湖南大学《随机过程》课程习题集 三亿文库
湖南大学《随机过程》课程习题集
X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(?T)?0}(T>0)；(3) 如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)?y|X(T)?0}(T>0)。 4.28 设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为 ?S?0???/2?|?|??0???/2 GX(?)??0otherwise?0求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。 4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX(?)，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。 4.30设X(n)为均值为0、方差为?2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证： E[X(n)Y(n)]?h(0)?，?Y??222?h(n) 2n?0?4.31均值为0、方差为?2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求?W2。 4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)?na?nu(n) (a?1)，输入为自相关函数为RX(m)??X2?(m)的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。 4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程 Y(n)?X(n?a)?X(n?a) 其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。 4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程 X(n)?a1X(n?1)?V(n) 其中a1为常数，V(n)为方差为?2的白噪声，输入从n=0开始，X(?1)?0。 (1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|<1，则当n足够大时，E[X2(n)]??V2/(1?a12)；(3)若V(n)均值为零，|a1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。 4.35考察如下的二阶自回归过程X(n) X(n)??a1X(n?1)?a2X(n?2)?V(n) (1)若已知随机过程的相关函数值RX(0)、RX(1)、RX(2)，试写出用于计算系数a1,a2以及零均值白色噪声V(n)的方差?V2的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1= -1,a2=0.5, ?V2?0.5，求RX(0)、RX(1)、RX(2)的值；(3)求相关函数的通解。 4.36察如下的二阶自回归过程X(n) X(n)?b1X(n?1)?b2X(n?2)?V(n) 零均值白色噪声V(n)的方差为?V2，|b1?b12?4b22|?2；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程 4.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为?X2，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。 Y(n)?X(n)?a1X(n?1)?a2X(n?2) 4.38考察如下的ARMA模型 X(n)?0.9X(n?1)?V(n)?0.2V(n?1) 其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。
第五章：窄带随机过程 5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。 5.2设一个线性系统的输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)，证明：若该系统的输入为X(t)?(t)，则其输出为Y(t)的希尔伯特Y?(t)。 的希尔伯特X5.3设功率谱密度N0/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f，带宽为2B（B?f），滤波器输出为n(t)，求n(t)的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。 5.4设a(t)?A(t)sin[?(t)]与b(t)?A(t)cos[?(t)]为低频信号，即当|?|???/2时，其频谱值为0，?0???0/2，证明 H{A(t)cos[?0t??(t)]}?A(t)sin[?0t??(t)]H{A(t)sin[?0t??(t)]}??A(t)cos[?0t??(t)] ?(t)的相关函数存在如下关系 5.5证明广义平稳随机过程X(t)与其希尔伯特X??RXX?(?)?RX(?)，RXX?(?)??RX(?) RX?(?)?RX(?)，RXX?(?)为奇函数 ?(t)，证明： 5.6设X(t)的解释信号(复信号表示)为Z(t)?X(t)?jX?(?)],E[Z(t)Z(t??)]?0 E[Z(t)Z*(t??)]?2[RX(?)?jRX并用X(t)的功率谱密度函数GX(?)来表示Z(t)的功率谱密度函数。 5.7在复随机过程Z(t)?X(t)?jY(t)中，如果其均值E[Z(t)]?E[X(t)]?jE[Y(t)]?mZ为复常数，且其自相关函数E[Z(t)Z*(t??)]?RZ(?)为仅与?有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程，设Ak,k?1,2,...,n是n个实随机变量，?k,k?1,2,...,n是n个实数。试问：Ak以及Ak之间应满足什么条件，才能使Z(t)??Akej?kt是一个复平稳随机过程。 k?1n5.8考虑窄带高斯过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，假定其物理功率谱密度对称于载频?c，求概率密度f(xt,xt??,yt,yt??)。 5.9设复随机过程为Z(t)??[?icos(?it)?j?isin(?it)]，其中?i、?i为相互独立的零均值i?1n实随机变量，E[?i2]?E[?i2]??i2，对于任意的i?k，?i、?k以及?i、?k相互正交，求该复随机过程的自相关函数。 5.10设窄带信号X(t)的物理带宽为?(?c??/2????c??/2)，证明其复包络模平方的物理带宽为?(0????)。 5.11设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明： ?(?)sin(??) RY(?)?Rn(?)cos(?c?)?Rnc5.12对于调频信号X(t)?cos[?ct?m(t)]，设|dm(t)/dt|???c，即为窄带信号，求该信号的复包络与包络的表示式。 5.13设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，证明其自相关函数为 Rn(?)?RX(?)cos(?c?)?RXY(?)sin(?c?) 5.14设窄带平稳随机过程n(t)?X(t)cos(?ct)?Y(t)sin(?ct)，若满足： Gn(?)?0
(|?|?2?c) 证明X(t)的功率谱密度为 GX(?)?Gn(???c)?Gn(???c)
(|?|??c) 5.15将相关函数为RX(?)??X2e?a|?|cos(?0?)的窄带平稳随机过程X(t)表示为 **X(t)?AC(t)cos(?0t)?AS(t)sin(?0t) **试在(1) ?0??0，(2) ?0??0的条件下，分别求出相关函数RC(?)、RS(?)以及RCS(?)。 5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X(t)之和 Y(t)?Asin(?0t??)?X(t) ?为(0,2?)其中A、?0为常数，?0为窄带实平稳随机过程Y(t)的功率谱密度的中心频率，上均匀分布的随机变量，E[X(t)]?0、D[X(t)]??2，并假设X(t)、?相互独立； (1)对每一个固定的?值，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当?为(0,2?)上均匀分布的随机变量时，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程。 5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素Q??1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯白噪声w(t)，求滤波器输出端的窄带过程n(t)及其同相分量、正交分量的功率谱密度Gn(?)、GnC(?)、GnS(?)，并以图示之。
5.18设A(t)为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证： E[A(t)]?其中?2为该窄带随机过程的方差。 X?2??X、D[A(t)]?(2?)?2 2X5.19设窄带信号Z(t)?Acos(?0t??)?n(t)，其中n(t)为高斯过程，?为[0,2?]上均匀分布随机变量，且 n(t)?X(t)cos(?0t)?Y(t)sin(?0t) 证明Z(t)的包络平方的相关函数为 RZ(?)?A4?4A2?2?4?2?4[A2RX(?)?RX2(?)?RXY2(?)] 5.20?变量为卡方分布变量的?2的平方根，证明n个自由度的?变量的概率密度为 f(?)??n?1e??2/22(n?2)/2?(n/2) 5.21证明n个自由度的卡方分布?2变量的m阶原点矩为 ?n??n??n?2m????1?...??m?1? ?2??2??2? 第六章：随机过程的非线性变换 6.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为 ?1X(t)?x Y(t)???0X(t)?x试证：(1) E[Y(t)]?FX(x)；(2) RY(?)]?FX(x,x,?)
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&1 1. 其中A 和B 为相互独立均服从 ( 0,1) N 的随机变量. （1）证明{ ( ), } 为正态过程； （2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数. 2. 设是均值函数为0，自相关函数 的正态过程，证明是具有零均值和协方差正态过程，则对于 任意的非负数证明
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第一章概论第1题 某公共汽车站停放两辆公共汽车 A 和 B，从 t=1 秒开始，每隔 1 秒有一乘客到达车站。 如果每一乘客以概率1 1 登上 A 车，以概率 登上 B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立 2 2即乘客登上 A 车则 ξ j ＝1， 乘客登上 B 车则 ξ j 的， 并用 ξ j 代表 t=j 时乘客登上 A 车的状态， ＝0，则 P{ξ j = 1} =n 1 1 , P{ξ j = 0} = , 当 t＝n 时在 A 车上的乘客数为η n = ∑ ξ j ,η n 是一 2 2 j =1个二项式分布的计算过程。 （1）求η n 的概率，即 P{η n = k } = ? k = 0,1,2,..., （2）当公共汽车 A 上到达 10 个乘客时，A 即开车（例如 t＝21 时η 21 = 9 ，且 t＝22 时又 有一个乘客乘 A 车，则 t＝22 时 A 车出发） ，求 A 车的出发时间 n 的概率分布。 解（1） ：? n ?? 1 ? P{η n = k } = ? ?k ? ?? ? ? ?? 2 ?解（2） ：nP{车A在时刻n开车} = P(在n - 1时刻，车A有9名乘客；在n时刻第10名乘客登上车A) ? n ? 1 ?? 1 ? =? ?9 ? ?? 2 ? ? ?? ? ? n ? 1 ?? 1 ? =? ?9 ? ?? 2 ? ? ?? ?n ?1?1? ? ? ?2?n第2题 设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。脉冲的重复周期为 T，每一个周期传 递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T）内，而 且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数 A。也就是说，这个通信 系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程 ξ (t ) 。图题 1－2 画出了它 的样本函数。试求 ξ (t ) 的一维概率密度 f ξt ( x ) 。 解：fξt ( x) = PAδ ( x ? A) + P0δ ( x) P{ξ (t ) = A} = PA P{ξ (t ) = 0} = P0 t ∈ [(n ? 1)T , nT ] n是任意的,脉冲宽度ηn ∈ (0, T ) P{ξ (t ) = A} = P{t ∈ [(n ? 1)T , nT + ηn ]}= P{ηn & [t ? (n ? 1)T ]}1 dη t ? ( n ?1)T T T ? t + (n ? 1)T = T nT ? t = T t = n? T t ? (n ? 1)T = 1? T=∫TP{ξ (t ) = 0} = 1 ? P{ξ (t ) = A} =t ? (n ? 1)T t = ? (n ? 1) T T ∴ fξt ( x) = PAδ ( x ? A) + P0δ ( x) t? ? ?t ? = ? n ? ? δ ( x ? A) + ? ? (n ? 1) ? δ ( x) T? ? ?T ?第3题 设有一随机过程 ξ (t ) ，它的样本函数为周期性的锯齿波。图题 1－3(a)、(b)画出了两个 样本函数图。各样本函数具有统一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。设在 t=0 后的第一个零值点位于 τ 0 ， τ 0 是一个随机变量，它在（ 0 ， T ）内均匀分布，即?1 (0 ≤ t ≤ T ) ? fτ 0 (t ) = ? T 若锯齿波的幅度为 A，求随机过程 ξ (t ) 的一维概率密度。 ? ?0 (其它值）解（1） ： ξ (t ) 取值在 0，A 之间，且均匀分布?1 (0 ≤ x ≤ A) ? fξ ( t ) ( x ) = ? A ? ?0 (其它值）解（2） ： 令 ξ (t ) ＝x，则 x=k(t- τ 0 )， (0 ≤ x ≤ A) ，t= t ? ? ?T , k 为斜率。所以 τ 0 =t&#39;? t&#39; ? ?T ?x 。 k? 1 1 1 ?= ? ? = fξ ( t ) ( x ) = ? T k A ?0 (其它值） ?第4题(0 ≤ x ≤ A)设有随机过程 ζ (t ) = ξ cos ωt + η sin ωt( ?∞ & t & ∞) 其中 ω 为常数，且 ω &0，ξ 和η 是随机变量，且相互统计独立，它们的概率密度为fξ ( x) = fη ( x ) = 1 x2 exp{? } ( ?∞ & x & ∞ ) 2 2π 1 y2 exp{? } ( ?∞ & y & ∞) 2 2π即 ξ 和η 是正态分布 N（0，1）随机变量。若把 ζ (t ) 写成 ζ (t ) = V sin(ωt + φ ) 的形式， （1）求 f v ( v ), f ? (? ), f v? ( v, ? ), 问 V 和 φ 是否统计独立。 （2）画出 ζ (t ) 的典型样本函数； （3）求 ζ (t ) 的一维概率密度 f ξt ( z ) ； （4）设有事件 A， AΔ{ 解（1） ：2ωπ∫π /ω0ζ 2 (t )dt & c} ，其中 c 为常数，求出现 A 事件的概率 P(A)。ξ ,η 相互独立，故其联合概率密度为 f ξη ( x, y ) = f ξ ( x) ? fη ( y ) ，利用随机变量变换后的概率密度的公式，可得到 v, φ 的联合概率密度：f vφ (v, φ ) = f ξ (v sin φ ) ? fη (v cos φ ) ? Jζ (t ) = V sin(ωt + φ ) = V sin φ cos ωt + V cos φ sin ωt = ξ cos ωt + η sin ωt?V = ξ 2 + η 2 (0 & V & +∞) ? ? ?1 ξ (0 & φ & 2π ) ?φ = tan η ??ξ = V sin φ ? ?η = V cos φJacobi 行列式：? (v sin φ ) ? (ξ ,η ) ?v J = = ? (V , φ ) ? (v sin φ ) ?φ? (v cos φ ) sin φ cos φ ?v = =V ? (v cos φ ) V cos φ ?V sin φ ?φfVφ ( v, ? ) = f ξη (ξ ( v, ? ),η ( v, ? ))? | J | = f ξη ( x, y )? | J | = f ξ ( x ) fη ( y )V V ?2 = e 2πV2所以 v, φ 的联合概率密度 f vφ (v, φ ) = 域内积分 ，即得 v, φ 的概率密度：1 v2 exp(? ) ? v 。该式分别对 v, φ 在各自的定义 2π 2fV ( v ) = ∫2π0 ?fVφ ( v, ? )d?V2 2= Vef φ (? ) = ∫ fVφ ( v, ? )dv0+∞=∫ =+∞0V ?2 e dv 2πV21 2π因为 f v (v) ? f φ (φ ) = f vφ (v, φ ) ，所以可知二者统计独立。 解（2） ： 典型样本函数图形，略。 解（3） ： 利用特征函数求解。 在 t 时刻，cos(wt),sin(wt) 值均给定。? u2 ? 高斯随机变量 ξ 的特征函数为 Φξ (u ) = exp ? ? ? ? 2 ?高斯随机变量η 的特征函数为 Φη (u ) = exp ? ? 因此 ξ cos ωt ,η sin ωt 的特征函数分别为，? u2 ? ? ? 2 ?? u 2 cos 2 (ωt ) ? Φξ (u cos ωt ) = exp ? ? ?， 2 ? ? ? u 2 sin 2 (ωt ) ? Φη (u sin ωt ) = exp ? ? ? 2 ? ?又 因 为ζ (t ) = ξ cos ωt + η sin ωt ， 故 随 机 变 量 ζ 的 特 征 函 数 为? u2 ? Φξ (u cos ωt ) ? Φη (u sin ωt ) = exp ? ? ? ，所以随机变量 ζ 的概率密度为其特征函数 ? 2?的傅立叶反变换，计算得：fζ ( z ) =? z2 ? 1 exp ? ? ? 2π ? 2?解（4） ： 若 c 小于零，则事件 A 为必然事件，P（A）=1； 若 c 大于等于零， 考察2ωπ∫π /ω0ζ 2 (t )dt ，变形为：2ωπ∫π /ω0v 2 sin 2 (ωt + φ )dt= v2 ? v2 ? ? c? P{A}=P{ v & c }=P{ v & c }= ∫ v ? exp ? ? ? dv = exp ? ? ? ? 2? ? 2? c2∞第5题 求第 4 题所给出的随机过程 ζ (t ) 的均值和自相关函数。 解：E{ζ (t )} = E{ξ cos ωt + η sin ωt} = E{ξ } cos ωt + E{η} sin ωt =0Rξ (t1 , t2 ) = E{ζ (t1 )ζ (t2 )} = E{(ξ cos ωt1 + η sin ωt1 )(ξ cos ωt2 + η sin ωt2 )} = E{ξ 2 }cos ωt1 cos ωt2 + E{ξη}cos ωt1 sin ωt2 + E{ξη}cos ωt2 sin ωt1 + E{η 2 }sin ωt1 sin ωt2 = cos ωt1 cos ωt2 + sin ωt1 sin ωt2 = cos(ωt1 ? ωt2 ) = cos(ωτ )第6题 并设 x 是一实数， 定义另一个随机过程 η (t ) ? 设有随机过程 ξ (t ) ，?η (t ) = 1 (ξ (t ) & x ) ?η (t ) = 0 (ξ (t ) ≥ x )试证 η (t ) 的均值和自相关函数分别为随机过程 ξ (t ) 的一维和二维分布函数。 解：E{η (t )} = 1 ? P{ξ (t ) & x ) + 0 ? P{ξ (t ) ≥ x} = P{ξ (t ) & x ) = Fξ ( x ) E{η (t1 )η (t 2 )} = 1 ? 1P{ξ (t1 ) & x1 , ξ (t 2 ) & x 2 ) = P{ξ (t1 ) & x1 , ξ (t 2 ) & x 2 ) = Fξ ( x1 , x 2 )第7题 设有随机过程 {ξ (t ), 随机变量，即 fη ( y ) = ? （1） Rξξ (t1 , t2 ) =? ∞ & t & ∞}, ξ (t ) = η cos t ，其中 η 为均匀分布于（0,1）间的?1 (0 ≤ y & 1) 试证： ?0 (其它y值）1 cos t1 cos t2 3 1 （2） Cξξ (t1 , t2 ) = cos t1 cos t2 12Rξξ (t1 , t2 ) = E{η cos t1η cos t2 } = E{η 2 }cos t1 cos t2 = ∫ η 2 dη cos t1 cos t20 1解（1） ：1 = cos t1 cos t2 3解（2） ：E{η} = ∫ η dη =011 2 1 cos t 2E{ξ } = E{η cos t} = E{η}cos t =1 1 Cξξ (t1 , t2 ) = E{(η cos t1 ? cos t1 )(η cos t2 ? cos t2 )} 2 21 = E{η 2 }cos t1 cos t2 ? E{η}cos t1 cos t2 2 1 1 ? E{η}cos t1 cos t2 + cos t1 cos t2 2 4 1 1 1 1 = cos t1 cos t2 ? cos t1 cos t2 ? cos t1 cos t2 + cos t1 cos t2 3 4 4 4 1 = cos t1 cos t2 12第8题 设有一随机过程 ξ (t ) 作为图题 1－8 所示的线性系统的输入，系统的输出为 η (t ) ，若ξ (t ) 的相关函数为 Rξξ (t1 , t2 ) ， 是求输出随机过程 η (t ) 的自相关函数 （用输入过程的相关函数表示） 。 解：Rηη (t1 , t2 ) = E{η (t1 )η (t2 )} = E{[ξ (t1 ? T ) ? ξ (t1 )][ξ (t2 ? T ) ? ξ (t2 )]} = E{ξ (t1 ? T )ξ (t2 ? T )} ? E{ξ (t1 ? T )ξ (t2 )} ? E{ξ (t1 )ξ (t2 ? T )} + E{ξ (t1 )ξ (t2 )} = Rξξ (t1 ? T , t2 ? T ) ? Rξξ (t1 ? T , t2 ) ? Rξξ (t1 , t2 ? T ) + Rξξ (t1 , t2 )第9题 设 ξ (ω , t ) 是§3 例二所定义的随机电报信号（即任何时刻 ξ (ω , t ) 以概率 1／2 取值 0 或 ， η (ω , t ) 也是 0、1 随机电报信号，它在单位内时 1，单位内时间波形平均变化次数为 λξ ） 间波形平均变化次数为 λη ，且 ξ (ω , t ) 和 η (ω , t ) 是相互统计独立的；又设随机过程 ζ (ω , t ) 是 ξ (ω , t ) 、 η (ω , t ) 两随机信号之和，即 ζ (ω , t ) ＝ ξ (ω , t ) ＋ η (ω , t ) 。 （1）试画出 ζ (ω , t ) 的典型样本函数； （2）试求 ζ (ω , t ) 的一维概率密度； （3）设有两时刻 t1,t2,求 ζ (t1 ) 和 ζ (t 2 ) 的二维联合概率密度。 解（1） ：略。 解（2） ：P{ζ (ω , t ) = 0} = P{ξ (ω , t ) = 0}P{η (ω , t ) = 0} 1 1 1 = ? = 2 2 4 P{ζ (ω , t ) = 1} = P{ξ (ω , t ) = 0}P{η (ω , t ) = 1} + P{ξ (ω , t ) = 0}P{η (ω , t ) = 1} 1 1 1 1 1 = ? + ? = 2 2 2 2 2 P{ζ (ω , t ) = 2} = P{ξ (ω , t ) = 1}P{η (ω , t ) = 1} 1 1 1 = ? = 2 2 4 1 1 1 ∴ fζ ( z ) = δ ( z ) + δ ( z ? 1) + δ ( z ? 2) 4 2 4解（3） ： 随机电报信号 t1,t2 之间发生偶数次变化的概率是[λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) e ∑ k! k = even 1 ∞ [λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) ∞ [ ? λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) +∑ (∑ e e ) 2 k =0 k! k! k =0 1 = (1 + e ?2 λ ( t2 ?t1 ) ) 2 =随机电报信号 t1,t2 之间发生奇数次变化的概率是[λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) e ∑ k! k =odd 1 ∞ [λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) ∞ [ ?λ (t 2 ? t1 )]k ?λ ( t2 ?t1 ) ?∑ (∑ e e ) 2 k =0 k! k! k =0 1 = (1 ? e ?2 λ ( t2 ?t1 ) ) 2 =ζ (t1 ) 和 ζ (t2 ) 的二维联合概率密度＝? P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}δ ( z2 ) ? ? ? ［P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 奇数次变化} ?+ ? 1 = δ ( z1 ) ? ? 4 + P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}]δ ( z2 ? 1) ? ? ?+ P{ξ ξ 奇数次变化η η 奇数次变化}δ ( z ? 2) ? t1 t2 t1 t2 2 ? ? ［ ? P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 奇数次变化} ? ? ? + P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}]δ ( z2 ) ? ? ? ? 2 P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 奇数次变化} 1 ?+［ ? + δ ( z1 ? 1) ? ? 4 + P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}]δ ( z2 ? 1) ? ? ?+ ? ［P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 奇数次变化} ? ? ? + P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}]δ ( z2 ? 2) ? ? ? ? P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 奇数次变化}δ ( z2 ) ? ? ? ［P{ξt1ξt2 偶数次变化ηt1ηt2 奇数次变化} ?+ ? 1 + δ ( z1 ? 2) ? ? 4 + P{ξt1ξt2 奇数次变化ηt1ηt2 偶数次变化}]δ ( z2 ? 1) ? ? ?+ P{ξ ξ 偶数次变化η η 偶数次变化}δ ( z ? 2) ? 2 t1 t2 t1 t2 ? ??1 ? ?2 λ ( t2 ?t1 ) 2 ) δ ( z2 ) ? 4 (1 + e ? ? ? 1 1 ? ? ?4 λ ( t2 ? t1 ) = δ ( z1 ) ? + (1 ? e )δ ( z2 ? 1) ? 4 2 ? ? 1 ? ? + (1 ? e ?2 λ ( t2 ?t1 ) ) 2 δ ( z2 ? 2) ? ? 4 ? ? ?1 ? ?4 λ ( t2 ? t1 ) )δ ( z2 ) ? 2 (1 ? e ? ? ? 1 ? ? + δ ( z1 ? 1) ? + (1 + e ?4 λ (t2 ?t1 ) )δ ( z2 ? 1) ? 4 ? ? 1 ? + (1 ? e ?4 λ (t2 ?t1 ) )δ ( z2 ? 2) ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ?2 λ ( t2 ? t1 ) 2 ) δ ( z2 ) ? 4 (1 ? e ? ? ? 1 1 ? ? ?4 λ ( t2 ? t1 ) + δ ( z1 ? 2) ? + (1 ? e )δ ( z2 ? 1) ? 4 2 ? ? 1 ? ? ?2 λ ( t2 ? t1 ) 2 + (1 + e ) δ ( z2 ? 2) ? ? 4 ? ?第 10 题 质点在直线上作随机游动，即在 t＝1，2，3，…时质点可以在 x 轴上往右或往左作一个 单位距离的随机游动。若往右移动一个单位距离的概率为 p，往左移动一个单位距离的概率 为 q，即 P{ξ i = +1} = p, P{ξ i = ?1} = q, p + q = 1 ，且各次游动是相互统计独立的。经过n 次游动，质点所处的位置为 η n = η ( n ) = （1）求η ( n ) 的均值；∑ξi =1ni。（2）求η ( n ) 的相关函数和自协方差函数 Rηη ( n1 , n2 ) 和 Cηη ( n1 , n2 ) 。 解（1） ：E {η ( n )} = E { ∑ ξ i }i =1n= =∑ E {ξi =1 nni} p + ( ? 1) × q }∑ {1 ×i =1= n( p ? q) = n ( 2 p ? 1)解（2） ：Rηη ( n1 , n2 ) = E{η ( n1 )η ( n2 )} = E{∑ ξ i ∑ ξ j }i =1 n1 j =1 n1 n2= E{∑i =1 j =1, j ≠i∑ ξ iξ j + ∑∑ ξ iξ j }i =1 j =i 2n2n1n2= n1n2 ( 2 p ? 1) + min(n1 , n2 )[1 ? ( 2 p ? 1) 2 ] = n1n2 ( 2 p ? 1) 2 + min(n1 , n2 )2 p( 2 ? 2 p )我做的结果：Rηη ( n1 , n2 ) = E{η ( n1 )η ( n2 )} = E{∑ ξ i ∑ ξ j }i =1 n1 j =1 n1 n2= E{∑ = E{∑ =∑ =∑n1 n1 n1i =1 j =1, j ≠i n2∑ ξ iξ j +n2min( n1 ,n2 ) i =1 i∑ξ }min( n1 ,n2 )i =1 j =1, j ≠i n2∑ ξ iξ j } + E {i j∑i =1ξi 2 }2i =1 j =1, j ≠i n2∑ E{ξ ξ } + ∑i =1 i jmin( n1 ,n2 )E{ξ i }1 2i =1 j =1, j ≠i∑ E{ξ }E{ξ } + min(n , n)( p + q)= n1n2 ( 2 p ? 1) 2 + min(n1 , n2 )Cηη ( n1 , n2 ) = E{(η ( n1 ) ? E[η ( n1 )])(η ( n2 ) ? E[η ( n2 )]) = E{η ( n1 )η ( n2 )} ? E{η ( n1 )}E{η ( n2 )} = Rηη ( n1 , n2 ) ? n1n2 ( 2 p ? 1) 2第 11 题 设有§2 例二所定义的四电平随机调幅信号 ξ (t ) ，求它的自协方差函数。 解：1 1 1 1 E{ξ (t )} = 2 × + 1 × + ( ?2) × + ( ?1) × = 0 4 4 4 4 Cξξ (t1 , t 2 ) = E{(ξ (t1 ) ? E [ξ (t1 )])(ξ (t 2 ) ? E [ξ (t 2 )])= E{ξ (t1 )ξ (t 2 )} ? E{ξ (t1 )}E{ξ (t 2 )} = Rξξ (t1 , t 2 )当|t1-t2|&T0 时Cξξ (t1 , t 2 ) = Rξξ (t1 , t 2 ) =|t ?t | 1 | t1 ? t 2 | 1 i ∑ j + ? (1 ? 1 2 ) ∑ ij ? ∑ T0 i = ?2, ?1,1, 2 j = ?2, ?1,1, 2 4 T0 16 i = j = ?2 , ?1,1, 2 |t ?t | 1 ? (1 ? 1 2 )(12 + 2 2 + ( ?1) 2 + ( ?2) 2 ) T0 4=0+ =当|t1-t2|&T0 时|t ?t | 5 ? (1 ? 1 2 ) T0 2Cξξ (t1 , t2 ) = Rξξ (t1 , t2 ) =1 ? ∑i ∑j 16 i =?2, ?1,1, 2 j =?2, ?1,1, 2=0第 12 题 设有§2 例五所定义的、幅度服从正态分布的随机调幅信号 ξ (t ) ，求它的自协方差函数。 解： 由定义知：E{ξ (t )} = 0Cξξ (t1 , t 2 ) = E{(ξ (t1 ) ? E [ξ (t1 )])(ξ (t 2 ) ? E [ξ (t 2 )])= E{ξ (t1 )ξ (t 2 )} ? E{ξ (t1 )}E{ξ (t 2 )} = Rξξ (t1 , t 2 )若｜t1-t2|&TCξξ (t1 , t 2 ) = E{ξ (t1 )ξ (t 2 )} = E{ξ (t1 )}E{ξ (t 2 )} = 0若｜t1-t2|&TCξξ (t1 , t2 ) = E{ξ (t1 )ξ (t2 )} = ? |t ?t |? | t1 ? t2 | × 0 + ? 1 ? 1 2 ? E{[ξ (t )]2 ] T0 T0 ? ?? |t ?t |? = ?1 ? 1 2 ? σ 2 T0 ? ?马尔可夫过程（I）D马尔可夫链第1题 设ξ (t ) 是 一 马 尔 可 夫 过 程 ， 又 设 t1 & t2 & L & tn & tn +1 & L & tn +k ， 试 证 明f tn / tn +1 ,L,tn + k ( x n / x n +1 ,L, x n + k ) = f tn / tn +1 ( x n / x n +1 ) 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 解：ftn / tn+1 ,L,tn+k ( xn / xn +1 ,L , xn + k ) = = = = ftn ,tn+1 ,L,tn+k ( xn , xn +1 ,L , xn + k ) f tn+1 ,L,tn+k ( xn +1 ,L , xn + k ) ftn+k / tn+k ?1 ( xn + k / xn + k ?1 )L ftn+1 / tn ( xn +1 / xn ) f tn ( xn ) ftn+k / tn+k ?1 ( xn + k / xn + k ?1 )L ftn+2 / tn+1 ( xn + 2 / xn +1 ) ftn+1 ( xn +1 ) ftn+1 / tn ( xn +1 / xn ) f tn ( xn ) f tn+1 ( xn +1 ) ftn+1 ,tn ( xn +1 xn ) ftn+1 ( xn +1 )= ftn / tn+1 ( xn / xn +1 )第2题 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的 ξ (t ) 值为已知，则该过程的“过去” ，t1 代表“过去” ， 和“将来”是相互统计独立的，即如果有 t1 & t 2 & t3 ，其中 t2 代表“现在” t3 代表 “将来” ， 若 ξ (t2 ) = x 2 为已知值， 试证明 f t1 ,t3 / t2 ( x1 , x3 / x 2 ) = f t1 / t2 ( x1 / x 2 ) f t3 / t2 ( x3 / x 2 ) 解：f t1 ,t3 / t2 ( x1 , x3 / x 2 ) = = =f t1 ,t3 ,t2 ( x1 , x3 , x 2 ) f t2 ( x 2 ) f t3 / t2 ( x 3 / x 2 ) f t2 / t1 ( x 2 / x1 ) f t1 ( x1 ) f t2 ( x 2 ) f t3 / t2 ( x 3 / x 2 ) f t2 ,t1 ( x 2 , x1 ) f t2 ( x 2 )= f t1 / t2 ( x1 / x 2 ) f t3 / t2 ( x3 / x 2 )第3题 若ξ (t ) 是 一 马 尔 可 夫 过 程 ， t1 & t 2 & L & t m & t m+1 & t m+ 2 ， 试 证 明1f tm +1 ,tm + 2 / t1 ,t2 ,L,tm ( x m +1 , x m + 2 / x1 , x 2 ,L, x m ) = f tm =1 ,tm + 2 / tm ( x m +1 , x m + 2 / x m )解：ftm+1 ,tm+2 / t1 ,t2 ,L,tm ( xm +1 , xm + 2 / x1 , x2 ,L , xm ) = = ftm+1 ,tm+2 ,t1 ,t2 ,L,tm ( xm +1 , xm + 2 , x1 , x2 ,L , xm ) ft1 ,t2 ,L,tm ( x1 , x2 ,L , xm ) ftm+2 / tm+1 ( xm + 2 / xm +1 ) ftm+1 / tm ( xm +1 / xm )L ft2 / t1 ( x2 / x1 ) f t1 ( x1 ) f tm / tm?1 ( xm / xm ?1 )L f t2 / t1 ( x2 / x1 ) ft1 ( x1 )= ftm+2 / tm+1 ( xm + 2 / xm +1 ) ftm+1 / tm ( xm +1 / xm ) = ftm=1 ,tm+2 / tm ( xm +1 , xm + 2 / xm )第4题 若有随机变量序列 ξ1 , ξ 2 , L , ξ n , L , 且 ξ1 , ξ 2 , L , ξ n , L 为相互统计独立的随机变量， ξn 的概率密度为 f ξn ( x n ) = f n ( x n ), E{ξ n } = 0, n = 1,2,L 。定义另一随机变量序列{η n } 如下：η1 = ξ1 η 2 = ξ1 + ξ 2 η 3 = ξ1 + ξ 2 + ξ 3LL η n = ξ1 + ξ 2 + L + ξ n试证明：LL（1）序列η1 ,η 2 , L ,η n , L 具有马尔可夫性； （2） E{η n / η1 = y1 ,η 2 = y 2 , L ,η n ?1 = y n ?1 } = E{η n / η n ?1 = y n ?1 } = y n ?1 解（1） ：略（附后） 解（2） ：略（附后） 第5题 设有随机过程 ξ ( n ), n = 1,2,3, L ，它的状态空间 I： ｛x: 0&x&1｝是连续的，它的参数 T 为离散的，T＝n，n=1,2,…。设 ξ (1) 为(0,1)间均匀分布的随机变量，即 ξ (1) 的概率密度为?1 (0 & x1 & 1) ， ξ (1), ξ ( 2), L , ξ ( m ) 的联合概率密度为 f1 ( x1 ) = f ξ (1) ( x1 ) = ? ?0 (其它)2?f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ? = fξ (1),ξ (2),L,ξ (m) (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ? ? 1 ? = (0 & xm & xm ?1 L & x1 & 1) ? x1x 2 L x m-1 ? ? ?f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) = 0 (其它xi 值)（1）求 ξ ( 2) 的边际概率密度; （2）试问该过程是否为马尔可夫过程； （3）求转移概率密度 f 2 / 1 ( x 2 / x1 ), LL , f m / m ?1 ( xm / x m ?1 ) 。 （4）求 P{ξ (1) & 解（1） ：3 1 , ξ (3) & } 。 4 31 x1 (0 & x2 & x1 & 1)1fξ (1),ξ (2) ( x 1 , x 2 ) =1fξ (2) ( x 2 ) = ∫ fξ (1),ξ (2) ( x 1 , x 2 )d x1 = ∫x2x21 dx1 = ? ln x2 x1解（2） ：fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) (x m /x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) = = = fξ (1),ξ (2),L,ξ (m) (x1 ,x 2 ,L ,x m ) fξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) (x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) 1 1 / x1x 2 L x m-1 x1x 2 L x m-2 1 x m-1 (0 & xm & xm ?1 L & x1 & 1)fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) ( x m /x1 , x 2 , L, x m-1 ) 只与 ξ ( m ? 1) 有关，该过程是马尔可夫过程。解（3） ：f 2 / 1 ( x2 / x1 ) =1 x1(0 & x2 & x1 & 1),LL ,f m / m?1 ( xm / xm ?1 ) =解（4） ：略（附后） 第6题 设 有 一 参 数 离 散 、 状 态 连 续 的 随 机 过 程 ξ ( n ), n = 1,2,3, L ， 它 的 状 态 空 间 为 ：1xm ?1(0 & xm & xm?1 & L & 1)3I : {x; x ≥ 0} ，又 ξ (1) 的概率密度为?e ? x1 ( x1 ≥ 0) f ξ (1) ( x1 ) = f1 ( x1 ) = ? ?0 (其它xi 值)ξ (1), ξ (2), L , ξ ( m) 的 m 维联合概率密度为?f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ? ? = x1x 2 L x m-1 ? exp{?( xm xm ?1 + xm ?1 xm ? 2 + L + x2 x1 + x1 )} ? ( x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L , xm ≥ 0) ? ?f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) = 0 (其它xi 值) ?（1）求 ξ ( 2) 的概率密度; （2）求边际概率密度函数 f1,2,L,m-1 (x 1 , x 2 , L , x m-1 ) ； （3）说明该过程是马尔可夫过程，并求其转移概率密度 f m / m ?1 ( x m / x m ?1 ) ； 解（1） ：fξ (1),ξ (2) ( x1 , x 2 ) = x1 exp{?( x2 x1 + x1 )} ( x2 ≥ 0, x1 ≥ 0) fξ (2) ( x 2 ) = ∫ fξ (1),ξ (2) ( x 1 , x 2 )d x10 ∞= ∫ x1 exp{?( x2 x1 + x1 )}dx10∞=解（2） ：1 ( x2 + 1) 2? f1,2,L,m-1 (x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) ? ∞ ?= ∫ f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m )dx m ? 0 ?= ∞ x x L x ? exp{?( x x + x x + L + x x + x )}dx m m ?1 m ?1 m ? 2 m-1 2 1 1 m ? ∫0 1 2 ?= x x L x ? exp{?( x x + L + x x + x )} ( x ≥ 0, x ≥ 0,L , x ≥ 0) m ?1 m ? 2 m m-2 2 1 1 1 2 ? 1 2 ? f1,2,L,m-1 (x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) ? ? ?= 0 (其它xi 值)解（3） ：略f m/1,2,L,m-1 (x m /x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) = = f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) f1,2,L,m-1 (x1 ,x 2 ,L ,x m-1 ) x1x 2 L x m-1 ? exp{?( xm xm ?1 + xm ?1 xm ? 2 + L + x2 x1 + x1 )} x1x 2 L x m-2 ? exp{?( xm ?1 xm ? 2 + L + x2 x1 + x1 )}= x m-1 ? exp{? xm xm ?1} ( xm ≥ 0, xm ?1 ≥ 0)4fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) ( x m /x1 , x 2 , L, x m-1 ) 只与 ξ ( m ? 1) 有关，该过程是马尔可夫过程。第7题 有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数 定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后 相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过 n 次交换，过 程的状态为 ξ ( n ), n = 1,2,3, L 。 （1）试问该过程是否为马尔可夫链； （2）计算它的一步转移概率矩阵。 解（1） ： 该过程是马尔可夫链； 解（2） ：P00 = P02 = P03 = 0 P01 = {甲袋全为黑球，乙袋全为白球｝ =1 1 1 1 1个白球，取白球；乙袋2个白球， 1个黑球，取黑球｝ P 甲袋2个黑球， = × = 10 = { 3 3 9 P 1个白球，取黑球；乙袋2个白球， 1个黑球，取黑球｝ 甲袋2个黑球， 11 = { 1个白球，取白球；乙袋2个白球， 1个黑球，取白球｝ ∪{甲袋2个黑球， 2 1 1 2 4 = × + × = 3 3 3 3 9 2 2 4 1个白球，取黑球；乙袋2个白球， 1个黑球，取白球｝ P 甲袋2个黑球， = × = 12 = { 3 3 9 P 13 = 0P20 = 0 2 2 P21 = {甲袋2个白球，取白球；乙袋2个黑球， = × = 1个白球，取黑球｝ 3 3 P22 = {甲袋2个白球， 1个黑球，取黑球；乙袋2个黑球， 1个白球，取黑球｝ ∪{甲袋2个白球， 1个黑球，取白球；乙袋2个黑球， 1个白球，取白球｝ 1 2 2 1 4 = × + × = 3 3 3 3 9 1 1 1 = × = P23 = {甲袋2个白球， 1个黑球，取黑球；乙袋2个黑球， 1个白球，取白球｝ 3 3 9P30 = P31 = 0 P32 = 1 P33 = 05?0 ? ?1 ?9 P=? ?0 ? ?0 ?第8题1 0 0 ? ? 4 4 ? 0 9 9 ? 4 4 1? ? 9 9 9? 0 1 0 ? ?设｛ ξ ( n ) ｝是一马尔可夫链，它的状态空间为 I：{0,1,2},它的初始状态的概率分布为P{ξ (0) = 0} =1 1 1 , P{ξ (0) = 1} = , P{ξ (0) = 2} = ；它的一步转移概率矩阵为 4 2 4?1 ? ?4 ?1 P = ? 3 ? ?0 ? ?3 4 1 3 1 4? 0? ? 1? 3? ? 3? ? 4?（1）计算概率 P{ξ (0) = 0, ξ (1) = 1, ξ ( 2) = 1} ； （2）计算 P01 解（1） ：( 2)。P{ξ (0) = 0, ξ (1) = 1, ξ ( 2) = 1} = P{ξ (0) = 0}P{ξ (1) = 1 / ξ (0) = 0}P{ξ ( 2) = 1 / ξ (1) = 1} 1 3 1 1 = × × = 4 4 3 16解（2） ：?1 ? ?4 ?1 P (2) = ? 3 ? ?0 ? ? 7 ( 2) P01 = 163 4 1 3 1 4?? 1 3 0 ?? ?? 4 4 1 ?? 1 1 3 ?? 3 3 ?? 3 ?? 1 ?? 0 4 ?? 47 1 ? ? ?5 0? ? ? ? ? 16 16 4 ? 1 ? ? 7 16 13 ? = 3 ? ? 36 36 36 ? ? ? ? 3 ? ? 4 13 31 ? ? ? ? 4 ? ? 48 48 48 ?第9题 设有马尔可夫链，它的状态空间为 I： ｛0，1，2｝ ，它的一步转移概率矩阵为6? 0 ? P = ?1 ? p ? 0 ?（1）试求 P （2）求 P 解（1） ：(n) (2)1 0 1(2)0? ? p? 0? ?，并证明 P= P (4) ;, n ≥ 1。 P (2) = P ? P ? 0 1 0 ?? 0 1 0 ? ? ?? ? = ?1 ? p 0 p ? ?1 ? p 0 p ? ? 0 1 0 ?? 0 1 0 ? ? ?? ? ?1 ? p 0 p ? ? ? = ?0 1 0 ? ?1 ? p 0 p ? ? ?P (4) = P (2) ? P (2) ?1 ? p 0 ? = ?0 1 0 ?1 ? p 0 ? ?1 ? p 0 ? = ?0 1 0 ?1 ? p 0 ? (4) ∴ P = P (2)解（2） ：p ? ?1 ? p 0 p ? ?? ? ??0 1 0 ? ?1 ? p 0 p ? p? ?? ? p? ? ? p? ?P ( 3)?1 ? p ? = P ( 2) ? P = ? 0 ?1 ? p ? ? 0 ? = ?1 ? p ? 0 ? 1 0 10 1 0p ?? 0 ?? 0 ?? 1 ? p ? p? ?? 01 0 10? ? p? 0? ?0? ? p? 0? ?若 n 为奇数， P(n)= P, n ≥ 1 ；若 n 为偶数， P ( n ) = P ( 2 ) , n ≥ 1第 10 题 设 有 马 尔 可 夫 链 ， 它 的 状 态 空 间 为 I: ｛ 0 ， 1 ｝ ，它的一步转移概率矩阵为? p P=? ?1 ? p ?1? pp? ? ? (0 & p & 1) 试用数学归纳法证明： ?7P(n)? 1 1 n ? + ( 2 p ? 1) =? 2 2 ?1 1 n ? ? ( 2 p ? 1) 2 2 ?1 1 ? ? ( 2 p ? 1) n ? 2 2 ? 1 1 ? + ( 2 p ? 1) n ? 2 2 ?解：n =1 ? p P=? ?1 ? p ?P(n)1? p? ? p ? ?( 0 & p & 1)1 1 ? ? ( 2 p ? 1) n ? 2 2 ? 1 1 ? + ( 2 p ? 1) n ? 2 2 ?? 1 1 n ? + ( 2 p ? 1) =? 2 2 ?1 1 n ? ? ( 2 p ? 1) 2 2 ?P ( n +1)1 ? 1 1 n 1 n? ? 2 + 2 (2 p ? 1) 2 ? 2 (2 p ? 1) ? ? p 1 ? p ? =? ?? ? ? 1 ? 1 (2 p ? 1) n 1 + 1 (2 p ? 1) n ? ?1 ? p p ? ? ? ?2 2 ? 2 2 1 ? 1 1 ? n +1 1 ? (2 p ? 1) n +1 ? ? 2 + 2 (2 p ? 1) 2 2 =? ? ? 1 ? 1 (2 p ? 1) n +1 1 + 1 (2 p ? 1) n +1 ? ? ? ?2 2 ? 2 2∴ P(n)? 1 1 n ? 2 + 2 (2 p ? 1) =? ? 1 ? 1 (2 p ? 1) n ? ?2 21 1 ? ? (2 p ? 1) n ? 2 2 ? 1 1 n ? + (2 p ? 1) ? ? 2 2第 11 题 设 有 马 尔 可 夫 链 ， 它 的 状 态 空 间 为 I: ｛ 0 ， 1 ｝ ，它的一步转移概率矩阵为?1 ? a P=? ? b ?计算） 解：a 1? b? (n) ? ? (0 & a & 1,0 & b & 1) 试求 P （利用矩阵的特征值、特征矢量方法 ?对一步转移概率矩阵作特征值分解，其特征值为 λ1 , λ2 相应的特征矢量是 u1 , u2 ， 考虑 1 步转移概率矩阵，Pu1 = λ1u1Pu2 = λ2u2?λ 0 ? P ( u1 u2 ) = ( λ1u1 λ2u2 ) = ( u1 u2 ) ? 1 ? = ( u1 u2 ) Λ ? 0 λ2 ?8进一步考虑 1 步转移概率矩阵，则有P = P ( u1 u2 )( u1 u2 ) = ( u1 u2 ) Λ ( u1 u2 )TT再考虑 n 步转移概率矩阵，有T P ( n ) = P n = ?( u1 u2 ) Λ ( u1 u2 ) ? ? ? T n= ( u1 u2 ) Λ ( u1 u2 ) ? ( u1 u2 ) Λ ( u1 u2 ) ? L( u1 u2 ) Λ ( u1 u2 )TT= ( u1 u2 ) Λ n ( u1 u2 ) ? λ1n = ( u1 u2 ) ? ?0T0? T ( u1 u2 ) n? λ2 ?将 λ1 , λ2 ， u1 , u2 代入上式可以得到最后的结果。 第 12 题 天气预报问题。其模型是：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前 两天有雨，第三天是晴天；…） ，问能否把这个问题归纳为马尔可夫链。如可以，问该过程 的状态有几个？如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率为 0.8；过去三天连续为晴天，而 今天有雨的概率为 0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为 0.6。求这个马 尔可夫链的转移矩阵。 解： 设下雨为 1，晴天为 0，共有 8 种状态，转移概率矩阵（竖排依次为昨天、前天、大前 天；横排依次为今天、昨天、前天） 000 001 010 011 100 101 110 111 000 0.8 0 0 0 0.2 0 0 0 001 0.6 0 0 0 0.4 0 0 0 010 0 0.6 0 0 0 0.4 0 0 011 0 0.6 0 0 0 0.4 0 0 100 0 0 0.4 0 0 0 0.6 0 101 0 0 0.4 0 0 0 0.6 0 110 0 0 0 0.4 0 0 0 0.6 111 0 0 0 0.2 0 0 0 0.8 第 13 题 设有马尔可夫链，它的状态空间为 I:｛0，1｝ ，它的一步转移概率矩阵为?1 ? 2 P=? ?1 ? ?3(1) ( 2) ( 3) (1)1 2 2 3? ? ? ? ? ?( 3)试求 f 00 , f 00 , f 00 , f 01 , f 01 , f 01(2)9解：(1) f 00 = P00 =1 2(2) f 00 = P01 P10 =1 1 1 ? = 2 3 6 1 2 1 1 ( 3) f 00 = P01 P11 P10 = ? ? = 2 3 3 9 1 (1) f 01 = P01 = 2 1 1 1 (2) = P00 P01 = ? = f 01 2 2 4 1 1 1 1 ( 3) f 01 = P00 P00 P01 = ? ? = 2 2 2 8第 14 题 设有一个三状态 I:｛0，1，3｝的马尔可夫链，它的一步转移概率矩阵为? p1 q1 0 ? ? ? P = ? 0 p 2 q2 ? ?q 0 p ? 3 ? ? 3试求 f 00 , f 00 , f 00 , f 01 , f 01 , f 01 。 解：(1) = P00 = p1 f 00 (2) = P01 P10 + P02 P20 = q1 ? 0 + 0 ? q3 = 0 f 00 ( 3) = P01 P11 P10 + P01 P12 P20 + P02 P22 P20 + P02 P21 P10 f 00(1)( 2)( 3)(1)(2)( 3)= q1 p2 ? 0 + q1q2 q3 + 0 + 0 = q1q2 q3(1) = P01 = q1 f 01 (2) = P00 P01 + P02 P21 f 01= p1q1 + 0 = p1q1( 3) f 01 = P00 P00 P01 + P00 P02 P21 + P02 P22 P21 + P02 P20 P01= p12 q1第 15 题 设有一电脉冲序列，脉冲的幅度是随机的，其幅度的变域为｛1，2，3，…，n｝ ，且在 变域上均匀分布。 现用一电表测量其幅度， 每个一单位时间测量一次， 从第一次测量计算起， 求仪器记录到最大值 n 的期望时间。 解：10用 Tij 表示从状态Ｉ首次进入状态Ｊ的时间。设为开始测量时的状态为０状态。题目即 是要求 E (T0 n )E (T0 n ) = ∑ P{T0 n = m) ? mm =1∞=令p= 收敛。1 1 n ?1 1 n ?1 2 1 n ?1 k ?1 + ? ?2 + ?( ) ?3+L+ ?( ) ? (k + 1) + L n n n n n n nn ?1 1 2 。考察函数项级数 px, px , L ，易证其对ｘ（在其收敛域内）一致 ,x = n n f ( x) = px + px 2 + L = px ， 1? xp (1 ? x) 2f &#39; ( x) = p ? 1 + px ? 2 + px 2 ? 3 + L =从而E (T0 n ) =1 n ?1 2 /(1 ? ) =n n n第 16 题 确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。已知该链的一 步转移概率矩阵为? p00 ? （1） P = ? p10 ?p ? 20p01 p11 p211 ? ?0 2 p02 ? ? ? ?1 0 p12 ? = ? 2 p22 ? ? ?1 1 ? ? ?2 2p02 p12 p22 p321? ? 2? 1? 2? ? 0? ? ?? p00 ? ? p10 （2） P = ? p ? 20 ?p ? 30p01 p11 p21 p310 0 0 1 ? p03 ? ? ? ? ? ?0 0 0 1 ? p13 ? ? =?1 1 p23 ? ? 0 0? ? ?2 2 ? p33 ? ? ?0 0 1 0 ? ? ?11? p00 ? ? p10 （3） P = ? p ? 20 ?p ? 30p01 p11 p21 p31p02 p12 p22 p321 ?1 0 ? 2 ?2 ?1 1 1 p03 ? ? 4 2 4 ? ? p13 ? ? 1 1 = 0 ? ?2 p23 2 ? ? ? p33 ? ? 0 0 0 ? ? ?0 0 0 ? ?1 ? ?4 p04 ? ? 1 ? ?2 p14 ? ? = 0 p24 ? ? ? ? p34 ? ? ?0 ? ?1 ? ?? 0 0? ? ? 0 0? ? 0 0? ? 1 1? ? 2 2? 1 1? ? 2 2? 3 0 4 1 0 2 0 1 1 0 3 0 0 ? 0 0? ? ? 0 0? ? 0 0 ? ? 2 0? 3 ? 0 0 ? ? ?? p00 ? ? p10 （4） P = ? p ? 20 ?p ? 30p01 p11 p21 p31p02 p12 p22 p32p03 p13 p23 p33解（1） ：略（附后） 解（2） ：略（附后） 解（3） ：略（附后） 解（4） ：略（附后） 第 17 题 一质点沿圆周游动。圆周按顺时针、等距排列五个点（0，1，2，3，4）把圆周分成五 格。质点每次游动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针移动一格的概率为 p，逆时针移动一 格的概率为 1-p。设 ξ ( n ) 代表经过 n 次转移后质点所处的位置（即状态） ，ξ ( n ) 是一个齐次 马尔可夫链。试求 （1）一步转移概率矩阵； （2）极限概率分布。 解（1） ： 设状态为 0，1，2，3，4（顺时针旋转） ，则一步转移概率矩阵为，?0 ? ?1 ? p P = ?0 ? ?0 ?p ?解（2） ： 设达到稳态的分布是p 0 1? p 0 00 p 0 1? p 00 0 p 0 1? p1? 0p? ? ? 0 ? ? p ? 0 ? ?，则有π = (π (0) π (1) π ( 2) π (3) π ( 4))12πP = π π =(1 5 1 5 1 5 1 5 1 ) 5第 18 题 求习题 7 所给出的概率模型的极限分布。 解： 设达到稳态的分布是π = (π (0) π (1) π ( 2) π (3) π ( 4))，则有πP =π已知?0 ? ?1 ?9 P=? ?0 ? ?0 ?可以解出1 0 0 ? ? 4 4 ? 0 9 9 ? 4 4 1? ? 9 9 9? 0 1 0 ? ?π =(1 3 3 1 1 ) 21 7 7 21 21第 19 题 设质点在 xy 平面内的 x 方向或 y 方向上作随机游动。 在 xy 平面上安排着整数点格， 质 点每次转移只能沿 x 方向向左或向右移一格， 或沿 y 方向向上或向下移一格， 设这四种转移 方式的概率均相等。若质点从（0，0）出发游动，求经过 2n 次转移质点回到（0，0）点的 概率，问这种对称的二维的随机游动是常返的、还是非常返的？ 解： 经过 2n 次随机游动，返回（0，0）点，其往上与往下、向左与向右的随机游动次数分 别相等。设上下移动了 2k 次，左右必移动了 2(n-k)次。k=0,1,2,…,n。∑Ck =0 nnk 2n1 1 k n ?k 1 n ?k n ?k 1 n ?k k Cn ?k ( ) ( ) k C2 n ?k ( ) C 2 n ?2 k ( ) 4 4 4 4=∑ =∑∞2n! 1 ( )2n k =0 k! k! ( n ? k )! ( n ? k )! 4 2n! 2 ?4 n k =0 k! k! ( n ? k )! ( n ? k )! 2n! 1 ( ) 2n & ∞ n =0 k =0 k! k! ( n ? k )! ( n ? k )! 4∞ nn(n) Q ∑ P00 = ∑∑n =0所以，同一维的随机游动一样，二维随机游动是非常返的。 第 20 题13设有马尔可夫链，它的状态空间为 I:｛0，1，2，…｝ ，且设当|i-j|&1 时 Pij=0,在其它的 i,j 值时 Pij 是任意的正数，对每个 j&0 必须满足 Pj,j-1+Pjj+Pj,j+1=1。当 j=0 时，P00+P01＝1 这类过 程可以称为离散参数的生灭过程。求该链为正常返的条件。 解： 设 p j , j ?1 = q j , p j , j +1 = p j 画 出 该 链 的 状 态 转 移 图 ， 设 该 链 存 在 极 限 分 布π (0), π (1), π (2), L ，于是有，q1π (1) = p 0 π (0) ， pi ?1π (i ? 1) + qi +1π (i + 1) = ( pi + qi )π (i ),上面第二式可改写为：i ≥1q i +1π (i + 1) ? q i π (i ) = p i π (i ) ? p i ?1π (i ? 1), i ≥ 1所以两边同时对 i 求和，有∑ [ qi+1π (i + 1) ? qiπ (i)] = ∑ [ piπ (i) ? pi?1π (i ? 1)],i =1 i =1n ?1n ?1n≥2化简后即为：q n π (n) ? q1π (1) = p n ?1π (n ? 1) ? p 0 π (0)又因为q1π (1) = p 0 π (0)所以有q n π (n) = p n ?1π (n ? 1), n ≥ 1即π ( n) =从而有p n ?1 π (n ? 1), n ≥ 1 qnπ ( n) = ∏ (r =1np r ?1 ) ? π (0), n ≥ 1 qr∞因为极限分布的归一化，m=0∑ π (m) = 1 ，所以∞ m ? pr ?1 ? + 1 ? ∑∏ ? ? π (0) = 1 ? m =1 r =1 qr ?可见当 1 +∑∏ (m =1 r =1∞mp r ?1 ) 收敛时 π (0) 不为 0，是正常返；反之如它不收敛，为 0，是零常返。 qr14因此该链正常返的条件是：1 + ∑∏ (m =1 r =1∞mp r ?1 ) 收敛 qr第 21 题 设 ξ ( n ), n = 1,2,3, L 是伯努利过程。 定义另一随机过程 ｛ η ( n ), n = 1,2,3, L ｝ ： 如果 ξ ( n ) ＝0，则 η ( n ) ＝0；如果 ξ ( n ) = ξ ( n ? 1) = L = ξ ( n ? k + 1) = 1 ，而 ξ ( n ? k ) = 0 ，则 η ( n ) ＝k (k=1,2,…,n)；即 η ( n ) 代表在 n 时和 n 前连续出现 ξ ( m ) =1 次数。 （1）试证明η ( n ) 是一马尔可夫链，并求其一步转移概率 （2）从零状态出发，经 n 步转移，求首次返回零状态的概率 f 00 和 n 步转移概率 P00 ； （3）该链是常返的还是非常返的？ （4）设 T 代表连续两个η ＝0 间的时间，则 T 为一随机变量。求 T 的均值和方差 解（1） ：(n) (n)η (n ) 的状态空间是 I:{0,1,2…}。其一步转移概率是，从状态 n（n=0,1,2…）出发，Pn 0 =1 1 , Pn ,n +1 = ， 2 2从状态 n 到其他状态的转移概率为 0。 解（2） ：(n) f 00 = P{ξ (0) = 0;ξ ( k ) = 1, k = 1,2,L, n ? 1;ξ ( n ) = 0}1 = ( )n 2(n) = P{ξ ( n ) = 0; ξ ( k ) = 0或1, k = 1,2, L , n ? 1; ξ ( n ) = 0} P00= ∏ (ξ ( k ) = 0或1) ? ξ ( n ) = 0k =1n ?1=解（3） ： 该链是常返的。 解（4） ：1 21 P{T = m} = ( ) m = 2? m 2 1 d ? ∞ ? ?1? E{T } = ∑ ? ? ? m = ? ? ∑ s m ? 2 ds ? m =1 ? s = 1 m =1 ? 2 ?m215E{T } = = =1 d ? s ? ? ?| 1 2 ds ? 1 ? s ? s = 2 1 (1 ? s ) + s | 1 2 (1 ? s ) 2 s = 2 1 1 | 1 2 (1 ? s ) 2 s = 2=2上述求解认为 1/2，应改为一般的通解。 解（1） ：对伯努利过程，设 P{ξ (n) = 1} = p, 则P{ξ (n) = 0} = 1 ? pη (n ) 的状态空间是 I:{0,1,2…}。其一步转移概率是， pij 是Pi 0 = 1 ? p, j不为零时Pi , j = p ? δ i ( j ?1)解（2） ： 当n为0时(n) f 00 =1 (n) P00 =1，当 n 不为 0 时(n) f 00 = p n ?1 (1 ? p) (n) P00 = 1-p解（3） ： 因为 解（4） ：∑Pn =0∞(n) 00= ∞ ，故零状态常返，又各态是相通的，故该链是常返的。P{T = n} = (p) n ?1 (1 ? p) 2 E{T } = ∑ (p) n ?1 (1 ? p) 2 ? nn =1=1 1? p2 n =1D(T)= ∑ (p) n ?1 (1 ? p) 2 ? n ? = p (1 ? p) 21 (1 ? p) 216第三章 马尔可夫过程（II） 状态离散参数连续的马尔可夫过程第1题 设有一泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ， 若有两时刻 s,t，且 s&t，试证明? n ?? s ? ? s? P{N ( s ) = k / N (t ) = n} = ? ?k ? ?? t ? ?1 ? t ? ? ? ?? ? ?解：kn ?k其中 k=0,1,2,…,nP{N ( s) = k / N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t ) = n} / P{N (t ) = n} = P{N ( s) = k , N (t ? s ) = n ? k} / P{N (t ) = n} = (λs ) k ?λs [λ (t ? s)]n ? k ?λ (t ? s ) e ? e k! (n ? k )!k n?k(λt ) n ?λt e n!? n ?? s ? ? s ? =? ?k ? ?? ? ?1 ? ? ? ?? t ? ? t ?第2题 设顾客按泊松分布抵达银行，其到达速率为 λ 。若已知在第一小时内有两个顾客抵达银 行，问： （1）此顾客均在最初的 20 分钟内抵达银行的概率为何？ （2）至少有一个顾客在最初的 20 分钟内抵达银行的概率为何？ 解（1） ：P{N ( s ) = k / N (t ) = n} = P{N (20) = 2 / N (60) = 2} ? n?? s ? = ? ?? ? ? k ?? t ? ? 20 ? =? ? ? 60 ?2 2 k? s? ?1 ? ? ? t?n?k? 20 ? ?1 ? ? ? 60 ?2? 2?1? 1 =? ? = ? 3? 9解（2） ：P = 1 ? P{N (20) = 0 / N (60) = 2} ? 20 ? = 1? ? ? ? 60 ?2 0? 20 ? ?1 ? ? ? 60 ?2?2? 5 = 1? ? ? = ?3? 91第3题 设 {N (t ), t ≥ 0} 为泊松过程，其参数为 λ 。设ψ N ( t ) ( s ) 是随机变量 N(t)的母函数，证明 （1）ψ N ( t + Δt ) ( s ) = ψ N ( t ) ( s )ψ N ( Δt ) ( s )（2）?ψ N ( t ) ( s ) ?t= limψ N ( t + Δt ) ( s ) ? ψ N ( t ) ( s )ΔtΔt → 0= ψ N ( t ) ( s ) limψ N ( Δt ) ( s ) ? 1Δt = λ ( s ? 1)ψ N ( t ) ( s )Δt →0（3）当|s|&1 时 limψ N ( Δt ) ( s ) ? 1ΔtΔt → 0= λ ( s ? 1) 或?ψ N ( t ) ( s ) ?t（在证明过程中运用泊松过程的四个假设） 解（1） ：ψ N ( t ) ( s) = ∑ P{N (t = n)} ? s nn=0 ∞∞=∑(λt ) n ? λt n e s n! n=0 (λts) n n! n =0∞= e ? λt ∑ = e λt ( s ?1)= e ? λt e λtsψ N (t + Δt ) ( s) = e λ (t + Δt )( s ?1) ψ N ( Δt ) ( s) = e λ ( Δt )( s ?1)∴ψ N ( t + Δt ) ( s) = ψ N ( t ) ( s) ?ψ N ( Δt ) ( s)解（2a） ：?ψ N ( t ) ( s ) ?t lim=? λt ( s ?1) (e ) = λ ( s ? 1)e λt ( s ?1) ?t e λ (t + Δt )( s ?1) ? e λt ( s ?1) Δt →0 Δt λΔt ( s ?1) e ?1 = e λt ( s ?1) lim Δt → 0 Δt λΔt ( s ? 1) + 0(Δt ) = e λt ( s ?1) lim Δt → 0 Δt λt ( s ?1) =e ? λ ( s ? 1) = lim == e λt ( s ?1) lim =eλt ( s ?1)ψ N (t + Δt ) ( s) ? ψ N (t ) ( s)ΔtΔt →0ψ N (t ) ( s ) limψ N ( Δt ) ( s) ? 1ΔtλΔt ( s ? 1) + 0(Δt )ΔtΔt →0Δt →0? λ ( s ? 1)Δt →0limψ N (t + Δt ) ( s) ? ψ N (t ) ( s)Δt= ψ N ( t ) ( s ) limψ N ( Δt ) ( s) ? 1ΔtΔt →02方法（2b） ：Δt →0limψ N (t + Δt ) ( s) ? ψ N (t ) ( s)Δte λ ( t + Δt )( s ?1) ? e λt ( s ?1) Δt →0 Δt λΔt ( s ?1) e ?1 = e λt ( s ?1) lim Δt →0 Δt ψ N ( Δt ) ( s ) ? 1 = ψ N ( t ) ( s ) lim Δt →0 Δt = lim e λΔt ( s ?1) ? 1 Δt →0 Δt λΔt ( s ? 1) + 0(Δt ) = e λt ( s ?1) lim Δt →0 Δt λt ( s ?1) =e ? λ ( s ? 1) = e λt ( s ?1) lim解（3） ：ψ N (t ) ( s) limψ N ( Δt ) ( s) ? 1ΔtΔt →0第4题 利用习题 3 得到的偏微分方程式求： （1）泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} 的母函数ψ N ( t ) ( s ) 的表示式； （2）P{N(t)=k},k=0,1,2,….的表示式。 解（1） ：?ψ N ( t ) ( s ) 1 ?ψ N ( t ) ( s ) ?t ?t= λ ( s ? 1)ψ N ( t ) ( s ) = λ ( s ? 1)ψ N (t ) ( s)lnψ N ( t ) ( s ) = λ ( s ? 1)tψ N (t ) ( s) = e λ ( s ?1)= e ?λt ? e λst =e? λt(λst ) k ∑ k! k =0∞(λt ) k ?λt k =∑ e s k! k =0∞解（2） ：(λt ) k ?λt P{N (t ) = k} = e k!第5题 设有非齐次泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ，它的均值函数 m(t)可以表示为 m(t ) = t 2 + 2t, t ≥ 0 ，求3在 t=4,t=5 间出现 n 个事件的概率。 解：∫54m(t )dt = ∫ (t 2 + 2t )dt451 = [ t 3 + t 2 ]5 4 3 ? 125 ? ? 64 ? =? + 25 ? ? ? + 16 ? 3 3 ? ? ? ? 61 = +9 3 88 = 3 ? 88 ? ? ? ? 88 3 P{N (5) ? N (4) = n} = ? ? e 3 n!n第6题 设 ξ ,η 是两个非负整值随机变量，定义二元离散随机变量的母函数为φξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1k z 2 n P{ξ = k ,η = n}k = 0 n =0∞∞k、n 均为非负整数。（1）求 φξ ( z ) ，用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之； （2）若 ξ ,η 是彼此统计独立的随机变量，试证明 φξη ( z1 , z 2 ) = φξ ( z1 )φη ( z 2 ) （3）设有随机变量 w = ξ + η ，求随机变量 w 的母函数，用 φξη ( z1 , z 2 ) 表示之； （4）设有二元随机变量 ξ ,η ，其母函数为 φξη ( z1 , z 2 ) = exp{?a1 ? a 2 ? b + a1 z1 + a 2 z 2 + bz1 z 2 } 其 中 a1,a2,b&0,问 ξ 的分布是否符合泊松分布？ η 的分布是否符合泊松分布？ ξ ,η 是否统计独 立？若 w = ξ + η ，问 w 是否符合泊松分布？ 解（1） ：φξ ( z ) = ∑ P(ξ = k ) z kk =0 ∞∞= =k =0 n=0 ∞ ∞∑ (∑ P(ξ = k , η = n)) z ∑ ∑ P(ξ = k , η = n)zk∞k?1n?1nk =0 n=0= φξη ( z1 = z, z 2 = 1)解（2） ：φ ξη ( z1 , z 2 ) = ∑∑ z1 k z 2 n P{ξ = k , η = n}k =0 n =0 ∞ ∞∞∞= ∑∑ z1 z 2 P{ξ = k}P{η = n}k n k =0 n =0= φ ξ ( z1 )φη ( z 2 )解（3） ：4φ w ( z ) = ∑ P(ξ + η = k ) z kk =0 ∞∞= ∑ [∑ P(ξ = n, η = k ? n)]z kk =0 n =0 ∞ ∞∞= ∑ ∑ P(ξ = n, η = k ? n)z n ? z k ? nn=0 k =nk &#39; = k ? n∑ ∑ P(ξ = n, η = k &#39; )z n ? z kk =0 n =0∞∞&#39;= φ ξη ( z1 = z, z 2 = z )解（4） ：φ ξ ( z ) = φ ξη ( z1 = z , z 2 = 1)= exp(? a1 ? a 2 ? b + a1 z + a 2 + bz ) = exp[( z ? 1)(a1 + b)]ξ符合泊松分布。φ η ( z ) = φ ξη ( z1 = 1, z 2 = z )= exp( ? a1 ? a 2 ? b + a1 + a 2 z + bz ) = exp[( z ? 1)( a 2 + b)]η符合泊松分布φ w ( z ) = φ ξη ( z1 = z, z 2 = z )= exp(?a1 ? a 2 ? b + a1 z + a 2 z + bzz ) = exp[( z ? 1)(a1 + a 2 + b) + bz ( z ? 1)] = exp[( z ? 1)(a1 + a 2 + b + bz )]w 不符合泊松分布。 第7题 设 {N 1 (t ), t ≥ 0} 和 {N 2 (t ), t ≥ 0} 是相互统计独立的泊松过程，其参数分别为 λ1 和 λ2 。若N 0 (t ) = N 1 (t ) ? N 2 (t ) 问 {N 0 (t ), t ≥ 0} 是否为泊松过程？解：φN (v) = exp{λt (e jv ? 1)}0φN (v) = E{exp{ jvN0 (t )}0= E{exp{ jv( N1 (t ) ? N 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t ) ? exp{? jvN 2 (t )} = E{exp{ jvN1 (t )}E{exp{? jvN 2 (t )} = φN1 (v)φN2 (?v) = exp{λ1t (e jv ? 1)}exp{λ2t (e? jv ? 1)} = exp{λ1te jv + λ2te? jv + (λ1 + λ2 )t}无法写成泊松过程特征函数的形式exp{λ t (e jv ? 1)}5由于特征函数与概率有相同的特性∴ N 0 (t ) = N1 (t ) ? N 2 (t )不符合泊松过程的分布规律.第8题 有复合泊松过程 { X (t ) =N (t ) n =1∑Y , t ≥ 0} ，其中 Y , n = 1,2,3,L 是彼此统计独立、同分布的随nnYn 和 N(t)也是统计独立的。 求复合泊松过程 { X (t ), t ≥ 0} 机变量， {N (t ), t ≥ 0} 是一泊松过程， 的特征函数。如果 Yn , n = 1,2,3,L 的概率分布为λ1 + λ2 λ2 P{Yn = ?1} = λ1 + λ2 而 泊 松 过 程 {N (t ), t ≥ 0} 的 参 数 λ ＝ λ1 ＋ λ2 ， 试 证 明 { X (t ), t ≥ 0} 的 特 征 函 数 为φ X ( t ) ( v ) = exp{λ1te jv + λ2 te ? jv ? ( λ1 + λ2 )t} 。试比较此结果与 7 提所得的结果，说明 7 题中的N 0 (t ) = N 1 (t ) ? N 2 (t ) 是一复合泊松过程。P{Yn = 1} =λ1解：φ X ( t ) ( v ) = E {ejvX}N 9t ) n =1= E {exp{ jvN (t ) n =1∑Yn}= E { ∏ exp{ jvY n }} = E N { ∏ E Y {exp{ jvY }}n =1 N (t )= E N { ∏ φ Y ( v )}n =1N (t )(λ t ) n ? λt = ∑ e [φ Y ( v )] n n ! n=0 = exp{( φ Y ( v ) ? 1) λ t }∞φ Y (v) = e jv ?λ1 λ1 + λ 2+ e ? jvλ2 λ1 + λ 2λ2 λ1 + λ 2φ X ( t ) (v) = exp{(φ Y (v) ? 1)λt}= exp{(e jv ?λ1 λ1 + λ 2+ e jv ?? 1)λt}= exp{λ1te jv + λ 2 te ? jv ? (λ1 + λ 2 )t}N 1 (t ), N 2 (t ) 相互独立。 N 1 (t ), N 2 (t ) 之和是泊松过程。 N 1 (t ), N 2 (t ) 之差是复合泊松过程， N 1 (t ) 对应 Yn=1, N 2 (t ) 对应 Yn=-1。6第9题 在某交通道上设置了一个车辆记录器，记录南行、北行车辆的总数。设 X(t)代表在 [0, t ) 内南行的车辆数，Y(t)代表在 [0, t ) 内北行的车辆数，X(t) 、Y(t)均服从泊松分布，且相互统 计独立；设 λ 和η 分别代表在单位时间内通过的南行、北行车辆平均数。如果在 t 时车辆记 录器记录的车辆数为 n，问其中 k 辆属于南行车的概率为何？] 解：P{ X (t ) = k / X (t ) + Y (t ) = n} = P{ X (t ) = k , X (t ) + Y (t ) = n}/ P{ X (t ) + Y (t ) = n} = P{ X (t ) = k , Y (t ) = n ? k}/ P{ X (t ) + Y (t ) = n} = = (λt )k ? λt (η t )n ? k ?ηt [(λ + η )t ]n ? ( λ +η )t } e ? e /{ e (n ? k )! k! n! ? λ ? ? η ? n! ? ? ? ? k !(n ? k )! ? λ + η ? ? λ + η ?k n-k第 10 题 设 { X 1 (t ), t ≥ 0} 和 { X 2 (t ), t ≥ 0} { X 3 (t ), t ≥ 0} 为三个相互统计独立的泊松过程， λ1 、 λ2 和 X2(t)和 X3(t)的参数。 若 X1(t)＋X2(t)＋X3(t)＝n 时， 求 X1(t)＝k 、 X2(t)=j λ3 分别为 X1(t)、 的条件概率，即求 P{ X 1 (t ) = k , X 2 (t ) = j / X 1 (t ) + X 2 (t ) + X 3 (t ) = n} 。 解：P{ X 1 (t ) = k , X 2 (t ) = j / X 1 (t ) + X 2 (t ) + X 3 (t ) = n} = P{ X 1 (t ) = k , X 2 (t ) = j, X 1 (t ) + X 2 (t ) + X 3 (t ) = n}/ P{ X 1 (t ) + X 2 (t ) + X 3 (t ) = n} = P{ X 1 (t ) = k , X 2 (t ) = j, X 3 (t ) = n ? k ? j}/ P{ X 1 (t ) + X 2 (t ) + X 3 (t ) = n} = (λ1t ) k ? λ1t (λ2t ) j ? λ2t (λ3t ) n ? k ? j ? λ3t ?[(λ1 + λ2 + λ3 )t ]n ? ( λ1 + λ2 + λ3 )t ? e ? e e /? e ? (n ? k ? j )! k! j! n! ? ?k j? ? ? ? ? ? λ3 λ1 λ21 n! = ? ? ? ? ? ? k ! j !(n ? k ? j )! ? λ1 + λ2 + λ3 ? ? λ1 + λ2 + λ3 ? ? λ1 + λ2 + λ3 ?n-k-j第 11 题 有一个有两个元件组成的系统， 这两种元件当遇到下列不同类型的振动时遭受损坏。 如 出现第一种类型振动，将使甲失效；如出现第二类型振动，将使元件乙失效；如出现第三种 类型振动，将使甲乙两元件同时失效。在（0，t）内出现一、二、三种类型振动的事件均服 从泊松分布；出现二、三种类型振动的出现率分别为 λ1 、 λ2 和 λ3 。又设 X1 代表元件甲的寿 命，X2 代表元件乙的寿命。试证明： （1） P{ X 1 ≥ s, X 2 ≥ t} = exp{?λ1 s ? λ2 t ? λ3 max(t , s )} （2） P{ X 1 ≥ s} = exp{?(λ1 + λ3 ) s}7（3） P{ X 2 ≥ t} = exp{?(λ2 + λ3 )t} 解（1） ：P{ X 1 ≥ s, X 2 ≥ t}在(0,t)时间内没有第一和第三种振动、在(0,s)时间内没有第二和第三种振动， 即在(0,t)时间内没有第一种振动、在(0,s)时间内没有第二种振动、在(0,t)以及 (0,s)时间内没有第三种振动；= exp{?λ1s} ? exp{?λ2t} ? exp{?λ3 max(t , s )} = exp{?λ1s ? λ2t ? λ3 max(t , s )}解（2） ：P{ X 1 ≥ s} = P{ X 1 ≥ s, X 3 ≥ s}在(0,t)时间内没有第一和第三种振动， 即在(0,t)时间内没有第一种振动、在(0,t)时间内没有第三种振动；= exp{?λ1s}exp{?λ3 s} = exp{?(λ1 + λ3 ) s}解（3） ：P{ X 2 ≥ t} = P{ X 3 ≥ t , X 2 ≥ t}在(0,s)时间内没有第二和第三种振动， 即在(0,t)时间内没有第二种振动、在(0,t))时间内没有第三种振动；= exp{?λ2t}exp{?λ3t} = exp{?(λ2 + λ3 )t}第 12 题 设有一脉冲串送入计数器，在 [0, t ) 出现的脉冲数服从泊松分布，其脉冲的出现率为 λ 。 脉冲到达计数器可以被记录，也可能不被记录。每一个脉冲能被记录的概率为 Pr。不同脉冲 是否被记录是相互统计独立的。设 X(t)是在 [0, t ) 内被记录的脉冲数， （1）求 P{ X (t ) = k}, k = 0,1,2,L （2） { X (t ), t ≥ 0} 是否服从泊松分布？ 解（1） ：P{ X (t ) = k} = ∑∞(λ t ) n ? λ t k k e Pr (1 ? Pr )n ? k Cn n ! n=k∞ k((1 ? p)λt ) n ? λt ? p ? n! =∑ e ? ? n! n=k ? 1 ? p ? k !(n ? k )!解（2） ：{ X (t ), t ≥ 0} 是复合泊松过程，相当于 Yn=1 被记录，Yn=0 不被记录。第 13 题8设有一非齐次泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ，其中 λ (t ) = 1 (1 + cosωt ) ， ω 为常数。求： 2 （1）过程 {N (t ), t ≥ 0} 的均值 E{N(t)}; （2）过程 {N (t ), t ≥ 0} 的方差 D{N(t)}。 解：1 2tλ (t ) = (1 + cos ωt )1 m(t ) = ∫ λ (u )du = ∫ (1 + cos ωu )du 2 0 0 = 1 t sin ωt + 2 2ωnt非齐次泊松过程在（0,t）时间内发生 n 个事件的概率是[ m(t )]n!e? m (t )非齐次泊松过程在（0,t）时间内的母函数是P(t , s) = ∑ Pn (t )s nn =0 ∞=∑n =0∞[ m(t )]n!∞ne? m (t ) s nn= e? m (t ) ∑n =0[ m(t )s ]n!=e =e? m(t ) m(t ) sem ( t )( s ?1)解（1） ：过程 {N (t ), t ≥ 0} 的均值 E{N(t)}E [ N (t ) ] = m(t ) = D [ N (t )] = m(t ) =t 1 + sin ωt 2 2ω t 1 + sin ωt 2 2ω解（2） ：过程 {N (t ), t ≥ 0} 的方差 D{N(t)}第 14 题 设有两个相互统计独立的泊松过程 { X (t ), t ≥ 0} 和 {Y (t ), t ≥ 0} ， 两个过程的事件出现率分 别为 λ x λ y 。试证明在过程 { X (t ), t ≥ 0} 中两个相邻事件间，过程 {Y (t ), t ≥ 0} 出现 k 个事件的? 概率为 P = ? λ x ?λ +λ y ? x ?? λ y ?? ?? λ + λ y ?? x ? ? ? ?k( k = 0,1,2,L)解：{ X (t ), t ≥ 0} 中两个相邻事件间为 t 的概率密度，等于在 (0, t ) 时间间隔内不发生任何事件、而在 (t , t + Δt ) 发生事件的概率，即 (0, t )9e? λxt λx Δt在 (0, t ) 时间间隔内，过程 {Y (t ), t ≥ 0} 出现 k 个事件的概率为（λ y t ) k k!率是：P=∫∞e? λyt在过程 { X (t ), t ≥ 0} 中两个相邻事件间隔内， 发生过程 {Y (t ), t ≥ 0} 出现 k 个事件的概（λ y t ) kk! t k ?( λ x + λ y )t k e λ y λ x dt =∫ 0 k! k = λ x λ y (λ x + λ y ) ? k +10 ∞e?λ y te ? λ x t λ x dt? λx =? ?λ +λ y ? x?? λ y ?? ?? λ + λ y ?? x? ? ? ?k(k = 0,1,2, L)第 15 题 设有两个通信用信道， 每个信道的正常工作时间是一负指数分布的随机变量， 其均值为λ1 。两个信道何时产生中断是相互统计独立的。信道一旦中断，立刻进行维修，其维修时间也是负指数分布的随机变量，其维修平均时间为 1 。两个信道的维修时间也是统计独立 μ 的。设两个信道在 t=0 时均正常工作。 （1）求这两个信道组成的系统 Q 矩阵。 （2）列出前进方程式； （3）求在 t 时两个信道均处于正常工作状态的概率； （4）求在 [0, t ) 内两个信道连续工作的概率。 解（1） ： 系统状态：维修信道数（0，1，2） ，? ? 2λ ? Q = ?μ ?0 ? 2λ ?λ ?μ 2μ 0 ? ? λ ? ? 2μ ? ?解（2） ：P = PQ ? P00 ? P = ? P10 ?P ? 20 P01 P11 P22 P02 ? ? P12 ? P22 ? ??解（3） ：p = pQ p = ( p0?p1p2 )10求 p 0 即是在 t 时两个信道均处于正常工作状态的概率。 解（4） ： P｛在 [0, t ) 内两个信道连续工作｝＝ e ?2λt第 16 题 一条电路共给 m 个焊工用电，每个焊工均是间断地用电。现做若下假设： （1）若一 （2）若一焊工在 t 使没有 焊工在 t 使用电、而在 (t, t + Δt ) 内停止用电的概率为 μΔt + ο ( Δt ) ； 用电、 而在 (t, t + Δt ) 内用电的概率为 λΔt + ο ( Δt ) ； 每一焊工的工作情况是统计独立的。 设 ξ (t ) 表示在 t 是正在用电的焊工数。 （1）求该过程的状态空间； （2）求该过程的 Q 矩阵； （3）设 ξ (0) = 0 ，列出福克－普朗克微分方程式； （4）当 t → ∞ 时，求极限分布 Pn。 解（1） ： 该系统的状态空间是 n=0,1,2,…,m 解（1） ： 解（2） ： 该过程的转移概率，Q 矩阵n = 1,2, L , m ? 1 Pn ?1, n = (m ? n)λ Pn +1, n = nμ Pn, n = ?nμ ? (m ? n)λ Pk , n = 0 (k ≠ n ? 1, n, n + 1); n=0 P0,1 = mλ P0,0 = ?mλ Pk , n = 0 (k ≠ n, n + 1) n=m Pm, m ?1 = mμ Pm, m = ?mμ Pk , n = 0 (k ≠ n ? 1, n)解（3） ：p = pQ p = ( p0?p1p2 )解（4） ： 稳态求解 ，极限分布11p 0 ? mλ = p1 μ p1 (m ? 1)λ = p 2 ? 2μLLp m ?1 λ = p m mμ∴ pn = p0λ m! ( )n n! (m ? n)! μmn = 1,2, L , m∑pn =0mn= p0 ∑λ m! ( )n = 1 ? n m n μ ! ( )! n =0第 17 题 设由一“生、移民及灭”过程，其中λn = nλ + a (λ & 0, a & 0) 起始状态 ξ (0) = n0 nλ 代 μ n = nμ ( μ & 0)表状态为 n 时的自然增长，a 代表移民。 （1）写出描写这一过程的福克－普朗克微分方程组； （2）求描写平均值 M ξ (t ) = E{ξ (t )} 的微分方程组； （3）求 M ξ (t ) 。 解（1） ： 写出该过程的 Q 矩阵为：?aμ0 M 0 Ma 0 0 ? ( μ + λ + a) 0 λ+a 2μ ? [2( μ + λ ) + a ] 2λ + a M M M 0 M 0 Mdp 0 (t ) = ?ap 0 (t ) + μp 1 (t ) dt0 ML nμ M M0 0 0 M0 0 0 M? [n( μ + λ ) + a] nλ + a L 0 M M M M0 0 0 M0 0 0 M0 0 0 M0 0 0 M因此福克普朗可方程为：dpm (t ) = [(m ? 1)λ + a ] pm ?1 (t ) dt ? [m( μ + λ ) + a ] p m (t ) + (1 + m) μ pm +1 (t ), m ≥ 1解（2） ：M ξ (t ) = E{ξ (t )} = ∑ n p n (t ) = ∑ n p n (t )n =0 n =1∞∞利用福克普朗克方程12∞ d d M ξ (t ) = ∑ n pn (t ) dt dt n =1= ∑ n(n + 1) μ pn +1 (t ) + ∑ n[(n ? 1)λ + a ] pn ?1 (t )n =1 n =1∞∞? ∑ n[n( μ + λ ) + a ] pn (t )n =1∞整理可得∞ ∞ d M ξ (t ) = (λ ? μ )∑ n pn (t ) + ∑ apn ?1 (t ) dt n =1 n =1从而d M ξ (t ) = (λ ? μ ) M ξ (t ) + a dt此即 M ξ (t ) 所满足的微分方程 解（3） ： 如果 λ = μ 则 M ξ (t ) = at + d ，其中 d 为待定常数。 由于 M ξ (0) = n0 所以 d = n 0 从而 如果 λ ≠ μ 设M ξ (t ) = at + n 0 ；M ξ (t ) = c(t ) ? exp[(λ ? μ )t ]带入微分方程，可得 c&#39; (t ) = a ? exp[?(λ ? μ )t ] 所以 c(t ) = ?a ? exp[?(λ ? μ )t ] + C 其中 C 为待定常数 λ?μ a λ?μ进而可得 M ξ (t ) = C ? exp[(λ ? μ )t ] ?由于 M ξ (0) = n0 所以 C = n 0 +a λ?μ所以 M ξ (t ) = (n0 +a a ) exp[(λ ? μ )t ] ? λ?μ λ?μ第 18 题13在“生灭”过程中，如果参数 λn = 0 μ n = μ ，则该过程原是“纯灭”过程。如其起始 状态 ξ (0) = n ，求 pnj，n&j&0。 解：j = n ?1 Pn , j = μ j=n Pn , j = ? μ j ≠ n ? 1, n Pn , j = 0第 19 题 设有一“生灭”过程，其中 λ n = λ , μ n = nμ ， λ , μ 均为常数，且 λ & 0, μ & 0 ，其起始状 态 ξ (0) = 0 。 （1）试证明 p n (t ) = P{ξ (t ) = n} 满足下列方程式：? dp 0 (t ) = ?λp 0 (t ) + μp1 (t ) ? ? dt ? ? dp n (t ) = λp (t ) ? (λ + nμ ) p (t ) + (n + 1) μp (t ) n ?1 n n +1 ? ? dt(n ≥ 1)（2）设 G ( u , t ) Δ∑∞n=0p n (t )un，即 G (u, t ) 为 ξ (t ) 的母函数。试证?G (u, t ) ?G (u, t ) + μ (u ? 1) = λ (u ? 1)G (u, t ) ?t ?t（3）解上述偏微分方程式，证明 G (u, t ) = eλ uf [ e ? μt ( u ?1 ) ] μ其中 f [.] 是任意函数；1 ( μ ?1)(1? e ? μt )（4）利用起始条件 p0 (0) = p{ξ (0) = 0} = 1 或 G (u,0) = 1 证明 G (u, t ) = e μ1（5）证明 pn (t ) = eμ(1? e ? μt )1 λ { [ (1 ? e ? μt )]n } n! μ（6）求其均值函数 M ξ (t ) = E{ξ (t )} = ? （7）试证明 lim p0 (t ) = et →∞?λ μ。解（1） ： 状态 n=0,1,2,…14n = 1,2, L Pn ?1, n = λ Pn +1, n = nμ Pn, n = ?nμ ? λ Pk , n = 0 (k ≠ n ? 1, n, n + 1); n=0 P0,1 = λ P0,0 = ?λ Pk , n = 0 (k ≠ n, n + 1)p = pQ p = ( p 0 (t )?p1 (t )p 2 (t ) )可得? dp 0 (t ) = ?λp 0 (t ) + μp1 (t ) ? ? dt ? ? dp n (t ) = λp (t ) ? (λ + nμ ) p (t ) + (n + 1) μp (t ) n ?1 n n +1 ? ? dt(n ≥ 1)解（2） ：?G (u, t ) ?t ? ∞ = ∑ pn (t )u n ?t n =0=∑∞?pn (t ) n u ?t n=0∞ n=0 ∞= ∑ u n [λ pn ?1 (t ) ? (λ + nμ ) pn (t ) + (n + 1) μ pn +1 (t )] = ∑ u n [λ pn ?1 (t ) ? nμ pn (t )] + ∑ u n [?λ pn (t ) + (n + 1) μ pn +1 (t )]n =1 n=0 ∞= [∑ u n λ pn ?1 (t ) ? ∑ u n λ pn (t )] ? ∑ u n nμ pn (t ) + ∑ u n (n + 1) μ pn +1 (t )n =1 n=0 n =1 n=0∞∞∞∞= ∑ u n λ (u ? 1) pn (t ) ? ∑ u n nμ pn (t ) + μ ∑ u n ?1npn (t )n=0 n =1 n =1∞∞∞= λ (u ? 1)G (u , t ) ? μ (u ? 1)∑ u n ?1npn (t )n =1∞= λ (u ? 1)G (u , t ) ? μ (u ? 1)解（3） ：略 解（4） ：略?G (u , t ) ?t15解（5） ：略 解（6） ：略 解（7） ：略 第 20 题 设有时变、纯增长过程 ξ (t ) ,其参数为 λn (t ) = 过程的起始状态为 ξ (0) = 0 。 （1）设 p k (t ) = P{ξ (t ) = k } ,写出描写 pk(t)的福克－普朗克微分方程组； （2）解该微分方程，证明p 0 (t ) = (1 + aλt ) p k (t ) =? 1 a 1λ(1 + an )( n = 0,1,2, L , a & 0, λ & 0) 1 + aλt? k ? k ?1 ( λt ) k (1 + aλt ) a ∏ (1 + am) ( k ≥ 1) k! m =1该过程称为卜里耶(polya)过程。 解（1） ： 该过程的 Q 矩阵为：0 0 0 ? λ0 (t ) λ0 (t ) 0 0 0 ? λ1 (t ) λ1 (t ) 0 0 ? λ2 (t ) λ2 (t ) 0 0 0 L L 0福克普朗克方程为：d p0 (t ) = ?λ0 (t ) p0 (t ) dt d pn (t ) = ?λn (t ) pn (t ) + λn?1 (t ) pn?1 (t ), n ≥ 1 dt解（2） ： 解关于 p0 (t ) 的微分方程p0 (t ) = (1 + aλt )?1 a+C其中 C 为待定常数。由于 p0 (0) = 1 ，令上式中 t 为零，解得 C 为零。从而有p0 (t ) = (1 + aλt )对于 pn (t )?1 a。d pn (t ) = ?λn (t ) pn (t ) + λn?1 (t ) pn?1 (t ), n ≥ 1 dt令16f k (t ) = (1 + aλt )k+1 a?1∑ (1 + am)m =1k ?1,k ≥ 2f k (t ) = (1 + aλt )k+1 a,k =1于是 p n (t ) 的微分方程可化为：d [ f k (t ) ? pk (t )] = λ[ f k ?1 (t ) ? pk ?1 (t )], k ≥ 1 dt令f k (t ) ? pk (t ) = δ k (t )于是有d (δ k (t )) = λδ k ?1 (t ) dt对上式两边作拉普拉斯变换，有：sΔ k ( s ) ? δ k (0) = λΔ k ?1 ( s )又因为δ k (0) = 0, k ≥ 1所以sΔ k ( s ) = λΔ k ?1 ( s )从而可递推得Δ k ( s) = ( ) k Δ 0 ( s) s而 δ 0 (t ) = 1, 可得Δ 0 ( s ) =λ1 。所以 s1 Δ k ( s ) = λk ( ) k +1 s对上式作拉氏反变换可得(λ t ) k δ k (t ) = k!又f k (t ) ? pk (t ) = δ k (t )所以pk (t ) =证毕? k ? k ?1 (λ t ) k (1 + aλt ) a ∑ (1 + am), k ≥ 1 k! m =1 117第 21 题 设 [0, t ) 内到达的顾客服从泊松分布，参数为 λ 。设有单个服务员、服务时间为负指数分 布的排队系统（M／M／1） ，平均服务时间为 1 。试证明： μ （1）在服务员的服务时间内到达顾客的平均数为 λ ； μ （2）在服务员的服务时间内无顾客到达的概率为 解（1） ： 服务时间为 t 的概率密度为 μe ? μt ，相应 n 个顾客到达的概率为 (λt ) e ? λt .在服务时间内 n! 平均到达的顾客数为nμ 。 λ+μE{N } = ∫ e ? μt ∑ n0 n =1 ∞∞∞(λt ) n ? λt e μdt n!= ∫ e ? μt ∑0 ∞ 0∞(λt ) n ?1 ? λt e λt ? μdt n =1 ( n ? 1)!= ∫ e ? μt e λt e ? λt λt ? μdt = ∫ e ? μt λt ? μdt0 ∞ ∞= λ ∫ ? d (e ? μt )t0= λ ∫ e ? μt dt0∞λ = μ解（2） ： 服务时间为 t 的概率为 μe ? μt ，相应没有顾客到达的概率为 e ? λt .∫第 22 题∞0e ? λt e ? μt ? μdt =μ λ+μ设有单个服务员、服务时间为负指数分布的排队服务系统，平均服务时间为 1 ；到达 μ 服务点的顾客数服从泊松分布，参数为 λ ，问顾客到达时排队系统中已有 n 个或 n 个以上顾 客的概率为何 ( n ≥ 0) ? 解： 到达稳定状态后λ p0 = μ p1 p1 = ? λ p1 = μ p2?λ? ? p0 ?μ?2?λ? ?λ? p2 = ? ? p1 = ? ? p0 ?μ? ?μ?18L Lλ pk ?1 = μ pkL L又有?λ? ?λ? pn = ? ? pn ?1 = ? ? p0 ?μ? ?μ?n∞ ?λ? 1 = p p0 = 1 ∑ ∑ k ? ? p0 = ?λ? k =0 k =0 ? μ ? 1? ? ? ?μ? ∞kp0 = 1 ?λ μ∞ k k k顾客到达时排队系统中已有 n 个或 n 个以上顾客的概率?λ? ?λ? ?λ? 1 pk = ∑ ? ? p0 = ? ? p0 = ? ? ∑ k =n k =n ? μ ? ? μ ? 1? ? λ ? ?μ? ?μ? ? ?∞第 23 题 设有如题 22 所给的排队服务系统（M／M／1） 。设排队已到达统计平稳状态。服务的 规则是先到先服务。 设 y 代表一顾客花费在排队等候的时间和服务时间的总和。 求 y 的概率 密度 f y (t ) ，并证明： （1）一个顾客花费在系统内的时间小于或等于 x 的概率为 1 ? e ? ( μ ?λ ) x ； （2）一个顾客花费在排队的时间小于或等于 x 的概率为? λ 1? ( x = 0) ? ? μ ? ?(1 ? λ ) + λ (1 ? e ?( μ ?λ ) x ) ( x & 0) ? μ μ ?解（1） ： 服务一个用户时间为 t 的概率为 e ? μ t ? μ dt ； 服务二个用户时间为 t 的概率为 μte ? μ t ? μ dt ； 服务 k 个用户时间为 t 的概率为 ( μt ) e ? μ t ? μ dt (k ? 1)!k ?1用户到达系统后，系统内有 k－1 个用户的概率为 pk-1，相应等待及服务时间是 k 个用 户的服务时间，因此花费时间为 t 的概率是k ?1= 0∑∞pk ?1( μ t ) k ?1 ? μ t e ? μ dt (k ? 1)!k ?1? λ ?? λ ? ( μt ) k ?1 ? μt e ? μ dt ∑ ?1 ? ?? ? μ ?? μ ? (k ? 1)! k ?1= 0 ? ? λ ? ∞ (λ t ) n ? μ t = ?1 ? ? μ ∑ e ? dt ? μ ? n =0 n ! =∞= ( μ ? λ )e? ( μ ?λ )t dt因此有f y (t ) = ( μ ? λ )e ? ( μ ?λ ) t19一个顾客花费在系统内的时间小于或等于 x 的概率为∫x0f y (t )dtx0= ∫ ( μ ? λ )e ?( μ ?λ )t dt = 1 ? e ?( μ ?λ ) x解（2） ： 若 x=0p0 = 1 ?若 x&0λ μ( μt ) k ?1 ? μ t e ? μ dt (k ? 1)!kf y&#39; (t ) = ∑ pkk =1 ∞∞? λ ?? λ ? ( μ t )k ?1 ? μ t e ? μ dt = ∑ ?1 ? ?? ? μ ?? μ ? (k ? 1)! k =1 ?∞ ? λ? (λt ) k ?1 ? μ t λ = ?1 ? ? μ ? ∑ e ? dt μ ? μ ? k =1 (k ? 1)!= ( μ ? λ )e ? ( μ ? λ ) tλ dt μ排队时间小于等于 x 的概率为? λ? x ?1 ? ? + ∫0 f y&#39; (t )dt ? μ? ? λ? λ = ? 1 ? ? + (1 ? e ? ( μ ?λ ) x ) ? μ? μ? λ ?1 ? μ ( x = 0) ? ∴? ??1 ? λ ? + λ (1 ? e ? ( μ ?λ ) x ) ( x & 0) ? ? ? ?? μ ? μ第 24 题 设有单个服务员、 服务时间为负指数分布的排队服务系统。 到达服务点的顾客数服从泊 松分布，参数为 λ 。在这个服务系统中再作如下规定；当顾客被服务结束后，他以概率 α 离 开系统，而以概率 1 ? α 重新再去排队，于是一顾客可多次被服务，设每次服务的平均服务 时间为 1 。 μ （1）建立这个系统的平衡方程，求系统进入统计平稳后取各状态的概率，并说明存在统计 平稳的条件； （2）问顾客从进入系统起到他第一次被服务所花费的排队等候时间的平均值； （3）求顾客进入系统会一共被服务了 n 次的概率 ( n ≥ 1) ； （4）求顾客被服务的时间平均值（不包括该顾客在系统内排队等候的时间） 。 解（1） ：20λ p0 = μα p1 p1 = ?? λ ? ? p0 ? μα ?2? λ ? ? λ ? λ p1 = μα p2 p2 = ? ? p1 = ? ? p0 μα ? ? ? μα ? L L ? λ ? ? λ ? pn = ? ? pn ?1 = ? ? p0 ? μα ? ? μα ?nλ pk ?1 = μα pkL L 又有∞ ? λ ? 1 pk = ∑ ? p0 = 1 ∑ ? p0 = μα ? λ ? k =0 k =0 ? ? 1? ? ? ? μα ? ∞kp0 = 1 ?λ μαn? λ ? pn = ? ? ? μα ?? λ ? ?1 ? ? ? μα ?平稳条件是 解（2） ：λ &1 μαf y&#39; (t ) = ∑ pkk =1∞( μα t ) k ?1 ? μ t e ? μα dt (k ? 1)!k ?1∞ ? λ ?? λ ? = ∑ ?1 ? ? μα ?? k =1 ? ?? μα ?( μα t ) k ?1 ? μ t λ μα dt e ? μα (k ? 1)!= ( μα ? λ )e? ( μ ?λ )tλ dt μα∫=∞0f y&#39; (t ) ? tdt∞= ∫ ( μα ? λ )e ? ( μ ?λ )t0λ ? tdt μα∞ λ ( μα ? λ ) ? ∫ e ? ( μ ?λ )t ? tdt 0 μα λ = ( μα ? λ ) μα ∞ ∞ ? 1 ? ? ( μ ?λ )t e ? ( μ ?λ )t dt ? )+ μ 1 ? μ ? λ ∫0 ?d ( t e ∫ ?λ 0 ? ?λ ∞ ? ( μα ?λ )t e dt μα ∫0 1 λ = ? μα μα ? λ=解（3） ：21(1 ? α )n ?1α解（4） ： 各次服务是相互独立的，总共被服务 n 次的时间平均为 n ，被服务时间的平均值是 μ∑ nα (1 ? α )n =1∞n ?11μα ∞ ∑ n(1 ? α )n?1 μ n=1 ∞ α d = (1 ? α ) n ∑ μ d (1 ? α ) n=1 d α ? 1?α ? = ? μ d (1 ? α ) ? ? α ? α d ? k ? = ? / k =1?α μ dk ? ? 1? k ? α 1 = / μ (1 ? k )2 k =1?α α 1 = ? 2 μ α= = 1μα第 25 题 某加油站有两台泵，只有当顾客抵达加油站时泵有空闲，方可立刻对该顾客进行服务， 顾客才进入系统；否则，如顾客见到两台泵均被占用便立即离去。潜在的顾客按泊松分布规 律抵达油站，其参数为 λ ；油站对顾客的服务时间是负指数分布的随机变量，其平均服务时 间为 1 。求进入加油站接受服务的顾客与抵达加油站的潜在顾客的比率。 μ 解： 顾客到达加油站与加油站状态是相互统计独立，所求比率为p 0 + p1 其中 p 0 + p1 + p 2p 0 , p1 , p 2 是加油站有 0，1，2 个顾客的稳态概率。?λ? λ p0 = μ p1 p1 = ? ? p0 ?μ? ? λ ? 1?λ ? λ p1 = 2μ p2 p2 = ? ? p1 = ? ? p0 2? μ ? ? 2μ ? λ 1+ p0 + p1 μ = 2 p0 + p1 + p2 λ 1?λ ? 1+ + ? ? μ 2? μ ?222第 26 题 某项作业包括三台同一类型的机器和二个维修工。 每台机器的正常工作时间 （从开始工 作到遭受损坏而不能工作的时间间隔） 是按负指数规律分布的随机变量， 其平均工作时间为 10 个小时。一个维修工维修一台机器所需的时间也是按负指数分布的随机变量，其平均维 修时间为 8 小时。求： （1）不工作机器的数学期望； （2）两个维修工均忙着维修及其所占的时间。 解：稳态方程? 3λ ? 3λ p0 = μ p1 p1 = ? ? p0 ? μ ? ?λ? ?λ? 2λ p1 = 2μ p2 p2 = ? ? p1 = 3 ? ? p0 μ ? ? ?μ?2λ p2 = 2μ p3又有? λ ? 3? λ ? p3 = ? ? p2 = ? ? p0 2? μ ? ? 2μ ?32 3 ? ? λ ? 3? λ ? ? ? 3λ ? + 3 ? ? + ? ? ? ? p0 = 1 pk = ?1 + ∑ μ k =0 ? μ ? 2? μ ? ? ? ? ? 1 p0 = 2 3 ? λ ? 3? λ ? 3λ + 3? ? + ? ? 1+ μ ? μ ? 2? μ ? 3λ 10 = = 0.8 μ 18 p0 ≈ 0.1641解（1） ：E{不工作机器｝ = 1? p1 + 2 ? p2 + 3 ? p3 ?λ? 3? λ ? p0 + 2 ? 3 ? ? p0 + 3 ? ? ? p0 = 2? μ ? μ ?μ? ?λ? 9?λ ? p0 + 6 ? ? p0 + ? ? p0 = 2? μ ? μ ?μ? ≈ 1.4解（2） ：3λ233λ23T = ( p2 + p3 ) ? 8 ?λ? 3? λ ? = [3 ? ? p0 + ? ? p0 ] ? 8 2? μ ? ?μ? ?λ? ?λ? = 24 ? ? p0 + 12 ? ? p0 ?μ? ?μ? ≈ 3.626h232 3 2 3第 27 题 设有一出租汽车站。 到达该站的出租汽车数服从泊松分布， 平均每分钟到达一辆出租汽 车；到达该站的顾客数也服从泊松分布，平均每分钟到达顾客 2 人。如果出租汽车到站时无 顾客候车，不论是否已有汽车停留在站上，该辆汽车就停留在站上候车；反之，如果顾客到 达汽车站时发现站上没有汽车，他就离去；如果顾客到占时有汽车在候客，他就可以立刻雇 一辆。问： （1）在其车站上等候的出租汽车数为何？ （2）在到站的潜在顾客中有多少雇得了出租汽车？ 解： 设 n 表示汽车站上等候的汽车数，即系统的状态，达到稳定状态后λ p0 = μ p1 p1 = ? λ p1 = μ p2L L?λ? ? p0 ?μ? ?λ? ?λ? p2 = ? ? p1 = ? ? p0 ?μ? ?μ?nλ pk ?1 = μ pkL L又有∞ ∞?λ? ?λ? pn = ? ? pn ?1 = ? ? p0 ?μ? ?μ?∑ p = ∑? μ ?k =0 k k =0?λ? ?k?p0 = p0 = 1p0 = 1 ?λ μn?λ? ? λ? pn = ? ? ?1 ? ? ?μ? ? μ? = ρ n (1 ? ρ )ρ=λ μp0 = 1 ? ρ解（1） ： 等候的出租汽车数∑ npn = (1 ? ρ )∑ nρ nn =1 n =1∞∞= (1 ? ρ ) ρd ρn ∑ d ρ n =1∞24= (1 ? ρ ) ρd ρ d ρ 1? ρ 1? ρ + ρ = (1 ? ρ ) ρ (1 ? ρ ) 2 =ρ1? ρ解（2） ： 到站的潜在顾客中雇得了出租汽车的平均数为(1 ? p0 ) μ = μ ? λ第 28 题 设某更新过程的时间间隔服从泊松分布，其均值为 μ ，即P{x n = k } = e ?μ μ k , k = 0,1,2L 。 k!（1）求 Sn 的分布； （2）计算 P{N(t)=n}。 解： 设随机变量 xn 的母函数为 Gn ( s ) 因为 xn 都服从泊松分布，所以 Gn ( s ) = e 因为 s n =nμ ( s ?1)∑ xi 所以 sn 的母函数为 F (s) = ∏ Gi (s) = exp[nμ (s ? 1)]i =1 i =1n因此 P{s n = i} = 由此可得：F ( i ) (0) (nμ ) i exp(?nμ ) = i! i!P{N (t ) = n} = P{s n ≤ t & sn +1} = P{s n & t} ? P{s n+1 & t} =∑[t ](nμ ) j exp(?nμ ) [ t ] [(n + 1) μ ]k exp[?(n + 1) μ ] ?∑ j! k! j =1 k =1其中[t]为高斯函数，表示不超过 t 的最大整数。 第 29 题 设更新过程的时间间隔 Xn 的分布函数为 F(t)，f(t)为其概率密度，m(t)为［0，t］内平均 更新的次数，m(t)=E{N(t)}。试证明 m(t ) = F (t ) + ∫ m(t ? x ) f ( x )dx0 t解： 利用课本 P224 的（10）式f (t ) = λ (t ) ? ∫ λ (t ? u ) f (u )du0t25对该式两边从零到 t 积分可得：∫因为t0f (t )dt = ∫ λ (t )dt ? ∫0tt0 0∫ λ (t ? u ) f (u )dudtttF (t ) = ∫ f (t )dt , m(t ) = ∫ λ (t )dto ot所以有F (t ) = m(t ) ? ∫交换积分次序，有t0 0∫ λ (t ? u ) f (u )dudtttF (t ) = m(t ) ? ∫所以t0 0∫ λ (t ? u ) f (u )dtduF (t ) = m(t ) ? ∫ m(t ? u ) f (u )du 将第二项的积分变量换为 x0t得F (t ) = m(t ) ? ∫ m(t ? x) f ( x)dx0t即m(t ) = F (t ) + ∫ m(t ? x) f ( x)dx0t证毕第 30 题 在使用中的一机器，或因损坏而更新，或因使用 T 时而更新。如果相继更新的机器的 寿命是相互统计独立的随机变量， 且具有相同的分布函数 F(t)， 其相应的概率密度函数为 f(t), 试证明： （1）长期工作时机器的更新率为{∫ xf ( x)dx + T[1 ? F (T )]}T 0?1；（2）长期工作中使用的机器损坏率为F (T )∫ xf ( x)dx + T [1 ? F (T )]0T解：略 长期工作时机器工作寿命为 x 的概率密度是 f(x)， 机器工作寿命大于 T 而没有损坏的概 率是 1-F(T)，机器损坏的概率是 F(T)。 长期工作时机器的平均工作时间是 长期工作时机器的更新率是T∫T0xf ( x)dx + T [1 ? F (T )]?1{∫ xf ( x)dx + T[1 ? F (T )]}0长期工作时机器的损坏率是机器损坏的概率与损坏机器和没有损坏而更新机器的 概率之比，是T 0F (T )。∫ xf ( x)dx + T [1 ? F (T )]26第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析平稳随机过程 第1题 设有一泊松过程 {N (t ), t ≥ 0} ,求： (1) P{N (t1 ) = k1 , N (t 2 ) = k 2 } ， 用 t1 , t 2 的函数表示之； (2) 该过程的均值和相关函数。 （3）问该过程是否为平稳过程？ 解（1） ： 解（2） ： 解（3） ： 解（待补充）第2题 设有一个最一般概念的随机电报信号 {ξ (t )} ，它的定义如下：(1) ξ (0) 是正态分布的随 机变量 N (0, σ 2 ) ；(2)时间 τ 内出现的电报脉冲的个数服从泊松分布，即P{k ,τ } = ( λτ ) k ? λτ e k! k = 0,1,2,L(3)不同时间的电报脉冲幅度服从正态分布 N (0, σ 2 ) ， 这个脉冲幅度值延伸到下一个电报脉冲 出现是保持不变， 在不同电报脉冲内的幅度取值是相互独立的， 同一个电报脉冲内幅度是不 变的； (4)不同时间间隔内出现电报脉冲的个数是相互统计独立的。 它的样本函数如图题 4-2。 试求（1）它的两元概率密度函数； （2）是问该过程是否平稳？ 解（1） ： 欲求 fξ ( x1 , x1; t1 , t2 ) ，设 τ = t2 ? t1 ， t2 & t1 ，则： 相隔为τ的两点之间一直没有出现新的电报脉冲的概率为 e 相隔为τ的两点之间有新的电报脉冲的概率为 1－ e? λτ ? λτ前者 t1，t2 两点位于同一脉冲上，后者位于不同的相互独立的脉冲上， 故相应的二元概率密度是，定义τ＝ t1 ? t2e ? λτ δ ( x1 ? x2 )解（2） ：1 2πδ 2exp(?2 2 x2 1 x2 + x12 ? λτ ) + (1 ? e ) exp( ? ) 2δ 2 2πδ 2 2δ 2该过程是宽平稳的。 （∵ E ? ?ξ ( t ) ? ? = 0 ， fξ ( x1 , x1; t1 , t2 ) 只与 t1 ? t2 有关）二阶矩过程 第3题1设为独立同分布随机变量，且均匀分布于 (0, 1) 上；又设有随机过程η (t ) = ξ1 sin(ξ 2 t ) (t ≥ 0) （2）η (t ) 的相关函数。 求（1）η (t ) 的均值；解（1） ：E {ξ1} = ∫ xdx =011 2 1 3E ξ1 = ∫ x 2 dx =2 0{ }11E[η (t )] = E[ξ1 ]E[sin(ξ 2t )]=1 sin x2tdx2 2∫ 01 = [1 ? cos t ] / t 2解（2） ：E [η (t1 )η (t2 )] = E [ξ1ξ1 ]E [sin(ξ 2t1 )sin(ξ 2t2 )]=1 [ cos[ x2 (t1 ? t2 )] ? cos[ x2 (t1 + t2 )]] dx2 6∫ 01 ? sin(t1 ? t2 ) sin(t1 + t2 ) ? ? ? ? 6 ? t1 ? t2 t1 + t2 ?1=第4题 设 ξ (t ) 是实