求详细一元二次方程解题过程qg

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-09-07 12:59 标签： 阅读下列解题过程
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如图1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠BAE=∠FAE．（1）指出线段AF、BC、FC之间有什么关系，证明你的结论．（2）设AB=12，求线段FC的长．（3）如图2：过AE中点G的直线分别交AB、CD于P、Q；求的值．
考点：四边形综合题
分析：（1）过E作EM⊥AF交AF于点M，则可证明△ABE≌△AME，△EMF≌△ECF，可得出结论；（2）设FC=x，借助（1）的结论可得出AF=12+x，DF=12-x，在Rt△ADF中由勾股定理得出方程求解即可；（3）过G作BC的平行线RS，由条件可得出RG=14BC，SG=34BC，再由平行线分线段成比例可求出PGQG的值．
解答：解：（1）AF=BC+FC，证明如下：如图1，过E作EM⊥AF交AF于点M，∵∠BAE=∠FAE，∴BE=ME，在Rt△ABE和Rt△AME中，AE=AEBE=ME，∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL），∴AM=AB=BC，ME=BE=EC，在Rt△MFE和Rt△CFE中，EF=EFME=CE，∴Rt△MFE≌Rt△CFE（HL），∴MF=FC，∴AF=AM+MF=BC+FC；（2）设FC=x，由（1）可知MF=x，AM=AD=AB=12，则DF=12-x，AF=12+x，在Rt△AFD中，由勾股定理可得：AD2+DF2=AF2，即122+（12-x）2=（12+x）2，解得x=3，即FC=3；（3）如图2，过G作RS∥BC，交AB于点R，交CD于点S，∵G为AE中点，∴R为AB中点，∴RG=12BE=14BC，GS=RS-RG=BC-RG=BC-14BC=34BC，∵AB∥CD，∴PGQG=RGSG=14BC34BC=13．
点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的综合应用，在（1）中构造三角形全等找到线段之间的关系是解题的关键，在（3）中过G作平行线把PGQG的值转化成RGSG是解题的关键．
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