当前位置： >>
第五章 连续时间系统的复频域分析(1)
第五章 连续时间系统的复频域分析 学习目标：1. 拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念以及拉 普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。 2. 拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及运 用。 3. 根据时域电路模型画出等效s域电路模型，并 求解其全响应和冲激响应。 4. 根据系统的模拟框图得到系统函数和信号流 图的相关概念。5.1 引言由第四章
学习，知连续时间系统的频域分析为e( t ) ? E ( j?) ? 系统的零状态响应H ( j?) ? R( j?)F [ e ( t )]F ?1 [ R ( j? )]?r (t )频域分析法缺点： 1、有些 e(t )的付里叶变换不存在。 2、不能解决零输入响应 问题, 只能解决零状态响应。 3、傅里叶分析求逆变换 的过程比较繁琐。5.2 拉普拉斯变换 laplace transform一、从傅里叶积分到双 边拉普拉斯变换 当函数f (t )满足绝对可积条件????f (t ) dt ? ? 时，其傅里叶变换积分式F ( j? ) ? ? f (t )e ? j?t dt 收敛。我们说???信号f (t )的傅里叶变换存在。 当 lim f (t ) ? 0时，f (t )不存在傅里叶变换t ?? 或t ???但若 lim f (t )e ?? t (? 为实数)收敛。t ?? 或t ???即?? ??f (t )e ?? t d t ? ?e ?? t ― ― 称 为 收 敛 因 子则f (t )e ?? t 满足绝对可积条件，它的傅里叶变换为：? ?F [ f (t )e?? t]? ???f (t )e e?? t ? j?tdt ? ???f (t )e ? (? ? j? )t dt ? F (? ? jw)令 s ? ? ? j? , 则 上 式 为F b(s) ??? ??? ― ― 衰 减 因 子f (t )e? stdt? ― ― 振 荡 因 子因积分区间包含着时间 轴的左右两边，故称 Fb( s ) 的信号f ( t )的双边拉普拉斯变换， 也称象函数。f (t )e?? t1 ? 2??? ??F b( s )ej? td?? 1 st f (t ) ? F b( s )e d? ? ? ? 2? 由 s ? ? ? j? . d s ? j d ? ? ? j? 1 st f (t ) ? F b( s )e d s ― ― F b ( s )的 逆 变 换 ? ? ? j ? 2? jLaplace变换重新选取函数空间的基底，以衰减振荡函数集 ?e ? (? ? j? )t ? 为基底构成函数空 间，用来展开信号。二、单边拉普拉斯变换the unilateral Laplace transform若 t ? 0 时， f (t ) ? 0, 则称 f (t )为有始信号。 而电信号中大都为有始 函数。 1、定义 拉氏正变换 拉氏反变换F (s) ???0－f ( t ) e ? st dt1 f (t ) ? 2? j?? ? j?? ? j?F ( s ) e st dst ? 0说明： ①s是复参量，s ? ? ? j?F ( s )是以s为自变量的复变函数②积分下线定为0 ? ，是为了包括? (t )。③f (t )是有始函数。④f (t )拉氏变换存在的充分条件：f (t )在t ? 0时 分段连续，且满足下式?通常在电路分析 中所遇到的时间 函数都满足上述 条件f (t )e ?? t dt ? ? 0? ⑤拉氏正反变换的简记形式?F ( s ) ? L[ f (t )] 或f (t ) ? F ( s )f (t ) ? L?1[ F ( s )] 或 F ( s ) ? f (t )拉氏变换与傅氏变换表示信号的差别傅里叶变换信号表示成指数 ej?t 分量的连续和 基本信号为：等幅的正弦信号拉普拉斯变换信号表示成指数 est 分量的连续和 基本信号为：指数增长的正弦信号振幅为 | F ( j? ) | d??无穷小振幅为 | F ( s ) | ds ? t e ?无穷小频率分布于整个区间频率分布于整个区间例1、求 L [ ? ( t )] 解： L [ ? ( t )] ???0?? (t )e? stdt ?1 ? s??0?e ? st dt1 ? st ?? e s例 2、求 L [? ( t )] 解： L [? ( t )] ??0???0?? ( t ) e ? st dt ? 1例 3、求 L [ e ? ? t ? ( t )]，并讨论收敛域。 解： L [ e?? t? ( t )] ???0?e?? t? (t )e? stdt ???0?e ? ( s ? ? ) t dt1 ? e ? ( s ?? ) t ? (s ? ? )t ???0?1 ? [1 ? lim e ? ( s ? ? ) t ] t? ? s ??lim e ? ( s ?? )tt ??当? ? ?时， lim e ? ( s ?? )t ? 0 则此时F ( s ) ? ? f (t )e dt 积分收敛? st 0? ?? lim e ? (? ?? )t ? e ? j?tt ??F ( s) ?收敛轴1 s ??收敛域 Re[ s] ? ? ? ?j?收敛坐标的 右半平面j?收敛坐标的0?0???右半平面5.3 拉普拉斯变换的收敛区ROC(region of convergence) of the Laplace transform收敛区：使 f (t )e ?? t 满足绝对可积条件的 ? 值的范围称为收敛区， 在收敛区内， f (t )拉氏变换存在，在收敛区外， f (t )拉氏变换 不存在。通常指数阶函数且具有 分段连续性质的 f (t )，其 拉斯变换存在。指数阶函数：若 f (t )满足 lim f (t )e ?? t ? 0, (? ? ? 0)t ??那么 f (t )的拉氏变换存在。 ? 0与 f (t )的性 质有关， ? ? ? 0为 L[ f (t )]收敛条件。由以上分析可知，由? 0的数值可将 s平面 划分为两个区域：j?收敛区0?0收敛轴?收敛域的若干特性 ? f (t)是有限长的，则收敛域是整个S平面， Re[s]＞－∞。f (t)乘指数增长或指数衰减信号 ，因为时间有限，总是绝对可积 的。故在整个Ｓ平面内，f (t)e-?t 绝对可积。f (t)T1T2t? f (t)为右边信号，则收敛域是 Re[s]＞?0， e f (t) ?0＞0 j??? 1 t若 f (t)e-? t绝对可积，则?1＞?0 ? ；f (t)e-? t也绝对可积。因为当 0 ?0 t?-? 时，e-?t增长。但当t&T1 时，f (t)=0。故在Re[s]＞?0的区 域内，f (t)e-?t绝对可积。 收敛域0 1e ?? 0 t T1t? f (t)为左边信号，则收敛域是 Re[s]＜?0， j? f (t) ?0＜0。 e?? 1 t收敛域e ?? 0 t t?0 0?T20若 f (t)e-? t绝对可积，则?1&?0；f (t)e-? t也绝对可积。因为当 t?? 时，e-?t增长。但当t &T2时，f (t)=0。故在Re[s]&?0的 区域内，f (t)e-?t绝对可积。1? f (t)为双边信号，则收敛域是S平面的一 条带状区域。证明同上。对于单边拉氏变换 讨论：1.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在 满足 ?? ??f (t )e ?? t dt ? ?其收敛坐标为? 0 ? ??，收敛区为全部s平面。 2.单位阶跃信号 lim[? (t )e ?? t ] ? 0 ? ? 0t ??? 收敛区为s平面的右半平面。 3.指数函数 lim[e? t e ?? t ] ? lim[e (? ?? ) t ] ? 0 ? ? ?t ?? t ??? 收敛区为? ? ?本书主要讨论单边拉氏 变换，其收敛区必定 存在，故不再讨论是否 收敛的问题。拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系双边拉普拉斯变换 s ? ? ? j? f (t )存在于整个区间 ?? ? t ? ?傅里叶变换 s ? j? f (t )存在于整个区间 ?? ?t ? ?拉普拉斯变换 s ? ? ? j? f (t )为因果信号 f (t ) ? 0, t ? 0傅里叶变换和单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特 殊情况，双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系：(1) 如果函数f (t ) 的拉普拉斯变换收敛区包含 j? 轴在内，则其傅里叶变换存在。将傅里叶变换中的 j? 换成 s ，就可得到 f (t ) 的拉普拉斯变换，即F ( s ) ? F ( j? )j? ? s反之，将拉普拉斯变换中的 s 换成 j? ，就可得到f (t ) 的傅里叶变换，即F ( j ? ) ? F ( s ) s ? j?(2) 如果函数 f (t ) 的拉普拉斯变换收敛区不包含 j? 轴在内，则其傅里叶变换不存在，拉普拉斯变换 必须通过定义式来求取，即F ( s) ? ? f (t )e ? st dt0 ?(3) 如果函数 f (t ) 的拉普拉斯变换的收敛边界位于 j? 轴，则其傅里叶变换存在。设 F ( s ) 在 j? 轴上有n 个单阶极点，则F ( j? ) ? F ( s ) s ? j? ? ? ? K n? (? ? ? n )式中，K n 为 F ( s ) 在各单阶极点上的留数。如果 F ( s ) 在 j? 轴上有重阶极点，则上式中还应包含? 函数的导数项。n计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换(1)e ? (t ) (2)?3te 3t ? (t ) (3)cos 2t? (t )解： 时域信号e ?3t ? (t )傅里叶变换1 j? ? 3拉普拉斯变换1 s?3 1 s?3? ? ?3? ?3e ? (t )cos 2t? (t )3t不存在j? ? 2 ( j? ) ? 4 ? [? (? ? 2 ) ? ? (? ? 2 )] 2s s2 ? 4? ?05.6 拉普拉斯变换的基本性质properties of laplace transform一、线性性质 若L[ f 1( t )] ? F 1( s )，L[ f 2( t )] ? F 2( s ) 则L[ Af 1( t ) ? Bf 2( t )] ? AF 1( s ) ? BF 2( s ) 其中A、B为实常数例 1、求 L [cos ? t ] 1 ? j? t 解： L [cos ? t ] ? L [ ( e ? e j ? t )] 2 1 1 ? L [ e ? j? t ] ? L [ e j? t ] 2 2 1 1 1 1 s ? ? ? 2 2 s ? j? 2 s ? j? s ??22、 尺 度 变 换 若L ? ? f ? t ?? ? ? F ? s ? R e[ s ] ? ? 0 1 s 则 L [ f ( a t )] ? F ( ) a ? 0, R e[ s ] ? a ? a a03、时移性质 若L[ f ( t )] ? F ( s ) 则L[ f ( t ? t 0 )?( t ? t 0 )] ? e ? st 0 F ( s )例2、求图示波形的拉氏变 换f (t )E0TtE 解 : f (t ) ? t[? (t ) ? ? (t ? T )] T E E L[ f (t )] ? L[t? (t )] ? L[t? (t ? T )] T TE 1 E ? L[(t ? T )? (t ? T ) ? T? (t ? T )] 2 T s T E 1 E ? sT 1 1 ? sT ? ? e ? E ? e 2 2 T s T s s E ? 2 [1 ? (Ts ? 1)e ? sT ] Ts L[ f (t )] ?注意f (t )? (t ? t 0) ? f (t ? t 0)? (t ? t 0)4、频域平移性质 若 L ? f ?t ?? ? F ( s ) 则 L [ e ? ? t f ( t )] ? F ( s ? ? )例 3、求 L [ e ? ? t cos ? t ]s ?? ?s ? ? ?2 ? ? 2 ? 同理由 sin ? t ? 2 s ??2 ? 得 L [ e ? ? t sin ? t ] ? ?s ? ? ?2 ? ? 2解 L [ e ? ? t cos ? t ] ?5、时域微分性质 若L[ f (t )] ? F ( s)df (t ) 则L[ ] ? sF ( s ) ? f (0?) dt L[ f n (t )] ? s n F ( s ) ? s n ?1 f (0?) ? s n ? 2 f ?(0?) ? ? ? f n ?1 (0?)例 4、求 L[sin ? t ] 1 解 : L[sin ? t ] ? L[ ? (cos ? t )?] ? 1 s ? ? ? (s ? 2 ? 1) ? 2 2 ? s ?? s ??2例5、求图示RL串联电路的电流响应。 2 H i (t ) di解：列回路方程 2?3? (t )Vdt? 4i ? 3? (t )4? 方程两边取拉氏变换 2[ sI ( s ) ? i (0?)] ? 4 I ( s ) ? 3 ? s 3 3 ? 10 s i (0 ? ) ? 5 A 整理 I ( s )(2 s ? 4) ? ? 10 ? s s 3 ? 10s 1.5 5 ? I (s) ? ? ? 2( s ? 2) ? s s ( s ? 2) s ? 2? 0.75 0.75 5 0.75 4.25 ? ? ? ? s s?2 s?2 s s?2故i (t ) ? L?1[ I ( s )] ? 0.75? (t ) ? 4.25e ?2t ? (t )6、时域积分性质 若L[ f ( t )] ? F ( s ) t F ( s) 则L[ ? f ( t )dt ] ? 0? s1 例6、求L[t? (t )] ? (t ) ? s t 1 解：L[t? (t )] ? L[ ? ? (t )dt ] ? 2 0? s7、时域卷积定理 若L[ f 1( t )] ? F 1( s ), L[ f 2( t )] ? F 2( s ) 则L[ f 1( t ) ? f 2( t )] ? F 1( s ) ? F 2( s )例7、线性时不变系统零状态响应 r (t ) ? e(t ) ? h(t )R( s) ? E ( s) ? H ( s) R( s) H ( s) ? E (s) 8、复卷积定理若L[ f 1( t )] ? F 1( s ), L[ f 2( t )] ? F 2( s ) 1 则L[ f 1( t ) f 2( t )] ? [ F 1( s ) ? F 2( s )] 2?j9、初值定理 设函数f ( t )及其导数f ?( t )存在，并有 LT存在，则f ( t )的初值为 f (0? ) ? lim f ( t ) ? lim sF ( s )t ?0 ? s ??F ( s )为真分式10、终值定理 设f (t )及f ?(t )存在，并有LT，且F ( s )的所有 极点都位于s左半平面内（包括原点处的单极点） 则f (?) ? lim f (t ) ? lim sF ( s )t ?? s ?0注意：对F ( s )极点的限制主要是为了保证 lim f ( t )t ??存在，只有终值存在才能用此定理。例8、试求下列F ( s )所对应的f (t )的初值和终值。s 2 ? 2s ? 1 (1) F ( s ) ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) s 2 ? 2s ? 3 (3) F ( s) ? ( s ? 1)( s 2 ? w0 2 )s 3 ? s 2 ? 2s ? 1 (2) F ( s) ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3)s 2 ? 2s ? 1 解 : (1) f (0? ) ? lim s ? ?1 s ?? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) 由于F ( s )在右半s平面有极点s ? 1，故f (t )终值不存在5s2 ? 9s ? 5 (2) F (s) ? 1 ? 3 ? 1 ? F 0( s ) 2 s ? 6 s ? 11 s ? 6 9 5 5? ? 2 5s3 ? 9s2 ? 5s s s sF 0 ( s ) ? ? 3 ? ? 6 11 6 s ? 6 s 2 ? 11 s ? 6 1? ? 2 ? 3 s s sf (0? ) ? lim sF 0( s) ? ?5s ??s ? s ? 2s ? 1 f (?) ? lim s ? ?0 s ?0 ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) (3) f (0? ) ? lim sF ( s ) ? 1s ??32F ( s ) 不为真分式，先化为真分式由于F ( s )在j?轴上有一对共轭极点 s ? ? j? 0， 故f (t )终值不存在11 、 s 域微分与积分 若 L [ f ( t )] ? F ( s ) dF ( s ) dF ( s ) 则 L [ tf ( t )] ? ? 或 L [ ? tf ( t )] ? ds ds ? f (t) d nF (s) n L[ ] ? ? F ( s ) ds ， L [( ? t ) f ( t )] ? s t ds n f (t) 条件是： tf ( t ) 和 的 LT 存在 t例 9 锯齿波E f (t ) ? t [? (t ) ? ? (t ? T )] Tf (t )E方法一：用频域微分性质：t 1 0 T ? sT ? ? (t ) ? ? (t ? T ) ? (1 ? e ) s d ?1 1 1 ? sT E /T E ? sT ? sT ? ? sT ? sT ( 1 ? e ) ? ? ( 1 ? e ) ? T e ? F ( s ) ? (1 ? e ) ? e 2 ? ? 2 ds ? s s s ? s s方法二：用时域微分性质：? f (0 ? ) ? 0f ?(t )E TE (1 ? e ? sT ) ? Ee ? sT Ts E /T E ? sT ? sT ? F ( s ) ? 2 (1 ? e ) ? e s s? sF ( s ) ?0t T E? (t ? T )练习:求下列函数的拉普拉斯变换。?3t (1) f (t ) ? t e ? (t )方法一： t? (t ) ?1 s2e ?3t t? (t ) ?1 s ?31 ( s ? 3) 21 ( s ? 3) 2方法二： e ?3t ? (t ) ? (2) f (t ) ? t 2? (t ? 1) 方法一： ? (t ) ? 1 sd 1 t e ?3t ? (t ) ? ? dt [ s? ]? 3?s ? (t ? 1) ? 1 e st ? (t ? 1) ?2d2 dt 2?s ?s 2 2 1 [1 e ] ? e ( ? ? s s) s3 s2f (t ) ? (t ? 1 ? 1) 2 ? (t ? 1) 方法二： ? (t ? 1) 2 ? (t ? 1) ? 2(t ? 1)? (t ? 1) ? ? (t ? 1)F ( s ) ? e ? s ( s23 ? s22 ? 1 s)f ?t ?? ?t ? ? F ? s ?（3）已 f1 ?t ? ? F1 ? s ? 知 单边周期信号：f ?t ? ? f1 ?t ? ? f 2 ?t ? ? ? ? f1 ?t ? ? f1 ?t ? T ? ? f1 ?t ? 2T ? ? ?? st 则： f ?t ? t 0 ?? ?t ? t 0 ? ? e 0 F ? s ?∴F ? s ? ? F1 ? s ? ? F1 ? s ?e ? Ts ? F1 ? s ?e ?2 Ts ? F1 ? s ?e ?3Ts ? ?? F1 ? s ??1 ? e ?Ts ? e ?2Ts ? ?? ?F1 ? s ? 1 ? e ?Tsof ?t ?f1 ?t ?f2 ?t ?可见，求周期信号的拉氏变换均 可用此式求，主要是求 F1 ? s 。 ?F1 ? s ? ?f 3 ?t ??tT2T3T?T0f1 ?t ?e? stdt1 F ?s ? ? 1 ? e ? Ts?T0f 1 ?t ?e ? st dt5.5 拉普拉斯反变换 查表法 部分分式展开法 应用拉氏变换的性质若 F ? S ? 是s的有理分式，可写为：bm s ? bm ?1 s ? ? ? b1 s ? b0 F ?S ? ? n n ?1 s ? a n?1 s ? ? ? a1 s ? a0 式中，各系数 a i ?i ? 0,1, ? , n ?, b j ? j ? 0,1, ? , m ? 均为实数，为简单设 a n ? 1。m m ?1若m ? n ,可用多项式除法将象函数F ?s ?分解为有理多项式 P ?s ? 和有理真分式之和。N ? s ? 式中N ? s ?的幂次小于D ? s ? 的幂次。 F ?s? ? P ?s? ? D ?s?例如：s 4 ? 8 s 3 ? 25 s 2 ? 31s ? 15 F ?s ? ? 3 2 s ? 6 s ? 11s ? 62s 2 ? 3s ? 3 ? s? 2? 3 2 s ? 6 s ? 11s ? 6? ? ?t ? ? 1, ? ' ?t ? ? s , ?? ? ' ?t ? ? 2? ?t ? ? s ? 2下面主要讨论有理真分式的情形。一、查表法人们为方便将一些常用的原函数 与对应的象函数列成一个表。查表 法就是利用这个表，由象函数找到 原函数的方法。二、部分分式展开法如果 F ?s ? 是 s 的实系数有理真分式（式中 m ? n )N ( s ) bm s ? bm ?1s ? ? ? b1s ? b0 F ( s) ? ? n n ?1 D( s) s ? an ?1s ? ? ? a1s ? a0m m ?1式中分母多项式 D ? s ?称为系统的特征多项式。 方程 D ? s ? ? 0 称为特征方程，它的根称为特征根。 为了将 F ?s ?展开为部分分式，要先求出n个特征 根 si ?i ? 1,2, ? , n ? , si 称为 F ?s ? 的极点。特征根可能是实根（含零根）或复根（含虚根）； 可能是单根，也可是重根。? 有单实极点； F ?s ? 有单极点 ? ? 有共轭单极点；分几种情况来讨论? ? ? 有重实极点； 有重极点 ? ? ? F s ? ? 有重复极点；1、F ?s ? 有单极点（特征根为单根） 如果方程 D ? s ? ? 0 的根都是单根，其 n 个 根 si ?i ? 1,2, ? , n ? 都互不相等，那么根据 代数理论，可展开为如下的部分分式：N ?s? ki kn k1 k2 F ?s? ? ? ? ?? ? ?? ? D ? s ? s ? s1 s ? s2 s ? si s ? sn ki ?? i ?1 s ? sink i ? ?s ? s i ? ? F ?s ? s ? siki si t ? ? ki e ? (t ) s ? si n si t ?1 ? f ( t ) ? L [ F ( s )] ? ? K i e ? ( t )i ?1首先我们来看一道 F ?s ? 有单实极点的情况： s?4 例1 求 F ?s ? ? 3 的原函数 f ?t ? 。 2s ? 3s ? 2s2解：? A( s ) ? s 3? 3 s ? 2 s ? s( s ? 1)( s ? 2)K3 K1 K 2 ? F ( s) ? ? ? s s?1 s? 2 s( s ? 4) K 1 ? sF ( s ) |s ? 0 ? |s ? 0 ? 2 s( s ? 1)( s ? 2) ( s ? 1)(s ? 4) K2 ? ( s ? 1)F ( s) s??1 ? ? ?3 s( s ? 1)(s ? 2) s??1 K3 ? ( s ? 2)F ( s) s??2 ? 13 2 1 ? F ( s) ? ? ? ? f ( t ) ? ( 2 ? 3e ? t ? e ?2 t )? ( t ) s s?1 s? 2下面我们再看一道 F ?s ?有共轭单极点的情况： 例2 解：s?2 求 F ?s ? ? 2 的原函数 f ?t ? 。 s ? 2s ? 2? A?s ? ? s ? 2 s ? 2 ? ?s ? 1 ? j ??s ? 1 ? j ?2K1 K2 ? F ( s) ? ? s ?1? j s ?1? j? K 1 ? ( s ? 1 ? j ) F ( s ) s ? ?1 ? j 1 ? j? ?1? j ? 2 1 j ? ? ? ? e 4 ?1? j ?1? j 2 2 2K 2 ? ( s ? 1 ? j ) F ( s ) s ? ?1 ? j1 ? e 2j? 41 1 e e 2 2 ? F ( s) ? ? s ? 1? j s ? 1? j?j? 4j? 4? j 1 ( ?1? j )t ? j ? 1 4 4 ( ?1? j ) t ? f (t ) ? [ e e ? e e ]? (t ) 2 2 ? ?t ? 2e cos(t ? )? (t ) 4 我们来看一下 k1、k2 之间的关系以及响应与极点的关系.下面导出有共轭单极点时，简便实用的关系式： 设D ? s ? ? 0 有一对共轭单根 s2 ? ?? ? j?s1 ? ?? ? j?k1 k2 ? ? F ?s ? ? ? 可以证明 k 2 ? k1 s ? ? ? j? s ? ? ? j?设 k 1 ? k 1 e j?j?k 2 ? k 1 e ? j?? j?k1 e k1 e ? ? F ?s ? ? s ? ? ? j? s ? ? ? j?取逆变换，得f (t ) ? K1 e e??t?j?( ?? ? j? ) t? K1 e? j?e( ?? ? j? ) t?? (t )? K1 e e ?e ? (t ) ??t ? 2 K1 e cos(? t ? ? )? (t )若?j ( ? t ?? )? j ( ? t ?? )?s1 ? ?? ? j?s2 ? ?? ? j??k1 k1 ? ? F ?s ? ? s ? ? ? j? s ? ? ? j?k1 ? k1 ej?f (t ) ? 2 k1 e?? tcos(? t ? ? )? (t )例33 2 s ? s ? 2 s ? 4 求 F ?s? ? s?s ? 1??s2 ? 1??s2 ? 2s ? 2?的原函数 f ?t ? 。 解： D ? s ? ? 0 有六个单根；k3 k5 k6 k1 k2 k4 ? F ?s ? ? ? ? ? ? s s ?1 s ? j s ? j s ?1? j s ?1? jk1 ? sF ?s ? s ? 0 ? 2 k 3 ? ?s ? j ?F ?s ? s ? jk 2 ? ?s ? 1?F ?s ? s ? ?1 ? ?11 ? 2? j e 2k5 ? ?s ? 1 ? j ?F ?s ? s ? ?1? j1 ? 23 j ? e 4k1 ? 2k 2 ? ?1? j 21 k3 ? e 2? ?j 2j? 21 k5 ? 23 j ? 43 j ? e 41 1 1 1 e e e e 2 1 F ?s ? ? ? ?2 ?2 ? 2 ? 2 s ? j s ?1? j s ?1? j s s ?1 s ? j3 ?j ? 4f (t ) ? 2 k1 e?? tcos(? t ? ? )? (t )? 3? ? 2e cos? t ? ? 4 ? ??t? ?? f ?t ? ? 2 ? e ? cos? t ? ? ? ? 2???t?? ?t ?F ?s ? 有重极点（特征根为重根） 2、如果 D ? s ? ? 0 在 s ? s1 处有 ? 重根，即s1 ? s2 ? ? ? s? ，而其余 ?n ? ? ?个根 s? ?1 ,? , sn 都不等于 s1 。那么 F ?s ? 可展开为如下的部分分式：K11 K12 K1r N 2 (s) N ( s) F ( s) ? ? ? ?? ? ? r r ?1 D( s) ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) s ? s1 D2 ( s)N (s) K11 K12 K1r N2 (s) F ( s) ? ? ? ?? ? ? r r ?1 D( s) ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) s ? s1 D2 ( s )其系数求法： K 11 ? [( s ? s1 ) r F ( s )] | s ? s1K 12 k 13?d r ? [( s ? s1 ) F ( s )] ds s ? s11 d r ? ? 2 [( s ? s1 ) F ( s )] 2 ds s? si ?121K 1i1 d r ? [( s ? s ) F ( s )] 1 i ?1 s ? s1 ( i ? 1)! dsK11 K12 K1r N 2 ( s) N ( s) F (s) ? ? ? ?? ? ? r r ?1 D( s) ( s ? s1 ) ( s ? s1 ) s ? s1 D2 ( s)n！ n ?t ?(t) ? n?1 stn 1 ? ? ( t ) ? n ?1 n！ s 1 n s1t 1 据此可求出相应的 f ( t ) ? t e ? (t ) ? n! ( s ? s1 ) n ?1? 1 s1 t ? e ? (t ) ? s?s 1 ? 1 s1 t 常用 ? ? te ? (t ) ? 2 ( s ? s ) 1 ? 1 1 2 s1t ? ? t e ? (t ) 3 ? 2 ? (s ? s1 )例4s?3 ? ? ? F s f ?t ? 。 3 求 的原函数 ? s ? 1? ? s ? 2 ?解： D ? s ? ? 0 有一个三重根和一个单根；K 13 K4 K 11 K 12 ? ? ? F ( s) ? ? 3 2 s?1 s? 2 ( s ? 1) ( s ? 1)K 11 ? ( s ? 1) F ( s ) |s ? ?1 ? 2 d K 12 ? ( s ? 1) 3 F ( s ) ? ?1 s ? ?1 ds 1 d2 3 ?s ? 1? F ?s ? s ? ?1 ? 1 K 13 ? 2 2! ds3????K 4 ? ( s ? 2 ) F ( s ) s ? ?2 ? ? 11 2 1 1 ? ? ? F ( s) ? ? 3 2 s?1 s? 2 ( s ? 1) ( s ? 1)? f (t ) ? ? t 2e?t ? te? t ? e? t ? e?2t ?? (t ) ? 1 s t ? s ? s ? e ? (t ) 1 ? ? 1 s t ? te ? (t ) ? 2 ? ( s ? s1 ) 1 1 2 st ? ? t e ? (t ) 3 ? 2 ? (s ? s1 )1常用11D? s? ? 0 如果 D ? s ? ? 0 有复重根，例如， 有二重复根 s1,2 ? ?? ? j? ，则 F ?s? 可 展开为：k11 k12 F ?s ? ? ? 2 ? s ? ? ? j? ? ? s ? ? ? j? ? k 21 k 22 ? ? ?? 2 ? s ? ? ? j? ? ? s ? ? ? j? ?可以证明：k 21 ? k11 , k 22 ? k12系数的求法同上。??? k12 e ? k12 e L ? ? ? ? ? ? ? s ? ? ? j ? s ? ? ? j ? ? ? ? ? ??t ? 2 k12 e cos??t ? ? 12 ?? ?t ??1j? 12? j? 12? k11 e ? k11 e L ? ? 2 2? ? ? ? s ? ? ? j? ? ? s ? ? ? j? ? ? ? ??t ? 2 k11 te cos??t ? ? 11 ?? ?t ??1j? 11? j? 11另外，在求逆变换时，应注意利用拉普拉斯变换的 各种性质和常用变换对。序号 1 2 时域 f(t) 复频域 F(s)线性性 尺度性 时移性 频移性 时域微分 时域积分 复频域微分 复频域积分 时域卷积 复频域卷积 初值定理 终值定理a f 1 ( t ) + b f2 ( t ) f (at) a& 0 t0 & 0aF1 (s)+ bF2 (s)1 ?s? F? ? a ?a?性 质 法3 4 5 6 7 8 9 10 11 12f (t-t0) ?(t-t0) f (t) e-a td f (t ) dte ? s t0 F ( s)F(s+a ) sF(s )－ f (0 -)F (s) s n d F (s) ds n?t0?f (? )d?(-1)n t n f(t)f (t ) t?s?F ( s)dsf1 (t)* f2 (t) f 1 ( t) f2 ( t)t ?0? s??F1(s ) F2(s )1 F1 ( s ) ? F2 ( s ) 2? jf ( 0 ? ) ? lim f (t ) ? lim sF ( s )f ( ? ) ? lim f (t ) ? lim sF ( s )t?? s?01? e 例5 求 F ?s ? ? 的原函数 f ?t ? 。 s?1 ?2 s 1 1 ?2s 解： F ?s ? ? 1 ? e ? ? ?e s?1 s?1 s?11 ? ? e ? t ? ?t ? s?1?t?2 s1 ?2s ? ?t ? 2 ? ?e ? e ? ?t ? 2? s?1? ?t ? 2 ?? f ?t ? ? e ? ?t ? ? e? ?t ? 2 ?例6 解：s?2 求F ?s ? ? 2 的原函数 f ?t ? 。 s ? 2s ? 2s?2 s?1 1 ? F ?s ? ? 2 ? 2 2 s ? 2s ? 2 ?s ? 1? ? 1 ?s ? 1? ? 1?t ?t? f ?t ? ? e cos t? ?t ? ? e sin t? ?t ? ? ?? ? 2e cos? t ? ?? ?t ? 4? ??t例7已知1 ? e ? ( S ?1) F (s) ? ，求 拉氏反变换 ?2 S ( s ? 1)(1 ? e )f (t)。1 ? e?S ? ? (t ) ? ? (t ? 1) 已知 s 1 ? e ? ( S ?1) ? [? (t ) ? ? (t ? 1)] e ?t ? f1 (t ) 根据频移特性： F1 ( s) ? s ?1 F1 ( s ) 根据周期函数的拉普拉斯变换： F ( s) ? 1 ? e?2 S ? f (t ) ? e ? t [? (t ) ? ? ( t ? 1)] ? e ? ( t ? 2 ) [? (t ? 2) ? ? ( t ? 3)] ? ?1 ? e ? ( S ?1) 解：令 F1 ( s) ? s ?1f (t )1e ?t??1 2 30t例8已知s e?S F (s) ? 2 ，求 拉氏反变换 f (t)。 s ? 5s ? 6K1 ? s s?3? ?2s ? ?2K1 K 2 ?S ? )e 解：F ( s ) ? ( s?2 s?3K2 ?s s?2?3s ? ?3应用时移性质：?f (t ) ? ?2e ? 2( t ?1)? (t ? 1) ? 3e ?3(t ?1)? (t ? 1)?S例9?1? e ? F ( s ) ? 已知 ? s ?? ? ? ，求 拉氏反变换 f (t)。 ?2解：1 ? 2e ? S ? e ?2 S 1 2 ? S 1 ?2 S F (s) ? ? ? 2e ? 2e 2 2 s s s s? f (t) ? t? (t) ? 2(t ?1)? (t ?1) ? (t ? 2)? (t ? 2) 应用时移性质：练习:求下列象函数的拉普拉斯反变换。s 2 ? 4s ? 2 (1) F ( s) ? ( s ? 1)( s ? 2)f (t ) ? ? (t ) ? 2e ?2t ? (t ) ? e ?t ? (t )(2) F ( s ) ?4 ( s ? 1)( s ? 2) 2f (t ) ? [4e? t ? 4te?2t ? 4e?2t ]? (t )s e ?2 s ? 1 (3) F ( s) ? ( s ? 1)( s ? 2)f (t ) ? [2e ?2(t ? 2) ? e ? (t ? 2) ]? (t ? 2) ? (e ?t ? e ?2t )? (t )求F(s)拉普拉斯反变换 f (t),并画出它的波形。s ? 1 ? e?s F (s) ? 2 s (1 ? e ? 2 s )F1 ( s ) ?1 1 1 ? 2 ? 2 e?s s s sf (t )f1 (t ) ? ? (t ) ? t? (t ) ? (t ? 1)? (t ? 1)??01 2 34t5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析法一、线性定常电路中两 类约束关系的复频域形式 ?电路的S域模型? 1、基尔霍夫定律的复频 域形式（运算形式）m m由? ik ( t ) ? 0k ?1 m? u (t ) ? 0k k ?1 m两边取拉氏变换得? I ( s) ? 0k k ?1? U ( s) ? 0k k ?12、R、L、C元件的s域模型i Ruu ? Ri时域关系I (s) RU (s) ? I (s) R复频域关系U (s)iC1 CSI ( s)cu (0?)1 CSu (0 ? ) s? ?I ( s) u du i?c U (s) dt L[i ] ? csU ( s ) ? cu (0?) I [ s ] ? csU ( s ) ? cu (0?)i (t )U ( s)1 ― ―复频域阻抗 CSLu (t )I ( s ) LS Li (0?)??LS I (s)i (0 ? ) sdi (t ) u (t ) ? L dt U [ s ] ? LsI ( s ) ? Li (0?)U (s)SL ― ―电感元件的复频域阻抗U (s)例1：如图示电路已处稳态 ，t ? 0时开关k由“1”到“2”， 试求输出电压u 0(t )的零输入响应u 0 zi (t )，零状态响应u 0 zs (t ) 和全响应u 0(t )。K&1& &2&? 9V ?? 2F 6V ?1?1H2?解： (1)据题意求电路初始状态 9 i L ( 0 ? ) ? ? 3A iL 1? 2 2 u 0 (0 ? ) ? ? 9 ? 6V 1? 2 u 0(t ) (2)求输入信号象函数6 L[6? (t )] ? s(3)画s域模型电路 1? ??6 s1???6 s1 2sS ? 3V ? 2?U 0( s )???6 s??1?6 s1 2sS ? 3V ? 2?U 0 zi ( s )(b)(a)?1 2sS U 0 zs ( s )2?(c )(4)求响应象函数 图(b)列节点方程 1 1 3 ( ? 2s ? )U 0 zi ( s ) ? 12 ? 1 s?2 s?2 12s ? 21 9 3 解得：U 0 zi ( s ) ? ? ? ( s ? 1)(2 s ? 3) s ? 1 s ? 3 2 图(c)列节点方程 1 6 (1 ? 2s ? )U 0 zs ( s ) ? s?2 s 6( s ? 2) 4 6 2 解得：U 0 zs ( s) ? ? ? ? s ( s ? 1)(2s ? 3) s s ? 1 s ? 3 2图( a )列节点方程 1 6 3 )U 0( s ) ? ? 12 ? s?2 s s?2 12 s 2 ? 27 s ? 12 4 3 1 解得：U 0( s ) ? ? ? ? s ( s ? 1)(2 s ? 3) s s ? 1 s ? 3 2 (5)求拉氏逆变换，得 (1 ? 2 s ?u 0 zi (t ) ? L?1[U 0 zi ( s )] ? [9e ? t ? 3e ?1.5t ]? (t ) u 0 zs (t ) ? L?1[U 0 zs ( s )] ? [4 ? 6e ? t ? 2e ?1.5t ]? (t )全响应 ? u 0(t ) ? u 0 zi (t ) ? u 0 zs (t ) ? [4 ? 3e? t ? e?1.5t ]? (t )二、系统函数（网络函数）零状态响应的象函数 R( s ) 1、定义 H ( s ) ? ? 输入的象函数 E (s) 2、 H ( s )的分类 对于一端口网络，激励 e ( t )和响应 r ( t )在同一端口。I (s)U ( s) U (s) ― ―策动点阻抗函数 I ( s) I ( s) ②H ( s ) ? ― ―策动点导纳函数 U (s)①H ( s ) ?网络函数全面地 反映了线性定常 系统的固有特性H (s)I 1( s )U 1( s ) H ( s)I 2( s )U 2( s )对双口网络，当e(t )与r (t )不在同一端口。U 2( s ) ― ―转移阻抗 I 1( s ) I 2( s ) ④H ( s ) ? ― ―转移导纳 U 1( s ) U 2( s ) ⑤H ( s ) ? ― ―转移电压比 U 1( s ) I 2( s ) ⑥H ( s ) ? ― ―转移电流比 I 1( s )③H ( s ) ?例2：试求图示电路的网络函数H ( s )，设I 2( s )为响应象函数， 电路为单电源作用，初始条件为零。I 1( s)? Us ( s ) ?1 scR 2 I 2( s ) R112解：列回路方程 1 回路1： ( ? R1) I 1( s) ? R1I 2( s) ? Us ( s) (1) sc SL 回路2： ? R1I 1( s) ? ( R1 ? R 2 ? SL) I 2( s) ? 0 (2)联立求解得R1CSUs ( s ) H ( s )与Us ( s )无关， 2 R1LCS ? ( R1R 2C ? L) S ? R1 ? R 2 由网络结构和参数决定 I 2( s ) R1CS ? H ( s) ? ? Us ( s ) R1LCS 2 ? ( R1R 2C ? L) S ? R1 ? R 2 I 2( s ) ?转移导纳函数3、H ( s)的一般性质。 (1) h(t ) ? L?1[ H ( s )]R(s) 证 : ? H ( s) ? 当E ( s) ? 1时 E (s) e(t ) ? ? (t ), 此时R( s) ? H ( s)故r (t ) ? h(t ) ? L?1[ H ( s )]例3、试求图示电路的冲激 响应 u1(t )。2? ?L2H ? 2?R1SLR11Fi (t )u1(t )?CR2Is ( s)U 1( s )?1 CSR2解：H ( s ) ?R ( s ) U 1( s ) ? ― ―策动点阻抗 E ( s ) Is ( s ) 1 ( LS ? R 2) CS ? 2 ? S ? 1 H ( s ) ? R1 ? 1 1 LS ? R 2 ? S2 ? S ? CS 2 1 1 1 2 令D ( s) ? S ? S ? S 1、 2 ? ? ?j 2 2 2 k1 k2 H (s) ? 2 ? ? S ? S1 S ? S 2 S ?1 S ?1 1 k1 ? ? ? ? ? 45o D?( s ) S ? S 1 2 S ? 1 S ? S 1 2冲激响应u1(t ) ? L [ H ( s )] ? 2? (t ) ? e?11 ? t 21 cos( t ? 45o ) t ? 0 2例4、描述某线性时不变系统的输入输出方程为 r ???(t ) ? 6r ??(t ) ? 11r ?(t ) ? 6r (t ) ? 2e??(t ) ? 6e?(t ) ? 6e(t ) 求该系统的冲激响应h(t )。解：假设零状态条件，即 r ??(0?) ? r ?(0?) ? r (0?) ? 0 对方程两边取拉氏变换，得S 3 R ( s) ? 6 S 2 R ( s ) ? 11SR ( s ) ? 6 R( s) ? 2 S 2 E ( s ) ? 6 SE ( s ) ? 6 E ( s ) 2S 2 ? 6S ? 6 解得 R( s ) ? 3 E (s) 2 S ? 6 S ? 11S ? 6 由H ( s )定义，得R( s) 2S 2 ? 6S ? 6 2S 2 ? 6S ? 6 H ( s) ? ? 3 ? 2 E ( s ) S ? 6 S ? 11S ? 6 ( S ? 1)( S ? 2)( S ? 3) 1 2 3 ? ? ? S ?1 S ? 2 S ? 3 故 h(t ) ? L?1[ H ( s )] ? (e ?t ? 2e ? 2t ? 3e ?3t )? (t )( 2) H ( s ) ?N ( s) 为s的有理分式，N ( s ) ? 0的根zi称为系统的零点， D( s ) D( s ) ? 0的根pj称为系统的极点，且极点就是对应系统输入输出 微分方程的特征根。特征根也称为系统的自然频率(或固有频率)。证：描述LTI系统的输入输出微分方程的一般形式为n(i )n(i ) a i r ( t ) ? b i e ? ? (t )(1)i ?0i ?0若系统处于零状态 r ( n ?1) ( 0 ? ) ? r ( n ? 2 ) ( 0 ? ) ? ? ? r ( 0 ? ) ? 0e (t )在 t ? 0时接入， e ( j ) ( 0 ? ) ? 0 ( j ? 0,1? m )对(1)式取拉氏变换得：n i i ?0 m i ?0 m[? ais ]R( s ) ? [? bis i ]E ( s )R( s ) H ( s) ? ? E ( s)i b i s ? i ?0 n?asi i ?0ibms m ? bm ? 1s m ?1 ? ? ? b 0 ? ans n ? an ? 1s n ?1 ? ? ? a 0n令D( s ) ? 0, 极点满足方程 ? ais i ? 0i ?0 n微分方程(1)的特征方程为? ai? i ? 0i ?0故H ( s)的极点就是对应系统微分方程的特征根。s ? b0 例5、某线性定常网络的转移函数H ( s) ? 2 ， (b0、a1、a 0为常数)， s ? a1 ? a 0 输入信号如图所示。零输入响应及其一阶导数的初值分别为rzi (0) ? ?4, r ?zi (0) ? 8.求网络的全响应。 e(t ) ? 4? (t ? 1) ? [? (t ? 2) ? ? (t ? 3)] ? 24 j 24? 12 ? 8 ? 4 0?1 0123t ( s)(a)(b )s ?8 解：由零、极点分布可知 H ( s ) ? ( s ? 4)( s ? 12)? h(t ) ? L?1[ H ( s )] ? 0.5(e ? 4t ? e ?12t )? (t )1 单位阶跃响应为R ( s ) ? H ( s ) ? E ( s ) ? H ( s ) ? s 1 s ?8 ?1 ?1 r (t ) ? L [ H ( s ) ? ] ? L [ ] s s ( s ? 4)( s ? 12) 1 1 1 ? [ ? e ? 4t ? e ?12t ]? (t ) 6 8 24 零状态响应rzs (t ) ? 2[e ?4 (t ?1) ? e ?12(t ?1) ]? (t ? 1)24 24 ? 4(t ? 2) ?12 (t ? 2 ) ?[ ? e ?e ]? (t ? 2) 6 8 24 24 ? 4( t ?3) ?12(t ?3) ?[ ? e ?e ]? (t ? 3) 6 8零输入响应rzi (t ) ? Ae ?4t ? Be ?12t 由rzi (0) ? ?4，r ?zi (0) ? 8，求得A ? ?5, B ? 1 ? rzi (t ) ? (?5e ?4t ? e ?12t )? (t ) 全响应r (t ) ? rzi (t ) ? rzs (t )(3) H ( s )与时域分析中的转移算子H ( p)具有相同的形式。三、微分方程的变换解(以一个二阶微分方程为例）r ? t ? ? a1r ? t ? ? a0 r ? t ? ? b2 e ? t ? ? b1e ? t ? ? b0 e ? t ?初始状态 r ? 0 ? ? , r ' ? 0 ? ? 设 r ?t ? ? R ? s ? , e ?t ? ? E ? s ? 对方程两边取拉普拉斯变换：&'&'s R ? s ? ? sr ? 0? ? ? r ? 0? ? ? a1sR ? s ? ? a 1 r ? 0? ? ? a0 R ? s ?2 '? b2 s E ? s ? ? b1sE ? s ? ? b0 E ? s ?' 2 ? s ? a s ? a R s ? sr 0 ? r ? 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ? a1r ? 0? ?? ?2? ? b2 s ? b1s ? b0 ? E ? s ?2?s? ?? ? ?A?s? 特征多项式2' ? sr 0 ? r 0 ? a r 0 ? a1 s ? a0 R ? s ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ??? ? ?? ? ? ?M ? s?2? ? b2 s ? b1s ? b0 ? E ? s ??? ?? ?? ?B ?s ?A? s? ? R ? s? ? M ? s? ? B ? s? ? E ? s?M ?s? B ?s? ? R ?s? ? ? ? E ?s? 即 ? B ?s? A? s? A? s? ? Rzs ? s ? ? E ?s?零输入响应 零状态响应 的象函数 的象函数A?s?M ?s? Rzi ? s ? ? A?s? ?例6 描述某LTI连续系统的微分方程为r '' ? t ? ? 3r ' ? t ? ? 2r ? t ? ? 2e' ? t ? ? 6e ? t ?' e t ? ? t , r 0 ? 2, r ? ? ? ?? ? 0? ? ? 1 已知输入 ? ?求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：对微分方程取拉普拉斯变换，有s R ? s ? ? sr ? 0? ? ? r ? 0? ? ? 3sR ? s ? ? 3r ? 0? ? ? 2 R ? s ?? 2sE ? s ? ? 6 E ? s ?整理得2'r '' ? t ? ? 3r ' ? t ? ? 2r ? t ? ? 2e' ? t ? ? 6e ? t ??s2? ? ?? ?? A?s?' ? 3s ? 2 ? R ? s ? ? ? sr 0 ? r ? ? ? 0? ? ? 3r ? 0? ?? ? ? ? ? ? 2s ? 6 ? E ? s ?? ? ?? ? ??? M ?s?? ? ? ? ?? B ?s?B ?s? 2s ? 6 1 3 4 1 ? Rzs ? s ? ? E ?s? ? 2 ? ? ? ? A? s? s ? 3s ? 2 s s s ? 1 s ? 2 M ?s? 2s ? 7 5 3 Rzi ? s ? ? ? 2 ? ? A ? s ? s ? 3s ? 2 s ? 1 s ? 2rzs ? t ? ? L ? ? Rzs ? s ? ? ? ? ? 3 ? 4e ? e ? ? ? t ? ?1 ?t ?2 t rzi ? t ? ? L ? ? Rzi ? s ? ? ? ? ? 5e ? 3e ? ? ? t ??1 ?t ?2 tr ? t ? ? rzi ? t ? ? rzs ? t ? ? ? 3 ? e ? t ? 2e ?2t ? ? ? t ?在第二章从时域角度讨论了系统全响应中 的自由响应 与强迫响应 ，瞬态响应 与稳态响应 自由响应与 强迫响应， 瞬态响应与 S域来讨论。 的概念。这里再从S 的概念。这里再从例7 描述某LTI系统的微分方程为 r '' ? t ? ? 5r ' ? t ? ? 6r ? t ? ? 2e ? t ? 已知初始状态r ? 0? ? ? 1, r ' ? 0 ? ? ? ?1,激励 e ? t ? ? 5cos t ? ? ? t ? ，求系统的全响应 r ? t ? 。 M ?s? B ?s? 解： R ? s ? ? Rzi ? s ? ? Rzs ? s ? ? ? ? E ?s? A?s? A? s?sr ? 0? ? ? r ' ? 0? ? ? 5r ? 0? ? 2 ? ? 2 E ?s? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 65s ? E ?s? ? L ? ?5cos t ? ? ? t ? ? ? ? s2 ? 1sr ? 0? ? ? r ' ? 0? ? ? 5r ? 0? ? 2 ? R ?s? ? ? 2 E ?s? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6s?4 2 5s ? 2 ? 2 ? 2 s ? 5s ? 6 s ? 5s ? 6 s ? 1? ? ? ??? ???? 1 1Rzi ? s ?Rzs ? s ?2 ?1 ?4 3 2 ? ? ? ? ? s?2 s?3 s?2 s?3 s? je?j? 4??? ? ?? ? ? ? ?? ?R自由 ? s ? R强迫 ? s ?2 ? s? jej? 4可见： 1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根。s? 2、系统强迫响应的象函数的极点就是 E ?的极点， 因而其形式由激励确定。? ? ? ??? ???? 1 12 ?1 ?4 3 2 ? ? ? ? ? s?2 s?3 s?2 s?3 s? jRzi ? s ?Rzs ? s ?e?j? 4??? ? ?? ? ? ? ?? ?R自由 ? s ? R强迫 ? s ?2 ? s? jej? 4?rzi ? t ??? ? ??? ?r强迫 ? t ?rzs ? t ?? ?2t ?3t ? ? ?? ?2 t ?3t ? r ? t ? ? ? 2e ? e ? 4e ? 3e ? 2 cos ? t ? ? ? ? ? t ? ? 4 ?? ?? ? ?? ? ? ? ?r 自由 ? t ?本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响 应就是瞬态响应。激励象函数的单极点的实部 为0，强迫响应就是稳态响应。 一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是 衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。) 若E ( s 的极点为单极点且实部为零，强迫响应为等幅 振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响 应。第二章的一个例题：例 如图所示电路，e(t ) ? (1 ? e )? (t )R ? 1??3t电容上的初始电压为 uc (0) ? 2V ，求 uc (t )解：列写微分方程?duc (t ) RC ? uc (t ) ? e(t ) dte(t )?i (t )C? 1 Fuc (t)??代入元件值：R=1?, C=1Fduc (t ) ? uc (t ) ? e(t ) dtdu c ( t ) ? uc ( t ) ? e ( t ) dt特征方程? ? 1 ? 0 ? ? ? ?1u czi ( t ) ? C1e ? ( t )C1 ? 2?t?t1、零输入响应为：代入初始条件 uc (0) ? 2v 可得：? uczi (t ) ? 2e ? (t )2、零状态响应： 先求电路的冲激响应h (t ) ? k e ? (t )?t?th?(t ) ? k? (t ) ? ke ? (t )将h(t)、h’(t)和?(t)代入微分方程两端ke ? (t ) ? ke ? (t ) ? ke ? (t ) ? ? (t )ke ? ( t ) ? ? ( t )即?t?tduc (t ) ? uc (t ) ? e(t ) dt?t ?th ( t ) ? e ? (t )h (t ) ? e ? ( t )?t?tk ?11 或者 H ( p ) ? p ? 1? rzs ( t ) ? u c zs ( t ) ? e ( t ) ? h ( t )? (1 ? e )? (t ) ? e ? (t )?3 t?trzs (t ) ? e(t ) ? h(t ) ? [ ? (1 ? e0t?3?)e? ( t ?? )d? ]? (t )? [? e0t? ( t ?? )d? ??t0e e?t? 2?d ? ]? ( t )? e ?2? t ? [e e | ? e | ]? (t ) 0 0 2?t ? t?t1 ? t 1 ?3 t ? (1 ? e ? e )? (t ) 2 2所以全响应为：uc (t ) ? uczi (t ) ? uczs (t )1 ?t 1 ?3t ? 2e ? (t ) ? (1 ? e ? e )? (t ) 2 2?t若用经典法求解3 ?t 1 ?3t u c ( t ) ? e ? ( t ) ? (1 ? e ) ? ( t ) 2 21 ? t 1 ?3t ? u c ( t ) ? 2 e ? ( t ) ? (1 ? e ? e ) ? ( t ) 2 2 零输入响应 零状态响应?t3 ?t 1 ?3t ? e ? ( t ) ? (1 ? e )? (t ) 2 2自由响应受迫响应3 ?t 1 ?3t ? ( e ? e )? (t ) ? ? (t ) 2 2 稳态响应 暂态响应拉普拉斯变换法： 解：列写微分方程R ? 1??e(t )?i (t )C? 1 Fduc (t ) RC ? uc (t ) ? e(t ) dtuc (t)??代入元件值：R=1?, C=1Fduc (t ) ? uc (t ) ? e(t ) dt两端同时进行拉普拉斯变换：sU c ( s ) ? uc (0) ? U c ( s ) ? E ( s ) 1 1 ( s ? 1)U c ( s ) ? 2 ? ? s s?31 1 ? 2 2 2s ? 3 s s ? 3 U c ( s) ? ? ? ? s ?1 s ?1 ? s ? 1 s ( s ? 3 )( s ? 1 ) ??? ?零输入响应? ?? ? ?零状态响应1 1 ? ? 2 1 U c ( s) ? ? ? 2 ? 2 s ?1 2 s ? 3 s ?1? ??? ?? ?? ? ?零状态响应零输入响应?t1 1 ? 3t 1 ?t uc (t ) ? 2e ? (t ) ? ? (t ) ? e ? (t ) ? e ? (t ) 2 2 2 ?t uczi (t ) ? 2e ? (t ) 1 1 ? 3t 1 ?t uczs (t ) ? ? (t ) ? e ? (t ) ? e ? (t ) 2 2 21 ? t 1 ?3t ? u c ( t ) ? 2 e ? ( t ) ? (1 ? e ? e ) ? ( t ) 2 2 零输入响应 零状态响应?t3 ?t 1 ?3t ? e ? ( t ) ? (1 ? e )? (t ) 2 2自由响应受迫响应3 ?t 1 ?3t ? ( e ? e )? (t ) ? ? (t ) 2 2 稳态响应 暂态响应完全响应零输入响应零状态响应自然响应 暂态响应受迫响应 稳态响应例8：已知系统的微分方程为 y ??(t ) ? 5 y ?(t ) ? 6 y (t ) ? f ??(t ) ? 3 f ?(t ) ? 2 f (t ) ，?2 t ?3t e ?1 激励 f (t)=?(t)+e-t?(t), 系统的全响应为 y (t ) ? ( 4e ? 4 3 3 )? (t ) 。求零状态响应 yzs(t)、零输入响应yzi(t)。s 2 ? 3s ? 2 ( s ? 1)( s ? 2) s ? 1 解：系统函数为： H ( s) ? 2 ? ? s ? 5s ? 6 ( s ? 2)( s ? 3) s ? 31 1 2s ? 1 F (s) ? ? ? s s ? 1 s ( s ? 1)5 1 2s ? 1 3 Yzs ( s ) ? H ( s ) F ( s ) ? ? ? 3 s ( s ? 3) s s ? 3故有?1 5 ? yzs (t ) ? ? ? e ?3t ? ? (t ) ?3 3 ?yzi (t ) ? y (t ) ? y zs (t ) ? ? 4e ?2t ? 3e ?3t ? ? (t )例9：已知某系统当激励 f1(t)=?(t)时，全响应为 y1(t)=?(t)+e-t?(t) ; 当激励 f2 (t)=?(t) 时, 全响应为 y2(t)=3e-t?(t)。(1)求系统的冲激响应 h(t)与零输入响应 yzi(t)； 解：当 f1(t)=?(t)时： Y1 ( s ) ? H ( s ) ? Yzi ( s )1 ? H ( s ) ? Yzi ( s ) 即 s ?1 1 当 f2 (t)=?(t)时： Y2 ( s ) ? H ( s ) ? Yzi ( s ) s 3 1 ? H ( s ) ? Yzi ( s ) 即 s ?1 s s 2 H ( s ) ? , Y ( s ) ? (1)、(2)式联立解得： zi s ?1 s ?1 故系统的冲激响应： h(t ) ? ? (t ) ? e ? t ? (t ) 1??t 故系统的零输入响应： y zi (t ) ? 2e ? (t )(1)(2)（2）求当激励为如图所示的 f (t)时的全响应y(t)。 解：先求 f(t)的拉氏变换：1 0f (t )f (t ) ? t? (t ) ? (t ? 1)? (t ? 1) ? ? (t ? 1)F ( s) ?1 1 ?s 1 ?s ? 2e ? e 2 s s s1ts ? 1 1 ?s 1 ?s ? 1 1 ?s ?s (1 ? e ) ? e 故有 Yzs ( s ) ? H ( s ) F ( s ) ? ? ? e ? e ?? s ? 1 ? s2 s2 s ? s ( s ? 1) s ?1 1 1 1 ?s 1 1 ?s 1 ? (1 ? e ? s ) ? (1 ? e ? s ) ? e ? ? e ? s s ?1 s ?1 s s s ?1故零状态响应 全响应yzs (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ? e ? t ? (t )y (t ) ? yzs (t ) ? yzi (t ) ? ? (t ) ? ? (t ? 1) ? e? t ? (t )已知系统函数 H ( s ) ?1 ，求系统的零输入响应 yzi(t)、零状态响 2 s ? 3s ? 24 4 4 4 ? ? ? ( s 2 ? 3s ? 2)( s ? 2) s ? 1 ( s ? 2) 2 s ? 2?2t 应yzs(t)和全响应y(t)。设输入 f (t ) ? 4e ? (t ) , 初始值y(0-)=3，y?(0-)=4。解：(1)零状态响应为 Yzs ( s ) ? H ( s ) F ( s ) ??y zs (t ) ? (4 e ?t ? 4 t e ?2t ? 4 e ?2t )? (t )(2)零输入响应，由系统函数得微分方程为 y ??(t ) ? 3 y ? ? 2 y (t ) ? f (t ) 设输入为零，则对微分方程进行拉氏变换，有s 2Yzi ( s ) ? sy (0 ? ) ? y?(0 ? ) ? 3[ sYzi ( s ) ? y (0 ? )] ? 2Yzi ( s) ? 0( s 2 ? 3s ? 2)Yzi ( s ) ? 3s ? 13Yzi ( s ) ?3s ? 13 10 7 ? ? s 2 ? 3s ? 2 s ? 1 s ? 2? y zi (t ) ? (10 e ?t ? 7 e ?2t )? (t ) ?t ?2 t ?2 t (3)系统的全响应 y (t ) ? y zi (t ) ? y zs (t ) ? (14 e ? 4 t e ? 11e ) ? (t )练习：系统的系统函数为 H ( s) ?yzs(t)。(1) f (t ) ? 2? (t ) ? ? ?(t ) (2) f (t ) ? e ?t ? (t ) (3) f (t ) ? t e ?t ? (t )2 s?2 ，求它对下列每个输入的响应 s 2 ? 4s ? 4yzs (t ) ? 2? (t ) ? 2e?2t ? (t )yzs (t ) ? 2te ?2t ? (t )yzs (t ) ? 2[e? t ? e?2t ? te ?2t ]? (t )考虑下列系统:f (t )练习：h(t ) ? 2e ? t ? (t ) ? ? (t ) y (t )?t 令 f (t ) ? e，用拉普拉斯变换求出零状态响应 y(t)， ? (t ) 并用时域的卷积检验结果。y (t ) ? [ ?e ?t ? 2t e ?t ]? (t )5.10线性系统的模拟前面内容侧重讨论信号性能分析以及信号通过线性时不变系统的 基本求解方法(时域法和变换域方法)。从这节至第六章的内容转向 系统性能分析或系统设计初步原理。应用背景则着重控制工程。一、何谓系统的模拟 利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图 的方法称为系统模拟(或仿真)。 为什么要模拟？ ①建立数学模型（微分方程或差分方程）的系统分析，方法 在实际中只依赖这种方法是不行的，研究过程十分繁琐或不 得要领。 ②解决上述矛盾的方法之一：即利用基本的方框图组合建立 系统模型。系统的模拟是将系统分 解为若干基本单元，如 果熟知各单元性能， 将它们组合构成复杂系 统时，分析过程将得以 简化。 这种方法容易理解性能 特征的实质，系统分解 与互联的研究方法也 有助于从系统分析过渡 到系统设计（综合）。二、线性系统的模拟方法 1、模拟图用基本单元: ①加法器 加法器: x 1(t ) X 1( s ) x 2 (t ) X 2( s )?y (t ) Y (s)y (t ) ? x1( t ) ? x 2 ( t ) Y ( s ) ? X 1( s ) ? X 2 ( s ): ②乘法器 乘法器:x (t ) X (s)ay (t ) Y (s)y (t ) ? ax(t ) Y ( s) ? aX ( s )③初始条件为零的积分器x(t )y (t )X ( s)?t01 sY ( s)y (t ) ? ? x(? ) d?时域形式1 Y ( s) ? x( s) s 复频域形式初始条件不为零的积分器y (0) y (0) sx(t )?t0?y (t )X (s)1 s?y (0) X ( s) ? s sY ( s)y (t ) ? y (0) ? ? x(? )d?Y (s) ?2、一阶微分方程的模拟y '? a 0 y ? xy' ? x ? a0 yx?y'?? a0yX (s)?sY ( s )1 sY ( s)? a0以上模拟图都未计初始条件，故是零状态响应3、二阶系统的模拟y''?a1y'?a0y ? xx(t )y' '?y ' ' ? x ? a1 y '?a 0 yy'?? a1?y? a0由一、二阶系统的模拟可以推出n阶系统的模拟， 规则P 264页4、含有x的导数的二阶系统的模拟 y?? ? a1 y? ? a 0 y ? b1 x ? ? b0 x引入一辅助函数q, 使q满足方程（1 ） q?? ? a1q? ? a 0 q ? x (1) 则y满足（2）式 y ? b1q? ? b 0 q将(1)、 (2)代入原Xq??q??b1 q方程即可证明?a1? a0?b0?y以上讨论的框图是直接 根据系统的微分方程或 系统函数作出的，一般 称为直接模拟框图。5、并联模拟框图 一般n阶系统的方程为y(n) ?an ?1y(n?1) ?...?a1y'?a 0y ?bmx(m) ?...?b 1x'?b0x (m?n)bms m ? bm ? 1s m ?1 ? ...b1s ? b0 Y ( s ) 则 H ( s) ? n ? n ?1 s ? an ? 1s ? ...a1s ? a 0 X ( s) ( s ? z?)( s ? z ?)...( s ? zm ) ? bm ( s ? p1)( s ? p 2)...( s ? pn ) k1 k2 kn ? ? ? ... ? s ? p1 s ? p 2 s ? pn ? H 1( s ) ? H 2( s ) ? ? ? Hn( s )H 1( s )x( s )H 2( s )?Y ( s)n级一阶子系统的并联Hn ( s )将大系统分解为子系统 并联，调整 某一子系统的参数仅影 响该子系统 的极点或零点在 s平面上的位置，而 对其他子系统无影响。…6、级联模拟框图H ( s ) ? H 1( s ) H 2( s )...Hr ( s )X( s)H 1( s )H 2( s )...Hr ( s )Y( s)r级一阶或二阶子系统级 联1 例1：已知某连续系统的系统函数H ( s) ? 3 s ? 3s 2 ? 2s ? 1 试画出该系统的模拟框图。 Y ( s) 1 解： ? H ( s) ? ? 3 X ( s) s ? 3s 2 ? 2s ? 1 ? s 3Y ( s) ? 3s 2Y ( s) ? 2sY ( s) ? Y ( s) ? X ( s)s 3Y ( s) ? X ( s) ? s 2Y ( s) ? 2sY ( s) ? Y ( s)于是可得零状态下的系统模拟框图 3 s Y ( s) X sY ( s ) s 2Y ( s )Y (s)? ?? ? ?1 s1 s1 s?3?2 ?1例：某系统框图如下,已知 Y ( s ) ? X ( s ) ，求H 1 ( s)X (s)?H 1( s)s s ?2Y (s)1 s解： [ X ( s ) ? 1 Y ( s )]H ( s ) s ? Y ( s ) 1 s s?2s 2 s H1 ( s ) Y ( s) s?2 ? H ( s) ? ? ?1 s 1 s 2 ? 2s ? sH1 ( s ) X ( s ) 1 ? H1 ( s ) s?2 s H1 ( s )s?2 H 1 ( s) ? s ?15.11 信号流图前面介绍的方框法求取H ( s)，在系统较复杂时是比较麻烦的， 本节介绍“信号流图”法能简化H ( s )的求解过程。这种方法由 美国麻省理工学院的梅森于20世纪50年代初首先提出。一、基本概念 信号流图 ― ―用线图结构来描述线性方程组变量间的关系。例如一阶系统y?(t ) ? a 0 y (t ) ? x(t ) sY ( s ) ? X ( s ) ? a 0Y ( s )其信号流图表示如下：X (s)1sY ( s )1 sY ( s) 1Y ( s)? a0-常用术语：结点:表示信号变量的点 . 支路:表示信号变量间因果关系的有向线段 . 支路传输值:支路连接的变量 (结点)间的转移函数 入支路:流向结点的支路 出支路:流出结点的支路 源结点:仅有出支路的结点 ,通常表示输入信号 汇结点:仅有入支路的结点 闭环:闭合路径，如图 sY(s),Y(s)结点间为一闭环 自环:仅含有一条支路的闭环二、梅森公式[求H ( s )]Masan 公式为 H＝ 1 ??Gki jk?kH为总传输值。?＝1－? Li＋? LiLj ?i i，ji，j，k? L L Lk＋?? 称为信号流图的图行列式 Li 为第i个环的传输值； LiLj 为各个可能的互不接触的两环传输值的乘积； LiLjLk 为各个可能的互不接触的三环传输值的乘积；Gk为正向传输路径的传输值。?k为与传输值是 Gk 的第k种正向传输路径不接触部分的图的 ? 值例：将图a改为信号流图形式，并求系统的转移函数 H（s）＝ X ( s) G （ 1 s） G （ 3 s）Y (s)X（s）H （ 1 s）??X （ 1 s）?H（ 2 s）????X （ 3 s）H （ 3 s）??X（ 4 s）H（ 4 s）Y（s）G（ 2 s）X（ 2 s）G（ 4 s）? G1H1X1H2X2? G21X3?G3H4X41H3? G4L4L2L1环路增益L3L1 ? ? H 2G 2 L 2 ? ? H 3G 3 L 3 ? ? H 4G 4 L 4 ? ? H 2 H 3 H 4G 1L1L3 ? H 2G 3 H 4G 4两两不接触的环路增益乘积 L1L 2 ? H 2G 2 H 3G 3 三环及三环以上的互不接触的环路没有 ? ? 1 ? ? Li ? ? LiLj? 1 ? ( H 2G 2 ? H 3G 3 ? H 4G 4 ? H 2 H 3 H 4G1) ? ( H 2G 2 H 3G 3 ? H 2G 2 H 4G 4)前向通路只有一条 G1 ? H 1H 2 ? 1? H 3 ? H 4 ? 1 与前向通路不接触的环路不存在 ? ?1 ? 1 ? 0 ? 0 ? 1 由梅森公式得H1H2H3H4 H(s) ? 1? (H2G2 ? H3G3 ? H4G4 ? H2H3H4G1) ? (H2G2H3G3 ? H2G2H4G4)
F s ,则 第五章连续时间系统的复频域分析 第五章 连续时间系统的复 频域分析 西北工业大学 算机学院 计 陆艳洪 5.1 引言 傅里叶变换法的不足: 它一般...线性系统的拉普拉斯变换分析方法 基本步骤 1 画 t 0等效电路求初始状态 2 画 ...第五章连续时间系统的复频域分 找分量表示为各分量的叠加 找原则分解误差最小...信号与线性系统实验报告 2013 年 12 月 姓名:陈熙 学号: 实验五实验目的: 连续时间系统的复频域分析 1、掌握利用 Matlab 计算拉普拉斯正反变换的方法; 2...第8章 8.1 8.2 8.3 8.4 连续时间系统的复频域分析 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯逆变换 利用拉普拉斯变换分析电路及元件的 S 域模型 拉普拉斯变换是...Matlab讲义 连续时间系统的复频域分析_工学_高等教育_教育专区。Matlab讲义 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统的复频域分析一、 实验目的 1.深刻理解和掌握...北京理工大学信号与系统实验报告5 连续时间系统的复频域分析_信息与通信_工程科技_专业资料。实验 5 连续时间系统的复频域分析(综合型实验)一、实验目的 1)掌握拉普...第五章 连续时间系统的频域... 35页 2财富值 实验四 连续时间系统的复频.....第三章.连续时间系统的频域分析 第三章 连续时间系统的频域分析一、任意信号在...实验六 连续时间系统的复频域分析一、实验目的: 1、熟悉拉普拉斯变换的物理意义及基本性质。 2、掌握用拉普拉斯变换求解连续时间 LTI 系统的时域响应的方法。 3、...北京理工大学信号与系统实验 实验5 连续时间系统的复频域分析_天文/地理_自然科学...1/2 专题推荐 2014教师资格材料分析辅... 2014小学教师资格考试《... 2014年...连续时间LTI系统的复频域分析_信息与通信_工程科技_专业资料。数字信号处理 连续时间LTI系统的复频域分析实验六:连续时间 LTI 系统的复频域分析一、实验目的 1、掌握...
All rights reserved Powered by
copyright &copyright 。文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。