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复合函数的单调性、奇偶性和周期性
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单调性和奇偶性单调性和奇偶性
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··········
课题 函数的单调性与奇偶性
教学目标 1.函数单调性判断与证明的方法；
2.理解利用函数的单调性确定参数；
3.掌握函数奇偶性判断与证明的方法；
4.理解利用函数的奇偶性确定参数。
教学重难点 1.复合函数单调性判断，利用函数的单调性确定参数；
2.函数的奇偶性判断，利用求解相关含参问题。
一、函数的单调性
1.相关概念
一般地，对于给定区间M上的函数F（X):
如果对于属于这个区间M的任意两个自变量，，当&时，都有f（）& f（），那么就说f（x）在这个区间M上是增函数。
如果对于属于这个区间M的任意两个自变量，，当&时，都有f（）& f（），那么就说f（x）在这个区间M上是减函数。
如果一个函数在某个区间M上是增函数或者减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调增区间或减区间。
判定方法：图像法和定义法。
判定与证明函数的单调性；
求单调区间；
（3）利用函数单调性求参数范围
已知函数单调性，求参变量的取值范围，实质上是含参不等式恒成立的一种重要的题型。需要把握单调性本质，兼顾参数的位置，在综合平衡中寻求解决问题的最佳方案。
二、函数的奇偶性
1.相关概念
（1）奇函数：一般的，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。
（2）偶函数：一般的，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x都有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
（3）几个特殊的函数：
?f（x）=0既为奇函数又为偶函数?f（x）=c（c为常数且c≠0）为偶函数。
奇偶性的判定
(定义法：a.首先看定义域是否关于原点对称；
b.若f（-x）=f（x），则函数f（x）为奇函数；若f（-x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数。
(图像法：根据图像的对称性进行判断。
（2）利用奇偶性确定参数的值
例证明函数上是增函数．
例在上是增函数．
例在上的单调性．
例的单调区间．
例在区间上是减函数，则的取值范围是（
例与在区间上都是减函数，则的取值范围是（
例，满足对任意，都有成立，那么的取值
范围是________________．
例已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为（
A．B．C．D．例；
例上单调递增的是（
A．B．C．D．例在上是奇函数，在上是偶函数，则在上（
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既非奇函数，也非偶函数
D．可能是奇函数，也可能是偶函数
例，的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（
A．是偶函数
B．是奇函数
C．是奇函数
D．是奇函数
例为偶函数，则a＝_______．
例为奇函数，则a＝_______．
例是偶函数，且其定义域为，则a＝________，b＝________．
例的定义域为．若当时，的图像如图所示，则不等式
的解是________________．
例满足，则（
例已知函数为奇函数且当时，则A．
例在区间单调递增，则满足的x取值范围是（
例函数为偶函数，且在区间上为增函数不等式对恒成立，则实数的取值范围为
例满足：对任意的，有，则（
例是奇函数，是偶函数，且，则＝_________，＝__________．
例是定义在上的偶函数．当时，．求时表达式．
例是定义在R上的奇函数且周期为3，若，则__________．
1.讨论函数在内的单调性
2.的单调递增区间为________________．
3.函数的增区间是（
4.函数的单调减区间是________________．
5.如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是（）
6.设函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为（
设f(x)是(－∞，＋∞)上
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55页33页110页32页25页14页125页123页36页37页8.复合函数的单调性与奇偶性-博泰典藏网
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8.复合函数的单调性与奇偶性
导读：1.函数的奇偶性的定义：2.奇偶函数的性质：，?1?函数具有奇偶性的条件是其定义域关于对称，?2?f(x)是偶函数f(x)的图象关于对称，f(x)是奇函数f(x)的图象关于对称，?3?奇函数在对称的单调区间内有的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有的单调性.，3.f(x)为偶函数?f(x)?f(?x)?f(|x|)．，4.若奇函数f(x)的定义域包含0，1.判断函数的奇偶性的方法：?1?定义法
（一） 主要知识：
1.函数的奇偶性的定义： 2.奇偶函数的性质： ?1?函数具有奇偶性的
条件是其定义域关于
对称； ?2?f(x)是偶函数
f(x)的图象关于
f(x)是奇函数
f(x)的图象关于
对称； ?3?奇函数在 对称的单调区间 内有
的单调性，偶函数在 对称的单调
区间 内具有
的单调性. 3.f(x)为偶函数?f(x)?f(?x)?f(|x|)． 4.若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0． （二）主要方法： 1.判断函数的奇偶性的方法： ?1?定义法：
?2?图象法；
?3?性质法：
附：判断函数的奇偶性可以用定义的等价形式：f(x)?f(?x)?0，6.复合函数的奇偶性
7.函数的周期性
问题1．判断下列各函数的奇偶性： ?1? f(x)?(x?1)1?xlg(?1x1?x；
f(x)?|x?2|?2；)
?3? f(x)?lg(1?x2?x)；
?4? f(x)???2?x?x(x?0)???x2?x(x?0)
f(x)f(?x)??1．
问题2．?1?已知f(x)是R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)， 则f(x)的解析式为
问题3．已知函数f(x)满足：f(x?y)?f(x?y)?2f(x)?f(y)对任意的实数x、y总成立，且f(1)?f(2).求证：f(x)为偶函数.
问题4．?1?(06黄岗中学月考)已知函数f(x)??x?log2求f(?
ax2?1（a、b、c?Z）为奇函数，又f(1)?2，f(2)?3， ?2?已知函数f(x)?bx?c求a、b、c的值 . 1?x， 1?x1111)?f(?)?f()的值； )?f(2004
问题5．?1?已知f(x)是偶函数，x?R，当x?0时，f(x)为增函数， 若x1?0,x2?0，且|x1|?|x2|，则
A.f(?x1)?f(?x2)
B.f(?x1)?f(?x2) C.?f(x1)?f(?x2)
D. ?f(x1)?f(?x2)
?2?设定义在??2,2?上的偶函数f(x)在区间?0,2?上单调递减，若f(1?m)?f(m)， 求实数m的取值范围
（四）巩固练习：
1.已知函数f(x)?ax2?bx?c,x???2a?3,1?是偶函数,则a?b?
2.已知f(x)?1?m为奇函数，则f(?1)的值为
3.已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7， 则f(7)?_______
4.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)?f(x)?f(x)的图象关于 A.x轴对称
C.原点对称
D.以上均不对 25.函数F(x)?(1?x)f(x)(x?0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) 2?1A.是奇函数
B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
（五）课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性： ?1?
f(x)?x2?1?x2?1；
?2?f(x)??1?2x?2x2； ?3?f(x)?
11x?x?f(x)??log1?3；
； 4????3x2?122?5?f(x)?loga
1?x（其中a?0，a?1） 1?x2.（03南昌模拟）给出下列函数①y?xcosx②y?sin2x③y?x2?x④y?ex?e?x，其中是奇函数的是（
3.已知函数y?f(x)在R是奇函数，且当x?0时，f(x)?x2?2x，则x?0时， f(x)的解析式为_______________.
4.（06上海春）已知函数f(x)是定义在???,???上的偶函数.当x????,0?时， f(x)?x?x4，则当x??0,???时，f(x)?
1?1?5.已知f(x)为R上的奇函数，当x?0时，f(x)???，那么f()的值为(
D. 9 316.若f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)?g(x)?，则f(x)?
， x?1g(x)?
x?m7.定义在(?1,1)上的函数f(x)?2是奇函数，则常数m?____,n?_____
（05北京西城模拟）已知函数f(x)对一切x,y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y),
?1?求证：f(x)为奇函数；?2?若f(?3)?a，用a表示f(12).
?2x?b9.（ 06重庆文）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数。 2?a（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）若任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围；
10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?2)??f(x)，又当?1≤x≤1时，f(x)?x3，?1?证明：直线x?1是函数f(x)图象的一条对称轴； ?2?当x?[1,5]时，求f(x)的解析式
（六）、检测
1. （04全国）已知函数f(x)?lg1?x，若f(a)?b，则f(?a)?（
） 1?x11A. b
D. ? bb1,，若f?x?为奇函数，则a?
2. (06全国Ⅰ文）已知函数f?x??a?x2?13.（06江苏）已知a?R，函数f(x)?sinx?|a|,x?R为奇函数，则a? （
B.f(x)?f(?x)是奇函数 D.f(x)?f(?x)是偶函数 4.（06辽宁）设f(x)是R上的任意函数，下列叙述正确的是（ A.f(x)?f(?x)是奇函数 C.f(x)?f(?x)是偶函数
5.（07辽宁文）已知y?f(x)为奇函数，若f(3)?f(2)?1，则f(?2)?f(?3)?
16.（07广东）若函数f(x)?sin2x??x?R?，则f(x)是（
） 2πA.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数 2C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
7.（07海南）设函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数，则a?
x 8.（07海南文）设函数f(x)?(x?1)(x?a)为偶函数，则a?
?2?9.(07江苏)设f(x)?lg??a?是奇函数，则f(x)?0的x的取值范围是（ ） ?1?x?A.(?1，1) 0)
D.(??， C.(??，0)
B.(0，0)?(1，??)
10. （07江西）设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y?f(x) 在x?5处的切线的斜率为 A.?
D.5 11.设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R．
?1?讨论f(x)的奇偶性； ?2?求 f(x)的最小值． 包含总结汇报、自然科学、出国留学、医药卫生、经管营销、教学研究、工程科技、农林牧渔、行业论文以及8.复合函数的单调性与奇偶性等内容。
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函数的单调性和奇偶性的解题方法（急需！）
比如说要求得出一个函数的奇偶性..、我对这两个知识点可以说是一点也不懂我只想知道解题的方法、是增函数还是减函数其他的等过了考试再想办法弄懂过两天就月考
如果有教学视频也可以发给我
我有更好的答案
＜0是增函数 说白了就是会函数化简即可不明白加Hi问我，明白采纳下求奇偶性很简单啊，把-x代入函数 尽量将f（-x）化成x的函数，得出f（-x）=f（x）就是偶函数，得出f（-x）=-f(x)就是奇函数 增减函数统一解题的方法是设定义域内 x1＜x2然后代进去想办法求出来 f（x1）-f（x2） ＞0 或＜0＞0是减函数
额...能不能讲得简单详细一点、上了高中之后发现自己变数学白痴了.........
那我把百度所以的思路给你吧，其实上面是我自己的思路，很简单实用的方法你可以把你具体哪里不懂告诉我，我好为你解答 奇偶性1．定义 一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 （2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 （3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 （4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义函数的单调性1.先求定义域；2.设x1&x2均属于定义域，然后计算f(x2)-f(x1)，最终结果化成几个含有如(x2-x1)等可以判别下负的因式的积；3.然后根据x1、x2的取值范围分别讨论判断几个因式的积是&0还是&0，从而确定：f(x2)&f(x1)，单调减；还是：f(x2)&f(x1)，单调增！4.综合结论！
基本上知道是怎么回事了、但是老师讲的例题判断出f(x2)-f(x1)大于或小于0后、还有几条式子证明的
那是求别的吧，一般题目都有3问的 第一问奇偶性第二问增减性第三问证明不等式。。。第三问要用到第一第二问的结果
还想问一下、f(x)的f到底是什么意思...
映射的意思 函数本身定义就是根据映射法则来的 f（x）就是关于x的映射 懂了吗？ 懂了帮忙采纳下，谢谢，不懂再追问
采纳率：61%
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奇偶性就是求f（-x）观察是否等于f（x）或-f（x）若看不出来，可以尝试求和或作差（f（-x）+f（x）=0，就是奇函数，f（-x）-f（x）=0就是偶函数） 增减性①是看是否为常见的函数②观察是否可以拆成常见的函数，同增异减（复合函数，就是两个常见函数相乘）③实在不行用定义（我知道你不会求导数）设在定义内x1&x2f（x1）-f（x2）&0减函数f（x1）-f（x2）&0增函数
一、函数的单调性根据定义解题：y=f(x)在其定义域内，当x1&x2时，若在某个区间f(x1)&f(x2)，则为单调递增；若在某个区间f(x1)&f(x2)，则为单调递减！所以解题时，按如下过程：1.先求定义域；2.设x1&x2均属于定义域，然后计算f(x2)-f(x1)，最终结果化成几个含有如(x2-x1)等可以判别下负的因式的积；3.然后根据x1、x2的取值范围分别讨论判断几个因式的积是&0还是&0，从而确定：f(x2)&f(x1)，单调减；还是：f(x2)&f(x1)，单调增！4.综合结论！严格按照上述步骤解题轻车熟路！二、函数的奇偶性定义：对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x).这时我们称函数f(x)=x^2为偶函数；对于函数f(x)=x的定义域R内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），这时我们称函数f(x)=x为奇函数。解题：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论！判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义、变式。变式：奇：f(x)+f(-x)=0 f(x)*f(-x)=-f^2(x) f(x)/f(-x)=-1偶：f(x)-f(-x)=0 f(x)*f(-x)=f^2(x) f(x)/f(-x)=1
函数的单调性（1）定义法：（特殊值探索、一般性论证……）（2）利用复合函数的单调性：（3）关于函数单调性还有以下一些常见结论：①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______；②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性；③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性；（4）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法等（6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 函数的奇偶性奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x） 与f（－x）的关系：f（x） －f（－x）＝0
或 f（x） ＝f（－x） f（x）为偶函数；f（x）+f（－x）＝0 或
f（x） ＝－f（－x） f（x）为奇函数。判别方法：定义法，图象法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。【【不清楚，再问；满意， 请采纳！祝你好运开☆！！】】
关于具有单调性、奇偶性函数问题的解题方法（1）答案:(－3，0)∪(0，3)4.解析:∵f(x)为R上的奇函数∴f( )=－f(－ ),f( )=－f(－ ),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函数且－ &－ &－1.∴f(－ )&f(－ )&f(－1),∴f( )＜f( )＜f(1). 答案:f( )＜f( )＜f(1)5.解:函数f(x)在(－∞,0)上是增函数，设x1＜x2＜0,因为f(x)是偶函数，所以f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假设可知－x1&－x2&0,又已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函数f(x)在(－∞,0)上是增函数.6.解:(1)a=1.(2)f(x)= .(x∈R) f－-1(x)=log2 .(－1＜x＜1 .(3)由log2 &log2 log2(1－x)＜log2k,∴当0＜k＜2时，不等式解集为{x|1－k＜x＜1 ;当k≥2时，不等式解集为{x|－1＜x＜1 .7.解: ，对x∈R恒成立,∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解:(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a&0,b&0,x&0,∴f(x)= ≥2 ，当且仅当x= 时等号成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+ . 关于具有单调性、奇偶性函数问题的解题方法（2）4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0 :f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞ 单调递增，故a&0.又知0＜x1＜x,得x1+x2&0,∴b=－a(x1+x2)＜0.答案:(－∞,0)5.证明:(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1&0,. &1且 &0,∴ &0,又x1+1&0,x2+1&0∴ &0,于是f(x2)－f(x1)= + .&0∴f(x)在(－1，+∞)上为递增函数.(2)证法一:设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则 且由0＜ ＜1得0＜－ ＜1,即 ＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根.证法二:设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则 ＜－2, ＜1,∴f(x0)＜－1与f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则 &0,. &0，∴f(x0)&0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根.6.证明:∵x≠0,∴f(x)= ,设1＜x1＜x2＜+∞,则 .∴f(x1)&f(x2),故函数f(x)在(1，+∞)上是减函数.(本题也可用求导方法解决)7.证明:(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)= .=－f(x1－x2)=－f(x). ∴f(x)是奇函数.(2)要证f(x+4a)=f(x),可先请采纳
奇偶性：最简单的方法：x=正负1
代到函数里面
得到的值 是一样的 大概是偶函数 相反的 奇函数，这只能用于最快的基本判定，最好还是用 x和-x带进去看看单调性就求导~
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