第六届数学建模竞赛；参赛论文；●团队编号：；●选择赛题：【A】【B】；注：用2B铅笔将所选择的题目涂黑；●论文题目：；基于综合成绩的学生学习状况客观评价指标体系；●参赛队员个人信息：；姓名性别系别班级学生证号签名注：前五栏为四号宋体；基于综合成绩的学生学习状况客观评价指标体系；摘要；为了更好的完善校园管理学习系统，需要对学生的成绩；总体来说分为三个方面：㈠从
第六届数学建模竞赛 参 赛 论 文 ● 团队编号：
● 选择赛题： 【A】 【B】 注：用2B铅笔将所选择的题目涂黑
● 论文题目： 基于综合成绩的学生学习状况客观评价指标体系 ● 参赛队员个人信息： 姓名
注：前五栏为四号宋体，最后一栏用黑色中性笔签名。
基于综合成绩的学生学习状况客观评价指标体系 摘 要 为了更好的完善校园管理学习系统，需要对学生的成绩有更加全面综合的评价，当下对学生的学习情况的评价方式过于简单，思想比较主观，单以测试成绩的硬件数据来评价学生的整体水平，而忽略了很多其他的因素，比如说：入学成绩的高低，每个学期的提升高度，基础相对较差学生的提升高度，和每个人课外能力。因为对各项数据的分析可以得出学校教学情况，更好的提高教学情况和学生课外素质的锻炼。所以我们建立一个客观，更合理的评价学生学习情况的数学模型，通过各方面的考虑，本次数学建模希望通过解决以下几个问题来为学校提供更好的评价模型 总体来说分为三个方面： ㈠从总体上分析：通过对整体612名学生的硬件成绩来分析总的成绩框架。，通过整合各项数据，经过计算，绘制出表格。再通过表格分析更深层次的情况。对数据进行有关的处理，运用Matlab对其进行直方图的统计以及正态曲线的拟和，并进行正态分布检验，通过结果，分析学生的学习状况。 然后得出每个学期各个分数段的学生人数，计算出整体的平均分，学生成绩的离散度，定性的比较出学生成绩整体的情况。接下来，运用马尔可夫链，对学生成绩进行定量的分析，得出每个学期学生的成绩总体的变化值。根据数据对学生的整体情况进行评价 ㈡从个体上分析：通过对612名学生每个个体的成绩情况分析计算来进行一个综合的学习评价，我们采用了三种方法：进步度评分法，标准分的计算法和综合评价法。 进步度评分法――根据低水平学生和高水平学生成绩提高幅度相等但权重不等的原则，用多种微分方差和指数方程来转换测验成绩，使较低水平学生大幅增长的成绩与较高水平选手小幅度增长的成绩可以进行比较。此方法是：首先，以现测成绩减去原始成绩之差为进步分，然后，对照T分进步度评价表查出该学生的成绩 标准分的计算法――将原始分数与其平均数之差除以标准差所得的商数，来评定对象之间的差异，它是以标准差为单位，度量原始分数离开平均数的度量，标准分是一个抽象值，不受原始单位的影响，并且接受代数方法的处理。 综合评价法――我们综合评判一个学生的学习状况时，除了考虑他的综合成绩，同时还应结合他的进步情况，因此我们确定他的学习状况是{综合成绩，综合进步度得分}，由此，我们得出他的综合得分，根据综合得分，我们给他们进行排名。
关键字：Matlab
马尔可夫链
标准分的计算法
综合评价法
一．问题重述
客观、科学地全面评价学生，是对学生个体的认可、也是对学生个体的鼓励；激励先进，勉励后进。这是营造良好学风的关键点之一。而如何做到科学、全面的评价则是关键之关键。 请你结合实际，建立一个客观的评价指标体系。并就你的评价体系，结合附件所给的数据，用数学建模的方法，对附件所有的学生做评价并排序。并根据你的评价结果对附件所给的学生做聚类或其它分析。
二．问题分析
【题目分析】 根据所给题目，可以知道我们所需要解决的问题如下，具体可以分为下面三个步骤： 1、建立一个客观的评价指标体系； 2、根据建立的评价体系，结合附件所给的数据，用数学建模的方法，对附件所有的学生做评价并排序； 3、根据评价结果对附件所给的学生做聚类。
【系统分析】
具体我们分为了详细的步骤，由整体入手分析，整理出一个全面的概念，然后具体的分析每个学生的各项综合素质 整体结构：本文在于客观、合理的评价学生的综合学习状况，由于数据为离散性的且数据较多，由实际经验可预知，每学期的成绩分布可能为正态分布，所以首先需要对所给的612名学生4个学期的成绩进行整体分析，对数据进行有关的处理，运用Matlab对其进行直方图的统计以及正态曲线的拟和，并进行正态分布检验，通过结果，分析学生的学习状况。本题并没有明确试卷的难度系数，所以其难易程度是未知的，因此在模型建立前对试卷进行公平合理的分析，即分析试卷的难度和区分度同时对附录的数据进行合理的筛选，如附件数据中学生编号222，第2学期的平均成绩和学生编号288，第四学期的平均成绩均为0，需要作为异样数据排除。然后统计出每个学期各个分数段的学生人数，计算出整体的平均分，学生成绩的离散度，定性的比较出学生成绩整体的情况。接下来，运用马尔可夫链，对学生成绩进行定量的分析，得出每个学期学生的成绩总体的变化值。根据数据对学生的整体情况进行评价。 个体结构：对于每个学生，本文主要从两个方面综合评价学习状况，分别是学生的进步度和学生的学习成绩，学生的学习成绩即为附件中的数据。对于学生的进步度分析，由于不同学期之间试卷的难易不能区分，因此我们引用标准分，来比较不同学期学生的进步情况。首先，我们对每个学生的成绩进行处理，求出每个学生每个学期的进步度。 综合评价：最后我们结合整体的水平和每个学生的综合个人素质给出一个较准确地评判标准
三、模型假设
【七种假设条件】 根据严谨的数学条件，必须先排除不确定性的因素，通过假设来统一评判标准，如下：
1.假设每个学期成绩的满分为100分；
2.每个学生考核的内容及标准是一样的；
3.假设每位学生所处的学习考试环境均相同，学生的学习情况是连续的，不存在休学，缺考等状况；
4.假设附件数据中的两个0（学生编号222，第2学期和学生编号288，第四学期的平均成绩）是由特殊情况所致，作为异样数据排除后，整体情况不会发生变动；
5.每位学生的学习能力基本保持不变，都处于一个变动的状态，在这一状态下，变化幅度快慢的变化是相对渐变的，不会出现骤变的现象，并且是有规律可循的；
6.假设学校基本的教学基础条件不会发生很大规模的改变，保证不会存在整体教学水平的变动而对个体的成绩产生较大的影响。 7.假设本文中所做得数据拟合和曲线反映情况准确、可靠，不存在较大的误差。 【注】 根据原题附件中给予的数据均只保留一位小数，又由于在进行对比处理时，小数点得位数并不会带来多少影响，所以我们在本文最后只保留一位小数，前提是假设这样的处理并不会对该评价体系的建立产生较大的影响。
四、对学生整体的学习状况进行评价
4.1、学生整体成绩的预处理 【成绩处理】： 利用附件中所给的数据进行统计，得到了学生成绩总体分布的情况如图所示。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，低于60分的为不及格。对于标准分，利用Excel对612名学生的四个学期的各个不同分数段人数进行分布统计，统计各个等级的人数如下： 等级 优秀 良好 及格 表1：四个学期之间分数段人数的比较 分数段 第一学期 第二学期 第三学期 0 90~100 0 1 138 80~89 204 129 275 70~79 246 303 140 60~69 110 144 42 50~59 35 24 12 40~49 7 4 3 30~39 3 3 2 30分以下 5 4 第四学期 0 194 287 105 13 3 1 9 不及格
【成绩分析】： 从上面的数据来总体分析，这四个学期中，第一和第三这两个学期学生成绩低于70分以下的人数比较多，对于80到90分这个区间，第一学期和第三学期人数却比较少，而在第二、四学期却比较高。明显的反应了第二学期和第四学期学生的学习状态比较好。而对于中等分数段即70到80分之间的学生的人数的比较，由于第二、四两个学期的70分以下的人数减少，而大部分原来成绩徘徊在70到80分之间的人数却进步到80分以上了，因此在70分到80分这个成绩区间，第二第四学期的人数比较少，第一学期和第三学期的人数相对比较的多。 由上图可知，四学期的成绩整体符合正态分布，对其进行正态性检验： 第一学期： 三亿文库包含各类专业文献、中学教育、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、各类资格考试、文学作品欣赏、10第6届数学建模一等奖――关于学生学习状况客观评价指标体系等内容。　
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《经济数学模型化过程分析》
本书旨在使读者理解经济模型化思想以及如何运用数学模型化的方法和技巧，解决经济问题。 数学模型化（Mathematical Modelling）是指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。其目的在于研究开发数学模型在经济领域中分析问题、逻辑思维和辅助决策的作用和功能。
本书共由四个模块构成:
第一模块为经济数学模型化过程的基础理论部分，主要包括数学模型基本理论、数学模型化一般程序、以及为实现模型化必须进行的信息收集与评价等内容。这部分由三章组成：第一章在给出各种简单数学模型的基础上，讨论了数学模型的基本概念和性质，阐明了模型与原型及其逻辑关系。第二章在明确信息的数量化是建造模型的前提下，讨论了数量化与量纲的问题，然后对数学模型的特性、应用条件及应用的评判准则进行了说明，最后详细论述了模型化过程的问题。第三章介绍了模型化信息的收集方法和模型化信息的处理方法。
第二模块为微观经济数量决策分析模型的讨论与研究，主要内容包括运筹学模型化过程中如何表述目标，确定环境因素，选择标准数学模型，最优性条件的确定及最优解（或满意解）的求出。这部分内容由第四章、第五章组成：第四章论述了销售机理模型化过程，主要由销售机理分析、成本机理分析、风险机理分析、时间机理分析、约束问题分析等部分构成；第五章在第四章销售机理模型化过程的基础上，给出了多目标多指标模型的一般形式。并对单目标最优解的性质进行了分析。指出了各种经济量对数量决策的影响。此外研究了非线性共轭对偶理论的应用。
第三模块内容由两部分构成：第一部分介绍了系统论的思想与方法，第二部分为计量经济模型化过程。
本模型块由第六章、第七章组成：
第六章主要讨论经济控制论模型，首先阐述了系统论的方法和规律，最后给出了一个具体宏观经济控制模型。
第七章为计量经济模型分析，计量模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，在收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。最后运用模型估计进行经济预测和政策评价。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法，然后指出在实证分析中运用计量模型应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。
第四模块为本书的最后一章，作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。
第八章主要内容如下：
首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多D多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。
本书作者之一杨健博士自1986年在中国人民大学开设全校研究生选修课程&经济数学模型化&。此后，龚德恩教授、任朝佐教授、严守权副教授、赵国庆副教授等都曾讲授此课程，他们的贡献推动了经济数学模型化的研究。十年后的今天此书终于在同行们的关心下问世。
此外，中国人民大学的魏权龄教授、英国兰卡斯特大学的Graham K.Rand教授、日本国京都大学的森栋公夫教授，都曾对本书提出许多非常有益的建议，在此一并向他们表示衷心的谢意。
特别要提到的是王戈、周国栋、崔惠军、尹明玉，他们在本书的打印输入及校对公式中付出了艰辛的劳动。中国人民大学出版社潘旭燕女士作为本书的责任编辑付出了辛勤劳动，在此谨表谢意。
本书中的一些研究成果为国家&211&工程项目 &中国宏观经济运行模拟和分析系统& 的一部分，本书的部分章节构成北京市普通高等学校教育教学改革试点立项研究的基础。
本书作为经济数学模型化过程分析的一个尝试还存在着不少不足之处，恳切希望广大读者指正。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1998年8月
第一章 数学模型概论
§1.1 引言
任何模型都是原型的一种表现形式，而原型则指我们所研究的对象。我们所讨论的模型是依据原型，由人来构造的模型，它是人对客观世界的一种理解。广义而言，由于世间的事物皆有同一性，故任何事物都可能成为另一事物的模型；但对千差万别的具体事物而言，模型又是有条件的。
构造模型是研究和解释客观世界的一种手段。它使人们在比原型现存条件更为有利的条件下研究原型。模型可以是实体，也可以是理论；既可以定性，也可以定量；可以具体，亦可抽象。借助模型，人们可以从不同的侧面、不同的层次，去认识原型。尤其是在现实世界里，有一些研究工作无法在原型上直接进行，因此人们需要构造模型来解决理论和实践中的问题。模型是对原型的一种近似，它们之间存在着某种因果关系。抽象地说，模型是原型的映象。
模型的性质
作为一个模型，应具备以下三个性质：
1.近似性：模型是原型若干特征或内在联系的模仿或近似。
2.主观性：模型基于构模者对原型以及&模型空间&的理解。
3.能动性：模型可以能动地反映原型，乃至在时空上超越原型的现状。
正是模型的这些性质，使得人们愈来愈多地利用模型，重视模型，并开始探索建模的方法。建立模型不仅需要对原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。模型化方法是学习建模的基础，抽象与想象则需在实践中培养。就如作画需要对景物的敏锐观察，训练有素的技巧和艺术的抽象与想象。当然，不断地钻研、探索、创新，是步入科学殿堂的必由之路。
对于同一原型，可以有不同的模型。如何评价模型的优劣是模型化关心的问题之一。模型的价值应取决于模型化的目的。换言之，模型的优劣应由其解决问题的优劣而定。如果一个模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，从而有助于我们分析和解决问题，它就是一个好模型。
模型的种类甚多。依据不同的准则，有以下几类主要的模型：
1.按照相似程度划分：
有同构模型(Isomorphic Model)和同态模型(Homomorphic Model)。前者与其原型之间存在着一一对应的关系，即同构关系；后者与其原型的部分相对应，依其相似程度可细分为精确的(Acurate)、适度的(Adequate)、和粗略的(Coarse)三种同态模型。
2.按照结构性态划分：
有形象模型(Iconic Model)和抽象模型(Abstract Model)之分。前者是由改变现实原型的度量、尺度或维数而得到的，其构造多为依据P定理（见第二章）和相似性原理，故又称比例模型(Scale Model)；后者是用抽象的符号、图表、语辞等表述的模型。抽象模型又可细分为3类：
1）比拟模型(Analog Model)：它建立在不同的事物之间，模型与原型存在着同构 或同态的关系。例如用一组可控的条件来表征真实原型，通过模拟性实验研究原型的 变化规律，这组可控条件就是比拟模型。
2）概念模型(Concept Model)：它是凭借现有的知识，提出的关于原型的结构与特 性的表述。概念模型往往是抽象的、原始的。
3）数学模型(Mothematical Model)：它是用数学语言表达原型结构、特征、及内在 联系的模型。例如，用字母、数字或其它有特别含意的数学符号建立起来的等式、不 等式、图象、以及框图等，都是数学结构，当它们表征一个特定原型时，就是数学 模型。
3.按照对原型的了解程度划分：
有白箱模型(White Box Model)、黑箱模型(Black Box Model)和灰箱模型(Grey Box Model)三种。构模者对原型内部的结构与特性的了解程度分别是完全了解、完全不了解和部分了解。
关于模型的划分，不同的准则划分的类型也不同。例如有人认为能真正划分的模型只有两类：实物模型(Physical or Material Model)和符号模型(Symbolic or Formal Model)。实物模型是有形的、可触知的、实体的模型化表达，模型的元素由物质或硬件构成。如形象模型、硬件比例模型、和比拟计算机模型等。符号模型是理论的、符号的、抽象的模型化表达，模型元素由原型的特定结构或行为的若干方面的符号表述。如图样、语词表达、逻辑模型、数学模型以及计算机程序等等。关于模型的性质及其分类将在第二章进行详细地讨论。
在一切模型之中，数学模型是用途最广泛的一种。多少世纪以来，数学以其高深玄妙而被誉为自然科学的&皇后&。然而在科学技术突飞猛进的今天，多学科相互交融，边缘学科不断涌现。&皇后&屈尊降为各学科的&侍女&，应运而生的交叉学科举不胜举。如生物数学、数理医药学、计量经济学、计量地理学、数量经济学等等，犹如群芳争春，竞相绽放。虽然新学科各有异彩，人们注意到一个事实：它们的共同之处就是都借助数学模型研究各自的原型世界！这些新兴学科的成功无一不是得益于数学模型的利用。尤其是在这个计算机时代，往日只有数学家才能完成的计算工作，如今一般人也能完成，这一切使得数学模型的应用成为可能，因此，模型化工作日益受到人们的重视。
应当看到，即使在今天，人们对数学模型的本质仍有许多误解。例如有人认为数学模型是一种语言，很容易予以文字解释。这恰恰与实际情况相左，数学模型的一般性常常使人不知所云。还有人认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。
本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。
§1.2 数学模型基本概念
数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。E.A.本德[5]在他的《数学模型引论》中这样写道：&数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。&具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关系、逻辑式、图表、图象和框图。数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。模型化研究具有广阔前景。
在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。
【例1.2.1】资源的配置
资源短缺是全世界共同面临的问题。如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。如果已知第i种商品的单位创利额是ci,(i=1,…,n）；生产单位商品i需消耗aij单位的资源j,(i=1,…,n j=1,…,m)；现有资源j的总量为bj，(j=1,…,m)；待决策的商品i的数量为xi，(i=1,…,n)。则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=(x1,…xn)T
判别决策优劣的目标是创利额
我们记x=(x1,…xn)
A=(aij)n′m
C=(c1,…cn)T
b=(b1,…bn)T
就得到一个数学模型
max cTx (1-2-1)
s.t. Ax￡ b
这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。
【例1.2.2】 人口的预测
人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预测作过许多尝试。我们考虑一种最简单的情况。假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x(t0)=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t 3 t0可以得到一个粗糙的模型
其中，r = h－d是净生殖率，由初始条件解出
利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。
【例1.2.3】 马克思的生产模型
马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；3）被资本家剥削的剩余价值m。依据生产资料的性质，马克思把国民经济分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。由定义，两部类的总价值分别为
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
马克思指出：如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。于是，我们得到
v1＋m1＋v2＋m2 =II
我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。而且，都与数学结构
v1＋m1 =c2
等价。即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。值得指出的是：虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上&等价&。
【例1.2.4】常胜的赌徒
赌场如战场，有胜亦有败。但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏：
1.每次上赌场的目标是赢一元钱
2.一旦赢钱立刻停赌
那么他第k次的赌注为2k-1
,总赌注: Bk = 1＋2＋22＋…＋2k-1
假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p。显然，连输k次的概率是qk。因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1－qk，不论&常胜&意味胜的概率P0有多大，只要p&0且P0&1，当k充分大时，必有
1－qk & P0
换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。模型为
s.t. 1－qk & P0，
2k－1 ￡ n，k为正整数
当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！
现在我们考虑数学模型的基本概念与性质。首先给出如下定义：如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。
由定义不难得出，以下结论：一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。正如物理学中描述物体运动的牛顿模型
和爱因斯坦模型
在数学意义下相悖。但都成功地刻划了物体运动的规律。
我们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a?L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。并记 。
下面我们举例说明可分性。
【例1.2.5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型，
其中主要变量有内生变量：Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；外生变量：G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：P（价格水平）。四个方程式分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。不考虑派生结构。
模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。例如可分成
连同假设一起考虑，M1中有4个内生变量和一个外生变量，故知其不唯一地确定变量的值。同理M2亦然。这些分结构可能没有合适的经济背景，所以称不上模型。对数学模型进行分解时，必须考虑假设的相应变化及经济解释。经济学家常把模型M置放在（Y，R）空间，从而得到十分重要的IS曲线和LM曲线，并成功地利用它们说明了许多经济问题。其分解如下：
LM：M=(kY－hR)P
IS曲线表示出满足国民收入定义式，消费需求和投资需求的利率R与国民收入Y的组合形式；LM曲线表示货币供给等于货币需求时国民收入Y和利率R的变动轨迹。IS曲线和LM曲线的交点恰为数学模型M的唯一解。利用恰当的分解，能够得到许多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1∩M2似乎难有合理的经济解释，但分解M=IS∩LM则是最出色的分解。然而若不分解M，则只能得到唯一的解(Y*，C*，R*)T，失去了研究各种经济力量如何影响均衡的机会。综上所述，我们看到分解就是将数学模型的若干部分孤立起来，撇开广泛的、总的联系。同时，想到原结构是一个整体结构，要考察子结构之间是如何发生联系的。
为了便于讨论，我们引入模型元的概念，如果数学模型的结构MSa是MS的一个结构元或模型元，细心的读者可能注意到我们有时并没有严格地区分数学模型与数学结构。我们约定今后将在承认差异下一视同仁。
模型元并不一定是最基本的构模元素，只是具有相对独立性的&小&模型罢了。基本的构模元素有以下五种：
1. 数据：与原型有关的数字、图形、以及可定量化的其他信息。
2. 变量：假定属于已知值域的任何值。变量有独立与相关、内生与外生、先决与滞后等区别。
3. 参数：在特定的模型中只能假定取一固定数值的量。有固定与可变、可调与不可调之分。
4. 数学式：用以联系变量、参量的相依序关系的符号，如&=&、&&&、&3&、&￡&、& &等等。
5. 逻辑表述：关于模型结构，因果关系的表述，如&?&、&ì&、&T&，等等。
依照上述分析方式，可以定义原型的可分性，从而引出子原型，原型元等概念。勿需讳言，可分与否是相对的，有主观性。一般说来，当原型或子原型的内涵与外延已十分清楚时，可以认为其已不可分了。
利用一个基本的数学结构，通过改变假设条件或数学推导可得出新的数学模型。有时新结构之间并不矛盾，有时却相悖。我们试看一例。
【例1.2.6】套汇均衡
众所周知，在国际金融市场上汇率是瞬息万变的。如果以有n国货币的金融市场为原型，则汇率有 种。然而若将货币间的相互影响和单向汇率考虑在内，则问题将变得十分复杂。我们把多国间的问题分解成两国间的问题，则大大地简化了问题。关于汇率变化的机理，经济学家认为套汇者的推波助澜是关键的。我们假设：A国和B国的利率分别为rA和rB，现期汇率为St（A币/B币），期货汇率为FT，（T&t）。套汇者对其行为有一定的估价，先从A国贷款a（单位A币），并按St换成B国货币存入B国银行。到T时刻连本带利一起取出，按约定的汇率FT兑成A国货币，那么以A币为标准单位的净收益
如果p&0，反其道而行之，得到
其中b是向B国银行所贷的款额，这时必有p&0。假设M1所给的净收益是正的，则有一等价模型
在此模型成立的情况下，套汇者一定有利可图。当众多的套汇者都这样干时，会引起rA上升和rB以及FT的下降，综合结果是使p趋于零。于是，我们得到均衡模型
M4说明了汇率变化的中心趋势，FT实际上是ST的预测值。值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同时成立，它们不相容的原因是加了不同的假设条件。
我们定义两个数学结构是不相容的，如果在数学意义下两个结构不能同时成立。例如由于不存在这样的ST，FT，rA和rB使M3和M4同时成立，故称M3和M4不相容。我们记之为M3∩M4=?。
由于模型间有一定的逻辑关系，我们引进序的概念：如果由一个数学结构MS￠可以得出另一个数学结构MS＂，则称M＇和M＂之间存在着序，记作MS＇f MS＂（读作MS＇导MS＂）。所谓序&得出&包括适当地增加假设条件和纯形式的推导。如果依据纯粹的数学理论及方法，从MS＇推导MS＂，则称MS＇和MS＂之间存在真序，记作MS＇ffMS＂（读作MS＇真导MS＂）。根据模型化的观点，不是同一原型的模型之间无所谓序关系。今后谈到模型间的序关系时，均指同原模型。由定义我们不难证明两个命题：
命题①若M＇f M＂，则必有M＇∩M＂≠?
命题②若M＇ff M＂，则必有M＇∩M＂≠?
这些证明留给读者。
既然有序的概念，很自然地引出数学结构的等价关系。如果两个数学模型M＇和M＂满足序关系，且M＇f M＂，M＂fM＇则称M＇和M＂是等类的，记作M＇∽M＂。如果M＇ff M＂且M＂ff M＇，则称M＇和M＂等价。记作Ｍ＇∽ Ｍ＂。显然，等价必等类，反之不然。关于导序的性质，不难由定义推出。
1. 对称性：若M＇f M＂，则M＂p M＇；
2. 传递性：若M＇f M＂，M＂fM＂＇，则必有M＇fM＂＇；
3. 反身性：若M＇f M＂，M＂p M＇，则必有M＇∽ M＂。
一般来说，导序具有的性质，真导序也具有，反之则不一定。前面提到通过增减条件或推导可以得到不同的数学结构，但并不一定称得上新的数学模型。抽象地看，从旧的数学模型到新的数学结构是一过程，经过了一个映射。正如我们可以把从原型r到模型M的过程看成一种映射一样。对于数学结构而言，封闭是一个严格的概念；但对数学模型而言并不十分严谨。我们姑且这样定义：如果模型M在一映射Γ下所得到的数学结构仍是一个同原模型，则称该模型对映射P是封闭的。【例1.2.7】可以部分地说明封闭这个概念。
【例1.2.7】财务分析
假设某公司经销一种商品的数量为x，单位售价p元，经估算固定成本为FC元，单位可变动成本为UVC。于是，由定义有
M1： SR=px
M2： C=FC＋UVC?x
M1表示销售收入，M2表示总成本。对C微分得到边际成本模型，
M3： MC=UVC
将M1和M2视为一个数学模型，则利润I的模型为
M4： I=（P－UVC）?x－FC
可以看成M1和M2经过减运算得到的。利润率IR则是由M4和M2的商运算得到的，
根据模型化原理，我们可以这样认为：M2对一阶微分是封闭的，但对二阶微分不封闭；数学模型M1∩M2对特定的商运算也是封闭的。
迄今为止，我们只是讨论了模型的一些基本概念和性质，对于这些概念的系统讨论和研究将在第二章中进
第二章 数学模型化
从第一章的讨论我们知道，数学模型是反映原型的数学结构，而本章讨论的数学模型化则指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。本章主要论述与模型化有关的数量化度量、经济数学模型的分类、模型和模型化应用的条件和范围、模型和模型化选择的标准等问题，最后对模型化过程进行设计与讨论。
§2.1 数量化和量纲分析
§2.1.1 数量化的度量问题
经济信息数量化是构造模型的前提，经济原型总是具有质与量两方面的信息，模型所需的信息是二者的结合，即信息不仅包含经济概念而且有一种数量的度量。度量是定性与定量结合的过程。量纲是带有质的规定性的数量度量，因此，在模型化过程中是值得重视的。从理论上看，数学结构中的各种量是没有量纲的，但作为一个经济模型，模型的输入和输出的信息有量纲的问题，这是客观存在。事实上，没有量纲这个标准，则使各经济变量之间失去可比性。在商品经济存在的条件下，各种实物往往需要用货币量纲来反映价值，生产、流通、消费和分配等因素的联系需用货币量纲来体现，因此，在讨论问题时，往往把量纲统一于某种货币单位，从而，使不同质的量得到统一的度量。但实际中遇到的原型不尽相同，而且并不是什么都可以用货币度量的。因此，在数学模型的构造和推导过程中要注意量纲是否合理，否则可能失去原型背景，即不再是同原模型。
不论是构造什么样的模型，总是要选择一些基本量纲或原始量纲，经过模型构造和求解后，往往生出一些新的量纲，我们称之为导出量纲。例如，在描述一段时期内的平均收入时，我们把单位时间和单位货币称为基本量纲，而把（单位货币/单位时间）称为导出量纲。我们定义一个量纲是独立量纲，如果它不能由其它量所导出，如经济上常用的货币单位、实物单位、和计量单位等等。从数学的观点看，以什么作为量纲并不重要，关键是在构造过程中量纲必须始终是谐调的、规范的。只有这样才能保证所得的模型与结果不仅有数学意义，而且有经济解释。
无量纲的经济量（指标）在经济是经常遇到。诸如比例数、比率和指数等相对量，就可能是无量纲的。另一种较特殊的量是只起记录功能或排序功能的&数量&，例如，把盈利记为1，亏本记为-1，盈亏平衡记为0。这种量与有量纲的经济量有质的区别，应注意其数学处理的条件和应用范围。
模型化过程中常需直接利用已有的统计指标，这时更需注意量纲问题。按我国的惯例统计指标分为数量指标和质量指标。数量指标反映企业、部门或整个国民经济工作的直接结果，它是刻划经济规模的计划指标。质量指标反映生产资源和生产因素的利用效果，它是描述经济活动的统计性指标。质量指标分技术经济指标和经济质量指标，前者表示固定资产和流动资产的利用效果，产品质量及各产品生产间的比例关系，它是编制计划的依据，后者反映经济工作的质量与管理水平。与指标密切相关的因素是统计方式，这些都是收集信息时应当注意的。鉴于我国的经济指标体系与西方不尽一致，在考虑借鉴西方模型时尤应慎重。
§2.1.2 量纲分析
前一节中已经提到过量纲等概念，我们将进一步深化它们。模型化常会涉及到可度量的信息，如经济中的国民收入、产出、消费额等，既是经济概念，又是可度量的。度量单位是带有质的规定性的标准。在这种标准下，信息传递被简化了。例如两个量不经实际比较，就知道孰多孰寡。物理学之所以成为严谨的科学，得益于数学模型的利用。物理学的典型方法是把物理原型用数学模型表现出来，通过对输入和输出的量的量纲比较，说明了物理学规律。量纲分析（Dimensional Analysis）就是物理学中一项模型化技术。（我们将沿用物理学中的名称予以介绍）
众所周知，一切物理量可以由若干基本单位推导出来。基本单位的体系在物理上称为单位制。例如力学单位制可由长度、质量、时间为基本单位的绝对单位制(System of Absolute Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived Unit）。如果q，j，y，…为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位a可以表示成
a = c q jm yn…
的形式，其中c， ，m，n，…是常数。则称指数 ，m，n，…为a的量纲，量纲公式记作
[a ]=[q jm yn …]
其中&[ ]&读作&…的量纲&。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个&单位制&。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。
量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉(Buckingham)的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我们首先介绍P定理。
P定理：假设有n个物理量a1，a2，…，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，…，bm，如果关系式
f(a1，…，an) = 0
的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为
F(P1，…，Pn－m) = 0
其中P1，…，Pn－m是无量纲量群，形式为
这里F为某一函数。
我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，…，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，…，am的量纲中含有b1，…，bm，则可用剩下的n－m个导出量构造无量纲量群。我们设
，i=1,…n-m
其中hij是待定参数i=1,…n-m，j=1,…,m。由于a1，…，an的量纲单位是从b1，…，bm导出，故有
，j=1,…,n
其ajk是aj的量纲，k=1,…,m。利用前式可得
因Pi是无量纲的，故令
，k=1,…,m
如此得到的m(n-m)个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1,…n-m，j=1,…,m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。
【例2.2.1】万有引力模型
牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为
式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然，
[m1]=[m2]=M
[G]=M-1 L3 T-2
设a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G则系数矩阵为
选择a1，a2，a4为基，则
于是我们得到
h11＋h12＋1=0
h11 ＋h13 =0
－2 h11 =0
h21＋h22－1=0
h21＋h23＋3=0
－2 h21－2=0
无量纲量群
由P定理可知，必可转化为
F(P1，P2)=0
事实上，稍加观察就有
P1 P2 －1=0
这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。
【例2.2.2】流体实验
我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为ｌ，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT-2，LT-1，ML-3，L和ML-1T-1。与例2.2.1相仿，可以得到
考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该物体正面投影面积上的作用力之比。 称为雷诺数（Reynolds Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。
【例2.2.2】中 就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。
综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。
相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所决定的系数值不是过大或过小，则可断定在这几个量之间可能存在相关性。
最后强调几点：
1. 量纲分析的基本方法没有固定的形式与结构；
2. 变量和常数的正确选择常常依赖于建模者良好的直觉；
3. 假说是十分必要的，不可太机械地利用量纲分析法；
4. P定理有双重含义：其一是存在一组无量纲量群，其二是如果主要变量或量纲数为m，导出变量数为n，则其必要的独立无量纲量群的数目为n-m；
5. 量纲和单位之间有差别，我们要保持单位的相容性和量纲的一致性；
6. 无量纲量群是组建模型的砖石。
§2.2 数学模型的性质应用条件及评价准则
数学模型是抽象模型中应用最为广泛的一类，它除具有一般模型的性能外，还有其独特的性质与功能，这就是数学模型日益渗透各个领域的原因。数学模型是借助抽象的数学语言来表述、分析和研究原型的数量的关系及量变规律的。由于数学本身的高度抽象性使数学模型不可避免地具有一定的抽象性，数学模型可以简化复杂的问题，提取关键的性质，使人们看到原型的本质，另一方面，数学模型有其具体的、确定的客观原型，它是原型的反映，故数学模型又有一定的现实性，这两重性使数学模型得以广泛应用于自然科学和社会科学。众所周知，数学是一个自封闭的、严谨的逻辑系统，因此受制约的数学模型必然具有严格的逻辑关系。如果数学模型是正确的，那么，由其推导出的结果也必然是正确的，这是其它模型所不能比拟的。
数学模型与其它模型的不同之处还在于它有坚实的理论基础和有效的实现手段，理论基础是指数学理论的支持，从最基本的概念、定义或公理出发，经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统，有许多可利用的定理、方法和结论。实现手段是指计算机的普及为数学模型的应用奠定的物质基础。如果说，运用数学模型是一种科学成功的标志，那么，这种科学的完善的方式就是运用数学模型。
由于现实世界的任何事物都具有一定的数量关系和空间形式，因此，原则上说，数学模型可以研究任何原型。当然，数学模型的应用，也受一定条件的制约，有其应用的范围。Rosenblueth和Wiene (1945)曾对物理模型的实用性给出充分必要条件：
1. 在不熟悉或不太熟悉的领域（原型&空间&）里的一个现象必须被（更）熟悉的领域（模型&空间&）里的一个现象所代替。
2. 模型化实验必须在比原型实验更有利的条件（包括费用、时间等）下进行。
这两个条件对于数学模型在经济中的应用也是有启发的。
数学模型在经济中的应用是很广的，从应用的目的归纳大致包括四个方面：
1. 观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势；
2. 规划和设计经济的现实与未来；
3. 分析和控制经济的运动与规模；
4. 研究和解释经济现象及规律。
具体地说，数学模型是为了增加经济效益，降低经济消耗，合理地利用现有的资源等等。经济上需用模型的原因还在于人们往往不能或无法直接驾驭经济现实，所以借助数学模型是必然的。
数学模型可以用于研究许多经济问题，但这并不意味数学模型可无条件地应用，应用数学模型的必要条件是：
（1）经济原形(EP)可以映射到数学&空间&
此条件包括：EP的有关概念定义明确；EP的经济假说具有一定的科学性；在数学&空间&里存在着与假说的数量关系、逻辑关系或混合关系&同构&的数学关系式；可以通过必要的推导或证明得出有意义的数学结构；所需要的EP信息必须能够收悉，并可处理和转化成为模型的参数。
（2）数学模型在数学&空间&中可以研究
此条件包括：研究数学模型的数学理论与方法是完备的；数学模型必须满足一定的数学性质（如可解性、稳定性、可计算性等等）；结果必须能从数学上验证其正确与否。必要时，可以在计算机上实现。
（3）数学模型及其结果可以映射回经济&空间&
此条件包括：数学模型及其结果有一定的经济解释，可以验证经济假说或可以用经济实践检验。即数学模型及其结果可以用于指导经济工作。
如果上述三个条件不能满足时，不宜使用数学模型。
对经济原型的多种的希望使评价模型的准则也是多种多样的，人们总是希望在众多的&可行的&模型之中寻找一个最佳的模型，一般说来，合格的数学模型应当具有下列性质：
（1）真实性或现实性：如果一个模型客观地反映了原型或子原型的量与量的关系，则称此模型具有真实性或现实性。
（2）一般性或普遍性：如果模型的数学结构能够用于许多其它原型，则称此模型为异原模型，具有一般性或普遍性。
（3）简洁性：如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍弃次要的矛盾和特征，则称模型具有简洁性。
（4）精确性：如果模型能够在一定程度上，比较准确地刻划原型数量方面的特征，则称模型具有精确性。
（5）有效性：如果模型可以多方面地从不同的角度刻划经济原型或可以派生出较多的信息，而且具有多种功能，则称模型具有有效性。
这些准则并非一定之规，使用时可以权衡利弊，有所取舍。
模型化与模型是密切联系的，除模型化所得到的模型有上述性质外，模型化本身应满足以下的要求：
1. 可行性：可行性包括：信息可采集、可转化、模型可构造、算法可实现、假说可验证、结果可解释等等。
2. 经济性：模型化的过程中有一定的消耗，其中包括调查情况、收集资料、处理信息、构造模型、计算、分析、验证等等过程中的费用。模型化的收益与费用应当相称，经济性要求对模型化的规模和复杂程度加以控制。
3. 实用性：经济数学模型化贵在有实用价值，这里包括模型化过程所需的时间短、经济实践中使用方便、可靠。
值得指出，模型化的要求对模型的选取也有一定的参考价值。
§2.3 数学模型的分类
下面讨论一下数学模型的分类问题，这对于正确地构造模型和使用模型都是有益的。下面叙述几种分类方式。
（一）按模型的数学性质分类
按数学模型的性状大致可分为三类。其一为确定性模型，其原型具有相对地确定性或必然性，原型的各种关系相对稳定明确，模型的数学结构多为各种方程式，点集映射关系式和图式。其二为随机性模型，其原型具有随机性或偶然性，原型的某些关系是波动的和不肯定的。模型的数学背景理论是概率论、随机过程、数理统计、多元分析、和鞅论等等。其三是模糊性模型，其原型及其关系具有模糊性或不分明，其处理方式是Fuzzy子集理论、信度理论、证据理论和Fuzzy逻辑等等。
按数学模型的各种变量、参量和函数结构的变动情况，可以把模型分为连续型模型，非连续性模型和离散性模型。连续性模型对于任何量或关系的微小摄动是相对稳定的；非连续性模型对某些量或关系的变化是间断的，有跳跃的；离散性模型则多指其变量是可列点列构成的。
根据模型的参量可以分为固定参数(fixed-parameter)模型和自适应参数(adaptive-parameter)模型，前者在模型化过程中所涉及的参数只需给定一次，而后者则随着原型的变化而进行必要的调整，这时参数往往属于一个参数集合或空间。
（二）按模型与时间的关系分类：
亦可分为三类。首先，若模型的行为随时间而变化而且时间是独立的变量，则称为动态模型，其原型和时间关系密切（有时也称随阶段变化的模型为动态模型）。其次，若模型的行为不随时间而变化（时间可以是参量），则称之为稳态模型。其原型对时间的变化相对稳定。另外，若一非稳态的原型用一系列静态模型来表示，则称此系列模型为拟稳态模型。其原型是动态的，而这一系列模型中每一个模型是稳态的。如果细分，动态模型还可分瞬时模型(instantaneous)和记忆模型(memory)。前者在任意给定的瞬刻的行为只取决于此刻的环境或因素；而后者在任意给定的瞬刻的性态可能依赖此刻之前的一段时间的历史环境或因素。记忆模型还可以分为两种：其一，独立于此刻自身的行为而此刻之前的一段固定的有限时间称为定时距(time invariant)模型，其二，在现在任一瞬间的记忆范围，直到过去的一个固定的瞬间称为变时距模型，这引出所谓因果性分类，即若模型在一瞬间的行为取决于过去和现在，则为因果模型，若其还取决于未来则为非因果模型。此外，动态模型还可分为周期性模型和非周期性模型，随时间总是作为节奏有规律的变化的模型称为周期性模型，否则称为非周期性模型。应当指出，按步骤、阶段而变化（与时间长度无关）的模型有时也称为动态模型。在经济中动态模型是一类应用广泛的模型，尤其在宏观方面。
（三）按模型的经济背景分类
按原型背景分类，可以分为宇观经济模型、宏观经济模型、中观经济模型和微观经济模型。它们的原型背景分别是世界、国家、地区和企业（这种分类尚有异议）。
按学科分类大致有运筹学模型、经济控制论模型、计量经济学模型和数理经济学模型。这模型都有其独特的数学理论和方法，而且可以再细分。
按模型化问题的类型分类，可以分为模拟模型、统计模型、优化模型和结构模型。模拟模型和统计模型重在科学地观察、预测；优化模型重在配置、统筹和最佳控制；结构模型重在对原型的逻辑化、分析、推理和解释假说。
（四）按模型的数学机理分类
大致可分为：
①数学规划类模型：包括线性规划模型、非线性规划模型和动态规划模型等等；
②统计回归类模型：包括时间序列模型、多元分析模型等等；
（五）按模型化目的分类
大致可分为：观察和解释模型、计划和设计模型、计划和设计的优化模型、机理过程分析模型、控制模型和研究模型。
此外，还有一些其它的分类方式，而且分类不是绝对的。但是，识别模型的类别无论对构造模型还是使用模型都是十分必要的。
§2.4 模型化过程
许多人曾给出过数学模型化的步骤，但很少有人详细地说明这个过程。本节试图详尽地阐述模型化程序，给读者一个较清楚的轮廓。我们首先给出模型化流程图。
模型化流程图 图2.1
§2.4.1 模型化方向的表述和经济原型的机理分析
一、模型化方向的表述
模型化过程始于对模型化方向的表述，当你怀着通过模型化研究原型的愿望，进入模型化过程，起初的模型化设想可能是模糊的，不完整的，随着模型化的深入和反复，不断地修正、调整，模型化的方向就会逐渐明确。在此阶段，应尽可能地表述整个模型化过程和注意模型化的可行性、经济性和实用性。可四个方面来表述：
（1）表述模型化的目的
包括模型化的动机和模型的用途等等，不同的目的决定着模型化不同的方向，如用于理论研究和实际应用的模型化会有很大的区别，由此引出模型的性质、类型、评价准则等一系列的区别，它是模型化沿正确方向进行的必要条件。
（2）表述对模型的期望
表述包括对模型解决问题的程度、范围以及模型性质的表述，它是模型化目的的深化。
（3）表述经济原型的轮廓
表述包括原型的横向与纵向，原型的内涵与外延，原型的内部、边界和外界等主面的表述，它是进一步明确原型定义的前题。
（4）表述可行的模型&空间&
表述主要指建模型者所熟悉的模型的类型，虽然我们尚不知确定何种模型，但通过掌握已知的条件成为可行的模型类型，这时类比分析和考虑异原同模往往是有益的。当然将来构造出的模型可能并不在第一次列出的候选之列，模型化过程是一个反馈型的创造性过程。
上述四方面的表述不是一次完成的，在模型化过程中，可以修正、补充或简化，它们是调查和分析原型的前题。
二、经济原型的机理分析
经济活动通过抽象和提炼而形成了经济问题，它和客观经济现象有所不同。如果我们以一个经济问题为原型，那么其经济背景就是原型的原型。具体原型具体分析是模型化的灵魂，对原型的机理分析的方式可以是多种多样的，我们在此强调的是以定性为主，定量为辅的原则，采用将对象化整为零、把复杂事物分解为若干要素，对局部或要素进行研究和认识的一种手段，一般说来，原型机理分析包括以下三个步骤：
（1）分析原型的外部及边界的机理
其中包括分析原型外部和边界的状况，它们中哪些因素对原型的存在和发展的影响较大，它们是怎样发生作用的等等。
（2）分析原型的内部机理
其中包括分析原型的可分性，子原型的结构和相互依存关系，原型元的特性、作用、存在和变异的条件等等。
（3）综合分析
综合分析包括对原型的内部、外部和边界的相依关系，原型存在和消亡的条件、发展和变化的形式和趋势，以及原型的本质与特征和遵从的规律等方向的分析，它是我们进行简化和抽象的关键。
分析使经济原型的各种属性和本质清晰地呈现在我们的面前，而综合则把经济原型的各个部分、侧面、因素统一起来加以考虑。
综合是建立于分析的基础之上，运用正确的社会经济科学理论和概念，对原型的各个子原型和各种要素的理解统一为对原型的整体认识。这种认识将引导人们对原型进行合理的抽象和作出科学的假说。
§2.4.2 模型化假说和模型的构造
一、模型化假说
假说是自然科学和社会科学发展的描述形式，是通向客观真理的必由之路，它在模型化过程中也是最为关键的一步。严格地说，模型化假说是由经济假说到数学假设的过程。
所谓经济假说指依据客观经济事实和普遍规律，结合一定的经济概念、原理和科学知识，对于经济原型及其本质和规律所作的推断或解释，由于社会经济的机制复杂，因果关系不甚分明，假说是经济研究中常用的方式，如西方的各种经济学流派的理论实为不同的假说，经实践检验是正确的假说，就形成了理论，作为经济假说往往有三个性质：
一、似然性。人们常常感到假说与人们的直观的想象差异不大，但都不能断定其真伪； 二、推断性。由于造成一个社会经济现象产生的原因很多，假说往往是凭着构模者的推测或判断，找出在冥冥中牵引的魁首；
三、简明性。假说不再是原型本身，它简化了原型的复杂程度，抽象出最本质的东西，对原型的结构，趋势和规律做出了较明确的规定。
关于经济假说的范围大致应有两方面：
（1）对原型有关的经济概念的假说，一般说来，一个经济概念往往有多种解释，这与模型化不利，因此，在假说中应明确一切有关的经济概念前后一致，以统一口径。此外，假说时，要注意尽量使用量纲或可定量化的经济概念。
（2）对原型的经济规律的假说，由于原型及原型中子原型和原型元的逻辑关系和变异形式可能很繁琐，所以必须选择其关键的逻辑关系，普遍性的变异形式加以假说，排除一切不明确的或小概率的情况，假说原型在一定的条件下，遵从某种规律。
在经济假说中应注意承上启下，考虑经济假说的合理性。所谓合理性包括：假说中有关的信息是否可以获得，是否可靠，能否定量化；经济假说是否有适当的依据，能否检验，是否符合原型的客观背景，经济假说是否为数学假设奠定了足够坚实的研究基础，等等。在运用经济假说时，要充分发挥主观能动性，依据科学原理而不拘泥其间，勇于提出自己的假说；根据客观事实，利用创造性思维，对未知的事物进行推断；正视现实，以无私的态度接受实践的检验，不断地修正或放弃经济假说中的不妥之处。
数学假设是经济假说的精确化。它是用数学术语考虑前述一切过程。 对经济假说中所使用的基本经济概念或经济量作出数学假设。一般将要研究的量设为变量，将影响模型但非我们所要研究的量设为参量。此外，根据具体原型及经济假说，对变量和参量的数学性质，定义域以及变量间的相互关系等等，给予严谨的数学定义。在数学假设中，既要尽力与经济原型吻合，又要有所创造和抽象，即要满足经济假说的描述，又要兼顾模型的可构造性。因此，数学假设是十分关键。最后，假设中还要考虑如何将实际的经济信息转化成模型的参数问题，关于这一点本文下面还要论述。
二、数学模型的构造与推导
构造数学模型就是针对关于原型的特征规律和基本量的模型化假说，结合数学概念与方法，建立各经济因素之间的描述关系的数学结构。构造数学模型是一种创造性的活动，没有固定模式，构模的思维方法一般有四类：
（1）直接分析。当模型化假说十分清楚，各因素间的数量关系和逻辑关系比较简单，可以直接地进行推理分析，构造模型或使用标准模型。
（2）比拟思考。当问题的机理和假说不甚分明时，类比具有共性的事物；思考它们的构模方式，运用直觉、想象和灵感，在不同形式的事物间建立起同构或同态关系。
（3）启发性思考。启发性思考是从一般到特殊的思维方式。它运用已有的理论和原型方面的知识，探讨应用于构模的可能性。理论联系实际是其特征。
（4）理想实验法。当模型化假说较为复杂时，这是一种假想实验，此过程往往和模型化假说关系密切，是运用逻辑思维时设想的情况进行分析，和运用数学工具进行理论上的推导地过程。
构造模型是一个创造性的过程，因此没有固定的模式，下面就构模方法作一简单的综述：
（1）数据分析法
对结构尚不清楚或结构已定但参数未定的模型，可采用此法。其特征是利用数据作多元分析。如相关分析、聚类分析或回归分析等，最后推断出数量之间的结构关系。
（2）量纲分析法(dimensional analysis)
此法原于物理学。它的理论依据是P定理(P-theorem)和相似定理(Law of similitude)其大意为物理量都带有量纲，当度量基本单位改变时，物理定律仍然不变。我们把它平移到经济学中，有量纲的经济量之间的数量规律不随量纲的变化而变化。
（3）几何直观法
这是经济中最常用的方法之一。图形传递的信息以描述为主。根据几何直观构造相应的或推广的模型，以及其应有的性状是有效的。
（4）标准问题法
由于客观事物的同一性，许多不同的原型可以抽象为标准问题，这些标准问题与确定的模型相对应。找到原型的标准问题也就是找到了模型。
（5）数学分析法
利用特定的数学理论和方法（如数学分析、代数、拓朴概率、统计、微分方程等）构造相应的模型，这种方法要求构模对该数学分支的分析方法和理论有一定的了解。
（6）计算机模拟法
根据原型分析，设计出结构逻辑图，然后利用某种计算机模拟语言，进行模型设计。
至于模型的推导过程则主要是依据数学理论和方法进行的，以运用数学技巧为主。
§2.4.3 数学模型数学性质和经济背景研究
利用数学理论和方法研究已构造好的数学模型，是模型化中必不可少的。由于数学理论的抽象性可能会得出一些意想不到的结论，对这些结论应与适当的经济背景分析和研究，下面我们就经济中四类常见的模式指出它们各自主要研究的方面。
一、概念性模式
基本概念模式是最简单的研究模式，对于数学模型中的基本量以研究其单调性、凸凹性、连续性、可微性、周期性或运动稳定性等数学性质为主，同时研究这些数学性质的经济背景。例如导数可能和边际、变动率、弹性等概念有关；凸性可能与下降且递增或上升且递减等概念有关，而周期性则可能与季节性波动或经济循环等概念有关。另外，对基本概念模型引出的特殊的数学性质，应用到经济上去接受检验。
二、指标性模式
指标模式是经济中应有最广泛的模式。对数学模型设计有关指标并进行指标验证是研究数学模型的背景的手段。由于经济指标应具有的特点是不仅具有一定的经济解释，而且与一定的运算规则相联系，例如率、比、指数常和商的运算有关；累计、总和常与求和或积分运算有关。指标的经济解释一般是清楚的，只是对构成指标的诸因素的作用和影响应予以研究。分析各因素对指标的影响可以更科学地设计和控制指标，避免盲目依赖指标而导致谬误。
三、方程类模式
这类模型本质是可以利用其数学结构去寻找满足某些性质的数值解或函数解。方程本身则表示某种经济行为，一般说来，需要研究的数学性质有模型对参数稳定性，解的存在性、唯一性，可构造性或可计算性，以及解的稳定性等等。此外，对上述性质成立或不成立的条件，也应予以数学证明及经济解释。
四、最优化类模式
优化类模式与方程类相似，除上述内容外，值得注意的是最优化模型一般存在着对偶模型，其原型与原问题的原型相对偶，研究模型的对偶性质对深化原型的研究也是必要的。
§2.4.4 解模算法的研制及公式化
概念模型和指标模型的算法一般是不难的，方程类和优化类模型则以求解为算法的重点。解模算法就是根据已有的数据和数学模型，计算或解出未知或待定的数值解或函数解的方法，公式化则指把算法的具体步骤用严谨的、标准的、可直接计算的数学公式表示出来，研制解模算法大致分以下几步：
（1）研究考查数学模型及相关的算法
一般说来，一类数学模型总有与之相应的一类算法，考查数学模型的类型和结构，选择和利用已知算法，可以避免重复劳动，处理大规模问题时，可以结合计算机程序化分析和选择算法，先把整个计算或求解过程分解成若干子块，把具有共性的子块放在一起统一考虑相应的算法。
（2）具体研制算法
完全套用已有算法的情况是不多见的，具体研制算法过程中，大致包括有关数学模型的条件修正，数学模型结构的变换或近似，旧算法的改进、移植、新算法的研制；符号的谐调一致以及子算法的逻辑关系的统一。
（3）算法的估价
估价算法大致有以下几个方面，算法的复杂性、收敛性和程序化的水平；精确度或误差量的可控性水平；简易性和实用性水平；以及解决同类问题的能力和扩展的潜力等等。
一般说来，选择算法的标准是计算误差小、方法简单、计算时间短和经济耗费低。应当指出算法的估价标准也是选择算法的标准，只不过我们事先不知道罢了。至于公式化则主要是为程序化作准备的，相当于把模型和算法用基本的、初等的数学语言加以描述，它是算法实现的一部分。
§2.4.5 程序设计和支持系统的开发
计算机是人脑和手的延拓，它使数学模型的实际应用成为可能，如果数学模型的规模较大，复杂程度较高，使用率也高，或要求迅速得出结果，则可考虑使用计算机，大致需要经过以下过程：
（1）公式化数学模型和所选用的算法
由于计算机毕竟只能按人们事先约定的方式进行演算，许多数学符号不能直接输入，因此必须把所有需要计算机处理的内容进行公式化。
（2）构造一整套程序框架
计算机程序往往是牵一发而动全身，故构造框架时力求严谨、精细和完整、子框架之间的接口要逻辑分明，设计一个好的框架是成功的关键。
（3）根据具体情况，选择计算机的类型、编程序的语言，以及适应的操作系统。
（4）设计较细致的框图，编制程序和部分调试。
（5）设计信息处理支持系统
其中包括：多种信息输入形式，统计预测方法支持系统，文件支持系统，关系数据库支持系统，以及信息直接转化模型参数系统等等。
（6）程序的输入调试与检测
调试方法有：将大程序分为子块调试，最后再联接的分块调试法；有加入显示程序尾随运算过程的跟踪法，有虚拟数据的逆向调试法等等。经常有这样的情况，程序已可以使用，但仍有错误。
（7）程序的维护和功能的完善化
第三章 经济统计指标模型
模型化过程的第一步是收集原型的有关信息，而信息的收集涉及到抽样调查的指标设计和信息的分类处理问题。本章主要讨论模型化信息的收集与统计处理方法。
§3.1 模型化信息的收集方法
信息是表现事物运动状态以及和其他事物相互作用的一种形式。收集有关原型的信息则是模型化中必不可少的一环。收集信息是为了实现模型化目的，是一种有意识的活动。一般来说，模型化信息有五类：
（1）先决信息：即有关模型化所需的准备性信息。如模型化的简单设想，原始概念、框架、草图、有关的经济理论、事实、和一般规律，以及必要的数学知识等方面的信息。
（2）外界环境信息：即有关原型外延的信息。其中包括定义明确的原型界限，原型外部对原型的影响、作用，以及它们之间的相互作用。
（3）内部结构信息：即原型体系内部的结构信息。其包括原型的组成方式，原型元和子原型存在的形式、功能及相依关系等等。
（4）原型性状信息：即原型作为一个整体的性态状况方面的信息。其包括原型存在的目的、形式、行为、性状、特征以及发展趋势和变异、消亡的条件等。
（5）数量信息：即已数量化或可数量化的信息。其包括现在的、历史的、不同空间的原型及模型化的数据资料、图表、以及原型的量变规律，乃至数量化及收集方式等等。
以上信息不是互斥的，而且有些信息正是需要通过模型化得到的。Samuel L.S.Jacoby (1980)曾就模型化目的与原型信息给出一张关系表（见表3.1），我们称此表为雅可比表。并利用它做为收集信息的指南。
3.1 雅可比表：
原型 模型化目的
信息 观察解释 计划设计 最优化规划 运行机理分析 运筹控制 研究
初等的概念、设计或计划 A A A A A A
定义完备的系统、事物或过程 R A&R A&R A A R
元素、轮廓和固定参量 R A&R A&R A A R
可调节参量 R A&R R A R R
外围、环境、运行条件 A A A A A A
目的、使用、外貌、行为、表现 A&R A A R A A
说明* A：可获信息 R：结论性信息
不同类型的模型对信息的要求也不一样，请读者自己设计一张关系表做为练习。
收集信息的方式很多，我们重点介绍经济统计方法。众所周知，统计方法指搜集、整理、表现和分析数据资料，并根据分析结果导出经济结论，乃至作出合理决策的科学方法。但我们只关心前几步。社会经济现象多具有群体性，统计信息就是经调查而得到的有关原型的总体性数据。依统计学惯例，我们将数据分为原始数据与次级数据，或静态数据与动态数据。原始数据指为了模型化目的，经过实地调查或直接从其他机构收集来的尚未经过任何简化与整理的数据资料；次级资料则指通过整理、简化等处理后的，可供模型化直接利用的数据；静态数据指某时刻的静止状态的数据；动态数据则指特定时期内继续发生的演变过程的数据。统计资料的共性是数字性，总体性和客观性，构成统计量的三要素是时间、空间和属性，这些都需要在模型化中加以说明和注意。
（一）收集统计信息的方式大致有四类：
以方式划分：亲自调查、委托调查和通讯调查；以范围划分有普查和抽样调查。
4.次级数据的搜集
在模型化工作中，这四类方式都会遇到，我们仅介绍普查与抽样调查。
所谓普查是指将需要研究的某种社会经济现象的全体进行逐一调查，以期获得完整、详细、可靠的总体数据。普查注重时间上的一致性，空间上的普遍性和方法上的统一性。普查的问项简易，组织庞大，精度较高，但耗资较大，一般是在政府支持下完成。抽样调查是在欲研究的总体中选取一部分加以调查。目的是在省时、省事、省钱的原则下，以最小的代价获得较精确的信息，利用概率论与数理统计推断总体特征。其在时空上限制较少，方法综合灵活。抽样调查的问项细致深入，组织规模较小，费用低廉，精度虽稍差，但可以调整控制。常用的抽样方法有以下几种：
（1）立意抽样：依据某种准则，将总体中某些具有代表性的个体抽出来组成样本，这种方法称为立意抽样。
（2）随机抽样：在不受任何人为因素影响的条件下，等概随机地从总体中抽出若干个体以组成样本，谓之随机抽样。
（3）分层抽样：依照某种准则将总体分成若干层次(Stratum)，尽量使得层内的抽样单位同质，而不同层次的抽样单位异质，再由各层中抽出适当的单位组成样本。这种方法叫作分层抽样法。
（4）集团抽样：将总体分成若干集团(Cluster)，并尽量使集团内的抽样单位异质，而集团间的抽样单位同质。把这些集团视为抽出单位，依单纯任抽方式抽出其中若干集团，再在抽出的若干集团内进行调查。此法称为集团抽样。
抽样的方法很多，例如多段抽样法、系统抽样法、弗曼抽样法，两段抽样法等等。可视需求择优用之。
§3.2 模型化信息的统计处理方法
我们对已收集到的数据的整理可分为三步：
1.分类：依互斥性与周延性原则，将特性相仿的数据分为一类。
2.归类：把数据分别归入应属类别，方法有划记法、卡片法和电脑录入法。
3.列表：将次级资料按照模型化研究目的，做成数据表和统计图。
次数分配表是统计表中最重要的一类。属于同一变量的一组数据或分组后属于同一组的数据个数称为次数。将各组次数依序排列称为次分配。其目的是将数据资料凝聚成更简明的形式，使数据便于模型化的利用。而且次数分配作成的次数直方图及次数曲线图等与数学上的函数概念相吻合。我们首先介绍几个常见的概念：
①分组数据：以次数分配的形式所表示的数据。
②组限：各组的两端数值，其中最大者称为上限，最小者称为下限。
③组距：在分组次表中，线一组数据所包括的范围，即上限与下限的距离。
④组宽：组距上下限之差。
⑤组中点：每组上下限的中点，亦称组代表值。
⑥全距：数据中最大数与最小数之差。
编制次数分配表的步骤如下：
1.求全距：即计算出最大的和最小的数值之差。
2.分组：即参照全距将数据分成若干组或决定出每组组距的大小。一般来说，8≤组数≤30，组距尽量相等。
3.定组限：选组限应使各组的上限、下限和组中点为整数或其他简单的数字。出限次数多的数不宜定为组限。
4.归类：即将数据归入应属的组内，记下次数。
5.计算次数：统计各组的次数。
6.列次数分配表：表中有分组（组中点、组界、组限）、次数、以上累加次数、以下累加次数、相对次数、累加相对次数或百分比次数等栏目。
【例2.3.1】（取自高东正《统计学概要》）某工厂的50位职工的年龄资料如下：
20 26 28 21 25 32 34 37 15 46
26 23 21 22 17 28 33 38 38 36
40 18 29 23 21 27 25 26 51 48
19 25 26 31 32 28 20 33 28 24
42 24 16 21 26 24 32 31 35 18
我们编制次数分配表并绘出直方图和累积次数曲线。
①以5为组距编制次数分配表：
年龄组别 次数（|） 相对次数(F) 以上累加数 以下累加数
15～19 6 0.12 50 6
20～24 12 0.24 44 18
25～29 14 0.28 32 32
30～34 8 0.16 18 40
35～39 5 0.1 10 45
40～44 2 0.04 5 47
45～49 2 0.04 3 49
50～54 1 0.02 1 50
②绘直方图和次数多边图
③绘制累积曲线：
可以看出，我们得到了比原数据浓缩的数量信息。如果以组中点和组次数相对应，并把A和|连续化，可以得到光滑的曲线。
统计图在经济数学模型中经常使用。它利用点的多少，线的长短，面积的大小，颜色的浓淡，线条的疏密或曲线的变化，来表示数据的大小程度、变动情况、分布状态和相依关系。统计图的类型繁多，以绘图目的为标准，可分为说明图、计算图和科；以应用环境为标准，可分为挂图、桌图和书图；以所用尺度为标准，可分为算术尺度图、单对数尺度图和双对数尺度图；以形状为标准，可分为线图、长条图、时间数列曲线图、面积图、洛伦兹曲线图，立体图、统计地图、象形图、以及组织图、工作程序图和工作进度图；以统计数列为标准，可分为时间数列图、地理数列图、属性数列图和变量数列图等等。
在经济研究中统计图是极重要的&数学模型&，利用它可以显示数量间的相互关系，便于进行多种复杂现象的比较，以供研究者分析和说明。尤其让使用
者在甚短的时间内，就能得到对经济原型某一事实的明确具体的概念，减少了冗长的文字或数字的说明，引起对该事实的兴趣。
制图程序可由下面的框图说明：
除图形以外，完整的统计图还包括以下细节：
1. 标题：有简洁的文字写在图的上方。
2. 原文注释：写在标题下方，较小或不显著的位置。
3. 注脚：写在图的下方，以对段首目栏予以必要的说明。
4. 资料来源：常写在注释下方，以表明所搜集的资料的名称、页数等。
5. 约略数字：当数字有约略时，应在注释段首、或目栏开头说明其效果。
6. 比值：必须说明比值的意义。例如是&总数的百分比&还是&增减的百分比&，而不要以&百分比&代之。
7. 数：欲强调的数应写在上端或左方，否则可写在下端或右方。
8. 单位：行或列的数字单位必须特别指明，如标上&￥&或&＄&。
我们经过搜集、分类、归类、列图表等程序后得到的统计资料，在形式上已比较整洁。训练有素的经济学家能够直接从统计资料中窥出其蕴藏的问题。但毕竟仍嫌杂乱繁琐，尤其是资料种类及数量较多时不便利用。就数据性质可归两类：一是中央趋势量，二是差异分散量。我们罗列如下：
一、中央趋势量
在有序的数据集合中，表示其中心的量称为中央趋势量。在经济中常用的有：平均数、中位数、众数、四分位数和百分位数。假设数组为x1，x2，…xn，分成K组后的组中点为 ,组频数为|j，其中j=1,…,k，则
（1）平均数
a）算术平均数
数据不多时可用前式，否则用后式。利用公式的性质可得简捷算法：
此外，算术平均数有以下性质：
② （可扩充性）
③ （最佳性）
b）加权算术平均数
设数组x1，x2，…，xn的重要性程度由要系数w1，w2 …，wn表征，则
c）几何平均数
（未分组）
它多用于比率平均及测定动态变化量。计算方法是利用对数性质：
(d)调和平均数
其多用于有两个计算单位时，如平均速度、平均物价等等。
（2）中位数
中位数指一有序数组中位居中间的数值，记作Me。中位数所在的数组称为中位数组。假设样本数n，中位数组组下限Lme，中位数组组上限Ume，低于Lme的所有项数之和为FLme，低于Ume的所有项数之和是FUme，中位数组的次数是|me，中位数组组距为hme，则
未分组时，
在一数组中出现次数最多的数，称为众数，记作M0，确定众数的方法有三种：
a）金氏法：
其中Lmo是众数所在组的下限，|-1是众数组的前一组的次数，|+1是众数组后一组的次数，hmo是众数组的组距。
其中f0是众数所在组的次数，其余同上。
c）皮尔生经验法
a）四分位数
如果将一有序数组分割成四个部分，其三个分割点就称为四分位点。从最小数值点算起，依次称作第一、第二、第三分位数，记作Qk，k=1,2,3，且
式中 表示第k个四分位数所在给的组下限，fk表示小于 的各组次数之和， 表示第k四分位数所在组的组距，n表示总次数。
b）百分位数
设Pk为第k百分位数，则
k=1,...,99
其中 是第k百分位数所在组的组下限，fk是小于 的各组次数之和， 是第k百分位数所在组组距，n是总次数。
中央趋势量在社会经济中占有十分重要的地位，群体往往有向中心均衡集中的倾向，故利用它可以反映群体。作为一个优良的中央趋势量应具有六条性质：①简单明确；②感应灵敏；③定式严谨；④计算简易；⑤代数公式化；⑥抽样稳定性好。
二、差异量数
群体中各个个体之间存在着差异，表示变异状态的数量称为差异量数。经济统计中常见的差异量数有离中差，离均差和非离均差。它们的公式如下：
（1）离中差
离中差是以Me为中心的差异量数，它包括平均差和分位差。
其中Me是中位数，目前多采用 代替Me。
①四分位差
Q.D=1/2[Q3-Q1]
②百分位差
（2）离均差
离均差是以 为的差异量数。如标准差等
简捷算法公式为：
②P范数标准差
（未分组）
（3）非离均差
非离均差有两极差、均互差等。
a）两极差（全距）
其中Uu是最大组的上限，Le是最小组的下限。
若组距相等，则有
式中h是组距，Cj是以下累加次数。
与中央趋势量相仿，对差异量数的要求也是易于计算和理解，确定方式严密，感应灵敏，适于代数处理，以及受抽样变化的影响小。除中央趋势量和差异量数外，变异系数也是经济中常见的统计量，如
（1）标准差异系数
（2）平均差异系数
（3）四分位差异系数
（4）均互差异系数
（5）均互差中位差异系数
=g/Me×100%
第四章 销售机理模型化过程
本章通过销售机理分析，提出用主观概率预测模式代替简单的数学外推预测，从而改进了销售预测的方法。通过对成本机理的分析，构造了一组适用于一般情况的成本模型，在经济收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，进而提出了广义利润、广义创利额等概念和模型。 在风险机理的分析中，采用变异系数、偏态系数、峰态系数和标准差共同度量决策的不确定性；用熵值变量决策的不肯定性以及用实现目标值的可能性度量决策的成功与失败。在时间机理分析中提出了贴标准值法，并讨论了系列收入或支出的近似模式。
§4.1 销售机理分析与基本模型
在一定时期内一定数量的某种商品，所能从生产领域经流通领域，最终进入消费领域的其客观基础是什么呢？首先，是在于该种商品有用性，&物的有用性使物成为使用价值&。[30] 就是消费者对该商品有客观上的需求。其次，在按劳分配原则和物质利益原则下，消费者手中的货币应标志着其付出的劳动或社会分配。如果需求者认为商品的使用价值和价值大体上与其需求程度和价格相当，则有购买的可能性。显然，如果消费者愿意支付的数量小于供给量，则商品不能实现或完全实现其使用价值和价值。但如果降低价格则有可能实现。因此，合理的价格是商品顺利地进入消费领域的必要条件。
我们定义能销售量这个经济概念为：在一定的市场环境和一定的行销规划下，消费者可能愿意并能够支付的需求量。所谓市场环境是指一定的地理区域和期间内的人口、经济、政治、文化和科技等的状况和水平。行销规划是指企业对销售价格、推销途径和行销努力等方面的计划和安排。显然，影响能销量的随机因素很多，而且与决策者的预测有关。因此我们视之为主观随机变量。为了简便起见，我们设能销售量是只和价格有关的随机变量。
现在，我们分析在一定时期内未能销售掉的商品。首先，商品作为使用价值存在有一定的时间限制，&如果商品没有按照它们的用途，在一定时期内进入生产消费或个人消费，换句话说，如果它们没有在一定时期内卖掉，它们就会变坏。并且在丧失它们的使用价值的同时，也就丧失作为交换价值承担者的属性?[31] 因此，逾期未能售出的商品应当降价销售。否则，对经营者来说，拖延销售时间只会增加流通费用，影响资金周转，得不偿失。于是，我们可以做出经济假说，凡逾期未能售出的商品均应及时处理掉，而且每单位商品可以收回的残值约等于处理价格。这里的处理价格是指可以及时处理掉所有剩余商品的最合理的价格。一般说来，残值总是低于处理价格。
假设现有n种待决策的商品，根据上述经济分析和假说，对有关经济量作以下数学假设：设生产量（或采购量）记为 x=(x1,x2,…xn)T，其满足x30。设能销售量是随机向量，记为：x=(x1,x2,…xn)T，其中xk(k=1,2, …,n)的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是关于价格Pk单调下降的凸函数。设价格向量为P=(P1,P2…Pn)T,且P??。其中?是价格的约束集合，特别是?= 。设处理价格为DP=(DP1,DP2,…DPn)T这是一个给定的常向量。
我们开始构造销售额模型。所谓销售额(Sales Revenue)指在一定时期内的销售收入。如果商品k的生产量或采购量Xk小于或等于能销售量xk，则商品都可以以价格Pk售出。但如果供给量Xk大于能销售量xk，则只有数量为xk的商品k以价格Pk售出。根据假说，剩下的数量为Xk－xk的商品必须以处理价格DPk及时处理掉。因此，我们得到：
销售额模型
其中随机指标集合
J1（X，x）={k?Xk￡xk，1￡ k ￡ n}
J2（X，x）={k?Xk&xk，1￡ k ￡ n}
J1（X，x）∩J2（X，x）=?且J1（X，x）∪J2（X，x）
={1，…，n}
我们下面给出过剩损失模型，所谓过剩损失是指由逾期未能售出商品所造成的损失。由假设DPk等于残值SVk。当Xk￡xk时剩余量为零，当Xk&xk时，剩余量为Xk－xk。每剩余一个单位的商品，则损失（Pk－DPk），因此
过剩损失：
总过剩损失：
我们对销售额模型稍作变形，则有
因此，我们有：
SRk(Xk,xk)=PkXk－ELk(Xk,xk)
其中PkXk是顺利情况下商品K的销售额。
类似地，我们有
即随机的销售收入等于正常的销售收入减去随机的过剩损失。
§4.2 成本机理分析和基本模型
经营者在从事一项经济活动中，总是要有一定的人力、物力和财力的消耗。商品成本是以货币形式表现的企业为生产和销售商品而消耗的生产资料价值和支出的劳动报酬。一个较一般的成本概念是&成本是为了达到一个特定目的而已经发生或可能发生的，以货币计量的牺?。[33]模型中提到的成本指已统一量纲为货币单位的成本。
我国对成本的一般分类准则有按经济性质划分的要素分类；有按用途和计入成本的方法划分的项目分类等。由于经济现实的复杂性、成本的概念、归类方式及统计方法都不太统一，严格地说来，财会的成本资料不能直接用于决策分析，因为我们难以把各种成本都归入模型。因此必须寻找有实用价值的成本概念和新的思想，做为我们模型的依据。
管理会计学为我们提供了一些极有价值的新概念和新思想。虽然有些概念从数学上看是简单的，但对经济学上却曾意味着突破。现在我们就与决策有关的概念加以分析。对于企业的一项决策而言，并非所有的成本都与决策有关，故可将成本分为相关成本(relevant cost)和无关成本(irrelevant cost)。显然，无关和相关是相对的，需因情况而异。选择模型所需成本信息时，首先应做分类工作。
根据决策者所处的管理层次，可以将成本分为可控成本(controllable cost)和不可控成本(uncontrollable cost)。决策者订出归自己控制的成本范围后，可有效地利用成本信息。
一般地说，成本的性质虽然各有不同，但就其与生产数量的关系而论，可分为固定成本(fixed cost)和变动成本(variable cost)。前者指在一定时期内，一定的经济活动规模下，不随产量而变动的费用支出；后者指随产量做正比例变动的费用支出。应当指出，还有一种半固定成本(Semifixed cost),它随着产量的增长呈阶梯形上升。为了简便起见，我们假设已将此成本分别归入固定成本和变动成本，并且假设单位变动成本是常量。其实，变动成本不一定是线性的，但当企业的生产规模不变时，它很接近线性。对企业而言，变动成本主要是指直接原材料、直接人工等费用，对商业企业而言，变动成本主要是指进购原价、小包装费、运输费和佣金等。固定成本主要是管理费、折旧费等。
在很多经济文献中常把相关的固定成本处理成常量，但管理会计学根据固定成本涉及的范围将它划分为专属固定成本(Special cost)和联合固定成本(joint cost)。前者指专门由于某种经济活动的存在而发生的固定成本；后者指由于若干经济活动的存在而发生的固定成本。在这里我们假设，第k项数量决策Xk&0，则其专属固定成本一定发生，否则不发生其专属固定成本。当n32时，联合固定成本存在，且其为零的充要条件是所有的经济活动都不发生。
在多品种的情况下，如何合理地把固定成本分摊到各项商品的成本之中是很重要的。一般的分摊方法有按固定资本占有分摊，按销售额分摊或按变动成本分摊等方式。我们假设，固定成本分摊系数是已知的，现在我们讨论一种特殊的成本或损失，即所谓机会成本(Opportunity cost or alternative)。机会成本并非通常所谓的成本，而是指在投资方案的选择中，如果选择了一个投资方案，则必须放弃投资于其他途径的机会，其他途径中最好的一种投资的收益，就称为这项投资方案的机会成本。机会成本与实支成本(Outlay cost)是相对应的。在我们研究的问题中，缺货成本(Shortage cost)就是一项机会成本。即在企业确有剩余生产能力或购销能力的情况下，因决策时优柔寡断或判断失误