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下载：20积分2．2．1．随机变量与它的分布函数；1．随机变量的概念；随机变量?是定义在样本空间?上的实值集函数，它具；常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类；对于随机变量?以及任意实数x，称一元函数F(x)；由此可见，分布函数是定义域为(??,?)、值域为；(2)F(x)是一个单调不减函数，即当x1?x2；F(x1)?F(x2)；；(3)F(x)是右连续的，即
2．2．1．随机变量与它的分布函数 1．随机变量的概念 随机变量?是定义在样本空间?上的实值集函数，它具有取值的不确定性(随机性)和取值范围及相应概率的确定性(统计规律性)两大特征。特别是后一特征表明，对于任意实数x，事件{?≤x}都有确定的概率。 常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类。 2．分布函数与它的基本性质 对于随机变量?以及任意实数x，称一元函数 F(x)=P{?≤x } 为?的分布函数。 由此可见，分布函数是定义域为(??,?)、值域为[0，1]的实函数。其基本性质是： (1) 0?F(x)?1，对一切???x??成立； (2)F(x)是一个单调不减函数，即当x1?x2时，有 F(x1)?F(x2)； (3)F(x)是右连续的，即F(x +0)=F(x)； (4)F(??)?limF(x)?0,F(?)?limF(x)?1。 x???x??反之，具有这四条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。 若F(x)为随机变量?的分布函数，则对于任意的a，b(a<b)，有 P{a???b}?F(b)?F(a)。 这样，?落入任一区间的概率都可用分布函数来表达。从这个意义上讲，分布函数完整地描述了各类随机变量取值的统计规律。 例：随机变量X的分布函数F(x) 是随机变量｛X≤x｝的概率。 2．2．2．离散型随机变量及其分布 1．分布律与它的基本性质 若随机变量?的取值只能是有限个值或可列个值，则称?为离散型随机变量。 对离散型随机变量需要知道它取哪些值及其取值的概率。所有这些将由分布律来描述，随机变量?的分布律可表示为 i?1,2,3?. r．v．?~ P{??xi}?pi,分布律也可表示为 ? pi 分布律具有以下基本性质： x1 p1 ?x2 p2 ? ? xi pi ? ? (1)pi?0,i?1,2,3,?(非负性)；
(2)?pi?1 (规范性)。 i?1例：p11-7（重点）
2．常用的离散型分布 常用的离散型分布有两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布。 （1）两点分布 若随机变量?有分布律 P???xi??pi,i?1,
2，p1?p2?1。 则称?服从两点分布。特别地，如果只取0，1两个值时也称为0-1分布，其分布律为 P???k??pkq1?k,k?0，
1.0?p?1，q?1?p。 （2）二项分布 kkn?k若随机变量?分布律为P???k??Cnpq 其中k?0, 1, 2, ?, n.
n为自然数，则称?服从参数为n，p的二项分布。简记为r.v.?～B(n , p)。 注：若?i,i?1,2,?,n服从参数为p的0-1分布，则??随机变量。 n??i?1i就服从参数为n,p的二项分布。在解题中常用此方法分解（3）几何分布 在概率p一定的情况下，某事件首次发生的概率。（各事件是相互独立的） （4）超几何分布（n次不放回抽样） kn?kCMCN?M若随机变量?有分布律P???k??,k?0,1,2,?,n nCNb这里M≤N，n≤N，n，N，M为自然数，并规定b>a时，Ca?0。则称?服从以n，N，M为参数的超几何分布。简记为r.v.?~H(n,N,M)。 kn?kCMCNM?M?Cnkpk(1?p)n?k,注：若n 是一取定的自然数，且lim?p，则有limnN??N??CNNk?0,1,2,?,n。 即当N充分大时，随机变量?就近似服从二项分布B(n,p)。 （5）泊松分布 若随机变量?有分布律 P???k???kk!e??,k?0,1,2,?,??0为常数 则称?服从参数为?的泊松分布，简记为r.v.?~?(?)。 注：泊松分布的背景是与泊松定理分不开的，即 设?>0是一常数，n 是任意正整数，设npn??，则对于任一固定的非负整数k，有 ?ke??kkn?k。 limCnpn(1?pn)?n??k!故当n（n≥20）很大，p（p≤0.1）很小时(np<10)的二项分布可用下式近似计算： ?ke??kkn?kCnpn(1?pn)?,(??np) k!由此发现，在大量试验中稀有事件出现的次数常可用泊松分布来描述。 例1：设随机变量X服从参数为?(?>0)的泊松分布，且P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.1，则?=?(2) 例2：p16-29
3．分布律与分布函数的计算 （1）分布律已知时分布函数的求解 当分布律给定时，运用逐段求和可求得分布函数，即 F(x)?P{??x}??P{??xi}??pi。 xi?xxi?x可见，离散型场合下的分布函数是一个右连续的分段阶梯函数，在x?xi处有跳跃pi。 （2）分布函数已知时分布律的求解 当分布函数已知时，通过逐段求差可求得分布律。随机变量的取值即为分布函数的间断点xi，而取值的概率由下式给出： pi?P{??xi)?P{??xi)?P{??xi) ?F(xi)?F(xi?0),i?1,2,3,?. 综上所述，离散型随机变量的分布律和分布函数可以相互唯一确定。 为给定函数就能算出各种事件的概率，即对任意的俩实数x1，x2，有p｛x1< X≤x2｝=p{X≤x1}- p{X≤x2}=P{x2}-P{ x1} 例：p14-15
有关离散型随机变量分布函数的几个问题（p16-25、p16-30、p15-23、p13-3）
2．2．3．连续型随机变量及其概率密度（必考大题） 1．概率密度与它的基本性质 设对于随机变量?的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)，使得对任意的实数x，都有 F(x)?P{??x}??x??f(t)dt 成立,则称?为连续型随机变量，f(x)便是?的概率密度（或分布密度）。 概率密度具有如下基本性质： (1)f(x)?0
(非负性)；(2)????f(x)dx?1
(规范性)； (3)对任何实数c，有P{??c}?0；对任意的实数a，b(a<b)，有P{a???b}??baf(x)dx。 且只要区间的端点不变，?取值于开区间或闭区间或半开半闭区间的概率都是相等的。 （必考题型）：P书42例2
2．常用的连续型分布 常用的连续型分布有均匀分布、指数分布、正态分布等。 （1）均匀分布 若随机变量?取值在有限区间(a,b)上，其概率密度为 其它.其中b>a为常数。则称?服从区间(a,b)上的均匀分布，简记为r.v.?~U[a,b]。 均匀分布是等可能概型在连续情形下的推广。 （2）指数分布 ?1,?f(x)??b?a??0,a?x?b, ??e??x,x?0,若随机变量?的概率密度为f(x)?? x?0.?0,其中?>0为常数，则称?服从参数为?的指数分布，简记为r.v.?~E(?)。 服从指数分布的随机变量?具有“无记忆性”，即对任意的s,t>0，有P{??s?t??s}?P{??t} 例：p11-12
（3）正态分布 1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义 函数f(x)＝12πσ e－2x－μ2σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称f(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．标准正态分布的分布函数记作?(x)，即 ?(x)当出x?0时，?(x)??x??1edt2?， ?t22?(x)可查表得到；当x?0时，?(x)可由下面性质得到 ?(?x)?1??(x)． 2X~N(?,?)，则有设F(x)??(x???)；2P(a?X?b)??(b???)??(a???)． 六条性质 x－μ正态曲线φμ，σ(x)＝e－22σ2πσ1，x∈R有以下性质： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴围成的图形的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【示例】?已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为(
)． A．0.3%
B．0.23% 实录 同学甲 A 同学乙 B 同学丙 C 正解 依题意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%＝0.15%.故选D. 2C．1.5% D．0.15% 10，?中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(
)． 【】在正态分布N??9?A．0.097
B．0.046 C．0.03
D．0.002 6 1解析∵μ＝0，σ＝，∴P(x＜－1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 3例：p11-13设随机变量服从正态分布且二次方程无实根的概率为1/2，则 解： 例：p12-22 标准差允许的最大值为31
2．2．4．随机变量函数的分布（连续型的必考） 1.离散型随机变量函数的分布
2.连续型随机变量函数的分布（重点必考大题）
三亿文库包含各类专业文献、各类资格考试、应用写作文书、中学教育、高等教育、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、第二章 随机变量及其概率分布总结30等内容。　
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2014考研数学 概率论精讲2.4.常见连续型随机变量及其概率分布
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【2017年整理】概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布) 1习题 6（多维随机变量及联合分布）一．填空题1. 设随机变量 在 1，2，3，4 中随机取值，随机变量 在 1 到 中随机取整数值，则二维XYX随机变量 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为),(Y； ； .概率 .?)(YXP2. 若二维随机变量 的联合概率分布为 ，且 与 相互独立，),( 18.02.1baXY?XY则 ； .?a?b3. 设区域 ，二维随机变量 在 上服从均匀分布，则它的联合密度函1,?yxD： ),(YXD数 ； .),(yf ???1P4. 设 是二维相互独立的随机变量，且 ， ，则概率,YX)4,0(~UX)5(~eY. ???)12(P二．解答题1. 若随机变量 服从 的 分布， ，且 与 相互独立，求二维随X6.0p1?)5.0,2(~BYXY机变量 的联合概率分布及概率),(Y).(XP?22. 设 与 是相互独立的随机变量， ， .写出二维随机变量 的XY)1,0(~UX)2(~eY),(YX联合密度函数 ，并求 的二次方程 有实根的概率。),(yxft2??tt3. 若二维随机变量 的联合概率密度为 （1）求 值；),(YX????,0),(kxyf .,,其 它 xy?k（2）求两个边缘概率密度 及 ；（3）讨论随机变量 与 的相互独立性；（4）(xf)fYXY求概率 及)5.0(?P.1??3习题 7（多维随机变量函数的分布）一．填空题1. 若随机变量 的概率分布为 ，记 ， ，则X1.043.2021p?1??XY12?Z随机变量 与 的概率分布列分别为：YZ； .2. 若二维随机变量 的联合概率分布为 ，则随机变量),(YX 02.31..1?XY的概率分布列为 .YX?3. 若随机变量 的概率函数为 ，随机变量 ，且 与 相互独立，6.041PX?)5.0,2(~BYXY则随机变量 与 的概率函数分别为：Y?； .二．解答题1. 若随机变量 的概率密度为 求随机变量 概率密X??????,0)1(2)xxfX?.,??XYln?度函数 ).(yfY42. 若随机变量 ，记 ，求 的概率密度函数)1,0(~UXXeY?).(yfY3. 若随机变量 的概率密度为 求随机变量 及X????,02)(xfX.,1其 它 ?xXY??1的概率密度函数 及 .2Z?yfYzfZ4. 设二维随机变量 的联合概率密度为),(YX????,0(,21yxf ,)yxe??.,0,其 它 ?y求随机变量 的概率密度函数YXZ??).(zfZ5习题 8（随机变量的数字特征）一．填空题1. 若随机变量 的概率分布为 ，则 ；X1.03.102. 42P??)(XE； .??)13(E?)(D2. 若 的概率密度为 ，则 .)(,2????xexf ?)(D3. 若随机变量 的分布函数为 则数学期望 X?????,14/,0)(F,40???x?)(XE；方差 .?)(D4. 若随机变量 与 相互独立，且 ， ，则Y),(~?UX)(~eY； ； .?)(XE?)(E??XD5. 若相互独立的随机变量 与 满足 ， ， ，则1)(E2)(4)(?YD.?])[(2Y二．选择题1. 若随机变量 服从二项分布 则下列式子中正确的是（ ）.X),(pnB① ； ② ；E2)1(?? 14)2(??npXE③ ； ④ .1)(4?D )(D?2. 若随机变量 与 相互独立，且 ，则 （ ）.XY1)(?Y2Y① 20； ② 12； ③ 6； ④ 2.3. 若随机变量 服从区间 上的均匀分布，则 （ ）.)4,0( ?)(XeE① ； ② ； ③ ； ④ 2ee)1(4?e)14?6三．解答题1. 若随机变量 的概率密度为 X?????,0)(axf,2cxb.,10其 它 ?x且 ， ，求常数21)(?E1(D.2. 若二维随机变量 .在圆域 上服从均匀分布，求),(YX12??yxD：),,(E3. 在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量 （单位： ）是一个随机变量，且Xt.若每出口 1（ ）可得外汇 3 万元，如果销售不出去，每吨需要保养费)40,2(~UXt1 万元。问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？7习题 9（协方差，相关系数）一．填空题1. 若随机变量 服从区间 上的均匀分布 ，则 的 阶中心矩X)1,(?)1,(?UXk.?)(k?2. 若随机变量 与 满足 ，相关系数 ，则 XY3)(?YD21),(??YXR?)(YXD； .??)23(D3. 若随机变量 与 满足 ，则协方差 .)()(X??),cov(二．选择题1. 若随机变量 与 满足 ，则相关系数 （ ）XY21??),(YR① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.2. 随机变量 与 的协方差 是 与 相互独立的（ ）条件.0),cov(YX① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要.三．解答题1. 设二维随机变量 的联合分布列为 ，证明 与 不相关，),(YX8/1/10//?XYXY但 与 不相互独立。XY82. 盒子中装有标号为 1，2，2 的三只球，不放回随机取两次，每次取一球。用 与 分别表XY示第一、二两次取到球的号数，求相关系数 ).,(YXR3. 若二维随机变量 服从区域 .上的均匀分布，求),(YX1??yx ).,(YXR4. 若二维随机变量 的概率密度 ),(YX????,08),(xyf .,0,1其 它 xy?求相关系数 .,R
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