知，二面角B_PA_C的平面角与θ相等，所以二面角B—PA—C的余弦值为[总结反思]先求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求角，则该角或它的补角就等于二面角的平面角一般用坐标运算进行，求完后要结合题意来判断求出的二面角是它的补角还是该角(&;新课标Ⅰ理，)如图，三棱柱ABC_ABC中，CA＝CB，AB＝AA，∠BAA＝&;直线与平面的夹角()证明：AB⊥AC；()若平面ABC⊥平面AABB，AB＝CB＝，求直线AC与平面BBCC所成角的正弦值[解析]()取AB中点O，连接CO，AB，AO，∵AB＝AA，∠BAA＝&;，∴△BAA是正三角形，∴AO⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB，∵CO∩AO＝O，∴AB⊥平面COA，∴AB⊥AC()由()知OC⊥AB，OA⊥AB，又∵平面ABC⊥平面ABBA，平面ABC∩平面ABBA＝AB，∴OC⊥平面ABBA，∴OC⊥OA，∴OA，OC，OA两两相互垂直，以O为坐标原点，OA→的方向为x轴正方向，|OA→|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O_xyz，由题设知A(,,)，A(，，)，C(,，)，B(_，,)，则BC→＝(,，)，BB→＝AA→＝(_，，)，AC→＝(，_，)，设n＝(x，y，z)是平面CBBC的法向量，则?????n&;BC→＝，n&;BB→＝，即?????x＋z＝，_x＋y＝，可取n＝(，，_)，∴cos〈n，AC→〉＝n&;AC→|n||AC→|＝_，∴直线AC与平面BBCC所成角的正弦值为[总结反思]求直线与平面所成的角()综合几何方法：先找(或作)出线面角，然后通过解直角三角形求基本步骤是作图→证明→计算()向量几何方法：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l与α所成的角为θ，则sinθ＝|a&;n||a||n|如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值[解析]由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)设AB＝，则A(,,)，B(,,)，C(,,)，D??????，，，S(,,)∴AS→＝(,,)，CS→＝(_，_,)显然AS→是底面的法向量，它与已知向量CS→的夹角β＝&;_θ，故有sinθ＝cosβ＝AS→&;CS→|AS→||CS→|＝&;＝(&;天津理)如图，在四棱锥P_ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝，AB＝，点E为棱PC的中点向量法的综合应用()证明：BE⊥DC；()求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；()若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F_AB_P的余弦值[解析]解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(,,)，C(,,)，D(,,)，P(,,)，由E为棱PC的中点，得E(,,)()证明：BE→＝(,,)，DC→＝(,,)，故BE→&;DC→＝，所以BE⊥DC()解：BD→＝(_,,)，PB→＝(,，_)，设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则?????n&;BD→＝n&;PB→＝即?????_x＋y＝x_z＝不妨令y＝，可得n＝(,,)为平面PBD的一个法向量，于是有cos〈n，BE→〉＝n&;BE→|n|&;|BE→|＝&;＝所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为()解：向量BC→＝(,,)，CP→＝(_，_,)，AC→＝(,,)，AB→＝(,,)，由点F在棱PC上，设CF→＝λCP→，≤λ≤故BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋λCP→＝(_λ，_λ，λ)，由BF⊥AC，得BF→&;AC→＝，因此，(_λ)＋(_λ)，解得λ＝，即BF→＝(_，，)，设n＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，则?????n&;AB→＝，n&;BF→＝即?????x＝，_x＋y＋z＝不妨令z＝，可得n＝(，_,)为平面FAB的一个法向量，取平面ABP的法向量n＝(,,)，则cos〈n，n〉＝n&;n|n|&;|n|＝_&;＝_易知，二面角F_AB_P是锐角，所以其余弦值为方法二：()证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC，又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD，因为AM?平面PAD，于是CD⊥AM，又BE∥AM，所以BE⊥CD()解：连接BM，由()有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD，而EM∥CD，故PD⊥EM，又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD＝，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝，故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝EMBE＝ABBE＝，因此sin∠EBM＝所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为()解：如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H，因为PA⊥底面ABCD，故FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC，又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH，在底面ABCD内，可得CH＝HA，从而CF＝FP，在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝GP，由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面，由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F_AB_P的平面角在△PAG中，PA＝，PG＝PD＝，∠APG＝&;，由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝所以，二面角F_AB_P的余弦值为[总结反思]()当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的()注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角易混易错辨析如图四棱锥P_ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点()求证：EF⊥平面PAB；()设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的余弦(或正弦)值[误解]以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的直角坐标系()设E(a,,)，其中a&，则C(a,,)，A(,,)，B(a,,)，P(,,)，F(a，，)，EF→＝(，，)，PB→＝(a,，_)，AB→＝(a,,)，∴EF→&;PB→＝，EF⊥PB，则EF⊥平面PAB()由AB＝BC，得a＝，可得AC→＝(，_,)，PB→＝(，，_)，∴cos〈AC→，PB→〉＝AC→&;PB→|AC→||PB→|＝，∵AF→＝(，_，)，∴AF→&;PB→＝，PB⊥AF，即PB⊥平面AEF，则AC与平面AEF所成的角的余弦值为[正解]以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系()设E(a,,)，其中a&，则C(a,,)，A(,,)，B(a,,)，P(,,)，F(a，，)EF→＝(，，)，PB→＝(a,，_)，AB→＝(a,,)EF→&;PB→＝∴EF⊥PBAB→&;EF→＝∴EF⊥AB又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB＝B，∴EF⊥平面PAB()由AB＝BC，得a＝可得AC→＝(，_,)，PB→＝(，，_)cos〈AC→，PB→〉＝AC→&;PB→|AC→|&;|PB→|＝异面直线AC、PB所成的角的余弦值为AF→＝(，_，)∴AF→&;PB→＝PB⊥AF又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，∴PB⊥平面AEF∴AC与平面AEF所成的角的正弦值为[总结反思]在解题过程中，犯了两个错误：一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理，错误地认为直线与平面内一条直线垂直就线面垂直；一个是混淆了线面角的定义，错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角在正方体ABCD_ABCD中，求二面角A_BD_C的大小[误解]以D为原点建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为DA→是平面ABD的一个法向量，DA→＝(,,)，DC→是平面BCD的一个法向量，DC→＝(,,)，∴cos〈DA→，DC→〉＝DC→&;DA→|DC→|&;|DA→|＝∴〈DA→，DC→〉＝&;所以二面角A_BD_C的大小为&;[正解]以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为D(,,)，A(,,)，B(,,)，B(,,)，C(,,)，D(,,)，A(,,)，C(,,)则DA→＝(,,)，AD→＝(_,,)，AB→＝(,,)，由DA→&;AD→＝，DA→&;AB→＝，则DA→是平面ABD的一个法向量∵DC→＝(,,)，BC→＝(_,,)，BD→＝(_，_,)，则DC→&;BC→＝，DC→&;BD→＝，∴DC→是平面BCD的一个法向量∴cos〈DA→，DC→〉＝DA→&;DC→|DA→|&;|DC→|＝∴〈DA→，DC→〉＝&;由图形知二面角A_BD_C的大小为&;[总结反思]这位同学在解题过程中，犯了两个错误，一个是解题步骤不严谨，一个是用法向量n、n求二面角的大小时〈n，n〉与二面角的关系是相等或互补，此题就是〈n，n〉的补角直线的夹角当直线l与l是异面直线时，在直线l上任取一点A作AB∥l，我们把直线l与直线AB的夹角叫作异面直线l和l的夹角[，π]直线夹角的求法设直线l与l的方向向量分别是s，s当≤〈s，s〉≤π时，l与l的夹角等于____________；当π&〈s，s〉≤π时，l与l的夹角等于____________实际操作中，设l与l的夹角为θ，则cosθ＝____________〈s，s〉π_〈s，s〉|cos〈s，s〉|平面夹角的概念在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在____________内的角为两个平面的夹角平面夹角的求法设平面α与平面β的法向量分别为n与n，两平面的夹角为θ当≤〈n，n〉≤π时，θ＝____________；当π&〈n，n〉≤π时，θ＝____________即cosθ＝____________[，π]〈n，n〉π_〈n，n〉|cos〈n，n〉|直线与平面的夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角夹角的范围是[，π]直线与平面夹角的求法设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ当≤〈n，a〉
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（状元之路）高中数学 2.5 夹角的计算同步精练 北师大版选修2-1.doc 9页
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高中数学 2.5 夹角的计算同步精练 北师大版选修2-11．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于(　　)A.
D.2．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点，则平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值是(　　)A．－
D.3．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，DC的中点，则异面直线AE与D1F的夹角为(　　)A.
D.4．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形的中心，则折起后，直线OE与OF的夹角的大小是(　　)A.
D.5．在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝，则PA与底面ABC的夹角为______．6．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD的夹角为，则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是________．7．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝，E，F分别为A1B1与BB1的中点，求异面直线BE与CF夹角的余弦值．8．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝，SA＝SB＝.(1)求证：SA⊥BC；(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值．(提示：用向量法求解)9．如图，在三棱锥P-ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.(1)求证：PC⊥AB；(2)求平面ABP与平面APC夹角的余弦值．
解析：如图，作B1D⊥A1C1，垂足为D，连接AD.∵ABC-A1B1C1为正三棱柱，∴B1D⊥平面ACC1A1，∴∠B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角．设AB＝2a，则B1D＝a，AB1＝a.∴sin∠B1AD＝＝.答案：A 解析一：取SC的中点M，连接AM，OM，OA，由题意知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.所以∠OMA为二面角A-SC-B的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM＝SA，AO＝SA，故sin∠AMO＝＝＝，cos∠AMO＝.故平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.解析二：连接OA，由题易知AO，BO，SO两两垂直，则以O为坐标原点，射线OB，OA，OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.取SC的中点M，连接AM，OM，设B(1,0,0)，则C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)．SC的中点M－，0，，所以＝，0，－，＝，1，－，＝(－1,0，－1)，所以·＝0，·＝0.故MO⊥SC，MA⊥SC，〈，〉等于二面角A-SC-B的平面角．cos〈，〉＝＝，所以平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.答案：B 解析：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,0)，A(2,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,2)．∴＝(0,2，－1)，＝(0,1,2)，∴·＝0，∴⊥.答案：D 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2.则F，，0，E0，－，，∴＝，，0，＝0，－，，∴cos∠EOF＝cos〈，〉＝＝－，设直线OE与OF的夹角为θ，则cos θ＝|cos ∠EOF|＝，即θ＝.故直线OE与OF的夹角为.答案：A 解析：取BC的中点O，连接PO，AO.由题意可令PA＝PB＝PC＝BC＝a，则PO＝a.又BC＝a，∠BAC＝，且O为BC的中点，所以AO＝.又PO2＋OA2＝PA2，所以PO⊥AO.所以cos∠PAO＝，所以∠PAO＝.因为PO⊥BC，且AO∩BC＝O，所以PO⊥平面ABC，即∠PAO为PA与底面ABC的夹角．答案： 解析：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示．因为BE与平面ABCD的夹角为，即∠DBE＝，所以＝.由AD＝3可知DE＝3，AF＝，则A(3, 0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)， C(0,3,0)．所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即－3y＋z＝0，3x－2z＝0，令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，＝(3，－3,0)．所以cos〈n，〉＝＝＝.故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.答案： 解：
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