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洛必达法则巧解高考数学压轴题--函数与导数中的参数问题求解
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洛必达法则巧解高考数学压轴题--函数与导数中的参数问题求解
关注微信公众号巧用洛必达法则解高中数学试题--《数学之友》2015年06期
巧用洛必达法则解高中数学试题
【摘要】：正数学考试考察的不仅是学生的逻辑思维能力,更多的是解题能力.对于大多数中等偏上的学生来说,一份高考数学试卷解答出的部分大体是相同的,而区分优等生和次优等的往往是大题目的最后一问,该类题目往往较复杂,在分秒必争的考场中如何快速得出答案显得尤为关键.本文,联系了高中拓展的相关知识——洛必达法则,快速而又准确的解决高考试卷中的"拦路虎".
【作者单位】：
【分类号】：G633.6【正文快照】：
数学考试考察的不仅是学生的逻辑思维能力,更多的是解题能力.对于大多数中等偏上的学生来说,一份高考数学试卷解答出的部分大体是相同的,而区分优等生和次优等的往往是大题目的最后一问,该类题目往往较复杂,在分秒必争的考场中如何快速得出答案显得尤为关键.本文,联系了高中拓
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& 洛必达法则巧解高考数学压轴题――函数与导数中的参数问题求解
洛必达法则巧解高考数学压轴题――函数与导数中的参数问题求解
洛必达法则巧解高考数学压轴题
函数与导数中的参数问题求解
函数与导数是高中数学的重要内容。纵观近几年的高考数学试题，压轴题都是函数与导数应用的问
(1)求a, b, c, d的值
( I I )若一2时，,求厂∽≤ ∽时， k的取值范
题，其中求参数的取值范围是重点考查题型。在平常
教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解。但部
【解析】 ( I )略 4, 6= 2, c= 2, d: 2;
( I I )易得，∽= +舐+ 2, g∽=2 e +1 ),
由，∽ k g ( x )得k . 2 e +1 )≥+ +2,欲变量分
分题型利用变量分离法处理时，会出现“
0”型的代数
式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题
的有效方法就是洛必达法则。
离，讨论如下：
不等式恒成立 (存在性 )问题
( 1 )若=一 l o t, f易知k E R
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变
量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过
( 2 )若∈[ - . 2,一 1 )时，有≤
l J有挺 g ,
恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，
则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
二、洛必达法则
当∈卜2,一1 )时， g ∽&。,
若函数 x )和g ( x )满足下列条件：
g∞单调递增.
_ g (一 2 )=e ,所以后≤e
mg i ( x )= 0;
( 2 )在点 a的去心邻域内， x )与g ( x )可导且g
l i m ( 3 )
( 3 )若∈[ - . 1,0],有≥’
等财有 ≥,
当∈【 _ - 1,。】时， g
(珍。, g∽
三、解决思路
单调递增 .
g∽m a x= g ( 0 ):1,所以J i}≥1
( 4 )若 ∈[。,+ o。 ),有 ≥ 麦 ,令 g∽=
例1 ( 2 0 1 3年全国卷 理)已知函数 f ( x )=
b, g ( X )=e X ( c x+d ),若曲线 Y=f ( X )和曲线y=g ( X )都过
当 ∈[。,+∞肘， g ∽&。,
点P ( O, 2 ),且在点P处有相同的切线Y=4 x+ 2
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洛必达法则巧解高考数学压轴题_函数与导数中的参数问题求解_唐伟_数学_高中教育_教育专区。西藏教育 洛必达法则巧解高考数学压轴题――函数与导数中的参数问题...洛必达法则巧解高考数学压轴题_函数与导数中的参数问题求解_唐伟(1)_数学_高中教育_教育专区。西藏教育 洛必达法则巧解高考数学压轴题――函数与导数中的参数...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_...而这就是大学数学中的不定式问题, 解决这类问题的...方法把参数 k 分离出来.然后 对分离出来的函数 g ...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 ――高考专项...另一部分题在 高中范围内用分离参数的方法却不能...而这就是大学数学中的不定式问题, 解决这类问题的...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_...而这就是大学数学中的不定式问题, 解决这类问题的...方法把参数 k 分离出来.然后 对分离出来的函数 g ...Go the distance 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒成立来 求参数的取值...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题13.04.02_数学_高中教育_教育专区。2013-4...卷中的第 21 题中的第○ 2 步,由不等式恒 成立来求参数的取值范围问题,...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_教育专区。设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围...导数结合洛必达法则巧解高考压轴题_数学_高中教育_...x2 函数 g ( x) 值没有意义”这一问题,很多考生...本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数 k ...用洛必达法则解题应注意的几个问题
洛必达法则是求不定式函数极限的一种普遍且有效的方法.但在运用洛必达法则解题时发现,解题过程有时仍然较复杂,有时越来越繁,有时出现循环,甚至无法求解.为充分发挥洛必达法则的作用,提高解题效率,解题时应注意以下几个问题.1及时化简使用洛必达法则前,有时需要对函数进行化简,可以视函数式的特征进行分子、分母有理化,或进行简单的分离.例1求lxi→m01+x?1x+3sinxcosx.分析本题分子有2个根式,若直接运用洛必达法则,解题过程则较繁,如果进行分子有理化并及时分离,则可以简化解题过程.解原式=lxi→m0(x31(+1x+)2x?+(11++ssiinnxxccoossxx))2=lxi→m0x?0.x53sin2x?lxi→m01+x+11+sinxcosx=0.5lxi→m01?3cx o2s2x=0.5lxi→m02s6in x2x=13.2及时替换在使用洛必达法则前,可以应用等价无穷小替换时,应及时进行替换,以减少中间计...&
(本文共1页)
权威出处：
对于极限式limx→x0f(x)g(x),若limx→x0f(x)=0且limx→x0g(x)=0,则称该极限式为00型[1]。极限是高等数学的基础,是高等数学中最基本的内容。而00型极限是极限问题中较为常见的,因此,掌握好求00型极限的方法很重要。但由于00型极限的求法灵活性很强,不好掌握,为了使学生更容易求出00型极限,根据自己的教学经验,另外受到文献[3-5]的启发,本文主要给出了七种00型极限的解法,并以例题分析的形式给予了具体说明。这样不仅有利于提高学生学习高等数学的兴趣,还有利于提高学生的抽象思维能力和综合能力。文中一共给出了七种求00型极限的方法,具体如下:1将分子或分母分解因式通过将分子或分母分解因式,可以消去极限式中的零因式。例1求limx→1x2-3x+2x2-4x+3分析显然当x→1时,分子与分母的极限都为零,而分子、分母都可以分解因式。所以可通过分解因式,消去原式中的零因式。解limx→1x2-3x+2x...&
(本文共3页)
权威出处：
极限的计算是高等数学学习的一个基本功,也是每年研究生入学考试中考查考生灵活运用各种知识的重要考点.极限的计算方法多种多样,常用的有利用连续函数的定义、无穷小的性质、无穷小的等价代换、洛必达法则、换元法、定积分的定义等等,往往一道题目需要综合运用这些技巧和方法.全国研究生入学考试2017年数II卷和数III卷中第15题极限计算题中包含了积分上限函数,根式函数,指数函数,是一道很典型的函数极限题目:问题求limx→0+∫x0x槡-tetdtx槡3.下面给出该题的六种求解方法.解法一(用换元、连续函数的性质、罗比达法则)令x-t=u,则t=x-u,dt=-du,原极限=limx→0+ex∫x0槡ue-udux槡3=limx→0+∫x0槡ue-udux槡3=limx→0+槡xe-x32槡x=23.解法二(用分部积分法)原极限=limx→0+1x槡3-23(x-t)32etx0[+23∫x0(x-t)32etdt]=limx→0+23+2...&
(本文共2页)
权威出处：
例　(2017年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有2个零点,求a的取值范围.对于问(1),命题组通过导数的分解式f′(x)=(2ex+1)(aex-1)求得的结论是:当a≤0时,函数f(x)在R上递减;当a0时,函数f(x)在(-∞,-ln　a]上递减、在[-ln　a,+∞)上递增.对于问(2),命题组考虑到考生不难想到fmin(x)=f(-ln　a)0是顺其自然的,但构造性地赋值检验f(ln(3a-1))0却显得特别玄妙!下面先嵌用洛必达法则改进命题组对问(2)的解法,然后另辟蹊径用换元法和公切线给予简洁解答.方法1　借用问(1)的结论知f(x)有2个零点的必要条件是a0,且此时必有fmin(x)=f(-lna)=aa2+a-2a+ln　a=1-1a+ln　a0),易知g(a)在(0,+∞)内递增,且g(1)=0,则fmin(x)=g(a)0,下面来验证.对...&
(本文共1页)
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数学分析中,不少求极限问题难度较大,本文将推导出以下求极限的公式,使相关极限问题迎刃而解.定理由重要极限lim(1+t)证明(ax1+ax2+…+axn-n)(ax1+ax2+…+axn-n)ax1+ax2+…+axn]-n再由洛必达法则得(a1x+a2x+…+anx-n)t若ai0,i=1,2,…,n(n∈N*),则1 xna1x+a2x+…+anx-nnxa1xlna1+a2xlna2+…+anxlnan(ax1+ax2+…+axn)综上,得lim即所求例2求ln(a1·a2·…·an)=ln(a1·a2·…·an)1 x.1-x1-x(4-x+9-x2)(4-x+9-x2)lim=lim=槡4·9=6.x→0-x→0所求lxi→m0(42-x+9-x)cotx=lxi→m0[(42-x+9-x)-1 x]tanxx=lim6tanxx=6x→0limtanxx=6-1=1.6x→0x)1x.(2x+4x+83例3解求lim...&
(本文共1页)
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高等数学在高等学校的课程设置中不仅是一门基础课,还承担着提高学生的思维素质、科学语言能力以及科学品质的素质教育课程。确保学生思维正确、思路清晰、推理正确是高等数学课程教学中教师必须认真对待的问题。对学生们在学习过程中常犯的错误应及时、准确地指出和更正。在此,我们收集了极限计算中几种常见的错误,并予指正。问题1.求极限limx→0ex-1x.解法M(错误解法,下同):limx→0ex-1x=lxi→m0[(1+x)1x]x-1x=limx→0(1+x)-1x.其中,用到极限:e=limx→0(1+y)1y。本题的结果与正确解法的结论一致,但不能说这种解法是正确的。因为其中实质上是累次极限问题。据此方法,上述极限应为:limx→0ex-1x=lxi→m0[lyi→m0(1+y)xy-1x]而此时y=x只是这种极限的趋近方式,在极限存在性没有解决之前,就以一种特殊的趋近方式求极限,正确性是不能保证的,而实际上这种方法是错误的。如求极限...&
(本文共2页)
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