高二数学必修五第二章数列教案
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高二数学必修五第二章数列教案
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高二数学必修五第二章数列教案
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
&（一）目标&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。（一）&重、难点重点：理解数列的概念，认识数列是反映 自然规律的基本数学模型，探索并掌握数列的几种间单的表示法 （列表、图象、通项公式）；难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。（二）&学法与教学用具 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。 教学用具：多媒体、投影仪、尺等（三）&教学设想1、&多媒体展示三角形数、正方形 数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图 形的序号有什么关系？2、&（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。3、&数列的表示方法（1）函数y=7x+9 与y=3 x& ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？（2）定义数列{an}的通项公式 （3）数列{an} 的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： &（1）1，-1/2，1/3， -1/4；&（2）2，0，2，0．&&& 引导学生观察数列的前4项的特点，寻找规律写出通项公式。再思考：根据数列的前若干项写出的数列通项公式的形式唯一吗？举例说明。5、例2、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形2．1数列的概念与简单表示法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 海口一中&&& 陆健青&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。&& 通过多媒体展示希尔宾斯基（Sierpinski）三角形，引导学生观察着色三角形的个数的变化，寻找规律写出数列的一个通项公式，并用图象表示数列。体会数列的图象是一系列孤立的点。1、&问题：如果一个数列{ an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的 前一想的前一项的2倍再加1，即 an& = 2 an-1 + 1（n∈N，n&1），（※）&& 你能写出这个数列的前三项吗？& 像 上述问题中给出数列的方法叫做递推法，（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。2、&例3 设数列{an}满足& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 写出这个数列的前五项。 & 此题与例1的学习是互为相反的关系，也是为了引入下文的等差数列，等差数列是最简单的递推数列。3、&课堂练习：P36& 1~5 ， 课后作业：P38 习题2. 1 A组& 1，2，4，6。 4、&课堂小结：（1）&数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型； （2）&了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。（3）了解数列是一种特殊的函数。（四）&评价设计1、重视对学生学习数列的概念及表示法的过程的评价&&& 关注学生在数列概念与表示法的学习中，对所呈现的问题情境是否充满兴趣；在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。2、&正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数。了解递推公式也是数列的一种表示方法。 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?高二数学数列试题的解题方法和技巧
高二数学数列试题的解题方法和技巧
学习啦【高二数学】 编辑：凤婷
　　学生们在高中的数学学习过程中如果能够充分掌握高中数学数列试题的解题方法和技巧，这对于在大学期间学习数学会有很大的帮助。下面是学习啦小编给大家带来的高二数学数列试题的解题方法和技巧，希望对你有帮助。
　　1.对高二数学数列概念的考查
　　在高中数列试题中，有一些试题可以直接通过带入已学的通项公式或求和公式，就可以得到答案，面对这一种类型的试题，没有什么技巧而言，我们只需熟练掌握相关的数列公式即可。
　　例如：在各项都为正数的等比数列{b}中，首项b1=3，b1+b2+b3=21，那么b3+b4+b5等于多少?
　　解析：(1)本道试题主要是对正项数列的概念以及等比数列的通项公式和求和公式知识点的考查，考查学生对数列基础知识和基本运算的掌握能力。
　　(2)本试题要求学生要熟练掌握老师在课堂上所教的通项公式和求和公式。
　　(3)首先让我们来求公比，很明显q不等1，那么我们可以根据我们所学过的等比数列前项和公式，列出关于公比的方程，即3(1-q3)/(1-q)=21。
　　对于这个方程，我们首先要选择其运算的方式，要求学生平时的练习过程中，要让学生能够熟练地将高次方程转化为低次方程进行运算。
　　2.对高二数学数列性质的考察
　　有些数列的试题中，经常会变换一些说法来考查学生对数列的基本性质的理解和掌握能力。
　　例如：己知等差数列{xn}，其中xl+x7=27，求x2+x3+x5+x6等于多少?
　　解析：我们在课堂上学习过这样的公式：等差数列和等比数列中m+n=p+q，我们可以充分利用这一特性来解此题，即：
　　xl+x7= x2+x6= x3+x5=27，
　　因此，x2+x3+x5+x6=(x2+x6)+(x3+x5)=27+27=54
　　这种类型的数列试题要求教师在课堂教学中，对数列的性质竟详细讲解，仔细推导。使得学生能够真正的理解数列性质的来源。
　　3.对高二数学求通项公式的考察
　　①利用等差、等比数列的通项公式，求通项公式
　　②利用关系an={S1，n=1;Sn-Sn-1，n&2}求通项公式
　　③利用叠加、叠乘法求通项公式
　　④利用数学归纳法求通项公式
　　⑤利用构造法求通项公式.
　　4.高二数学求前n项和的一些方法
　　在最近几年的数学高考试题中，数列通项公式和数列求和这两个知识点是每年必考的，因此，在高中数学数列的课堂教学中，教师要对数列求和通项公式这方面的知识点进行细致重点的讲解。数列求和的主要解题方法有错位相减法、分组求和法与合并求和法，下面对三种数列求和的解题方法进行详细说明。
　　(1)错位相减法
　　错位相减法主要应用于等比数列的求和中，在最近几年的高考试题当中，以此方法来求解数列求和的试题经常会有所体现。这一类型的试题解题方法主要是运用于诸如{等差数列&等比数列}数列前n项和的求和中。
　　例如：已知{xn}是等差数列，其前n项和是Sn，{yn}是等比数列，且x1=y1=2， x4+y4=27， S4-y4=10，求(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式;(2)Tn= xny1+xn-1y2+&+x1yn，n&N*证明Tn+12=-2xn+10yn，n&N*
　　解析：(1)xn=3n-1，yn=2n;
　　(2)Tn= 2xn+22xn-1+23xn-2+&+2nx1，
　　2Tn= 22xn+23xn-1+&+2nx2+2n+1x1
　　计算得，Tn=-2(3n-1)+3&22+3&23+&+3&2n+2n+1=12(1-2n+1)/(1-2+2n+2-6n+2)=10&2n-6n-10
　　-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10&2n-12=10&2n-6n-10
　　所以，Tn+12=-2xn+10yn，n&N*
　　错位相减法主要应用于形如an=bncn，即等差数列&等比数列，这样的数列求和试题运算中，解此类题的技巧是：首先分别列出等差数列和等比数列的前n的和，即Sn，然后再分别将Sn的两侧同时乘以等比数列的公比q，得出qSn;最后错一位，再将两边的式子进行相减就可以了。
　　(2)分组法求和
　　在高中数列的试题当中，往往会遇到一部分没有规律的数列试题，它们初看上去既不属于等差数列也不属于等比数列，但是如果将此类型的数列进行拆分，就可以得到我们所了解的等差数列和等比数列，遇到此类型的数列试题，我们就可以通过分组法求和的方法进行解题，首先将数列进行拆分，通过得到的等差数列和等比数列进行运算，最后将其结合在一起得出试题的答案。
　　(3)合并法求和
　　在高考数列的试题中，往往会遇到一些非常特殊的题型，它们初看上去没有规律可循，但是通过合并和拆分，就可以找出它们的特殊性质。这就要求我们教师平时要锻炼学生对数列的合并能力，通过合并找出规律，最终成功地解决这类特殊数列的求和问题。
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3秒自动关闭窗口20．（本小题共12分）；已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，S；（Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值；；（Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任；1?5．2（Ⅱ）若q?1，则{an}的每项an?；化简得q2?q?1?0．解得q?a(qm?1)a；天津理；?1?6．已知?an?是首项为1的等比数列，Sn；?an?（）．；1531或
20．（本小题共12分） 已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和． （Ⅰ）当S1、S3、S4成等差数列时，求q的值； （Ⅱ）当Sm、Sn、Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am?k、an?k、al?k也成等差数列． 本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由已知，an?aqn?1，因此S1?a，S3?a(1?q?q2)，S4?a(1?q?q2?q3)． 当S1、S3、S4成等差数列时，S1?S4?2S3，可得aq3?aq?aq2． 1?5． 2（Ⅱ）若q?1，则{an}的每项an?a，此时am?k、an?k、al?k显然成等差数列． 化简得q2?q?1?0．解得q?a(qm?1)a(ql?1)2a(qn?1)??若q?1，由Sm、Sn、Sl成等差数列可得Sm?Sl?2Sn，即． q?1q?1q?1整理得qm?ql?2qn．因此，am?k?al?k?aqk?1(qm?ql)?2aqn?k?1?2an?k． 所以，am?k、an?k、al?k也成等差数列． 天津理 ?1?6．已知?an?是首项为1的等比数列，Sn是?an?的前n项和，且9S3?S6．则??的前5项和为?an?（
）． 1531或5
Ｂ．或5 8163115
Ａ．【解】设数列?an?的公比为q，由9S3?S6可知q?1．于是又9?1?q3?1?q1?q6， ?1?q3363于是q?9q?8?0，即q?1q?8?0，因为q?1，则q?2． ????1?1?q5??．故选Ｃ． 数列??的首项为1，公比为，则前5项和T5?1q?q?1?16q?an?1?q1?22．（本小题满分14分）在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N?，a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为dk． （Ⅰ）若dk?2k，证明a2k,a2k?1,a2k?2成等比数列； （Ⅱ）若对任意k?N?，a2k,a2k?1,a2k?2成等比数列，其公比为qk． () 设q1?1,证明??1??是等差数列; q?1?k? n3k2() 若a2?2,证明?2n???2?n?2?. 2ak?2k【解】（Ⅰ）解法1．由题设可得a2k?1?a2k?1?4k，k?N?． 所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??L?a3?a1?
4k?4?k?1??L?4?1?2k?k?1?． 因为a1?0，所以a2k?1?2k?k?1?． 从而由a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为2k得a2k?a2k?1?2k?2k2． 于是a2k?2?2?k?1?． 因此2a2k?1k?1a2k?2k?1aak?1，，所以2k?2?2k?1?， ??a2kka2k?1a2kka2k?1k于是当dk?2k时，对任意k?N?， a2k,a2k?1,a2k?2成等比数列． 解法2．用数学归纳法． (1) 当k?1时，因为a1,a2,a3成公差为2k?2的等差数列，及a1?0，则a2?2,a3?4． 当k?2时，因为a3,a4,a5成公差为2k?4的等差数列，及a3?4，则a4?8,a5?12． 由a2?2,a3?4，a4?8，所以a2,a3,a4成等比数列． 所以当k?1时，结论成立； (2) 假设对于k结论成立，即 a2k?1,a2k,a2k?1成公差为dk?2k等差数列，a2k,a2k?1,a2k?2成等比数列， 设a2k?u，则a2k?1?u?2k，a2k?22?u?2k?a2?k?1?， a2ku2又由题设a2k?1,a2k?2,a2k?3成公差为dk?2?k?1?等差数列， 则a2k?2?a2k?1?2?k?1??u?2k?2k?2?u?4k?2， 2?u?2k?因此u?u?4k?2，解得u?2k2． 222于是a2k?1?2k?2k?2k?k?1?，a2k?2?2k?2k?2k?2?2?k?1?． a2k?3?2?k?1??2?k?1??2?k?1??k?2?． 2 再由题设a2k?3,a2k?4,a2k?5成公差为dk?2?k?2?等差数列， 及a2k?3?2?k?1??k?2?， 则a2k?4?a2k?3?2?k?2??2?k?1??k?2??2?k?2??2?k?2?． 因为a2k?2?2?k?1?，a2k?3?2?k?1??k?2?，a2k?4?2?k?2?， 2222?k?2?2?k?1??k?2?k?2a2k?4ak?2???所以2k?3?，， 2a2k?2k?1a2k?32?k?1??k?2?k?12?k?1?于是a2k?2,a2k?3,a2k?4成等比数列．于是对k?1结论成立， 由(1)，(2)，对对任意k?N?,结论成立． （Ⅱ）()证法1．由a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，a2k,a2k?1,a2k?2成等比数列, 则 2a2k?a2k?1?a2k?1,即2?2a2k?1a2k?11???qk．因为q1?1,可知qk?1?k?N??, a2ka2kqk?1从而11111???1，即??1， 1qk?12?qk?1qk?1?1?1qk?1?1qk?1?1??是等差数列，且公差为1． q?1?k?所以?证法2．由题设,dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k?qk?1?, 2dk?1?a2k?2?a2k?1?qka2k?qka2k?a2kqk?qk?1?,所以dk?1?qkdk. qk?1?a?q?1?a2k?3a2k?2?dk?1dqdd1??1?2k?1?1?2kk?1?k?1?2kk?2?． a2k?2a2k?2qka2kqka2kqka2kqka2kqkq11?k??1． qk?1?1qk?1qk?1qk?11?因为q1?1,可知qk?1?k?N??,于是 所以??1??是等差数列，且公差为1． q?1?k?k?1． k()
证法1．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得qk?aak?1a2k?2?k?1???从而2k?2?2k?1?，?， a2kka2k?1a2kk?? 2k?1??a2ka2k?2a4k222因此a2k???L??a2???L?2?2?2k2，k?N?， 22a2k?2a2k?4a21?k?1??k?2?a2k?1?a2k?k?1k?1?2k2??2k?k?1?，k?N?． kk2(1) 当n为偶数时，设n?2m?m?N??． nk2223k2若m?1，则2n???4??2，满足?2n???2； a22k?2kk?2akn若m?2，则 mmnmm?1??2k?m?1?2k?1?2k?2k?1????k24k2?4k1?????2???? ???????2a2k?12k?k?1??k?2akk?1a2kk?2k?12kk?22k?k?1?k?1k?2?2k?k?1?n??1?11???2n??． ?2m?2m?1?1??2m???2?????????2n2?m?2?kk?1??k?1?nk2313k2所以2n????，所以?2n???2，n?4,6,8,L． 2n2k?2akk?2aknm?1(2) 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N??． 2m?1??k22mk2?2m?1?313111???4m????2n??． ?4m????aaa2n?122m2mm?122m?1????k?2kk?2k2m?1n22nk2313k2所以2n??，所以?2n?????2，n?3,5,7,L． 2n?12k?2akk?2aknn3k2由(1)，(2)可知，对任意n?2，?2n???2． 2k?2ak证法2．由（Ⅰ）得解法1和解法2均可得qk?k?1dk?1．从而k?1?qk?． kdkk所以dkdddkk?12?k?k?1?L?2???L??k，由d1?2，可得dk?2k． d1dk?1dk?2d1k?1k?21于是由（Ⅰ）知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2．以下同证法１． 天津文 15．设?an?是等比数列，公比q?2，Sn为?an?的前n项和．记Tn?17Sn?S2n，n?N?，设Tn0an?1为数列?Tn?的最大项，则n0?
． 【解】4．
设a1?1，则an??2??n?1，an?1??2?n，Sn???2n?12?1?an?1?12?1， S2n2???2n?12an?1?12?12?1． Tn?17Sn?S2nan?12an?1?1an?117???12?12?1??1?a?16?17?， ??n?1?an?1an?12?1??因为函数g?x??x?所以Tn??此时an?1?16x?0?在x?4时，取得最小值， ?x?1?16a??17?n?1?在an?1?4时取得最大值． an?12?1???2?n?4，解得n?4．即T4为数列?Tn?的最大项，则n0?4． 22．（本小题满分14分）在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N?，a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为2k． （Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列； （Ⅱ）求数列 ?an?的通项公式； 32232n2（Ⅲ）记Tn???L?．证明?2n?Tn?2?n?2?． 2a2a3an【解】（Ⅰ）由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，a6?a5?6?18 ，所以a6a53??．因此a4,a5,a6成等比数列． a5a42（Ⅱ）由题设可得a2k?1?a2k?1?4k，k?N?． 所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??L?a3?a1? =4k?4?k?1??L?4?1?2k?k?1?．因为a1?0，所以a2k?1?2k?k?1?． 从而由a2k?1,a2k,a2k?1成等差数列，其公差为2k得a2k?a2k?1?2k?2k2． ?n2?1,n?2k?1,??2所以，数列 ?an?的通项公式为an?? 2?n,n?2k,k?N??2 三亿文库包含各类专业文献、文学作品欣赏、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、高等教育、专业论文、外语学习资料、中学教育、行业资料、高二数学数列201116等内容。　
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高二数学常数数列知识点（一）
高中数学数列知识点总结：等差数列公式
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d
或an=am+(n-m)d
前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2
若m+n=2p则：am+an=2ap
以上n均为正整数
第n项的值=首项+(项数-1)*公差
前n项的和=(首项+末项)*项数/2
公差=后项-前项
高中数学数列知识点总结：等比数列公式
等比数列求和公式
(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n&N)。
(2) 通项公式：an=a1&q^(n-1); 推广式：an=am&q^(n-m);
(3) 求和公式：Sn=n&a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an&q)/(1-q) (q&1) (q为公比，n为项数)
①若 m、n、p、q&N，且m+n=p+q，则am&an=ap&
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q&N，且m+n=2q，则am&an=aq^2
(5)&G是a、b的等比中项&&G^2=ab(G & 0)&.
(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1*q^n Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) Sn=(a1-an*q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
高二数学常数数列知识点（二）
数列的概念及简单表示法
数列的定义：
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成
，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，&，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，&，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．
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