②Sn?(x?1211)?(x2?2)2???(；?1?1?10?10???10?解：①ak?11；xxxx2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(；ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(；k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k2；5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(；例2．已知数列1,3a,5a,?,(2n?1)a；02n?1
②Sn?(x?1211)?(x2?2)2???(xn?n)2 xxx
③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，?前n项和Sn 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 ?1?1?10?10???10?解：①ak?11???k个2k1k(10?1) 911Sn?[(10?1)?(102?1)???(10n?1)]?[(10?102???10n)?n])10n?1?9n?10?[?n]? 99812②Sn?(x?11142n?2)?(x??2)???(x??2) x2x4x2n111?(x2?x4???x2n)?(2?4???2n)?2n xxxx2(x2n?1)x?2(x?2n?1)(x2n?1)(x2n?2?1)（1）当x??1时，Sn???2n??2n 2?22n2x?1x?1x(x?1)（2）当x??1时,Sn?4n ③ak?(2k?1)?2k?(2k?1)???[(2k?1)?(k?1)]? k[(2k?1)?(3k?2)]523?k?k222Sn?a1?a2???an? 5235n(n?1)(2n?1)3n(n?1)(1?22???n2)?(1?2???n)???n(n?1)(5n?2) 6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q?1或q?1讨论。 2．错位相减法求和 例2．已知数列1,3a,5a,?,(2n?1)a2n?1(a?0)，求前n项和。 02n?1思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，?2n-1与等比数列a,a,a,?,a积，可用错位相减法求和。 解：对应项Sn?1?3a?5a2???(2n?1)an?1?1?
aSn?a?3a2?5a3???(2n?1)an?2? ?1???2?:(1?a)Sn?1?2a?2a2?2a3???2an?1?(2n?1)an 当2a(1?an?1)n
a?1时,(1?a)Sn?1??(2n?1)2(1?a)1?a?(2n?1)an?(2n?1)an?1 Sn?2(1?a)当a?1时,Sn?n2 3.裂项相消法求和 例3.求和Sn? ????1?33?5(2n?1)(2n?1)思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解: (2k)2(2k)2?1?11111ak???1??1?(?) (2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)(2k?1)22k?12k?n(n?1)Sn?a1?a2???an?n?[(1?)?(?)???(?)]?n?(1?)?22n?12n?1?n(n?1)(a?1)?123n?2练习:求Sn??2?3???n
答案: Sn?? na(a?1)?n(a?1)aaaa?(a?1)n2?a(a?1)?4.倒序相加法求和 012n例4求证：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)2n mn?m思路分析：由Cn可用倒序相加法求和。 ?Cn012n证：令Sn?Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn(1) mn?m (2)
?Cn?Cnnn?1210则Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn???5Cn?3Cn?Cn012n ?(1)?(2)有:2Sn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn?(2n?2)Cn???(2n?2)Cn012n?Sn?(n?1)[Cn?Cn?Cn???Cn]?(n?1)?2n
等式成立 5．其它求和方法 还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。 例5．已知数列?an?,an??2[n?(?1)n],求Sn。 思路分析：an??2n?2(?1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。 解：an??2n?2(?1)，若n?2m,则Sn?S2m??2(1?2?3???2m)?2n?(?1)k?12mk Sn??2(1?2?3???2m)??(2m?1)2m??n(n?1) 若n?2m?1,则Sn?S2m?1?S2m?a2m??(2m?1)2m?2[2m?(?1)2m]??(2m?1)2m?2(2m?1) ??4m2?2m?2??(n?1)2?(n?1)?2??n2?n?2 (n为正偶数)??n(n?1) ?Sn??2??n?n?2(n为正奇数)第四节
递推数列的通项公式及前n项和 1、利用不动点求数列通项
[题根三] 数列 [思路] 1、写出 {an}满足a1?1，an?1?2an?1，求通项公式an。 a1,a2,a3,a4?，由不完全归纳法得an表达式。 2、构造新数列，转化成等比数列求解。 [解题] 在的an?1得 [收获] ?2an?1 两边加1，则数列 {an?1}是首项为2，公比为2的等比数列， an?1?2?2n?1，即 an?2?2n?1?1?2n?1即为所求。 an?1?pan?q(p?1)型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当q?0,p?0时,数列为等p?1时递推式的通项公式的求法： 比数列。下面给出方法1、因为 p?1, 所以一定存在 ? 满足 ??p??q
， 从而得 ??q， 此为函数1?pf(x)?px?q的不动点。 由
an?1???pa(?p?)q?(pna??，得){an??}是首项n?q?为 a1??，公比为p的等比数列，于是
an???(a1??)pn?1, 即 an???(a1??)pn?1
，将 qqq?(a1?)pn?1.
代入上式， 得 通项公式为 an?（I）
1?p1?p1?p??方法2、由an?1则?pan?q,an?pan?1?q， 得an?1?an?p(an?an?1)，令bn?an?1?an{bn}是首项为， bn?pbn?1，则b1，公比为q的等比数列，
b1(1?pn?1) an?a1??bk?a1?1?pk?1n?1(a2?a1)(1?pn?1)；当n=1时,（*）式也成立。 ?a1?(n?2)
[请你试试4――1] 数列{an}满足 a1?9, 3an?1?an?4 ， 求 an。 ?4
an?114?1???an?，可得an?1?8????33?3?n?1
由3an?1?an； 或由3(an?1?1)??(an
[变题1] 数列 ?1)求。 {an}满足a1?1，an?1?2an 求通项公式an 。 2an?1[思路] 常见解法：先求数列 ?1???的通项公式 ?an?111???1， an?12an由（#）式 得 [解题]由将已知关系式取倒数得 1?1??2???an?2?n?1，所以an?12?21?n。 [收获] an?1?令
pan型递推数列的通项公式的求法：
ran?sx?pxrx?s，得x1?0 或x2?p?sr
为两不动点。由于11s1r????， an?1?x1a?n1panp设bn?sr11?bn?，，则 bn?1?此为an?1?pan?q(p?1)模型。
同样，ppanan?1?x2模型，由（I）式 可求得
也可化为 an?1?pan?q(p?1)an。更为特殊的是p=s 时，pan111r1的???, 设
bn? 则数列 {bn}是等差数列 。我们常取an?1?an?1?x1aapanran?pn?1n倒数求解 ，原因恰是为此 。 [变题2]
（06年江西理第22题）数列 {an}满足a1?33nan?1，an?(n?2,n?N*) 求22an?1?n?1通项公式an。 [解答] an?12113nan?1n1n?12????，即bn??bn?1??bn?1??(bn?1?)，33332an?1?n?1an3an?13n?1232?1?又a1?，得 b1??1，所以 bn?(?1)???323?3?[请你试试4――2] 函数通项公式 ，得 n?3nan?n。 3?1f(x)?x* ，数列{an}
满足a1?1，an?1?f(an)，(n?N) ，（1）求{an}的3x?1（2）设 Sn?a1?a2?a2?a3???an?an?1，求 Sn。
提示：an ?1n；Sn?。 3n?23n?1[变题2] 数列{an}中，a1?0,an?an?1?4,(n?2) ，求 an an?1?2[思路1] 令 x?x?4x?2，得 ?a?4?x1?4,x2??1，即两不动点，可得?n?1?是等比数列， ?an?1?1?[解法1] 由an?4?an?1?4?3an?1?123(an?1?4)， ?4???an?1?2an?1?2an?1?23bn?1
????????（a ） an?1?2令bn?an?4，
则bn??由an?1?an?1?42(an?1?1)，
?1?an?1?2an?1?22cn?1
????????（b） an?1?2令cn?an?1，
则 cn?(a) 式除以(b)式
得 ?b?bnba?43b???n?1，即?n?是首项为1?1??4, ca?1cn2cn?111?cn?n?1b3?3?公比为?的等比数列，?n??4????2cn?2??an?4， an?1三亿文库包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、各类资格考试、中学教育、外语学习资料、应用写作文书、幼儿教育、小学教育、高考数学数列总复习(完整)70等内容。　
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数学数列中档题：正数数列｛An｝和｛Bn｝满足：对任意的正整数n,An,Bn,An+1成等差数列,Bn,An+……
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(1)an,bn,a(n+1)成等差数列2bn = an+ a(n+1) bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列[a(n+1)]^2 = bn.b(n+1)√b(n+1) - √bn= a(n+1)/√bn - √bn= (2bn-an)/√bn - √bn= √bn - an/√bn=√bn - √[b(n-1).bn]/√bn=√bn - √b(n-1)=>{√bn}是等差数列(2)(a2)^2 = b1b2,得b2=9/2,√b2 - √b1 =√2/2=d,√bn =√b1 +(n-1)d=√2(n+1)/2,bn=(n+1)^2/2而an^2=bnxbn-1=(n+1)^2/2xn^2/2=n^2x(n+1)^2/4an=n(n+1)/2.(3)1/an=2/n(n+1),sn=2(1-1/2+1/2-1/3+.1/(n-1)-1/n)=2(1-1/n)=2(n-1)/n.
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两式相减得，an＝3n－(－2)n．
1111（2）证明：当k为奇数时，＋＝k k＋k+1akak+13＋23－2k+1－7×6k＋8×4k114∵k＋－k+1＝k+1k 3＋2k3k+1－2k+133(3＋2k)(3k+1－2k+1)833114∵＜≤()k ∴－7×6k＋8×4k＜0 ∴＋＜k+1 722akak+1311411（3）证明：k为奇数时，＋＜k+1＝k＋k+1 akak+1333①若n为偶数时，则＋＋…＋＜＋2＋…＋n＝(1－n)＜ a1a2an1111111②若n为奇数时，则＋＋…＋＜＋＋…＋＋＜＋2＋…＋n+1＝(1－n+1)＜ a1a2ana1a2anan+13332324. 【09苏北四市】已知数列a,b,c为各项都是正数的等差数列，公差为d(d＞0)，在a,b之间和b,c之间共插入m个实数后，所得到的m＋3个数所组成的数列{an}是等比数列，其公比为q． （1）若a＝1,m＝1，求公差d； （2）若在a,b之间和b,c之间所插入数的个数均为奇数，求所插入的m数的乘积（用a,c,m表示） （3）求证：q是无理数． 解：（1）由a＝1，且等差数列a,b,c的公差为d，可知b＝1＋d，c＝1＋2d， 1＋5①若插入的数在a,b之间，则1＋d＝q2，1＋2d＝q3，消去q可得(1＋2d)2＝(1＋d)3，d＝．
21＋5【或】b＝aq2＝q2，c＝aq3＝q3，∴2q2＝1＋q3∴(q－1)(q2－q－1)＝0∴q＝1(舍)或q＝ 2②若插入的数在b,c之间，则1＋d＝q，1＋2d＝q3，消去q可得1＋2d＝(1＋d)3，此方程无正根． 1＋5故所求公差d＝ 2－1＋5【或】b＝q，d＝q2，c＝q3，∴2q＝1＋q3∴(q－1)(q2＋q－1)＝0∴q＝1(舍)或q＝＜1(舍) 2（2）设在a,b之间插入l个数，在b,c之间插入t个数，则l＋t＝m， l个t个l?2?????a??????am?????3a,a2,a3,?,al?1,b,al?3,?,am?2,c【由等比中项得：】 a1a＋c在等比数列{an}中，∵a1＝a, al+2＝b＝, am+3＝c，akam+4－k＝a1am+3＝ac(k＝2,3,???,m＋2)，
2∴(a2a3…am+2)2＝(a2am+2)?(a3am+1)???(am+2a2)＝(ac)m+1 bc又∵ql+1＝＞0，qt+1＝＞0，l,t都为奇数，∴q可以为正数，也可以为负数． ab①若q为正数，则a2a3…am+2＝(ac)m＋12，所插入m个数的积为a2a3?am?2b?2a?cm?1(ac)2； m②若q为负数，a2,a3,…,am+2中共有＋1个负数， 2maa?am?2当是奇数，即m＝4k－2(k∈N*)时，所插入m个数的积为232bmaa?am?2当是偶数，即m＝4k(k∈N*）时，所插入m个数的积为232b综上所述，当m＝4k－2(k∈N)时，所插入m个数的积为当m＝4k(k∈N）时，所插入m个数的积为**?2a?c2a?c2m?1(ac)2； ．
m?1??(ac)2a2a3?am?2b2a?c(ac)m?1?m?12a?c(ac)2； a2a3?am?2b??． 注：可先将a2,a3,…,am+2用a和q表示，然后再利用条件消去q进行求解． ba＋dd2d（3）∵在等比数列{an}，由ql+1＝＝，可得ql+1－1＝，同理可得qm+2－1＝， aaaam+2l+1l+1m+2∴q－1＝2(q－1)，即2q－1＝q (m≥l)，
反证法：假设q是有理数， ①若q为整数，∵a,b,c是正数，且d＞0，∴|q|＞1，在2ql+1－qm+2＝q(2ql－qm+1)＝1中，∵2ql+1－qm+2是q的倍数，故1也是q的倍数，矛盾． yyy②若q不是整数，可设q＝（其中x,y为互素的整数，x＞1），则有()m+2＝2()l+1－1， xxxm+2m?l+1l+1l+1m+2即y＝x (2y－x)，∵m≥l，可得m－l＋1≥1，∴y是x的倍数，即y是x的倍数，矛盾． ∴ q是无理数．
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