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高中数学学习：高一数学复合函数练习题
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篇一：高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A ?B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1)、已知f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域
思路：设函数f(x)的定义域为D，即x?D，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f?g(x)?的定义域。
例1. 设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。 解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u?(0，1)，所以f的作用范围为（0，1） 又f对lnx作用，作用范围不变，所以0?lnx?1 解得x?(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）
，则函数f?f(x)?的定义域为______________。 x?1
解析：先求f的作用范围，由f(x)?，知x??1
例2. 若函数f(x)?
即f的作用范围为?x?R|x??1?，又f对f(x)作用 所以f(x)?R且f(x)??1，即f?f(x)?中x应满足?
?即?1，解得x??1且x??2
故函数f?f(x)?的定义域为x?R|x??1且x??2 （2）、已知f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以x?E，E为f(x)的定义域。
例3. 已知f(3?2x)的定义域为x??1，2，则函数f(x)的定义域为_________。 解析：f(3?2x)的定义域为?1，2，即x??1，2，由此得3?2x??1，5 所以f的作用范围为?1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x??1，5
即函数f(x)的定义域为?1，5
例4. 已知f(x?4)?lg2，则函数f(x)的定义域为______________。
解析：先求f的作用范围，由f(x?4)?lg2，知2?0
解得x2?4?4，f的作用范围为(4，??)，又f对x作用，作用范围不变，所以
x?(4，??)，即f(x)的定义域为(4，??)
（3）、已知f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域
思路：设f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。
例5. 若函数f(2)的定义域为?1，1，则f(log2x)的定义域为____________。
解析：f(2)的定义域为?1，1，即x??1，1，由此得2??，2?
f的作用范围为?，2?
又f对log2x作用，所以log2x??，2?，解得x?
2即f(log2x)的定义域为
评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有&得来全不费功夫&的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习：
1、 已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数f(x)的定义域。
答案：[?1,1]
2、 已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。
答案：[?3,9]
3、 已知函数y?f(x?2)的定义域为(?1,0)，求f(|2x?1|)的定义域。
13(?,0)?(1,)
4、设f?x??lg
，则f???f??的定义域为（ ）
A. ??4,0???0,4? B. ??4,?1???1,4? C. ??2,?1???1,2? D. ??4,?2???2,4?
解：选C.由?0得，f(x)的定义域为?x|?2?x?2?。故?
，解得2?2.x
x???4,?1???1,4?。故f???f??的定义域为??4,?1???1,4?
5、已知函数f(x)的定义域为x?(?,)，求g(x)?f(ax)?f()(a?0)的定义域。
??ax?,??x?,???2?2a22a
［解析］由已知，有? ??
1x3a3????,???x?a.??2?2a2?2
（2）当?a，即0?a?1时，有???，
定义域为{x|??x?a}；
（3）当?a，即a?1时，有???，
定义域为{x|??x?.
故当a?1时，定义域为{x|??x?；
当0?a?1时，定义域为{x|??x?a}.
（1）当a?1时，定义域为{x|?
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数y?f(g(x)).若u?g(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y?f(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.
证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使a?x1?x2?b
因为u?g(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)?g(x2),记u1?g(x1),
u2?g(x2)即u1?u2,且u1,u2?(c,d)
因为函数y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)?f(u2),即
f(g(x1))?f(g(x2))，
故函数y?f(g(x))在区间(a,b）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
以上规律还可总结为：&同向得增，异向得减&或&同增异减&. （3）、复合函数y?f(g(x))的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；
ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：y?f(u)与u?g(x)。 ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y?f(g(x))为减函数。
（4）例题演练
例1、 求函数y?log1(x?2x?3)2
解：定义域 x?2x?3?0?x?3或x??1
单调减区间是(3,??)设x1,x2?(3,??)且x1?x2 则
y1?log1(x1?2x1?3) y2?log1(x2?2x2?3)
(x1?2x1?3)?(x2?2x2?3)=(x2?x1)(x2?x1?2)
∵x2?x1?3∴x2?x1?0 x2?x1?2?0 ∴(x1?2x1?3)&(x2?2x2?3) 又底数0?∴y2?y1?0即 y2?y1 ∴y在(3,??)2
同理可证：y在(??,?1)［例］2、讨论函数f(x)?loga(3x2?2x?1)的单调性. ［解］由3x2?2x?1?0得函数的定义域为
{x|x?1,或x??
则当a?1时，若x?1，∵u?3x2?2x?1为增函数，∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为增函数.
，∵u?3x2?2x?1为减函数. 3
∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为减函数。
)为减函数，若x??当0?a?1时，若x?1，则f(x)?loga(3x?2x?12
f(x)?log)为增函数. a(3x?2x?1
例3、.已知y=loga(2-a)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围. 解：∵a＞0且a&1
当a＞1时，函数t=2-a&0是减函数
由y=loga (2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是增函数， ∴a＞1
由x?［0，1］时，2-a?2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2
当0&a&1时，函数t=2-a&0x
由y=loga (2-a)在［0，1］上x的减函数，知y=logat是减函数， ∴x
篇二：高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A ［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知
?B，则y关于x函数的y=f
f(x)的定义域，求f?g(x)?的定义域
f(x)的定义域为D，即x?D，所以f
的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范
思路：设函数
围不变，所以g(x)?D，解得x?E，E为f例1. 设函数
?g(x)?的定义域。
f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
的作用范围为（0，1）
解析：函数
f(u)的定义域为（0，1）即u?(0，1)，所以f
又f对lnx作用，作用范围不变，所以0解得x
?(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）
，则函数f?f(x)?的定义域为______________。 x?1
例2. 若函数解析：由
，知x??1即f的作用范围为?x?R|x??1，又f对f(x)作用所以?x?1
f(x)?R且f(x)??1，即f?f(x)?中x应满足?x?R|x??1且x??2? ?
（2）、已知思路：设
f?g(x)?的定义域，求f(x)的定义域
f?g(x)?的定义域为D，即x?D，由此得g(x)?E，所以f的作用范围为E，又f对x
?E，E为f(x)的定义域。
作用，作用范围不变，所以x例3. 已知解析：即函数
f(3?2x)的定义域为x???1，2?，则函数f(x)的定义域为_________。
f(3?2x)的定义域为??1，2?，即x???1，2?，由此得3?2x???1，5?
f(x)的定义域为??1，5?
f(x)的定义域为______________。
例4. 已知f(x2?4)?lgx，则函数
解析：先求f的作用范围，由
f(x?4)?lg2?0f(x)的定义域为，知2
（3）、已知
f?g(x)?的定义域，求f?h(x)?的定义域
的作用范围为E，又f对h(x)
即x?D，由此得g(x)?E，ff?g(x)?的定义域为D，
作用，作用范围不变，所以h(x)
?E，解得x?F，F为f?h(x)?的定义域。
例5. 若函数
f(2x)的定义域为??1，1?，则f(log2x)的定义域为____________。
f(2x)的定义域为??1，1?，即x???1，1?，由此得2x??，2?
又f对log2x作用，所以log2x?，解得x?，2，2?????2??2?
的作用范围为
f(log2x)的定义域为
（二）同步练习：
f(x)[0,1]f(x)的定义域。答案：[?1,1] 1、 已知函数的定义域为，求函数
2、 已知函数f(3?2x)的定义域为[?3,3]，求f(x)的定义域。答案：[?3,9]
13(?,0)?(1,)
2 3、 已知函数y?f(x?2)的定义域为(?1,0)，求f(|2x?1|)的定义域。答案：2
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
y?f(g(x)).若u?g(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数
y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y?f(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.
证明：在区间(a,b）内任取两个数x1,x2，使a因为u即u1
?g(x)在区间(a,b）上是减函数，所以g(x1)?g(x2),记u1?g(x1), u2?g(x2)
?u2,且u1,u2?(c,d)
y?f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)?f(u2),即f(g(x1))?f(g(x2))，
因为函数故函数
y?f(g(x))在区间(a,b）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
以上规律还可总结为：&同向得增，异向得减&或&同增异减&. （3）、复合函数
y?f(g(x))的单调性判断步骤：
y?f(u)与u?g(x)。
ⅰ确定函数的定义域； ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
y?f(g(x))为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函
数），则复合后的函数
（4）例题演练 例1、 求函数
y?f(g(x))为减函数。
y?log1(x2?2x?3)2
解：定义域
x2?2x?3?0?x?3或x??1
。单调减区间是
x1,x2?(3,??)且x1?x2 则 y1?log1(x1?2x1?3) y2?log1(x2?2x2?3)
(x1?2x1?3)?(x2?2x2?3)=(x2?x1)(x2?x1?2)∵x2?x1?3∴x2?x1?0 x2?x1?2?0∴(x1?2x1?3)&(x22?2x2?3) 又底数0?
y2?y1?0即 y2?y1∴y在(3,??)y在(??,?1)［例］2、讨论函数［解］由3x2则当a若x当
f(x)?loga(3x2?2x?1)的单调性.
?2x?1?0得函数的定义域为{x|x?1,或x??
?1时，若x?1，∵u?3x2?2x?1为增函数，∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为增函数.
，∵u?3x2?2x?1为减函数.∴f(x)?loga(3x2?2x?1)为减函数。 3
0?a?1时，若x?1
f(x)?loag(3x2?2x?1)
为减函数，若
f(x)?loag(3x2?2x?1)为增函数.
（5）同步练习：
1．函数y＝log1（x－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－&，1） B．（2，＋&）C．（－&，2找出下列函数的单调区间. （1）
，＋&）答案：B
（2）y?2(a?1)；
答案：(1)在(??,
]上是增函数，在[,??)上是减函数。 22
（2）单调增区间是[?1,1]，减区间是[1,3]。 3、讨论
y?loga(ax?1),(a?0,且a?0)的单调性。
?1,时(0,??)为增函数，1?a?0时，(??,0)为增函数。
答案：a变式练习
一、选择题1．函数f（x）＝
的定义域是（ ）
A．（1，＋&） B．（2，＋&） C．（－&，2）
，2] D．(1
解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以?log(x－1)?0解得1＜x&2． 1
2．函数y＝log1（x－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－&，1） B．（2，＋&） C．（－&，
解析：先求函数定义域为（－o，1）&（2，＋&），令t（x）＝x＋3x＋2，函数t（x）在（－&，1）上单调递减，在（2，＋&）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log1（x－3x＋2）在
（2，＋&）上单调递减．答案：B3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则A．4
的值为（ ）
C．1或4 D．
错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有
1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log
满足2a（x＋1）
f（x）＞0，则a的取值范围为（ ）
） B．（0，
，＋&） D．（0，＋&）
解析：因为x&（－1，0），所以x＋1&（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜
（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A
5．函数y＝lg（A．y轴对称解析：y＝lg（为奇函数．答案：C二、填空题
－1）的图象关于（ 1－x
D．直线y＝x对称
B．x轴对称C．原点对称
21＋x1＋x1＋x－1）＝lg，所以为奇函数．形如y＝lg或y＝lg的函数都1－x1－x1－x1－x
已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．
解析：a＞0且a&1??（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0?a＜
（0＜x＜1）?a＜2，所以a&（1，2）． 答案：a&（1，2）
7．函数f（x）的图象与g（x）＝（为______．
）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）的单调递减区间3
解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝log1x
则f（2x－x）＝log1（2x－x），令?（x）＝2x－x＞0，解得0＜x＜2．
（x）＝2x－x在（0，1）上单调递增，则f［?（x）］在（0，1）上单调递减；
（x）＝2x－x在（1，2）上单调递减，则f［?（x）］在［1，2）上单调递增．
所以f（2x－x）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1）8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋&］上是增函数，且f（ 则不等式f（log4x）的解集是______．解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－
）＝0．又f（x）在［0，＋&］上是增函数，所
以f（x）在（－&，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0?log4x＞ 解得x＞2或0＜x＜ 三、解答题10．设函数f（x）＝
或log4x＜－
． 答案：x＞2或0＜x＜
3x＋53＋2x
（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；
（3）已知函数f（x）的反函数f（x），问函数y＝f（x）的图象与x轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．
篇三：高中数学必修一复合函数练习题
复合函数练习题
一． 解析式的求法
例 1、 f ( x) ??2 x ??1 ，求 f ( x ??1)
2. 待定系数法
例 2、二次函数 f ( x) 满足 f ( x ??3) ??f (1 ??x) ， f(x)?0 的两实根平方和为 10，且 x?图像过点(0,3) ，求 f ( x) 解析式。
例 3、 f(3x?1)?2x?1
3?4x，求 f ( x) 解析式。
例 4、 f (3x ?1) ??9 x2 ??6 x ??5 ，求 f ( x) 解析式。
5. 消元法（构造方程组法）
例 5、 f ( x) ???f (??x) ??x ?1 ，求 f ( x) 解析式。
二. 定义域、值域、单调性、最值练习
1) 若函数 f ( x ??1) 定义域为 (3, 4] ，则函数 f
的定义域为
2) 求下列函数 y=log4(x2－4x+3)的单调区间。
3) 求复合函数 y ??log3 (2 x ??x2) 的单调区间
4) f ( x) 是定义在 R 上的函数， f ( x) 满足 f ( x ??2) ????f ( x) ，当 x ?[0,2 ] 时， f ( x) ??2 x ??x 2 ，求 x
?[?2,0] 时 f ( x) 的解析式
求函数 ?1?y????3?x2?4x, x ??[0,5) 的值域。
?1??1?6) 求函数 y???????1 在 x ?????3, 2??上的值域。 ?4??2?
求函数?1?y????3?log3x2?4x?5的单调区间
【高一数学】相关内容2016考研数学函数考点之求分段函数的复合函数
来源：文都考研
　　在历年的考研数学中，函数的复习是重中之重，贯穿了整个数学复习过程。为了让同学们在复习时做到有的放矢，使复习效果事半功倍，下面作者根据历年真题中出现的题型，为大家列出了以下常考题型以有助于2016考研数学的复习。
(责任编辑：张婵)&
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