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波带片的亮点相当于点光源成的像。
当使用单色光入射时， 在f?/3， f?/5， f?/7等处也有亮点出现。即波带片有多个焦距，因而，与透镜成像的情况不同。对于给定的物点对应于不同的焦距，波带片可以给出多个像点。 波带片与普通透镜相比有自己的优点，例如：长焦距的普通物镜的设计与加工都是相当麻烦的。但不难制作长焦距的波带片，而且采用照相复制方法制造波带片比光学玻璃冷加工省事. 又如普通透镜无法将一个点光源成像为十字亮线。而方形波带片可以实现这一点。
起衍射聚焦作用的波带片和普通透镜相比，具有面积大，轻便，可折叠等优点。
特别适用于在远程通讯，测距以及航天技术中。波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好和玻璃透镜的焦距色差相反。二者配合使用有利于消除光学系统的色差。
波带片不仅给惠更斯—菲涅耳原理提供令人信服的证据，而且在声波、微波、红外和紫外线、X射线的成像技术方面开辟了新的方向。在近代全息照相术等方面也获得了重要应用。
原来的每一个半波带可以分为2个，此次波相互抵消，是暗点 原来的每一个半波带分为3个，其中2个的次波抵消，还剩余1个，为次亮点，即次焦点。 当波带片不变时，r0改变，会引起k的改变，即可划分的半波带数目改变。 r0减小，到r0/2时，k=2k，暗点； r0减小，到r0/3时，k=3k，亮点，次焦点； r0减小，到r0/4时，k=4k，暗点……
一系列次焦点
例题1：波长为6328?的平行光垂直照射直径为2.76mm的园孔，与孔相距1m处放一屏幕。试问：（1）屏上正对园孔中心的p点是亮点还是暗点？（2）要使p点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前和向后移动多少距离？ 解：1）根据菲涅耳圆孔衍射半波带公式求解，即有依题意，
，即有将题目给定的参数代入上式，得 半波带数为奇数，表明P点是亮点。
2).依题意,对
取微分,即有 即有令
＞ 0，说明光屏需后移
＜0，说明光屏需前移
。 补充：一般情形下的波带
将每一个半波带划分为两个，则相邻波带发出的次波在P点位相差为π/2，即第一个半波带中的第一个波带和第二个波带的位相分别为π/4和3π/4； 再将每一个进一步细分，第一个半波带中的四个波带的位相差为π/4，位相依此为π/16，5π/16，9π/16，13π/16，……。 可以将任何一个半波带进一步细分为n个，得到更多的波带，相邻波带间光程差为λ/2n，位相差为π/n。n很大时，位相差很小，用振幅矢量法，原来的每个半波带的波矢变为由n个小波矢组成的半圆。 M1 M2 E1 O E2 半波带的进一步划分 E1/2 E1 E2 E3 E4 E5 EM E6 E7 基线 图2
半波带的相幅矢量和它们的合成 M1 M2 E1 O E2 不是整数个半波带 如果最后一个不是整数个半波带，也可以得到合振动。 衍射现象： 圆孔衍射：屏上可见同心圆环。孔径改变，圆环中心明暗迅速交替变化；屏沿轴向移动，圆环中心明暗缓慢交替变化。
圆屏衍射：屏上可见同心圆环。屏直径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。
轴外点的衍射 对于轴外任意点Q的光强度，原则上也可以用同样的方法进行讨论。?? 方法： 先设想衍射屏不存在，以M0为中心，对于Q点作半波带； 然后再放上圆孔衍射屏，圆孔中心为O。 这时由于圆孔和波面对Q点的波带不同心，波带的露出部分如右图所示，图中为了清楚起见，把偶数带画上了斜线。 这些波带在Q点引起振动的振幅大小，不仅取决于波带的数目，还取决于每个波带露出部分的大小。 精确计算Q点的合成振动振幅是很复杂的，但可以预计，当Q点逐渐偏离P点时，有的地方衍射光会强些， 有些地方会弱些。
S P Q M0 O M2 M2 M1 M1 2、菲涅耳积分法
(一)、菲涅耳积分
(二)、几种菲涅耳衍射图形
1、直边衍射
2、单缝衍射
3*、矩孔衍射
带有矩形开口的光栏透射系数为：
(23) 在单位振幅平面波正入射时，有：
A(ξ, η)=T(ξ, η)
(一)、菲涅耳积分 (25) 右端两个积分的形式相似，都可以归结为菲涅耳积分：
将F(a)的实部和虚部分开，有：
F(a)=C(a)+jS(a)
(27) C(a)和
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一个波带片的工作波长λ=550nm，第8个半波带的直径为5mm，求此波带片的焦距。并求出离主焦点最近的两
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
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一个波带片的工作波长λ=550nm，第8个半波带的直径为5mm，求此波带片的焦距。并求出离主焦点最近的两个较弱的焦点到波带片的距离。请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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1如何制作一张满足以下要求的波带片： (1)在400nm紫光照明下，其主焦距为80cm； (2)主焦点的光强是自由传播时的103倍左右。请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！2平行单色光垂直入射到一光栅上，在满足dsinθ=3λ时，经光栅相邻两缝沿θ方向衍射的两束光的光程差是多少?经第1缝和第n缝衍射的两束光的光程差又是多少?这时通过任意两缝的光叠加是否都会加强?3衍射光栅的光谱级次m增高时，其谱线的半角宽也增大，即谱线也较宽。但m增高时，光栅的分辨本领却提高了，这里是否存在矛盾?请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！4某人在他眼睛前方握着一个竖直方向的单狭缝，通过此缝注视一遥远的光源，他看到的衍射图样是夫琅禾费衍射还是菲涅耳衍射?
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菲涅耳波带片成像时的像点分析
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波带片的焦距取决于波带片通光孔的半径,k&和.由于波带片的&焦聚和光波波长有密切的关系,色差大.由于波带片...五,菲涅耳直边衍射&迈干涉仪用的钠黄光观察,视场中心为亮点,此&外还能看到10个亮环.今移动一臂中的反射镜,发现...
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第二章 光的衍射 - 精品课程建设网 湖州师范学院
第二章 光的衍射主 要 内 容一、惠更斯――菲涅耳原理 二、菲涅耳半波带 三、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏） 四、夫琅和费单缝衍射五、夫琅和费圆孔衍射六、平面衍射光栅 七、晶体对X射线的衍射教学要求：1、了解光的衍射现象；2、深刻理解惠更斯―菲涅耳原理，并了解菲涅耳积分表达式； 3、掌握应用半波带法分析菲涅耳衍射；4、了解菲涅耳圆孔衍射和波带片的特点5、掌握夫琅和费单缝衍射的现象和光强公式、衍射的特点； 6、掌握光栅衍射的现象和光强公式、衍射特点；着重阐明光栅方程的导出及意义；7、了解夫琅和费圆孔衍射的现象及光强公式； 8、掌握典型光学仪器的分辨本领的表达和计算； 9、了解晶体光栅衍射现象。教学重点： 1、用半波带法分析菲涅耳圆孔和圆屏。 2、夫琅和费单缝衍射和光栅衍射的光强分布公式的推导 及衍射图样的分析。3、光栅方程的导出和物理意义。教学难点： 1、半波带法分析菲涅耳衍射。 2、衍射强度分布、光栅方程的物理意义。§2.11.惠更斯-菲涅耳原理屏幕 屏幕光的衍射现象阴 影缝较大时，光是直线传播的缝很小时，衍射现象明显光在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进,进入几何阴影区,并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象称 为光的衍射现象。2、惠更斯――菲涅耳原理（1）、惠更斯：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的 波源，各自发出球面次波，在以后时刻，所有这些次波波面 的包络面形成整个波在该时刻的新波面。不能解释干涉、衍射甚至还有倒退波的存在。（2）、菲涅耳对惠更斯原理的改进 波面上每个面元ds都可看成是 新的振动中心，它们又发出次波， 在空间某一点P的振动是所有这些 次波在该点的相干迭加 。面元所发次波的四个假设：（1）ds上各点所发次波有相同的初位相（可令 ? 0 ? 0 ） （2）E与r成反比，相当于表示次波是球面波。（3）E与ds成正比，且与 A?Q ? 有关，A?Q ?大，E大，系数 K (? ) （4）P点位相由△=nr决定? ? A(Q) K (? ) dE ( p ) ? C cos(?t ? kr)ds rC 比例常数K (? ) ?? ? A(Q) K (? ) E ( p) ? C ? cos( ?t ? kr )ds S r核心思想是：(1)子波相干叠加的思想1 ? cos ? 倾斜因子 2--不存在倒退波(2)解决衍射的问题，实质是一个积分问题。3. 衍射现象的分类 菲涅耳衍射 光源―障碍物―接收屏 距离有一个为有限远。 光源 障碍物观察屏接收屏衍射屏S?a*衍射 条纹夫琅和费衍射S光源―障碍物―接收屏 光源 距离都为无限远。 障碍物衍射屏 观察屏接收屏L?SL a衍射 条纹?*当观察屏从衍射屏开始往外移动时，刚开始出现几何阴 影，随后出现轴上明暗变化的菲涅耳衍射，再移动轴上总是 亮点，转变为夫琅和费衍射。思考题：1、什么位置处出现菲涅耳衍射？2、什么位置处出现夫琅和费衍射？3、菲涅耳衍射明暗位置如何确定？4、圆孔的大小对衍射的影响？5、圆孔大小多少能观察到衍射现象？ 6、其他方法如何分析菲涅耳衍射？ 7、如何用实验验证？ 8、如何应用计算机进行衍射模拟？§2.2 菲涅耳半波带一.以点光源为例说明惠――菲原理，确定S面对P点的作用。B0：P 点对 波面的极点B1 P ? B0 P ? B2 P ? B1 P ? ?? ? BK P ? Bk ?1 P ?这样分成的环带称菲涅耳半波带。?2二.合振幅的计算1. k 个波带所发次波到P点振幅Ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? (?1)?Sk ak ? K (? k ) rk球冠面积k ?1ak因相邻半波带位相差是?? ? A(Q) K (? ) 由 dE ( p) ? C cos(?t ? kr)ds r第k个半波带的面积R设A（Q）是近似常数Bk?krkS ? 2?R ? hROhk?hB0 r0?P? 2?R ? ( R ? R cos ? )ds ? 2?R 2 sin ?d?? 2?R 2 (1 ? cos ? )S由余弦定律 : rk2 ? R 2 ? ( R ? r0 ) 2 ? 2 R ( R ? r0 ) cos ? R 2 ? ( R ? r0 ) 2 ? rk2 cos ? ? 2 R ( R ? r0 ) ? 2rk drk ? sin ?d? ? 2 R ( R ? r0 ) rk drk sin ?d? ? R ( R ? r0 )OBk?krkRRhk?hB0 r0?Pds ? 2?R 2 sin ?d? rk drk 2 ? 2?R R( R ? r0 ) 2?Rrk drk ? R ? r0有Sds 2?Rdrk ? rk R ? r0∵rk ?? ?drk ??2看作相邻半波带间的差值 与 k 无关，为常数∴ ∴?S k ?R? ? ?C rk R ? r0ak ? K (? k )K (? k ) 随 k 增加，缓慢减小ak２．P点的合振幅随 k 增加，缓慢减小Ak ? a1 ? a2ei? ? a3ei 2? ? ? ? ak eik?? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? (?1) ak? ? (?1) k ?1akk ?1 nk ?1∵ak随k增加缓慢减小，∴相邻两个半波带所发次波所贡献振幅十分接近1 ∴ ak ? [ak ?1 ? ak ?1 ] 2k 为奇数：a3 a3 a5 ak ? 2 ak ak a1 a1 Ak ? ? ( ? a2 ? ) ? ( ? a4 ? ) ? ( ? ak ?1 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 2 21 ? (a1 ? ak ) 2k 为偶数：a3 a3 a5 ak ?1 a1 a1 Ak ? ? ( ? a2 ? ) ? ( ? a4 ? ) ? ? ? ? ak 2 2 2 2 2 21 ? (a1 ? ak ) 21 1 综上所述： Ak ? (a1 ? ak ) ? [a1 ? (?1) k ?1 ak ] 2 2k 为奇数取‘＋’， k用振动矢量叠加法为偶数取‘－’k为奇数k 为偶数说明：１．圆孔中露出半波带数目( k不是很大)1 k 为奇数， A ? (a1 ? ak ) ? a1 P为亮点 21 k 为偶数， A ? 2 (a1 ? ak ) ? 0P为暗点２．k?ak ? 0无障碍物（自由传播）a1 AP ? 2a1 IP ? 42三. 计算露出的半波带数目k2 Rhk ? rk2 ? (r0 ? h) 2 ? rk2 ? r02 ? 2r0 h ? h 2 ? rk2 ? r02 ? 2r0 h又：rk2 ? r02 ? [r0 ? k ]2 ? r02 ? kr0 ? 22 2 2 2 2Bk?又 Rhk ? R ? ( R ? h) ? rk ? (r0 ? h)?krkrk2 ? r02 k?r0 h? ? 2( R ? r0 ) 2( R ? r0 )ORRhk?hB0 r0?P2 2 k ? r r0 R 2 2 2 0 Rhk ? rk ? r0 ? 2r0 h ? k?r0 ? ?k ? 2( R ? r0 ) R ? r02 Rhk ( R ? r0 ) 1 1 1 1 , ? ? 2 ? ∴ k? ?r0 R R r0 Rhk f? k? 如为平行光照射 R ? ? ，则SRhk ? k?r0思考题：1、以上是通过完整的菲涅耳带数的情况，如不是整数个半波带，怎么办？把每一个半波带进一步划分，分割为m个更窄的环带！如何来分析？2、观察点P不在轴线上时，振幅如何计算？ 3、如何开展菲涅耳衍射实验并进行测量？
§2.3 、菲涅耳衍射（圆孔和圆屏）一. 圆孔衍射圆孔衍射的特点 （1）、Ak 取决于 k ，当? , R, Rhk一定时，k 取决于 r0,?r0小，k 大 即P的点位置 ? ?r0大，k 小k偶数时轴上点是暗点，奇数时是亮点。（2）、 k 不是整数，合振幅介于最大、最小之间。 a1 A? ? （3）、没有光阑 k ? ? 2
二、圆屏衍射圆屏足够小，只遮住中心带的一部分，则光看起来可 完全绕过它，除圆屏影子中心有点亮外没有其它影子。设圆屏遮蔽了开始的k个带。 a P点： A ? k ?1 2 可见，圆屏几何影子的中心永远有光，圆屏作用能使 点光源造成实象，像会聚透镜一样。三、菲涅耳波带片 三.菲涅耳波带片 1、菲涅耳波带片：只让奇数或偶 半波带透光Ak ? ?? a2k或 Ak ? ? a2k ?1kk2、制作方法：先在白纸上画出半径正比于序数k的平方根的一组同心 圆，然后用照相机进行两次的拍摄和缩小底片即为波带片。r0 R R ?k ? R ? r02 hk如为平行光照射R ? ? ，则 Rhk ? k?r0奇数带为开带偶数带为开带条形波带片方形波带片3、从菲涅耳波带片的原理分析可知，波带片能使点光 源成一实象，故波带片有类似于透镜成像的功用。1 1 1 1 ? ? 2 ? Rhk R r0 f? ( ) k?从上式可以看出其物距和像距所遵从的关系和透镜的物象2 Rhk 公式相仿，因而 k?可以看作波带片的焦距，与2 Rh 1 ? f ? 透镜不同的是，波带片具有多焦距。将 k?看作主焦距，则波带片还存在 f ? / 3、f ? / 5、f ? / 7 等焦距。f? f? f? 、 、 波带片相邻到某点距离相差 的那个点，而 3 5 7 2等焦距则分别对应于用单色平面光垂直入射时，对称光轴上波带片相邻到某点距离相差主焦距对应于用单色平面光垂直入射时，对称光轴上?点。3? 5? 7? 、 、 2 2 2的那些波带片的多焦距，使得对于给定的物点，对应于不同的焦距，波带片可以给出多个像点。4、菲涅耳波带片与普通透镜相比存在众多优点：（1）、不具有普通透镜的球差和慧差等像差；（2）、长焦距的波带片容易制作，而长焦距的普通透镜的设计、加工都相当麻烦；（3）、波带片面积大、轻便、可折叠，特别适用于远程光通讯、测距以及宇航技术之中；（4）、可制作用于微波、红外、x射线等波段的波带片，为不可见光的成像提供了新的途径。（5）、波带片的焦距随波长的增加而缩短，正好与玻璃透镜的焦距色差相反，两者配合使用有利于消除光学系统的色差。5、波带片虽象普通透镜一样可以成像，但两者的成像原 理却是不同的，其主要区别如下：波 带 片（1）、利用光的衍射原理成 像 （2）、从物点向各个方向发 出的光波在像点同位相相干 叠加 （3）、除零级衍射光外，还 同时生成一系列实像和虚像 （4）、焦距与入射光波长成 反比 成像普通透镜（1）、利用光的折射原理（2）、从物点到像点的各光线之光程相等（3）、物点和像点一一对 应，不可能同时生成实像和 虚像 （4）、焦距约随入射光波 长平方而变6、缺点：（1） f ? 与 ? 有关，色差很大。激光的出现使波 片的应用成为可能； （2）除 f ? 多个焦距的存在， 对给定物点，波片可给出多个象点。思考题： 1、如何应用照相法或计算机制作各种类型的菲涅耳波1 1 外，尚有 f ?, f ?? 3 5带片？2、如何进行实验验证？波带片由哪些应用？菲涅耳直边衍射的矢量分析：四、直线传播和衍射的关系即使是直线传播，也要按惠――菲原理的方式进行，此原理主要指同一波面上所有点所发次波在某一给定观察点的相干迭加。衍射现象是光的波动特性最基本的表现，直 线传播不过是衍射现象的极限表现而已。直线传播：波面完全不遮蔽，所有次波在任何观察点迭加的结果。 衍射现象：波面的某些部分被遮蔽，迭加时缺少这些部 分次波的参加，于是便有明暗条纹花样的衍射现象。 衍射现象是否显著，则和障碍物的线度及观察的距离有关。§2.4 、夫琅和费单缝衍射 一、实验装置及原理 衍射图样的特点： ①单色：a.中央特亮，两 侧亮暗交替分布。 b.两侧亮条纹等宽，中央 亮条纹宽度为其它亮条纹 的2倍。 ②白色：中央特亮，其余 呈彩色分布。
二、光强公式（透镜成象时，透镜不增加附加光程差）将波前BB’分割成许多等宽窄带dx初位相?0 ? 0整个狭缝所发次波振幅 宽度dx窄带所发次波振幅A0A0 dx bb狭缝宽度M点窄带所发次波的振动 dE0 ?A0 dx cos ?t b衍射角 ? MP ? MN ? NP ? r ? x sin ? ? r 'M点窄带所发次波传到P点引起P点振动A0 dx dE ? cos[ k ( x sin ? ? r ' ) ? ?t ] b复振幅： dA ?A0 dx ik ( x sin? ? r ') e bA0 ikr ' b ikx sin? AP? ? ? dA ? e ? e dx 0 b ?b sin ? sin( ) ?b sin? 2? i( ? r ') ? ? ? ? A0e ?b sin ??b sin ? sin ( ) * 2 ? I P? ? AP? AP? ? A0 ?b sin ? 2 ( ) ? 2 ?b sin ? ?? 2 sin u u? ? I o ? A0 I P ? I0 2 ? 2 u2?令
三、光强分布2 dI d sin u 2 2 2 sin u (u cos u ? sin u ) ? A0 ( 2 ) ? A0 ?0 3 du du u u极值的条件：sin u ? 0u ? tgu1）、单缝衍射中央最大值位置?? ?b sin ? sin u ? sin( ) ? sin( )?0 2 ?sin ? ? 0 ? ? 0求极值sin u lim ?1 2 ? ?0 u2I max? ?0? I0在屏幕中央，各光束同相位，相干叠加后产生极大 光强.2）、单缝衍射最小值位置?b 由 sin u ? sin( sin ? ) ? 0 ? ?b (k ? ?1,?2,?) sin ? ? k? ? ? b sin ? ? k? ? 2k 2由： u ? tgu 而极大（零级）： u ? 03）、次最大值位置两相邻最小值之间有一最大sin ? ? 0次最大值位置：3 u1 ? ?1.43? ? ? ? 2 5 u 2 ? ?2.46? ? ? ? 2b sin ? ? (2k ? 1)A12 ? 0.0472 A02A ? 0.0165 A2 2 2 0?2A?Bx PxIb?
四、衍射花样特点1)、中央最大，光强最大，各级光强不等。 2)、中央亮纹角度宽度（很小）。 中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零极（或中央）明 条纹。b sin ?1 ? ??1 ??b2?1 ? 2?b2? 即 ?? 0 ? 2?? ? b线宽： ?l2? ? 2. f 2??? ? f 2? ? b其他亮纹角宽： ??k? ? ? ? k ? (k ? 1) ? b b b3)、暗条纹等间距，次最大不等，K高，逐渐趁于等间距。 4)、入射白光，则中央亮斑仍为白，其它各级为彩色。 5）、衍射反比律 ?? ??b缝越窄（b 越小）， ?就越大, 衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是透镜 所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。结论几何光学是 波动光学在 b ?? ? 时的极限情况。干涉和衍射的联系与区别 ：从本质上讲，干涉和衍射都是波的相干叠加。只是干涉指的是有限多个分立光束的相 干叠加，衍射指的是无限多个子波的相干叠加， 而二者又常常同时出现在同一现象中。
单缝增大时，条纹变密单缝减小时，条纹变疏
单缝位置对光强分布的影响单缝上下移动， 条纹位置如何？条纹位置不变。因为衍射角相同的光 线，会聚在接收屏的 相同位置上。?bO思考题：衍射屏为平行等宽双狭 缝，每一个缝的衍射图样、位置 一样吗？衍射合光强如何？?bOI0 例题1:当单缝衍射的光强 I ? 2时? 半2?？2解由I0 sin u ? I0 , 2 2 u2y ? 2 sin u ? u ,作图法解这超越方程u ? 1.3916, ? b sin ?半 ?1 1.3916? ). u? ? 1.3916,?半 ? sin ( ?b ?得? 半 为中央极大半强点对应的衍射角.clearu=-pi:0.01*pi: y1=u.^2; y2=2*sin(u).^2; plot(u,y1,'b') hold on plot(u,y2,'r') xlabel('u') ylabel('y') yy=inline('2*sin(u).^2-u.^2','u');[u,foval,exitflag,output]=fzero(y y,pi/2)%[u,foval,exitflag,output]=fzero (yy,-pi/2) 返回例题2:波长为5460 A的平行光垂直照射在b=0.437mm的单缝上，0缝后有焦距为40cm的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的宽度。解： b sin ? ? ?sin ? ? ? ??b?DL ? 2 x ? 2 D ? tg?2? D ? 2 D? ? b2 ? 5.460 ?10 ?7 ? 0.40 ?3 ? ? 1 . 0 ? 10 m ?3 0.437 ?10例题3 :已知a ? 0.6mm, f ? ? 40cm, 平行光垂直照射单缝，? ? 6 ?10 ?5 cm。op ? 1.4mm处为黄色条纹，见图：求：（ 1 ）狭缝处的波阵面可分为几个半波带？ （2）P处的亮纹的级数？解： （ 1 ）P处为亮纹。按明纹公式 a sin ? ? (2k ? 1)?2sin ? ? tan ? op ? ?a ? ? (2k ? 1) f? 2 半波带数 2a ? op 2k ? 1 ? f ??? 2 ? 0.06cm ? 0.14cm 2k ? 1 ? ?7 ?5 40cm ? 6 ? 10 cm(2)亮纹级数 7 ?1 k? ?3 2思考题：1、应用单缝衍射可以测量和观察哪些物理量？ 2、对于单丝衍射，衍射公式如何？衍射结果如何？ 3、平行光斜入射，衍射结果如何？衍射公式如何？ 4、单缝、单丝大小应是多少？（考虑人眼分辩率） 5、钠光平行光入射，不加透镜，观察屏从衍射屏向 外移动，衍射条纹如何变化？§2.５ 、夫琅和费圆孔衍射一、实验装置S*D中央是一个明亮的圆斑，外围是 一组同心的明暗相间的圆环。 二、光强分布模似
三、光强分布公式 圆孔衍射在屏上任一点的光强k ?1 1 m 2 k ?1 2 2 I ? A0 ? {( ?1) [ ]} k (k ? 1)! k ?1 ?R sin ? m? ，R为圆孔半径。?用一阶贝塞耳函数符号表示，则I ? A02J (2 12?R sin ?? ?R sin ? 2 ( ) ?)2 2 J ( 2 m ) J 2 1 1 ( 2 m) ? A0 ? I0 2 m m2J 1为一阶贝塞耳函数符号由上式可得光强各极值对应位置:?光强为最大值I 0，对应于 sin ? 0 ? 0位置 ? ? ? ? ? ? ?sin ?1 ? 0.610 R ? ? ? ? ? ?光强为最小值0，对应位置于?sin ? 2 ? 1.116 R ? ? ? ? ? ?sin ? 3 ? 1.619 ? ? R ? I ?? ? ?? ? ? ? ? 0 . 0175 I ，对应于 sin ? ? 0 . 819 位置 ? 0 10 ? R ? ? ? ? ? 0 . 0042 I ，对应于 sin ? ? 1 . 333 位置 ?光强为次最大值? 0 20 R ? ? ? ? ? 0 . 0016 I ，对应于 sin ? ? 1 . 847 位置 ? 0 30 ? R ? ? ? ? ?? ?I/I0 10.01750.00420.00160? 0.610 R0.819? 1.116 R ?R1.333? 1.619 R ?Rsin ?? R1.814与单缝情形类似，圆孔衍射场中的绝大部分能量也集中在零级衍射斑内。圆孔的零级衍射斑内。圆孔的零级衍射斑称为爱里斑，其中心是几何光学象点。衍射光角分布的弥 散程度可用爱里斑的大小，即第一暗环的角半径Δ θ 来衡 量。0.61? 1.22? ?? ? ?1 ? ? R D是圆孔直径，以上便是圆孔衍射的反比其中 D ? 2R关系。四、衍射特点1）衍射花样是一组同心的明暗圆环 2）爱里斑（S.G.Airy,）：中央亮斑称为爱里 斑，它的光强是整个入射光束光强的84％，它的半角宽度 为（等于第一级最小值的角位置）衍射屏 L 观察屏??1中央亮斑 (爱里斑)圆孔孔径为Df??1 ? sin ?1 ? 0.610?R? 1.22?D衍射屏L中央亮斑 （爱里斑）I/ I 0 1.22???D sin?0爱里斑圆孔孔径 为 Df爱里斑线半径衍射屏 L 观察屏??1中央亮斑 (爱里斑)圆孔孔径为Df?l ? f ? tg?1 ? 1.22?Df圆孔衍射 光强分布I1.116R?爱里斑00.610R?1.619R?sin θ由第一暗环围成的光斑，占整 个入射光束总光强的84%，称为 爱里斑。§2.6 、平面衍射光栅衍射光栅：由大量等间距、等宽度的平行狭缝 所组成的 光学元件。 用于透射光衍射的叫透射光栅。 用于反射光衍射的叫反射光栅。b adba缝的宽度 不透明部分的宽度光栅常数： d? a?b广义地说，具有周期性空间结构和光学性能（透射率，反射率和折射率等）的衍射屏，统称为光栅. 种类： 透射光栅， 反射光栅 平面光栅， 凹面光栅振幅型，相位型黑白光栅， 正弦光栅一维光栅， 二维光栅， 三维光栅光栅的主要用途是作分光元件，此外，也可作长度测量和角度测量（计量光栅）。普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm，用电子束刻制可达数万/mm(d? 10 ?1μm )。sa+bP1 P透射光栅的实验装置定性分析衍射花样：单缝衍射（每个缝的衍射花样完全重叠） 多缝干涉 受单缝衍射调制的N束光的干涉一、光栅衍射的光强分布 每一个缝出来的光强为2 I0 ? A0多缝干涉：Ap11 sin( N?? ) 2 ? A0 1 sin( ?? ) 2相邻两缝对应点到达P点的光的位相差?? ?2????2??d sin ?单缝衍射：I p1?d sin ? sin ( N ) ?b sin ? sin( ) ? ? I0 ? A ? A 2 ?d sin ? p2 0 sin ( ) ?b sin ? ? ( ) ?2因此P点的合振幅是：? ?b sin ? ? ? ?d sin ? ? sin ? ? sin N ? ? ? ? ? ? ? ? A p ? A0 ?b sin ? ?d sin ? sin( ) sin u sin N? ? A0 u sin ? ?b sin ? ?d sin ? u? ??????u的物理意义是：单缝两端?方向两束光对应的 位相差的一半。?的物理意义是：相邻两单缝对应点?方向两束 光对应的位相差的一半。 P点的光强分布：sin u sin N? Ip ? A ? A 2 2 u sin ? sin u 2 sin N? 2 ? I0 ( ) ( ) u sin ?2 2 2 p 2 0? ?b sin ? ? 2 ? ?d sin ? ? sin ? ? sin ? N ? ? ? ? ? 2 ? ? I P ? A0 2 2 ? ?d sin ? ? ? ?b sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2单缝衍射因子多缝干涉因子光栅衍射图样是多缝干涉光强分布受单缝衍射 光强分布调制的结果。综合： 如果只有衍射：I1 I 2-2-1如果只有干涉：干涉、衍射均有之：I缺 级-2缺 级2-5 -4-2 -11245I单I0 单-2-1 I0N2I0单1N=4 d = 4b单缝衍射 轮廓线2sin? (? /b)光栅衍射 光强曲线-8-4048sin? (? /d )?? sin u 2 2?d sin ? ?b sin ? I P ? 4 A cos ( ) , ?? ? ,u ? 双缝衍射： 2 u ? ?2 0 2N=2-150 -100 -50 0 50 100 150 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 504 3 2 1 0 -50-40-30-20-1001020304050?? sin u 2 2?d sin ? ?b sin ? 双缝衍射：I P ? 4 A cos ( ) , ?? ? ,u ? 2 u ? ?2 0 2
N=6-150 -100 -50 0 50 100 150 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040 30 20 10 0 -50-40-30-20-1001020304050思考题：矩孔的夫琅和费衍射光强分布公式及衍射图样如何 得到？ sin ? 2 sin ? 2 I ? I0 ( ) ( )????? ??a sin ? ??b sin ? ?
二．干涉和衍射的区别和联系一般，干涉和衍射同时存在，它们的本质都是波的相干迭加 区别干涉：若干光束的相干迭加，其光强分布，间距均匀， 极大光强相等。衍射：无穷多次波的相干迭加，光强分布相对集中。从物理上看，处理方法都是从位相差着手。 从数学上，干涉是有限求和，衍射是无限积分。三、光栅方程 (grating equation、缝间干涉主极大的位 置) sin u 2 sin N? 2 平行光垂直入射时： I p ? I0 ( ) ( )usin ?d sin ? ? j? , ( j ? 0,?1,?2,?3?)平行光倾斜（?0）入射时：0d (sin ? ? sin ? ) ? j? , ( j ? 0,?1,?2?) 如何证明？2 sin u 2 I P ? I0 N 2 u?与?0在法线同侧时取?＋?； ?与?0在法线异侧时取?－?。四、谱线的缺级缺级:由于单缝衍射的影响，在应该出现干涉极大（亮纹）的地方，不再出现亮纹缺级时衍射角同时满足：单缝衍射极小条件 b sin?= k? 即： 缝间光束干涉极大条件: dsin?= j?d j?k bj 就是所缺的级次(k ? ?1,?2,?3,?)j d ? ? 3, j ? 3k , k ? 1,2,3,? k bj d ? ? 3, j ? 3k , k ? 1,2,3,? k b例：d ? 2bj ? ?2,?4,?6?j ? ?3,?6,?9?光栅衍射 第三级极 大值位置级数谱线消失 级数谱线消失d ? 3b单缝衍射 第一级极 小值位置缺级五．光栅衍射的最小值和次极大值1、最小值在光栅衍射图样中，暗纹的位置取决于 sin N? ? 0??m ? Nm (m ? 0,? N ,?2 N , ?) d sin θ ? λ, NNβ等于π的整数倍，而β却不是π的整数倍。则， sinNβ=0 ，sinβ≠0根据光强分布公式,这时N条狭缝之间 发生相消干涉。 2、次极大值 由于m是满足上式条件的整数，因此在相邻的主极强之间有 N-1条暗纹；又由于相邻两暗纹之间有一个次极强，故在相邻的主极之间共有N-2个次极强。六、谱线半角宽度? ?? ??Nd ? cos ???NdNdjm jN ?1 1 ? ? j? N N N??谱线愈窄，锐度越好七. 光栅光谱1.光栅的分光原理 白光光源照明，我们所看到的衍射图样中将有几套不 同颜色的亮线，它们各自对应一定的波长。每一波长对应 某级的一条亮线称作谱线，各种波长的同级谱线集合构成了光源的一套光谱。不同波长谱线间的距离，随着光谱线数的增高而增大。如果光源发出的是白光，则光栅光谱中除零级仍近似为一条白色亮线外，其它级各色主极强亮线都排列成连续的光谱带。由光栅方程dsinθ = kλ可知，当光栅常量d一定时，同一级谱线对应的衍射角θ随着波长λ的增长而增大。如果入射光里包含几种不同波长λ，λ+Δλ，… 的光，则经光栅衍射后除零级外各级主极强位置都不同，彼此分开，这就是所谓的色 散现象。复色光如果有几种单色光同时投射在光栅上，在屏上将出现光 栅光谱。屏?0 x f中央主极大（零级谱）仍为白 色，无色散，其余各级光谱对 称地分列两旁。 由光栅方程可得其重叠条件为：j? ? j ?1 1 22-3级(白 )3级-2级-1级0级1级2级2．光栅光谱仪 1）角色散本领 光栅的角色散本领（angular dispersion power）D 定义为：在同级光谱中，单位波长间隔的两条谱线散开 的角度大小。光栅的角色散本领是光栅性能的标志之一， 它表征对于一定波长差δλ的两条谱线，所对应的衍射 角的差别有多大。为了得到它的具体表达式，只需对光 栅方程 求微分，即得 d sin ? ? k??? k D? ? ?? dcos? k由此可见，光栅的角色散本领D与光栅常量d成反比。 光栅常量d越小，即单位长度内的狭缝数越多。光栅的角色 散本领D就越大，谱线散得越开。同时，光栅的角色散本领 D还与光谱级数k成正比，即级次高的光谱有较大的角色散 本领D。 2）色分辨本领 角色散本领D只反映谱线（主极强）中心分离的程度，它 不能说明两条谱线是否重叠或能分辨。显然，为了能够分辨 波长很接近的谱线，应该要求每条谱线都很细，即谱线的半 角宽度必须很小。为了表征光栅分辨相邻两条谱线的能力， 作为光栅性能的另一个标志，我们定义光栅的角分辨本领 （chromatic resoving power）R为恰能分辨的两条谱线的 平均波长λ与它们的波长差δλ之比，即 ? R ? 根据瑞利判据，要使波长为λ的第k级谱线，能够与其相邻的 波长为λ+δλ的第k级谱线分辨清楚的极限是：??波长为λ的第k级主极强外侧第一条暗线，刚好与波长为 λ+δλ的第k级主极强中心重合，即相应于波长差δλ 的谱线的衍射角之差δθ等于第K级主极强的半角宽度 Δθ 。? ? ?? ? ? R? ? ? ?D ?D ?? ?? ?? ?? ??k ? （ ）Ndcos? k ? kN dcos? k应用到：?? ??Nd ? cos ? k即光栅的色分辨本领R与光栅的狭缝总数N以及光谱级次k成 正比，而与光栅常量d无关。N越大，k越高，光栅能分辨的 δλ就越小。λ 的k级主极大d sin ? ? k?λ +δ λ 的k级主极大对应的 k ? ? Nk ? 1 的k ??? ? ??? d sin ? ? N?? ? ?? ?暗纹,k Nk ? 1 k 1 由图 ? ? ? ? (? ? ??) ? ( ? )(? ? ??) d Nd d Nd得? R? ? Nk ? 1 ? Nk， (k ? 0) ??八、闪耀光栅（反射光栅）光栅方程：例题1、波长为5000A和5200A的两种单色光同时垂直入 射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅后用焦距 为2米的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三 级谱线之间的距离。 x2 解：d sin ? ? (a ? b) sin ? ? k? x13?1 sin ?1 ? a?b3?2 sin ? 2 ? a?b?1fx1 ? f ? tg?1x2 ? f ? tg? 2sin ? ? tg?3?2 3?1 ?x ? f (tg? 2 ? tg?1 ) ? f ( ? ) ? 0.006 m a?b a?b例题2、用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光谱线 （?=5900A）问：（1）光线垂直入射；（2）光线 以入射角30°入射时，最多能看到几级条纹？解： （1）d sin ? ? (a ? b) sin ? ? k?sin ?sin ? ? 1 (? ? 90?)?3k?a?b?k最大1?10 ?6 a?b ? ? 2 ?10 m 5002 ?10 k? ? ? 3.39 ?10 ? 5900 ?10a?b?6取 k =3（ 2）(a ? b)(sin ? ? sin ? ) ? k?同侧??k?(a ? b)(sin ? ? sin ? )?k最大sin ? ? 1 (? ? 90?)2 ?10?6 ? (sin 30? ? 1) k? ? 5.08 ? 5 ?10 5900 ?10异侧k?(a ? b)(sin ? ? sin ? )?? 1.69 取 k =1例题3、用波长为?=6000A的单色光垂直照射光栅，观 察到第二级、第三级明纹分别出现在sin?=0.20和 sin?=0.30处，第四级缺级。计算（1）光栅常数；（2） 狭缝的最小宽度；（3）列出全部条纹的级数。解（1）d sin ?? (a ? b) sin ? ? ?k?2 ?
k? ?6 ? ? 6 ?10 m ( a ? b) ? 0.2 sin ? ( a ? b) ?6 b ? ? 1 . 5 ? 10 m （2） 4 ?66 ?10 ?1 ? 10 （3） k ? sin ? ? ?7 6 ?10 ? k ? 0 , ? 1, ? 2 , ? 3 , ? 5 , ? 6 , ? 7 , ? 9a?b例4.已知：钠黄光? ? 5893 A ，垂直照射光栅每毫米有500条刻痕。 求：（ 1 ）第一级和第三级明纹衍射角各是多少？ （2）屏幕上能看到几条明纹？0解： (1)由光栅方程 d ? sin ? ? ? k? 10 ?3 d ? m ? 2 ? 10 ? 6 m 500 k ? 1, sin ?1 ? ??d? ?0.2947?1 ? ?17 08?3? K ? 3, sin ? 3 ? ? ? ?0.8840 d ? 3 ? ?62 08?(2)屏幕上最大的衍射角 ? k ? ?90 ,0d ? sin ? k ? ? k? 2 ? 10 ?6 ?k ? ? ? 3.4 ?10 ? 5893 ? 10 K取整数k ? 3, 则明纹总数 d 2k ? 1 ? 7 明纹级数k ? 0， ? 1， ? 2， ? 3。§2.８ 、晶体对X射线的衍射1895年伦琴发现X 射线。 X 射线是波长很短的电磁波。X 射线的波长： 0.01 ~ 10nmX射线管阴极阳极 （对阴极）104~10 V5德国物理学家伦琴M.K.R? ntgen()1895年伦琴（Rntgen，，德国人，1901年获第一个诺贝尔物理奖）发现了高速电子撞击固体可产生一种能使胶片感光、空气电离、荧光物质发光?的中性射线 ─ X射线。
德国物理学家劳厄 M.von.Laue()X 射线衍射-----劳厄实验1912年X 射 线 管铅 屏晶体底 片劳 厄 斑 点晶体可看作三维 立体光栅。 根据劳厄斑点的分 布可算出晶面间距，掌握 晶体点阵结构。1914年获 诺贝尔物理奖。布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)对伦琴射线衍射的研究：布喇格父子(W.H.Bragg, W.L.Bragg)对伦琴射线衍 射的研究（1915年获诺贝尔物理奖）O φ . d A. φ. . B C φd φ晶格常数 (晶面间距) 掠射角光程差 :干涉加强条件（布喇格公式）：? ? AC ? CB ? 2d sin ?2d sin ? ? j?j ? 1, 22d sin ? ? j?j ? 1, 2符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后将相互 加强。讨论：1. 如果晶格常数已知，可以用来测定X射线的波长 ，进行伦琴射线的光谱分析。 2. 如果X 射线的波长已知，可以用来测定晶体的 晶格常数，进行晶体的结构分析。 因X射线的发现已经在物理学、化学、生命医学等 领域有20多人次获诺贝尔奖。X射线衍射物理学获奖：1、1901年 Wilhelm K.Roentgen()（W.K.伦琴） x射线的发现2、1905年 Philipp Lenard() （P.勒钠德）阴极射线工作 3、1914的 Max Von Laue（M.V.劳厄）晶体x射线衍射的发现 4、1915年 W.H.布拉格(Bragg.Sir William Henry)和W.L.布拉格( Bragg.Sir William L.)用X 射线分析晶体结构。 5、1917 年 C.G.巴克拉Charles Barkla() 元素特征x射线 。 6、1924 Karl Manne Georg Siegbahn（ K.M.G.西格班）x射线光谱分析。7、1927 年Arthur Holly Compton （A.H.康普顿）x射线散射康普顿效应 。8、1981年 Karl Manne Georg Siegbahn（K.M.瑟巴） x射线电子能谱学 村显微镜 显微成像结构分析 9、1953年 Frits(Frederik) Zernike（F.塞尔尼克）相10、1986 年Ernst Ruska （E.鲁斯卡）电子显微镜1986 年Gerd Binnig （G.宾尼）、Heinrich Rohrer（H.罗雷尔）扫描隧道显微镜 11、2002卡尔多? 贾科尼 Riccardo Giacconi (卡尔 多? 贾科尼1931-) “发现宇宙X射线源”获诺贝尔奖的华裔科学家：荣获1957年诺贝尔物理学奖的杨振宁、李政道。荣获1976年诺贝尔物理学奖的丁肇中。荣获1986年诺贝尔化学奖的李远哲。荣获1997年诺贝尔物理学奖的朱棣文。荣获1998年诺贝尔物理学奖的崔琦。荣获2008年诺贝尔化学奖的钱永健。荣获2009年诺贝尔物理学奖的高琨。1、李政道，生于中国上海，1946年赴美留学，29岁成为哥伦比亚大学历史上最年轻的正教授。杨振宁，生于安徽合肥，1945年赴美，于芝加哥大学取 得博士学位。 1957年，李政道和杨振宁一起获诺贝尔物理学奖，成为 最早获诺贝尔奖的华人。2、丁肇中，祖籍山东日照，1936年生于美国，1956年于美国密执安大学学习，并获博士学位。1976年获诺贝尔物理 学奖。 3、李远哲，生于台湾，1962年赴美国柏克利加州大学留学 并获博士学位，1986年获得诺贝尔化学奖。4、朱棣文，祖籍江苏太仓，1948年生于美国，1976年获加州大学物理学博士学位，1997年获诺贝尔物理学奖。5、崔琦，生于河南宝丰，1958年赴美国，1967年在美国芝加哥大学获物理学博士学位，1998年获诺贝尔物理学奖。6、钱永健，祖籍浙江，1952年生于美国纽约， 45岁时，钱永健就当选为美国医学研究院院士，48岁时，又当选美国国家科学院院士和美国艺术与科学院院士。7、高锟1933年出生于中国上海 。1957年、1965年先后获英国伦敦大学电机工程学学士、博士学位。1970年迄今任香港中文大学教授， 年任该校校长。美国国家工程院院士、英国皇家工程科学院院士、英国皇家艺术学会会员和瑞典皇家工程科学院外籍院士，台湾“中央研究院”院士。1996年当选为中国科学院外籍院士 。 1966年高锟教授在《光频率介质纤维表面波导》论文中开创性地提出光导纤维在通讯上应用的基本原理，描述了长程及高信息量光通讯所需绝缘性纤维的结构和材料特性。同时开发了实现光通讯所需的辅助性 子系统。在单模纤维的构造、纤维的强度和耐久性、纤维连接器和耦合器以及扩散均衡特性等多个领域都作了大量的研究，而这些研究成果都是使信号在无放大的条件下，以每秒亿兆位元传送至距离以万米为单位 的成功关键。思考题：1、单丝的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的实验和理论分析？计算机模拟？ 2、矩孔的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的实验和理论分析？ 计算机模拟？ 3、轴对称孔的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的实验和理论 分析？计算机模拟？ 4、任意孔的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的实验和理论分 析？计算机模拟？5、围成孔的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的实验和理论分 析？计算机模拟？6、入射光不是球面波和平面波，而是其他复杂光束时(高斯光束、拉盖尔-高斯光束、厄米-高斯光束、贝塞耳 光束、平顶高斯光束、空心光束等)的菲涅耳衍射和夫琅 和费衍射的理论分析？计算机模拟？ 7、矩阵排列的轴对称孔的的菲涅耳衍射和夫琅和费衍射 的理论分析？计算机模拟？8、运用衍射可测量哪些物理量？不同类型、不同维光栅的应用？9、傅里叶变换理论，对应傅里叶变换光学，是解决 夫琅和费衍射的数学工具，如何应用它进行分析？如 何应用计算机进行模拟？ 10、分数傅里叶变换理论，对应分数傅里叶变换光 学，是解决菲涅耳衍射、夫琅和费衍射的数学工具， 如何应用它进行分析？如何应用计算机进行模拟？11、物理学上的哪些物理量运用数学中的求和、积分来 分析，其物理意义？ 12、物理学上的哪些物理量运用代数中的向量来分析， 其物理意义？ 13、光学中概念和理论，与力学、热学、电磁学之间有 什么联系和相似之处？ 14、如何观察和测量光盘的衍射？ 15、各类舞台晚会灯光设计中应用了哪些干涉、衍射？16、与光学相关的诺贝尔奖统计、介绍、分析。17、邮票中的诺贝尔物理学奖统计、介绍、分析。18、邮票中光学知识统计、介绍、分析。19、邮票中物理学知识统计、介绍、分析。20、光学存储材料的原理、应用和发展。
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