《高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)》
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)日期：
高等数学求极限的14种方法一、极限的定义1.极限的保号性很重要：设x?x0（i）若A?0，则有??0，使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0； （ii）若有??0,使得当0?|x?x0|??时，f(x)?0,则A?0。2.限是否存在在：limf(x)?A，a的 （i）数列?xn?（ii）f(x)x??(iii)limx?x0limf(x)? (iv)单调有界准则（v （vi）柯西收必要条件是：???0,?1.2.洛必达（L’ x趋近告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0?”“”时候直接用 0?(ii)“0??”“???”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i）“?项之后，就能变成(i)中的形式了。即f(x)g(x)?f(x)或f(x)g(x)?g(x)；g(x)f(x)f(x)?g(x)?11g(x)f(x)f(x)g(x)11(iii)“0”“1”“?”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0??”型未定式。0?0f(x)g(x)?eg(x)lnf(x)，3.泰勒公式(含有ex的时候，含有正余弦的加减的时候）x2xne?xe?1?x?????xn?1 ；2!n!(n?1)!xx3x5x2m?1cos?x2m?3msinx?x?????(?1)?(?1)m?1x3!5!(2m?1)!(2m?3)!2mx2x4cos?x2m?2mx cos=1?????(?1)?(?1)m?1x2!4!(2m)!(2m?2)!nx2x3xn?1n?1xn4.5.6.1）设a?b?c?0，xn?n??n??xn?an???? （2）求lim?12?12???12?(n?1)(2n)?n???n解：由0?1?2n111111????2?2???2?，以及22n(n?1)(2n)nnnlim0?limn??n??1?0可知，原式=0 n?1(3)求lim???2n???n?1解：由1n2?2????? ?2n?n?1,以及n????1??????????nnnn?2n2?1n2?nn2?nn2?nn2?nn2?n1n7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q绝对值要小于1）。例如：n??n??lim1?limnn?n2?limn??1??1得，原式=1求lim?1?2x?3xn??2???nxn?1 (|x|?1)。提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和。?8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：=lim??1?2?2?3???n(n?1)??lim?1?2?2?3???????n???111??111n?????lim?1??1 ??n?1)?n???n?1)??9.利用xx与xn?1极限相同求极限。例如：（1）已知a1?2,an?1?2?1，且已知an存在，求该极限值。 lim A=1+2 （2 xk?xk?1?2。所以，?A2?A?2?0。10. （i11.n快于n！,n！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限narccosx??limx?0。解：设t?arccosx??,则x?0时，t?0,且x?cos(t??)??sint。22sin2x2xsin2xarccosx?2x??limx?0arccosx?2x??limt?0原式=limx?0t1???2sint211111?13．利用定积分求数列极限。例如：求极限lim??n，所以??????。由于n?in?2n?n?n???n?11?n????1???????????ln2 ??limlim?1n?n1xn?2n?n?n???n???n?11?1???nn??14.利用导数的定义求“0”型未定式极限。一般都是x?0时候，分子上是“f(a?x)?f(a)”的形式，看见了这 '种形式要注意记得利用导数的定义。（当题目中告诉你f（a）?m告诉函数在具体某一点的导数值时，基本上就是暗示一定要用导数定义）例:设f(a)?0,f(a)存在，求limn??'??1??fa????n?????fa????n解：原式=limn?? =limn??本文由()首发，转载请保留网址和出处！
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考研高数习题训练：特殊求极限法
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　在考研数学科目所占比例中，高等数学所占比例是最大的。这就决定了考生在复习的时候应该分配的精力与时间更多一些。考生们千万不要认为在基础复习阶段就不用做题了，习题其实是对知识掌握程度的考查，因此考生们一定要多加重视。以下是极限与连续部分特殊求极限法的习题训练。
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所需积分：0高等数学第一章函数与极限试题
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高等数学第一章函数与极限试题
高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M?N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. & & （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. &（D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 &2．设函数f(x)?e1xx?1,则 ?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.x?13．设f(x)=x1，x≠0,1,则f[f(x)]= ( &)1X1A） &1－x & & &B） &1?xC） & & & D） &x4．下列各式正确的是 ( &)1A） &lim(1+ )xx?0x=1 B） lim(1+x?01)xx=e1C） &lim(1－ )xx??x1=-e & D） lim(1+ )xx??x=ex?ax)?9，则a?( & & )。 x?aA.1； & & & & B.?； & & & & C.ln3； & & & & &D.2ln3。x?1x()?( & & ) 6．极限：limx??x?1(5．已知limx??A.1； & & & & B.?； & & & & C.e?2； & & & & &D.e2x3?=（ & & & ）lim7．极限：x3??A.1； & & & & B.?； & & & & C.0； & & & & &D.2．8．极限：xlimx?1?1=（ & & & &） 12A.0； & & & & B.?； & & & & C； & & & & &D.2．9. 极限：xlim(x2?x?x)=（ & & & &） ???A.0； & & & & B.?； & & & & C.2； & & & & &D.sinxlimtanx?10．极限: x=（ & & & &） 3?0212．A.0； & & & & B.?； & & & & C.116； & & & & &D.16．二. 填空题xsin11．极限limx??2x. x2?1arctanx12. limxx?0=_______________.lim[f(x)?f(x?)]=_______________； 13. 若y?f(x)在点x0连续，则x?xsin5x___________； &0x2(1?)n?_________________； 15. limn??n14. xlim?xx2?116. 若函数y?2，则它的间断点是___________________x?3x?217. 绝对值函数 &f(x)?x?x,x?0;?0,x?0;??x,x?0.?其定义域是 & & & & & &,值域是1,x?0;18. & 符号函数 f(x)?sgnx???0,x?0;1,x?0.?其定义域是 & & & & ，值域是三个点的集合19. 无穷小量是20. 函数y?f(x)在点x0 连续，要求函数y ? f (x) 满足的三个条件是三. 计算题(21.求limx?01?x1). ?xx1?e22.设f(ex?1)=3x-2,求f(x)(其中x&0); 23.求lim(3－x)x?　2x?5x?2;24.求lim(x?　?x?1x); x?125.求limx?　0sinx2tan2x(x2?3x)x?ax)?9，求a的值； x?ann1n(26. 已知limx??(1?2?3) 27. 计算极限limn??28.f?x??x?2lg?5?2x?求它的定义域。 x?129. 判断下列函数是否为同一函数：⑴ f(x)＝sin2x＋cos2x & g(x)＝1x2?1⑵ &f(x)? & & &g(x)?x?1x?1⑶ f(x)?x?1? & &g(x)?x?12⑷ &f?x??x?12 & & & g(x)?x?1 ⑸ &y＝ax2 & & & & & & s＝at230. 已知函数 f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)3n2?5n?131. 求 nlim ???6n2?4n?732. 求 nlim???1?2???nn2(n?1?n) 33. 求 nlim???2n?3n34. 求 nlim ???2n?3n35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限sinx,x?0x?1,x?2?⑴ y?? & x?2 & & ⑵ y??1 &x?0x,x?2x,x?0???31 x?3x?337. lim x?3x2?936. limx?338. limx?0x?1x2x3?x2?139. 求当x→∞时，下列函数的极限y?3x?x?12x2?x?140. 求当x→∞时，下列函数的极限y?341.x?x?1sin3xx1?cosx42. lim 2x?0x41. limx?01?43. lim?1???n??n?n?31?44. lim?1?? ?n??n?2n(1?45. limx??1x) kxx1?46. lim?1?? ?x??x?47. lim?1?kxx?01x48. 研究函数在指定点的连续性sinx,x?0?f(x)??x & x0＝01,x?049. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)?50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。1,x＝1 x?11,x?0，x＝０ f(x)??x0,x?051. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。x2,x?0，x＝０ f(x)??1,x?052. 证明f(x)＝x2是连续函数 53. limx?0ln(1?x)xx2?1???lim?lnx54. x?1?? x?1??55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根sinxlimtanx?56. x 3?0257. 试证正弦函数 &y = sin x 在(-∞, +∞)内连续。x，x?0；58. 函数f (x) = ?x? = ?在点x = 0处是否连续？ ?x，x?0xsin1，x?0；59. 函数f(x)=? 是否在点x?0连续？ ?0，x?0x. 60. 求极限 limx?0答案： 一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 &方法一：任一原函数可表示为F(x)??0f(t)dt?C，且F?(x)?f(x).x当F(x)为偶函数时，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即f(?x)?f(x)，也即f(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?0f(t)dt为偶函数，从而F(x)??0f(t)dt?C为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); &令f(x)=x, 则取F(x)=x2, 排除(D); 故应选(A).【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? & & & & & & 2. D【分析】 &显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 &由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.f(x)??，所以x=0为第二类间断点； 且 &limx?0xx12limf(x)?0，limf(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).x?1?x?1?xx???lim???. 从而limex?1???，【评注】 应特别注意：lim，???x?1x?1x?1x?1x?1xx?1?limexx?10.3 & C 4 & A 5 & C 6 & C 7 & A 8 & C∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 1原式 = lim(x?1?1)(x?1?1)?lim?. （有理化法） & & & & & & & & x?0x?0x(?1)?1?19 &D 10 &Cx?1x2tanx(1?cosx)1解 &原式?lim. & & & & & & & & & & &▌ ?lim?x?0x?0(2x)38316注 &等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例原式?limx?0x?x?0. (2x)3二.填空题 11. & &12. 13. 14 .15 . &e?2 & & & & & & & & 16. &x?1,23e17 .(??,??) & &[0,??) 18. (??,??) &{?1,0,1}20 . ② &x→x0 时极限x?x0limf(x)存在；x?x0③ &极限值与函数值相等，即limf(x)?f(x0)三. 计算题21 . 【分析】 "???"型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.x?x2?1?e?x1?x1x?x2?1?e?x【详解】 &lim(=lim ?)?lim2?xx?0x?01?e?xx?0xxx(1?e)1?2x?e?x2?e?x3. & & & & & &=lim=limx?0x?02x2222. f(x)=3lnx+1 & &x＞0 23.24.e 25. 26. ln3; 27. 328. 解：由x＋2≥０解得x≥-2由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）21629. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 &30. 解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2 f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝993n2?5n?153??223n?5n?1?lim?lim31 . 解：nlim22???6n?4n?7n???6n?4n?7n???6??2nn12 n211?lim23?0?01n???n???n??????11lim6?4lim?7lim26?0?02n???n???nn???nlim3?5limn(n?1)21?2???nn?n1?lim?lim? 32. 解：nlim222???n???n???nn2n2(n?1?n)?lim33 . 解： nlim???n???1limn?1?nn???(n?1?n)(n?1?n)n?1?n1n???n0n?1lim?lim1n???nn???limnlim???1n?n?11n22()n?1lim()n?lim12?30?1n???n????lim????1 34 . 解：nlim???2n?3nn???nn0?1()?1lim()?lim1n???3n???3nn35 . 解：⑴limy?2,limy?3 ，lim?y?lim?y & & 因为 x??2x?2x?2x?2所以 函数在指定点的极限不存在。1y?limy y?sin0?0,limy??0?0，lim & &⑵ 因为xlim??x?0x?0?0?x?0?3y?0 & & 所以 函数在指定点的极限limx?036 .lim1111x?3lim???x?3x?3limx?lim33?36x?3x?3x?3x?311lim?lim?x?32x?3x?3x?3x?3x?36 37 . x?9lim38 . limx?0(?x?1)(?x?1)?x?1?x?11lim?lim?lim?? x?0x?0x2x(?x?1)x(?x?1)x?0?x?132113 39 . lim2x3?x?1?limx??x??11x?x?11?2?3xx11lim2?lim?lim3x??x??xx??2?0?02111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??x211?2?32x?1 40. lim2x?limx??x3?x?1x??111?2?3xx1112lim?lim2?lim3x??xx??x??0?0?00111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??xsin3xsin3xlim?3?3 41. limx?0x?0x3x2?xx??2sin2sin??1?cosx?1?lim??1 ?lim42. limx?0x?0x2?x?0x?2x24()2??22??21lim(1?)nn???e?e 43. &=11lim(1?)3n??n1?n???1?n?44. &?lim??1?????lim?1????e2n??n??n?????n???221?1??45. &?lim??x?????kx?kx1?1??????limx??kx?11kkx1ek ??1kx1??46. &?lim??1???x??x????x1????lim?1???x???x??????1e?1k47. &?? ?lim1?kx?e??x?0??1kxk48.解?limf(x)?limx?x0x?0sinx1x而f(x0)?f(0)?1?limf(x)?f(0)x?0函数在x?0处连续。49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点f(x)?0但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点 51. &间断，limx?052. &证明：?x0∈(－∞,＋∞)limf(x)?limx2?(limx)2?x0，f(x0)=x02 因为 x?xx?xx?x2limf(x)?f(x0) 所以 x?x因此，函数f(x)＝x是连续函数。253. &解:54. &解:ln(1?x)lim?limln(1?x)x?lnlim(1?x)x?lne?1 x?0x?0x?0xx2?1??lim??lnx??lim??x?1?lnx??2?0?0 ?x?1x?1?x?11155 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2&0，f(2)＝5&0 根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，则x＝ξ就是方程的根。56.x?1x2tanx(1?cosx)1原式?lim ?lim?x?0x?0(2x)3831657. &证 &?x?(-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x).∵ 0??y?2sin?2?x，再由x的任意性知正??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0）弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。58. &解 &注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。(?x)?0， &解法1 &∵f (0 - 0) =lim?x?0x?0， &∴ limf(x)?0. & f (0 + 0) =xlim?0?x?又f (0 ) = 0， & ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。解法2 &∵limf(x)?lim(?x)?0?f(0)， & ∴ 函数在点x?0左连续； ??x?0x?0f(x)?limx?0?f(0)， &∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ?0?x?0?59. &证 &虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。M?0limf(x)?limxsin1?∵ x0?f(0)， ?x?∴ f(x)在点x = 0处连续60. 解 &令a x–1 = t，则x = log a (1+t) ，当x→0时，t→0,∴ 原式?lim?t1t1?lim??lna. & & & & & & & &0at?0logealoga(t?1)x?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. & &特别地，limx?056. &x?1x2tanx(1?cosx)1原式?lim ?lim?x?0x?0(2x)3831657. &证 &?x?(-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量 Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x). ∵ 0??y?2sin?2??x，再由x的任意性知正??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0）弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。 & & 58. &解 &注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。(?x)?0， &解法1 &∵f (0 - 0) =lim?x?0x?0， &∴ limf(x)?0. & f (0 + 0) =xlim?0?x?0又f (0 ) = 0， & ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。解法2 &∵limf(x)?lim(?x)?0?f(0)， & ∴ 函数在点x?0左连续； ??x?0x?0f(x)?limx?0?f(0)， &∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ?0?x?0?59. &证 &虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。M?0limf(x)?limxsin1?∵ x??0?f(0)， ?x?00∴ f(x)在点x = 0处连续60. 解 &令a x–1 = t，则x = log a (1+t) ，当x→0时，t→0,∴ 原式?lim?t1t1?lim??lna. & & & & & & & &0at?0logealoga(t?1)x?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. & &特别地，limx?0
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楼主大好人啊，万事皆留心啊
8-3(在线教育)
8-4(商易宝会员)
8-5(广告合作)
(非工作时间)