光纤传输理论_甜梦文库
光纤传输理论
第 3 章 光纤传输理论3.1 基本结构 3.2 光线理论 3.3 模式理论 3.4 单模光纤中的偏振现象 3.5 光在非正规光波导中的传输 3.6 小 结 思考与练习3. 1 基本结构光纤是一种高度透明的玻璃纤维, 由纯石英拉制而 成。 从横截面上看光纤由三部分组成, 即折射率较高的 纤芯, 折射率较低的包层以及表面涂层。 光纤折射率( RI) 分布在轴向上通常是相同的。根据 芯区折射率径向分布的不同, 可分为两类光纤。阶跃光纤和渐变光纤折射率在纤芯中保持恒定, 在芯与包层界面突变的 光纤称为阶跃光纤; 折射率在纤芯内按某种规律逐渐降低的光纤称为渐 变光纤。不同折射率分 布的光纤其传 输特性完全不 同。图3. 1 阶跃光纤( a) 与渐变光纤( b) 的横截面和折射率分布多模光纤和单模光纤(1)光纤有多模光纤和单模光纤两种基本类型。 单模光纤:只能传播一种模式的光纤称为单模 光纤。标准单模(single mode,SM)光纤折射 率呈阶跃型分布,纤芯直径较小,模场直径只 有8～10μ m,光线沿轴直线传播。 多模光纤:多模(multimode,MM)光纤纤芯直径 较大,可以传播数百到上千个模式,根据折射 率在纤芯和包层的径向分布的不同,又可分为 阶跃多模光纤和渐变多模光纤。多模光纤和单模光纤(2)根据纤芯直径2a和光波波长λ比值的大小, 光纤的传输原理可用光线理论和电磁场及 模式理论进行分析。 对于多模光纤, 2a/λ远大于光波波长λ; 对于单模光纤, 2a 与λ可比拟。3. 2 光线理论3. 2. 1 传输条件光波从折射率较大的介质入射到折射率较 小的介质时,在边界发生反射和折射,当入 射角超过临界角时,将发生全反射。图3. 2 光波从折射率较大的介质以三种不同的入射角进入折射 率较小的介质, 出现三种不同的情况 ( a) θI & θc ( b ) 临界 角θI= θc ( c) 全 反射 θI &θc光纤传输条件对于特定的光纤结构,只有满足一定条件的电 磁波可以在光纤中有效地传输,这些特定的电 磁波称为光纤模式。光纤中可传导的模式数 量取决于光纤的具体结构和折射率的径向分 布。( a) 不同入 射角[ 的光 线; ( b) [ = [ C 的光 线图3. 3 光纤传输条件 ( a) 不同入 射角θ 的光 线; ( b) θI & θc的光线阶跃多模光纤传输原理和导光条件子午光线: 通过光纤中心轴的任何平面都称为子午面, 子午面 内的光线称为子午光线。 在光纤端面以不同角度α从空气入射到纤芯( n0 & n1 ) , 只有 一定角度范围内的光线在射入光纤时产生的折射光线才能在 光纤中传输。 在 n0 / n1 界面, 根据斯涅耳定律, 得到:sin? max n1 ? sin(90? ? ?c ) n23.1全反射时sinθ c=n2/n1,将此式代入上式,得到sin? max (n ? n ) ? n02 1 2 212当光从空气进入光纤时n0 =1, 所以sin? max ? ( n ? n )2 12 1 2 22 12 23.2定义数值孔径(numerical aperture,NA)为NA ? n ? n ? n1 2? 3.3光纤的数值孔径NA表征了光纤收集光的能力。数 值 孔 径1其中，相对折射率差：纤芯与包层相对折射率差Δ ? (n1 ? n 2 ) n1如设, ? ? 1% n1 ? 1.5,?c ? 12.1?NA ? 0.21因此, 用数值孔径表示的光线最大入射角αmax 是sin ? maxNA ? n0sin ? max ? NA(n0=1)3.4角度2αmax 称为入射光线的孔径角, 它与光纤的数值孔径和 发射介质的折射率n0 有关。 只应用于子午光线入射。 多模光纤的大多数导模的入射光线是斜射光线, 由于斜射入 射光线具有较大的孔径角, 所以它对入射光线所允许的最大 可接收角要比子午光线入射得大。数 值 孔 径2当θ=θC 时, 光线在波导内以θC入射到纤芯与 包层交界面, 并沿交界面向前传播, 如图所示。 当 θ&θC时, 光线将折射进入包层并逐渐消失。 因此, 只有与此相对应的在孔径角为 2αmax 的 圆锥内入射的光线才能在光纤中传播。3.2.2 子午光线的传播根据光的反射定律: 入射光 线、反射光线和 分界面 的法线均在同一 平面, 光线在光纤的 纤芯-包层分界面反射时, 其分界面法线就是 纤芯的半径。因此, 子午光线的入射光线、反 射光线和分界面的法线均在子午面内, 如图3. 4 所示。这是子午光线传播的特点。由图3. 4 可求出子午光线在光纤内全反射 应满足的条件. n1 、n2分别为纤芯和包层的折射率, n0为光 纤周围介质的折射率。 要使光完全限制在光纤内传输, 则应使光线 在纤芯-包层分界面上的入射角j 大于( 至少 等于) 临界角Ψ0 , 即n2 sin?0 ? n1n2 , ? ? ?0 ? arcsin( ) n1? 0 ? 90? ? ? 0可以表示为:由于: ? 0 ? 90? ? ? 0 可得:arcsin? 0 ? 90? ? ? 0利用:n0 sin? 0 ? n1 sin?n0 sin? 0 ? n1 sin? 0 ?n ?n2 12 2可见, 相应于临界角ψ 0 的入射角为φ 0 ;ψ 反映了光 纤集光能力的大小, 通称为孔径角。n0 sin φ0 则定义 为光纤的数值孔径, 一般用 NA 表示,NA子 ? n0 sin? 0 ?2 2 n1 ? n23.5下标“子”表示是子午光线的数值孔径子午光线在光纤内传播路径是折线, 光线在 光纤中的路径长度大于光纤的长度。 图3.4几何关系可得长度为 L 的光纤中总光 路的长度S’和总反射次数η’分别为:L S ' ? LS ? cos ?L tan ? ? ' ? L? ? 2a3.63.7S和η 分别为单位长度内的光路长和全反射 次数, a为纤芯半径, 其表达式分别为:1 S ' ? LS ? sin?tan ? 1 ?? ? 2a 2a tan ?3.83.9关系式表明: 光线在光纤中传播的光路长度只 取决于入射角φ 和相对折射率n0 / n1 , 与光纤 直径无关; 全反射次数则与纤芯直径2a成反比。图3.5表示阶跃型光纤内子午光线的传播。光 线以锯齿状在纤芯中以全反射的方式传播。在 图3.5中可以看到,周围环境的折射率n0与纤芯 的折射率不同(n1&n0),则入射光进入纤芯后发 生折射。若入射角过大,则芯中的光线进入包 层,而不能满足传播条件。单模光纤中, 子午光线的数值孔径的定义式2 2 NA ? n0 sin(? 0 ,max ) ? n1 ? n2 ? n1 2?3.10NA是光纤的一个重要参数,它描述了光纤采集或 接收光的能力,为标量,通常有单位,在0.14～0. 50之间。通信光纤的NA典型值为0.1～0.20, 对应的接收角没为5.7°～11.5°。但是,对于非 通信应用,如内窥镜,NA远大于0.5(即θ 0&30°。 大多数通信设计中采用式( 3.10)中子午光线的 NA定义。数 值 孔 径3需要注意的是，光纤的NA并非越大越好。 NA越大，虽然光纤接收光的能力越强，但光 纤的模式色散也越厉害。 因为NA越大，则其相对折射率差Δ也就越大， Δ值较大的光纤的模式色散也越大，从而使 光纤的传输容量变小。 因此NA 取值的大小要兼顾光纤接收光的能 力和模式色散。3. 2. 3 斜光线的传播光纤中不在子午面内的光 线都是斜光线。它和光纤 的轴线既不平行也不相交, 其光路轨迹是空间螺旋折 线。此折线可为左旋, 也 可为右旋, 但它和光纤的 中心轴是等距的。由图3. 6中的几何关系可求出斜光线的全反射 条件。 图中QK为入射在光纤中的斜光线, 它与光纤轴 OO′不共面; H为K在光纤横截面上的投影; H T⊥QT, OM⊥QH 。由图中几何关系得斜光线 的全反射条件为 :n2 2 cos ? sin? ? 1 ? ( ) n1 3.11再利用折射定律n0 sinφ = n1sinθ ,可得在光纤中传 播的斜光线应满足如下条件:sin? cos ? ??n ?n2 12 2n0斜光线的数值孔径则为:NA斜 ? n0 sin? a ?2 2 n1 ? n2cos ?3.12由于cosγ≤1, 因而斜光线的数值径比子午光线的要大。 还可求出单位长度光纤中斜光线的光路长度S斜和全 反射次数η斜为:S斜?斜1 ? ? S子 cos ?3.133.14?斜 tan ? ? ? 2a cos ? cos ?与子午光线不同,斜光线绕着光纤轴线成螺旋形 ( 螺旋线)传播,如图3.7所示。斜光线是三维空间光线,而子午光线只是在二维平面内 传播。沿光纤的螺旋线发生一次反射,方向角改变2V, 其中V是反射点处的二维投影光线与纤芯半径的夹角。 不同于子午光线,斜光线由光纤出射至空气的出现点依 赖于光线发生全反射的次数,与光纤的入射条件无关。3. 2. 4 变折射率光纤的光线理论在变折射率光纤中, 折射率分布随离轴距离 的增加而不断改变, 其一般形式是:a ? ?r? ? 2 2 n ( r ) ? n (0)?1 ? 2?? ? ? ?a? ? ? ? ?3.15式中n 2 ( 0) ? n 2 ( r ) ?? 2n 2 ( 0)a是纤芯半径, n(0)是光纤轴上的折射率, n(r) 为离轴距离r处的折射率。图3. 8给出了n(r)和r的关系曲线。 α 为正数, 当 α →∞ 时, 折射率分布变成普 通的阶跃型; 当α =2时, 就是聚焦光 纤; 当α =1时, 纤芯中的折 射率随r增大而线性减 小。光线方程在理想情况下, 变折射率光纤中的折射率分 布为轴对称。为此用柱坐标 ( r, φ, z) , 取光 纤轴为z轴。 d ? dr ? 这时光线方程式 : ds ?n(r ) ds ? ? ?n(r ) 的径向分 ? ? 量为 :d ? dr ? dn ? d? ? ? n ? ? nr ? ? ? ds ? ds ? dr ? ds ?23.16轴向分量和圆周分量分别是dr d? d ? d? ? n ? ? nr ? ?0 ds ds ds ? ds ?23.173.18d ? dz ? ?n ? ? 0 ds ? ds ?r为径向坐标, s是光线的几何路径。图3. 9 光纤端面处光的波矢及其分量为求解上述光线方程, 首先应确定初始条件。 一条光线从折射率为 n0 的自由空间入射到光 纤的端面 ( z= 0) r= r0 和Φ= 0 处, 入射角为 θ0 , 入射平面和光纤的夹角是Φ = Φ 0 , 折射 角为θ n, 由折射定律有n( r0 ) sin? n ? n0 sin? 0 ? sin? 0K r ? n(r0 ) K sin? n cos ? 0 3.203.19光纤入射端处折射光线波矢量的圆柱分量为K ? ? n( r0 ) K sin? n sin? 03.21K Z ? n( r0 ) K cos ? n3.22初始条件是 在这些条件下, 方程 ( 3. 18) 可直接积分, 得dz n( r ) ? n( r0 ) cos ? n ds?r ? r0?Zr ? r0?0dr r ? r0 ? sin? n cos ? 0 ds d? r r ? r0 ? sin? n sin? 0 ds dz r ? r0 ? cos ? n ds3.233.24传播过程中, 波矢量沿光线路径的轴向分量:dz K z ? n( r0 ) K ds 3.25初始条件式( 3. 23) 代入上式,K z ? n(r0 ) K cos ? n 3.26把上式和式( 3. 22) 比较, 可知波矢量的轴向 分量在传播过程中始终不变。解式( 3. 17) , 将它乘以r, 再对s 从r0 到 r 积分, 得到d? n( r )r ? n( r0 )r0 sin? n sin? 0 3.27 ds 传播过程中, 波矢量沿光线路径的圆周分量是2d? K ? ? n( r0 ) Kr ds 由式( 3. 27) 可r9 K ? ? n( r0 ) K sin? n sin? 0 r3.283.29比较上式和式( 3. 21) 可知, 波矢量的圆周 分量在传输过程中要变化, 其变化系数为 r0 / r。 波矢量的径向分量。由式( 3. 16) 可得2 ? d 2r ? d? ? ? 1 d 2 n 2 ( r0 ) cos 2 ? n ? 2 ? r ? n (r ) ? ?? ? dz ? ? 2 dr ? dz ? ???3.30由式( 3. 24) 和式( 3. 27) 可得d? r0 ? 2 tan ? n sin? 0 dz r 3.31将上两式合并, 再乘以 z dr 并对z积分, 最后 dz 可得 dr ? n (r ) ?r ? ?r2 ?? 2 ? 1 ? tan 2 ? n sin2 ? 0 ? 0 ? ? dz ? n ( r0 ) cos 2 ? n ?r? ? ? ?r 2 2 1 2z??dr2 ? n2 (r ) ? r0 ? ? ? 1 ? tan 2 ? n sin2 ? 0 ? ? ? ? 2 n ( r0 ) cos 2 ? n ?r? ? ? ? ? 1 2r03.32知道折射率分布n(r)、输入点坐标 r0、折射角 β n、入射平面和轴的夹角Φ0 就可求出r与 z 的关 系 即光线在梯度折射率光纤中传输的轨迹和特性。自聚焦(透镜)光纤渐变光纤在短途光纤通信( 接入网) 、光纤 传感等领域有重要的应用。 它是一种多模光纤, 具有很好的聚光、准 直、成像等特性, 因而有时也叫自聚焦( 透 镜) 光纤。渐变光纤自聚焦效应在阶跃光纤中光线以曲折的锯齿形状向前传播，而 在渐变光纤中则以一种正弦振荡形式向前传播。由光在介质中的速度：v?c n在渐变光纤中，入射角大的光线虽然路径长，但是 速度快；而通过轴线的光线尽管路径最短，但速度 最慢。 合理设计折射率分布，可使所有光线同时到达光纤 输出端，消除模间色散。它的折射率服从平方律分布规律:n ( r ) ? n (1 ? Ar )2 2 0 23.33式中, n0 为轴线折射率, r为离轴距离, A为自聚 焦透镜的聚焦常数。 自聚焦光纤置于空气中时光线轨迹的矩阵方 程为?r ( z ) ? ?cos Az ?r ?( z )? ? ? ? ? ?? A sin Az ? 1 / A sin A ? ?r (0) ? ?? r ?(0)? cos Az ? ?? ?3.34r(z)为光线在入射面透镜内侧离轴的距离, r′( z) 为光 线在入射面透镜内侧斜率,? r (0) ? ? r ?( 0 ) ? ? ?为输入矢量,?r ( z ) ? ? r ?( z ) ? ? ?为输出矢量。从矩阵方程可知: 一切在自聚焦棒轴线 上的入射光线不依赖其入射角度, 只要 自聚焦棒的长度取： z= P/4=π/2A (即1/4节距) , 经自聚焦透 镜变换的光均为平行光。 式中P为自聚焦透镜的节距。自聚焦棒的半径R 应满足NA R? ? A n(0) 3.35式中, NA 为光纤的数值孔径。 根据自聚焦透镜的传光原理, 对于1/4 节距的自聚焦透镜, 当汇聚光从自聚焦 透镜一端面输入时, 经过自聚焦透镜后 会转变成平行光线。如图3. 10 所示。 自聚焦光纤很长时, 光线在里面传播相当于 一个不断聚焦的过程。1/4图3. 10 自聚焦透镜准直原理示意图3.3 模式理论光纤中的模式是指光纤中的光在传播过程 中所呈现出的空间分布形式, 它是由入射光 的角度和频率以及光纤参数决定的, 在光 纤 参数一定时就只由入射光的角度和频率( 前 提是光纤不受扰动且均匀)确定。 不同模式在空间可能具有交叠性, 在受到扰 动时它们会发生耦合(能量交换)和分布形式 发生改变。3.3.1 阶跃光纤模式理论1. 电磁波在光纤中传播的基本方程光是电磁波，用电磁理论来分析，必须从麦克斯韦方 程组出发： ?B ?B ?? E ? ? (E－电场强度) ?? E ? ? ?t ?t ?D ?D ?? H ? (H－磁场强度) ?? H ? J ? ?t ?t ??D ? 0 (D－电通密度) ? ? D ? ?v???B ? 0??B ? 0(B－磁通密度)J ――电流密度，光纤（SiO2）不是电的导体，不 存在电流，J＝0 导波理论-- 电磁理论? v――电荷体密度，不存在自由电荷，所以 ?v ? 0麦克斯韦方程组?光纤中光场的分布情况? 麦克斯韦方程组――描述了电磁场的所有特性 ? 思 用数学表达式来描述波导中电场E 和 路： 磁场H 的分布――亥姆霍兹方程求解亥姆霍兹方程――描述光纤中 电场和磁场的分布――波动方程?波动方程和边界条件合起来构成了用于描述电磁波在光纤中传播的理论体系? ?对方程组的解表明电磁场在光纤中 以离散的 模式传播――模式理论亥姆霍兹方程的推导(2) (3) ? ? ? ? ? ?? E ? ? ? ? ? ? E ?? ? ? ? B ? ? ? ?0 ? ? ? H ? ? ? ?0 ? ? ?t ?t ?t ? ?t ? ?2 ?2 E ? ? ?0 2 ? ? E ? ? ???0 2 ( A1) ?t ?t ?B (1) ?? E ? ? ?t (1)(2)B ? ? H ? ?0 H ? M ，( ? 光纤不具有铁磁性，M=0) ? B ? ?0 H?D ? ?? ? H ? ?t ? ?D ? ? E ? ? (? E ) ? ?? H ? ?t(3)? 1 ? 2 ? ? ? ? E ? ? ? ? ? E ? ? ? E ? ? ? ? E? ? ? ? ? ? E ( A2) ? ? ? ?D ? ? E (4) ? ? ? ? D ? ? ? ? ? E ? ? E? ? ? ? ?? ? E ? 0 ?? ? D ? 02 (4)?? ? E ? ?1?2 E ? 亥 ?1 ? 联立(A1)、 式：? 2 E ? ? ? E ? ?? ? ? ??0 2 ? 姆 (A2) ?t ? 霍 ?? ? ?兹 2 ? H ?1 ? 2 ?方 同理：? H ? ? ?? ? ? ? ? H ? ??0 ?程 ?t 2 ?? ? ??E? ? ?? 亥姆霍兹方程的意义：亥姆霍兹方程的解描述了波 导中电场和磁场的分布。2. 光在光纤中传播的导波方程光纤是圆柱形结构, 光波沿z 轴传播, 可在 z 轴与光纤轴线一致的柱面坐标系( r, Φ, z) 中描述, 设方程( 3. 38) 有下述形式的解:E ? E 0 ?r , ? ?exp? j ??t ? ?z ?? 3.39aH ? E 0 ?r , ? ?exp? j ??t ? ?z ??3.39bβ为轴向传播常数。将 E 和H 分解为横向和纵向分量E ?r , ? ? ? E t ?r , ? ? ? E z ?r , ? ?i z 3.40aH ?r , ? ? ? H t ?r , ? ? ? E z ?r , ? ?i z3.40biz为 z 方向的单位矢量。 将式( 3. 39) 和式( 3. 40) 代入式( 3. 38) , 得??2 t2 ? k 0 ? ? 2 E ? ? ?? t ? j? i z ? ? E t ? t ln n 2???3.41a??2 t2 ? k 0 ? ? 2 H ? ???? t ? j? i z ? ? H ?? ? t ln n 2?3.41bε与 z 无关, 所以式( 3. 41) 可以转化??2 t2 ? k 0 ? ? 2 E t ? ?? t ? E t ? t ln n 2???3.42a??2 t????2 t2 ? k 0 ? ? 2 H t ? ?? t ? H t ? ? ? t ln n 22 t 2 ? k 0 ? ? 2 E z ? j?E t ? ? t ln n 2?3.42b3.43a3.43b2 ? k 0 ? ? 2 H z ? ?? t H z ? j? H t ? ? ? t ln n 2??k0=2π/λ自由空间的波数, n2=ε/ε0,n为介质的折 射率. 式 ( 3. 41) 和式( 3. 42) 是场的横 向分量应满 足的矢量波动方程,式( 3. 43) 是纵向分量应满 足的波动方程.显然是个标量波动方程。求解矢量亥姆霍兹方程 ――光在光纤中传播的波动方程 ? 亥姆霍兹方程求解结果1――横向场分量：j Er ? ? 2 2 k0 n ? ? 2 ? ?Ez ? ?? ? ?r?0 k0 ?H z ? ? ? 0 r ?? ? ?0 k0 ?H z ? ? ? 0 r ?r ?? ? ?Ez j E? ? ? 2 2 ? 2 ? k0 n ? ? ? r ?? j Hr ? ? 2 2 k0 n ? ? 2? ?H z k0 n 2 ?Ez ? ? ?? ? ?r r ?? ? ? ? ?0 2 ?E z k0 n ? ?0 ?? ?? ? ?H z j H? ? ? 2 2 ? 2 ? k0 n ? ? ? r ??β为轴向传播系数, k0 为自由空间的波数k0=2π/λ?亥姆霍兹方程求解结果2 ――纵(轴)向场分量Ez 和 Hz ：但是对阶跃光纤, 在 r= 0～a 的芯区和r& a 的 包层中, ε和n 是均匀的, ? t ? ? 0, ? t n ? 0.? t ln n 2 ? 0 波动方程2 ? ?? 2 ? k0 n 2 ? ? 2 ? Ez＝0 ? ? ? t ? 2 2 2 2 ?? t ? k0 n ? ? ? H z＝0 ? ? ? ?3.45a 3.45b? ? 其中，?t ? ? ?x ?y注意： ? t 的下标 t 代表transverse（横向）,而不 是代表time。?结论 这种近似在光纤理论中称为标量近似, 求 得的光波电磁场的解称为标量近似解。 在横截面内折射率变化很小, 意味着光纤 导光能力很弱, 满足这种条件的光纤称为 弱导光纤。3阶跃光纤中的光场阶跃光纤中, 芯区半径为a, 介电常数、折射 率、磁导率分别为ε1 、n1 和μ1 , 且分布均 匀, 包层中介电常数、折射率、磁导率分别为 ε2 、n2 和μ2 , 而 μ1 = μ 2 = μ0 。因为光纤为圆柱波导，把波动方程转换到柱坐标系：1 1 ? ? ? 1 ?2 ?2 ? ?r ? ? 2 t r ?r ? ?r ? r ?? 23.46在圆周对称光纤中, 场沿圆周 Φ以2π为周期, 采用 分离变量法, 设场 Ψz ( Ez或Hz )有如下形式的解:? z ( r , ? ) ? ? (r ) exp( jm? )3.47式中, m 为整数, 表示场沿圆周变化的周期数。将式( 3. 47) 代入式( 3. 45a) , 可? 2? 1 ?? ? 2 m2 ? ? ? ? k 1 ? ? 2 ? 2 ?? ? 0 ?r 2 r ?r ? r ? ? ? （纤芯） 3.48a? 2? 1 ?? ? 2 m2 ? ? ? ? k 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? 0 ?r 2 r ?r ? r ? ? ?2 1 2 2 0 2 1 2 2 2（包层） 3.49b2 0 2 2k ? ? ? 1 ?0 ? k n , k ? ? ? 2 ?0 ? k n形如：? 2 w 1 ?w ? v 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? w ? 0 称为 2 ?z z ?z ? z ?v阶贝塞尔函数。上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种电场 Ψ(r)与β的组合满足方程。每一个组合称为一个 导波模式。1 芯区在 r≤a 的芯区, 由于存在完全内反射, 光场在 z 向传播的速度必小于平面波在 n1 介质中 的速度, 因而有β& k0n1 或 k21- β2&0 方向应 是振荡形分布, 且在 r= 0 处场 幅为有 限值, 所以在芯区场的横向变化可用第一类贝塞尔 函数表示, 这个场称为受导模或导模, 可表示 为:E zI ? AJ m ( ur )e jm? e ? j (?t ? ?z )2 2 u 2 ? k12 ? ? 2 ? k 0 n1 ? ? 2纤芯3.493.502 包层在 r≥a 的包层内, 场在z 向的传播速度大于平 面波在 n2 介质中的速度, 因而有β& k0 n2 , 或 ( k22 - β2 ) & 0。场在 r 方向为衰减场或消逝 场, 且在 r→∞处, Ψ→0, 所以在包层区场的横 向变化可用第二类变态贝塞尔函数表示:E zII ? CK m (?r )e jm? e ? j (?t ? ?z ) 包层2 23.51? ? ? ? k ? (? ? k n )2 2 2 2 2 2 03.50同理，可求得磁场H 的分布。H zI ? BJ m ( ur )e jm? e ? j (?t ? ?z )H zII ? DK m (?r )e jm? e ? j (?t ? ?z )纤芯包层3.533.54以上各式中,A、B、C、D为由入射光强决定 的待定常数。将两区中求得的Ez和Hz代入式(3.44),即可得到 电磁场的各横向分量。 需要指出,由变态贝塞尔函数的渐近表示可知, 当ω r→∞时,Km(ω r)→e-ω r,当ω r→∞时, km(ω r)必为零, 所以对导引模必有ω &0,β &k2 , 若k=0,β =k2 ,则不满足km(ω r)|r →∞ =0的条件, 导引模将不再约束在纤芯中沿轴传输,能量将向 横向辐射出去,所以定义ω =0为导引模的截止条 件。 另外,从Jm(ur)的性质可知,在纤芯中u必须是实 数,否则场将衰减。因而由式(3.50)必有k1&β , 这样,导引模传播常数β 就介于k1和k2之间,即 k2 ≤β ≤k1 ,β 的具体值将由本征方程决定。4 阶跃光纤的本征方程与模式在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤 芯―包层边界条件，得：? J ? ? ua ? K ? ? wa ? ?? J ? ? ua ? n 2 K ? wa ? ? ? m? ?2 ? 1 1 ? m m m m 2 ? ?? ??? ? ? 2 ? ? 2? 2? ? uJ m ? ua ? wK m ? wa ? ?? uJ m ? ua ? n1 wK m ? wa ? ? ? k 0 n1a ? ? u w ? ? ?? ?――传播常数β的特征方程波动方程 和 边界条件合起来就构成了用于描述电磁(EM)波在光纤中传播的理论体系。它们可以使我们得出模式的特征方程。 特征方程的解的主要结论就是：电磁场不是以连 续的、而是以离散的模式在光纤中传播。当给定参数a、k0、n1和n2后，即可求得传播常数β。 对于给定的整数m，都有n个解。记做βmn。不同的 βmn 对应光纤中光场的不同光场分布。模式的定义：β mn所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满 足边界条件，这种空间分布称为 模式 。 一个模式由β mn 唯一确定。n的物理意义---表示场沿半径最大值的个数. n的数学意义---表示根的序号数.m为整数------表示场沿圆周变化的周期数进入光纤的光分解 成称为“模式”的 离散光束，模式是 在光纤内部存在的 稳定的电磁场模型。 每个模式可认为是 以特定传播角传播的 一个独立光束。模式的第二个定义： 以不同角度入射到光 纤的射线将形成光纤 中不同的模式。光纤中的电磁场模式和平面波导相比,有其明显 的特点, 除 m=0的个别情况外,其Ez和Hz都不为 零。 而平面波导中,两者之一可为零,因而光纤的模 式称为混合模。 根据是磁场的贡献为主(Hz&Ez)还是电场的贡献 为主(Ez&Hz),可标记为HEmn或EHmn。 对于m=0的轴对称特殊情况,HE0n和EH0n可分别 标记为TE0n和TM0n。它们相应于横电模(Ez=0) 或横磁模(Hz=0)传播。 另一种模式标记为LPmn,用于弱导光纤中,这种 光纤中Ez和Hz都近似为零。LP模代表一种线偏 振模。在光纤这样的弱导结构中, HE-EH模成对出 现,而且它们的传播常数基本相等,称之为 简并模。 这些简并模具有相同的传播常数,不管它具 体是HE、EH、TE 或 TM 模,都用线偏振模 (LP模)表示。 由模场结构可以看到,属于同一个LP模的模 式的横向场强(Ex或Ey)相等,因此将其定义 为线偏振模。HE、EH、TE 及TM 模与LP1m模间的关系见 表3.1。 假设有一个观察者在芯内沿一圆周,在方位 角φ 内做巡回运动,但并不转动, 则脚标1 代表E场转到他面前时转过的2π 的倍数。 脚标m代表E场沿r放射状地从纤芯中心到芯 -包层界面经过的半正弦的半周期数。表 3. 1 低阶 LP 模的组成LP模 LP01 LP11 LP21 HE31 传统模 HE11 HE21 ,TE01，TM01, EH11LP02LP31 LP12HE12HE41 ， EH21 HE22 , TE02 , TM02LP0n LP1n LP1n (n≠0 或1) HE1+1,nHE1n HE2n , TE0n , TM0n , EH1-1,n? 完全沿着光纤中心轴线传播的模式称为“基模”； ? 模式的传播角度越大，它的级就越高； ? 最高级的模式就是以临界角传播的模式。只支持一个模式（基模）的光纤被称作单模光纤；可支持多个模式的光纤为多模光纤。模式的分类这些离散的模式可以是完全横向的-TEmn 和 TMmn 当 m=0当 m=0Ez =0 (横电模)Hz=0 (横磁模)可标记为 TE0n 和 TM0n模式的分类也可以拥有纵向（即沿着传播方向z）分量 ―― 混 合模―― HEmn 和 EHmn? 磁场贡献为主（Hz&Ez）―― HEmn ?电场贡献为主（ Ez & Hz ）―― EHmn事实上，在实际的光纤中真正存在的模式为线偏 振模 ―― LP mn (弱导光纤 ?&&1 Ez 和 Hz 都很小 )有效折射率（模折射率）：n ? ? k0 （其中，k0 ? 2? ? ）有效折射率的物理含义：表明该模式在折射率为 n 的介质中传播。( n1 与 n2 之间)归一化频率由式( 3.50)与式( 3. 52)可知,当ω = 0 时,u= k0( n21 - n22 )1/ 2 ,ω = 0对应于导 引模的截止条件。 为决定截止条件,定义一个用a/c(n21-n22)1 / 2对频率归一化的参量: 2 2 V ? k 0 a( n1 ? n2 ) ? ( 2? / ? )an1 2? 3.56 称为归一化频率或简称V参数。 再引入一个归一化传播常数b,定义为:b?? / k 0 ? n2n1 ? n2n ? n2 ? n1 ? n23.57图3.11给出了一些低阶模归一化传播常数 b与归一化频率的关系曲线,1 2 M? V 2 3.58从图中可以看出，归一化频率V越大，能够传播的模 式数就越多。? 2? ? ? aNA ? 2 2 12 V ? k0 a(n1 ? n2 ) ? ? ? 2? an 2? ?? 1 ? 光纤中可传播的模式数M 与V 的关系（当V &20时）：?1 2 ?2V ? M ?? ?1 V 2 ?4 ? (阶跃光纤) (渐变光纤)归一化频率V 的表达式：例：对于典型的渐变型光纤：NA＝0.275，纤芯直径 62.5μm，求当工作在1300nm窗口时，光纤中可容纳的模式数。利用：V ? k0 a(n ? n )2 1 2 12 2?2??aNA2? 62.5 ?10?6 ?V ? ? ? 0.275 ? 41.5 ?9
1 2 又? M ? V (渐变光纤) 4?单根光纤中可容纳的模式数：M ? 4313.3.2单模光纤的模式理论1. 阶跃折射率分布光纤的单模条件 如图3. 11 所示, 归一化频率V 决定了光纤传 输的模式数, 各模式的截 止条件取决于V, 并 用 Vc 来表示, 基模不会截止。单模由TE01和TM01达到截止时的归一化频率V 决定, 当 m= 0 时, 由特征方程3.55,可获得 TE01和TM01两个模的本征方程:/ / uJ 0 ( ua ) K 0 (?a ) ? ?J 0 ( ua ) K 0 (?a ) ? 0(TE 01 模 )2 / 2 / un2 J 0 ( ua ) K 0 (?a ) ? ?n1 J 0 ( ua ) K 0 (?a ) ? 0(TM 01 模 )3.593.60当 ω= 0 时模式截止, ua= V, 因此两模式的截 止条件为 J0 ( V) = 0 3.61 J0 ( V) = 0的最小V值为V = 2. 405, 光纤设计 在 V & 2. 405, 就只能承载基模HE11 。当光纤中可容纳的模式数M＝1时，除了HE11（LP01） 模外，其它模式均截止，一根光纤中只传输单个模 式，这种光纤称为单模光纤。 归一化频率V （如图所示）决定了光纤传输的模式数M， 各模式的截止条件决定于V。 结论：阶跃折射率光纤的（只传输HE11 模）单模条 件是： V＜2.405基模不会截止 ――即使V值再小，基模也仍然存在。例：利用单模条件估算光波系统中单模光纤的纤芯半 径。其中，取λ＝1.2μm，n1=1.45, ?=5*10-3 ．?V ? k 0 a ( n ? n )2 1 2 12 2?2??an1 2??a?2?V n1 2?? 由阶跃折射率光纤的单模条件：V＜ 2.405 2.405 a? ? 3.2? m 2? ?1.45 ? 2 ? 5 ?10?3 1.2? m 实际中，单模光纤的纤芯半径设计在 a ? 4? m阶跃折射率光纤中的传 输模式数 M 取决于 光纤芯径D、纤芯折射率n0 、包层折射率n1 和光波长λ 。传输模式数可由下式求得:? ?D ? NA ? ? ?D ? 2 2 M ? 0.5? ? ? 0.5? ? ( n1 ? n2 ) ? ? ? ? ? ?2 23.62因为使用接收角表示数值孔径对单模光纤而 言没有准确意义, 所以也用纤芯、包层折射 率代替数值孔径NA 。求解模式数方程, 利用贝塞尔函数可以得出最大芯 径D, 它表示对于某个特定波长要实现单模的条件 只要芯径稍大, 光纤就能传输两 个模 式, 芯径足 够小 的光 纤才能传输单一 光波模式。D? 2.4 ?? n12 ? n 2 23.63纤芯面积正比于芯径平方, 所以纤芯面积也正比于 波长平方, 如果其他条件不变, 那么用于传输0. 65μ m 红光的光纤纤芯面积只有传输1. 3μ m 近红 外光的光纤的1/ 4。因此, 光波长越短, 将光耦合 进单模光纤就越困难。介质纤芯并不能约束所有的光, 一部分被传导的 单模会延伸到包层中。 这些溢出光会在某处反射回纤芯, 这个反射处和 光轴的距离被称之为模场直径, 定义为光强度减 小为纤芯峰值 1/e2 ( 0.135)的位置和光轴之间的 距离。图3. 12 单模光纤中有少部分光会延伸到包层中去模场直径由波长决定, 随波长的增加而增大。 阶跃折射率单模光纤的模场直径通 常 比芯 径大约10% ～ 15% 。 一种广泛使用的阶跃折射率单模光纤的芯 径8. 2μm, 1310nm 处的模 场直径为 9. 2μm, 1550nm 处 为 10. 4μm, 其数值孔 径 ( 波长1310nm 处) 为 0. 14。2. 截止波长前面讲过, 单模传 输光纤的最大芯径取决于波 长, 如果方程以波长 为变量, 对于特定芯径的 单模传输, 求解可知存在一个特殊的波长值, 必 须大于此值才能实现单模传输, 这个波长值称 为截止波长, 计算公式为:?c ??D n ? n2 12 22.43.64D为光纤直径, 单模波长必须大于λ 假如波 长减小, 低于λc 时就会出现多模传输。如果想要高性能传输系统中的信号只有 单 一模式, 就得让所有的传输波长都大于截止 波长。为了稳定可靠, 必须有一个误差容限, 即设计光纤时必须使截止波长比所有的工作 波长短。例如, 普通阶跃折射率单模光纤通 常用 于1310nm 波段, 其规定的截止波长一 般为1. 26μm。 单模光纤的截止波长表示所能传输单模的最 短波长, 若波长比此更短, 光纤将会传输双 模或多模。3 单模光纤的模折射率与归一化传播常数有效折射率（模折射率）： n ? n2 ? b(n ? n ) ? n (1 ? b? ) 2 1 2n ? ? k0 （其中，k0 ? 2? ? ） 有效折射率的物理含义：表明HE11（LP01）模式在折射率为 n 的介质中传播。 归一化传播常数b :b(v) ≈(1.0/V)24. 单模场结构LP0LP01模（HE11）的电力线分布LP 01模式的强度点和可视模式1当? && 1时（弱导光纤），电场和磁场轴向的分量都 很小，因此HE11模可近似为线偏振模LP01。实际上，一根光纤承载了两个 简并正交的线性偏振模。5 . 单模光纤的双折射特性出现双折射现象的原因：实际光纤的纤芯形状不完善――不是理想的圆柱形 应力不均匀也使光纤的圆柱对称性受到破坏 由于以上两点原因，必定造成 折射率分布的各向异性。双折射现象带来的影响：――如果这个光纤是完美的，这两个正交的模式会 以相同的速度传播，并且同时到达光纤输出端。 ――如果光纤的圆柱对称性出现了改变，这两个正 交的模式就会以不同的速度传播，导致脉冲展宽。――偏振的不确定性对相干通信系统对信号的检测、 接收产生影响。双折射的定义一般单模光纤双折射的定义为两个正交模 式传播常数之差, 即 Δβ= βx -βy ,其特征参 量有三个: 1) 模双折射, 又称归一化双折射, 其定义为:B? ??? xy??x ? ?y1 (? x ? ? y ) 2?nx ? n y n3.68一般单模光纤的B值为10-5 ~ 10-6，当B& 10-5时 为低双折射光纤( LB) ,当B& 10-6,为高双折射光 纤( HB)。对于HB光纤, 习惯用拍长 LP 来表征其模 双折射, 拍长定义为：2? ? Lp ? ? ?? n? 3.68两个正交偏振模的相位差达到2π的光纤长度。 一般高双折射光纤LP之值为1～10mm。对于 LB 光纤, 习惯用两模间的相位延迟δ来表征其 模双折射, δ定义为 ?x ? ?y ? ? 3.70 ?ι为产生Δβ= βx-βy 的光纤长度, 目前低双折射光纤δ之 最佳值为 1°/ m。模耦合参量h, 它表明光纤的保偏能力, 其值 由单模光纤的消光比η确定：h tanh( ?? ) ? ? 10 lg ? 10 lg Px (? ) ? ? (a y ? a x ) tanh( ?? ) Py (? ) 3.71Px、Py 分别为两正交模的功率,ι为光纤长度, ax 、ay 分别为两正交模的传输损耗 , δ= [( ay ax )2+h2 ]1/2，若ax=ay , 则有 δ= h, 上式简化为? ? 10 lg(tanh( h? ))3.72( 3) 传输损耗。 保偏光纤按B值大小分为低双折射光纤和高双 折射光纤两类, 后者又有单偏振光纤( single polarization fiber, SP) ( 只传输两 个正交模 中的一个 ) 和双偏振光纤( twin polarization fiber, TP) ( 能同时传输两个正交偏振模) 之分。 按模双折射产生原因也可以分为几何形状效 应( geometric effect, GE) 和应力感应 ( stress induced effect, SE)光纤。? 快轴代表模折射率小的轴；慢轴则为模折射率大的轴。?因光纤偏振特性的改变造成的脉冲展宽称为偏振色散。 ?总的来说，偏振色散的影响比较小；B ? n x ? n y ? 10?7?但是当系统工作在零色散波长时（采用了色散位移光纤），总色散中的材料色散下降到非常小的值，这就使 偏振色散成为总色散中的重要成分。 解决方案：?采用保偏光纤，人为引入较高的固定双折射，那么沿着快轴传播的线偏光会在传播过程中保持偏振状态。保偏光纤现有的几种主要结构类型见表 3. 2,表 3. 2 保偏光纤的主要结构类型GE HB SP 边槽型( side pit) 边隧道型(side tunnel) SE 蝴蝶结型( bow tie) 熊猫型(panda) 扁平包层型(flat cladding) 蝴蝶结型,熊猫型,扁平 包层型 圆包层型( elliptical cladding) 椭圆套层型(elliptical jacket)TP边槽型,边隧道型 椭圆纤芯型( elliptical core) 哑铃纤芯型( dumbbell core) 四区纤芯型( four section core)LB旋转型( spun)扭转型(twisting)图3.14 几种典型的保偏光纤的截面图。( a) 熊猫型; ( b) 蝴蝶结型; ( c) 椭圆套层型; ( d) 椭圆纤芯型6. 单模光纤的模场直径? 单模光纤纤芯直径的概念没有实际意义，而常用模场直径 (2 w)的概念。&原因&：?场分布不完全局限在纤芯内，有相当一部分是由包层（约20％）传输的。?模场直径 (2 w) 的物理意义：――它代表了基模场强在空间的集中程度。?研究模场直径的实际意义：――对光纤连接及其它光器件之间的耦合有重要 的影响。模场直径不匹配? 一般将光场近似作为高斯分布：E ? A exp(?r2?2) exp( j ? z )I ? E 2 ? A2 exp(?2r 2?2)o 实际场分布与高斯分布近似的结果符合得相当好；o 高斯分布便于理论计算。? 在1.2&V&2.4 区间内，可用近似公式计算模场半径：w a ? 0.65 ? 1.619V ?3 2 ? 2.879V ?67 . 纤芯中的功率流? 模式纵向传输（沿光纤轴向）的功率流在纤芯和包层两个区域同时传输；?大部分集中在芯区，小部分在包层内传输。? 芯区功率流与总功率的比：――它表征了基模功率在空间的集中程度P芯 P ? 1 ? exp ? ?2a 2 w2 ?其中，模场半径与纤芯半径之比 w a 为：w a ? 0.65 ? 1.619V?3 2? 2.879V?63. 4 单模光纤中的偏振现象在理想的单模光纤回路中往往存在两个正交、 独立的简并模( 也就是正交偏振) 。 由于二者都由相同的传播常数或相同的传播速 度来定义, 所以这些模发生简并。 光纤中的电场往往是这样两个本征偏振或本征 模的线性叠加。 由于本征模是独立的, 所以它们的传播互不干 扰。3. 4. 1 本征模在实际的单模光纤中, 可以观察到多种不对称 性, 例如光纤芯不圆或承受不对称的侧压力等。 两个正交偏振不再简并, 它们以不同的速度, 而不是相同的速度传播。 这些模实际上就变成了不同的模, 叫作本征模。除了非圆纤芯和不对称侧压力以外, 沿光纤 还可以发现其他多种内在的和外在的变形。 典型的附加变形有弯曲、扭转及折射率分布 的不对称。 纤芯和包层热膨胀系数的不同也会导致内部 受力不对称, 所以温度变化也会影响光在光 纤中的传播质量。与光纤类型无关, 所有这些扰动都会破坏圆 形波导的几何形状, 并影响本征模的传播速 度。 除了传播速度改变, 前面提到的光纤变形也 会产生我们不希望看到的模式耦合。 发生模式耦合, 就会有能区相互交换, 其结 果是两个模相互影响, 而不再相互独立。 那么它们就不再是本征模, 因为只有相互独 立的模才叫作本征模。 这也表明耦合模通常可以用两个独立的本征 模来表达, 同时还要考虑光纤扰动。这些新定义的本征模正交偏振不同于没有考虑 光纤扰动时候的本征模偏振。 偏振的正交方向叫作基准轴。例如, 如果光纤 是椭圆芯的, 那么基准轴就是光纤截面椭圆的 长半轴和短半轴。 本节首先假设不存在模式耦合。 在单模光纤中, 一个本征模比另一个本征模传 播得慢。为了集中讨论偏振的影响, 我们假设本征模 的基准轴与笛卡儿直角坐标系的x 和y 方 向一致。 在这个坐标系中, 传播常数分别为 βx 和βy 。 光纤轴线, 即光的传播方向是 z 方向。 我们再假设光纤扰动只是由轴向不对称引 起的, 即随位置z的变化而变化。偏振的传播下面来考查一下偏振的传播, 它是一个双折 射 Δβ和位置 z 的函数。为了避免一般性, 我们认为光纤输入端, 也就是 z= 0 处是线 性偏振的平面光学波。 这个波可以用电场来描述? E x (t ) ? ?? E (t ) ? ? ? E (t ) ? ? y ?? j 2?ft ? cos? ? E e ? sin? ? ? ? ? ? ? ?e j 2?ft e E?cos?e j 2?ft e x ? E ? 本征模xcos?e j 2?ft ey E 本征模y?3.81f = c/ λ代表光的频率, E 代表场强, 假设为常 数。 光纤输入场的线性偏振用单位偏振向量e, 即 IeI= 1定义。该向量的方向( 也就是定位) 由 偏振角θ 决定。 ex 、ey 分别代表了x 和y 方向的单位向量。电场向量2(t)的实部在xy平面内的运动轨迹(也 就是偏振)如图3.16 所示。 在光纤输入端(z=0), 依照前面讨论过的线性 偏 振输入, 该向量描述的是一条直线。图3.16光纤输入端线偏光波的电场矢量轨迹曲线(即偏振态)(z=0)当考查光纤任意位置z≠0处的轨迹曲线形 状 时, 我们会发现它通常不是直线, 往往是椭 圆, 其电场为? E x ( z, t ) ? ?? E ( z, t ) ? ? ? E ( z, t ) ? ? y ? ? cos ?e ? j? x z ? ?? e j 2?ft ? E ? j? y zt ? ? sin?e ? ??e j 2?ft E 3.82?? ? ? ? ? ? j 2?ft ? j? x z j 2?ft ? j? x z e e x ? ? ? E sin?e e ey ? ? ? E cos ?e ? ? ? ? 本征 模x 本征 模y ? ? ? ?单位偏振向量e ( z) 不仅是复数, 还是位置函数。 由公式( 3. 82) 定义的光波是椭圆偏振的。偏振光波的典型轨迹曲线, 我们称之为偏振椭圆或偏 振 态( SOP) 。 场矢量沿每个偏振椭圆周期性地旋转, 周期为1/ f 。 偏振椭圆的两个特征参量为x方向与椭圆半长轴之间 的仰角ξ和椭圆度η。 由于η的定义是半轴之比Emin / Emax 的反正切, 所以η 也代表一个角度。图3.17光纤z≠0位置上椭圆偏振光波的电场矢量轨迹曲线(偏振态)为了计算仰角ξ 和椭圆度η, 需要计算式( 3. 82) 中电场的两个正交分量Ex ( z, t) 和Ey ( z, t) 之 间的相位差。?? ( z ) ? ?? z3.83该相位差随位置 z 而变化。利用简单的三角关 系, 仰角ξ和椭圆度η 可以最终表达为? ? ? E min ? sin?2? ? sin??? ?z ?? ? ? ? ? arctan ? ? E ? ? ? arctan ? ? ? 1 ? 1 ? sin 2 ?2? ? sin??? ?z ?? ? ? max ? ? ? 1 ? sin?2? ? cos??? ?z ?? ? ? ? arcyan? ? 2 cos?2? ? ? ? 3.85 3.84Z和a的范围分别是-π/ 4≤Z≤π/ 4 和- π/ 2≤a≤π/ 2。如果电场向量沿偏振椭圆逆时针旋转, 则椭 圆度η为正; 如果旋转是顺时针的, 则η为负。 若观察者正对着光波传播的方向, 那么这就 意味着观察者从接收机方向向光纤芯看进 去。 考虑椭圆度η, 就可以定义另一个描述偏振 椭圆的重要参量, 叫作偏振度。也就是1 ? tan 2 ?? ? P? ? 1 ? sin2 ?2? ? sin2 ??? ?z ?? 1 ? tan 2 ?? ? 3.86偏振度的扩展范围为0～1。η= 0 代表圆偏振, 0&η&1代表椭圆偏振, 而 η= 1则代表线性偏 振。 当更细致地分析特征量P、ξ 和η时, 就可以 看到位置变量z 的周期性, 其周期为2? Lb ? ??3.87Lb描述的是测量长度, 叫作光纤拍长。 每经过一个 Lb 距离后, 往往可以观察到与光 纤输入端, 也就是 z= 0 处相同的偏振。为了描述光沿单模 光纤传 播距离Lb 的过程 中 偏振态 的变化, 我们在 图3. 18给出了由 式( 3. 82) 确定的电场矢量实部的轨迹曲线。 假设从光纤输入端( z= 0) 进入的是线偏振 光, 而且能量在两个正交线性本征模之间等 分。于是, 光纤输入端的线性 偏振角为 θ= π/ 4,由图可以明显地看出, 光的偏振沿光纤表现出极大 的变化性。 如果光纤变形确定, 且变形随时间和温度随机变化, 则和实际系统一样, 偏振的变化是可以确定的。图3.18光纤输入端(z=0)的线偏振态为[=π/4时光纤不同位置z上的 偏振态让我们来考虑光纤输入端的两个偏振模中只有 一个存在的情况。传播中的偏振态是变化的。 图3. 19假设x方向的本征模较为活跃, 也就是 β&π/ 4。显然, 这张图中偏振态的变化比图3. 18 中的小。而圆偏振根本就不发生变化。当光纤输入端只有线性正交本征模中的一支 被激活时, 会得到一个很重要且特殊的情况。 光纤输入端线性偏振的角度由 [ =kπ/2决定, 其中 k∈{ …, - 1, 0, 1, …} 。 在这种情况下, 偏振椭圆所有的特征量, 也就 是 ξ、η 和P都依赖于位置变量z。 光纤输入端的线性偏振光往往定义了两个正 交的特征方向 ( 即基准轴) , 在原理上它们恰 好保持光纤内的偏振态。 首先要求在光纤输入端只有一个本征模被激 活, 其次要求在传输过程中没有其他不可知 的扰动发生。3. 4. 2 偏振表示方法1. 单位向量表示法( 琼斯矩阵法) 为了总结上述讨论, 表 3. 3 举例说明了几种 偏振类型及其关 系, 以及特征量, 即仰角ξ、 椭圆度η 和偏振度P。 偏振椭圆的形状及其特征参量值主要由单位 偏振向量定义。该向量表示为一个列矩阵, 称为琼斯矩阵, 它可以方便地将几个具有相同频率、相同 相位系数、不同偏振态的波叠加(此时不用 归一化) , 可以方便地表示偏振态的传输状 况。 j?x ? z , t ?? e x ?z , t ?? ? e x ?z , t ? e ? ? ? ? ??? e ?z , t ? ? ? e y ? z , t ? ? ? e ? z , t ? e j ?y ? z , t ? ? ? ? ? y ? ? 3.88说明它在这里是时间t 和位置 z 的函数。该 向量是单位向量, 所以其关系通常是e ?z , t ?e ?z , t ? ? e ?z , t ? ? e ?z , t ? ? 12 23.89将式( 3. 84) 代入式( 3. 86) , 可以直接推导 出单位偏振向量和特征量ξ、η、P 之间的 关系? ?z , t ? ? arccos? e?z , t ? ? ? arcsin? e?z , t ? ??? ?z , t ? ? ? x ?z , t ? ? ? y ?z , t ?3.903.91不考虑光纤变形的类型和数量, 任何电场的偏 振态都可以完全用单位偏振向量描述。? E x ?z , t ?? ? j 2?ft ? ? Ee e ?z , t ? ? ? e ?z , t ? ? E ?z , t ? ? ? y ? 3.92例3. 1 假设有一 线偏振光波从单 模光纤的 输入端入射, 传播常数不同是光纤唯一的缺 陷。在这种情况下, 单位偏振矢量为e x ?z , t ?? ? cos ?e ? j? x z ? ? ? ? e ?z , t ? ??? e ?z , t ? ? ? ? e ?z , t ? ? ? sin?e ? j? y z ? ? y ? ? ? 得到关系式： e x ?z , t ? ? cos ? , e y ?z , t ?? x ?z , t ? ? ? x z , ? y ?z , t ? ? ? y z讨论1在连续光通信系统中, 光纤输出端接收到光 波的偏振态是很重要的。 位置变量z是固定的, 等于光纤长度L( z= L) , 因此就不再需要确切知道在光纤中的位置。 单位偏振向量L( z, t) = L( L, t) = L( t) 现在 只是时间函数, 因为时间取决于不同的光纤 扰动, 如内部压力或温度的短暂变化。 还有多种不随时间变化的变形, 如椭圆形纤 芯等, 从而使光纤输出端的偏振态不稳定, 因 此也不可预知。讨论2假设光纤的几何变形随时间不变, 偏振椭圆 也恒定不变, 输入端的电场矢量到达接收机 ( z= L) 时依然要改变方向。 该向量沿偏振椭 圆做周期性运动, 从而 该 矢量的方向及长度都发生变化。 即便在理想情况下, 接收到的激光波与相干 光学探测器偏振态的匹配也不可避免。3.4.3 单色波和多色波、完全偏振波、 部分偏振波和非偏振波稳态简谐均匀平面波, 即单频波或单色波的偏 振波。 单色波必然是椭圆偏振波, 圆偏振及线偏振都 是椭圆偏振的特例, 前者长、短轴相等, 后者 短轴等于零。这种单色椭圆偏振波属于完全 偏振波, 简称偏振波。 多频的电磁波或称多色波, 其偏振态比较复 杂, 可分为完全偏振波、部分偏振波和非偏振 波三类。非偏振波电场矢量和磁场矢量的端点作随机 运动, 它的幅度、频率、相位 及场的取向是 随机的。 自然光就是多色非偏振波。由不同频率、幅 度、相位、偏振 态的单色波合成的多色波属 于完全偏振的多色波。 还存在一种具有固有的偏振态, 但其幅度、 频率及相位是随机的多色完全偏振波。 自然光通过一个起偏器就可以近似地得到这 种完全偏振多色波。部分偏振波介于完全偏振波与非偏振波之 间, 既有椭圆偏振成分又有非偏振成分, 这 是最一般的情况。 完全偏振与非偏振是两个极端。 衡量部分偏振波的参数是偏振度。 它是部分偏振波中完全偏振波分量的功率 流密度与全部功率流密度之比, 也就是场强 的平方比。3. 5 光在非正规光波导中的传输我们已经讨论了两正交偏振传播速度变化所带来的 影响。速度变化的主要原因在于光纤几何变形, 如 椭圆纤芯。 事实上, 实际的标准光纤中也常常会存在模式耦合。 模式耦合的成因和结果往往由附加的光纤扰动引起。 由于有模式耦合, 我们通常可以观察到能量的相互 交换。 其结果就是两个模, 即正交偏振不再相互独立。因 此, 耦合模不是前面讨论过的独立传播的本征模。假定存在这样的新本征模, 不管发生何种类 型的光纤扰动都不会有能量交换。 新的正交本征模及其传播速度主要依赖于光 纤特性, 特别是几何变形。 主要光纤变形应当是我们所希望的, 并且是 具有完好定义的光纤变形, 而所有其他扰动 都是自然任意的, 并且是我们所不希望的。 在这种重要且特别的情况下, 偏振传播被完 全定义, 其特性只由基本的光纤变形决定。 倘若在光纤输入端两个本征模中只有一个被 激活, 那么偏振态在光纤全长上保持不变。非正规光波导的主要特征是折射率分布在纵 向上不均匀, 有的光波导同 时在横向上也是 非对称的, 会产生模式耦合, 也就不存在严 格意义下的模式, 如果不均匀性没有破坏弱 导条件, 这些非正规波导可以用正规波导中 的模式叠加而求解; 当不满足弱导条件时必须用有限时域差分方 法求解。 其中目前研究最多的两种非正规光波导是布 拉格光纤光栅和长周期光纤光栅。3.5.1 光在光纤布拉格光栅中的传输在光纤光栅出现至今的短短二十多年里, 由于 研究的深入和应用的需要, 各种用途的光纤光 栅层出不穷, 种类繁多, 特性各异。 根据光纤光栅周期的长短, 通常把周期小于 1μm 的光纤光栅称为短周期光纤光栅, 又称为 光纤布拉格光栅或反射光栅, 周期为几十至几百微米的光纤光栅称为长周 期光纤光栅, 又称为透射光栅。特点短周期光纤光栅的特点: 是传输方向相反的模式之间发生耦合, 属于 反射型带通滤波器。 长周期光纤光栅的特点: 是同向传输的纤芯基模和包层模之间的耦合, 无后向反射, 属于透射型带阻滤波器。1. 布拉格光纤光栅的耦合模理论( 未破坏 弱导条件)将光敏光纤放置在不同样式的模板下用紫外光 曝光就可以在光纤中形成所需的折射率扰动, 这样就可产生光纤光栅。由曝光形成的总导模 有效折射率neff 变化可以用下式表示:?neff ? ?n eff? ? 2? ?? ?1 ? s cos? ? z ? ? ?z ?? ? ? ?? ? 3,99s是折射率调制的条纹可见度, Λ是光栅周期, φ(z) 描述光栅啁啾 , δneff 表示直流“DC”有效 折射率变化(即一个光栅周期内的平均有效折射 率变化)。常用耦合模理论来定量分析布拉格光栅衍射 效率和光谱特性。 将光栅中的横向电场分解为理想模式之和 这些模式可以通过求解无微扰光纤而得, 其下 标为m, 得到 E ? x , y, z , t ? ? ? ?A ?z ?exp?i? z ? ? B ?z ?exp?? i? z ??e ? x , y ?exp?? i?t ?T m m m m T m m3.100Am(z)与Bm(z)分别表示第m阶模场沿+z与- z方向 缓慢变化的幅度 传输常数β:描述为β= (2π/λ)neff。 横向模场eTm(x, y) 可表示纤芯、包层或辐射模。在理想情况下, 各阶次模式之间没有能量交 换. 由于光栅中周期性介电微扰的引入导致了模 间耦合的产生。 这种情况下, Am(z)与Bm(z) 沿纵向的变化为 dA ? i ? A ?C ? C ?exp?i ?? ? ? ?z ? dzm q T qm T qm q m q T T ? i ? Bq C qm ? C qm exp ? i ? q ? ? m z q?? ? ???3.101dAm T T ? ? i ? Aq C qm ? C qm exp i ? q ? ? m z dz q?? ???? ??3.102T T ? i ? Bq C qm ? C qm exp ? i ? q ? ? m z q?? ? ?第m阶与第q阶模式的横向耦合系数可以用 如下积分式表示:CT qm T T ?z ? ? ?? ?? ? x , y, z ?e q ? x, y ? ? e m? ? x , y ?dxdy 4 ??3.103Δε( x, y, z) 表示介电微扰, δn 的折射率变化可表示为 2nδn, 远小于折 射率n。 纵向模间耦合系数的定义如同横向耦合系数 的定义, 但一般 情况下CT .qm紫外光照射后的折射率变化δn( x, y, z) 在纤芯 区近似均匀而在包层可以忽略。 假设, 可以用δnco (z)来替代δneff( z) 。 定义两个新参数, 即自耦合系数与交叉耦合系 数:n? T T ? qm ?z ? ? ? ?n? ?z ??? e q ? x , y ? ? e m? ? x , y ?dxdy 2 ? 3.104s k qm ?z ? ? ? qm ?z ? 23.105式中, ξqm( z) 为直流耦合系数(自耦合系数) kqm(z)为交流耦合系数 (交叉耦合系数) 。因此总耦合系数可表示为? 2? ? C ?z ? ? ? qm ?z ? ? 2k qm ?z ? cos ? z ? ? ?z ?? ?? ?T qm3.106布拉格光纤光栅的耦合理论布拉格光纤光栅是一种反射型光栅, 光栅中 的模式属于反向模式的耦合, 对式( 3. 100) 与式( 3. 102) 进行简化得到如下等式:dA? ? i? ? A ? ?z ? ? ikB? ?z ? dz 3.107dB ? ? ? i? ? B ? ?z ? ? ikA? ?z ? dz A ? ?z ? ? A?z ?exp?i? d z ? ? / 2?B ? ?z ? ? B?z ? exp?? i? d z ? ? / 2?3.108ξ+表示直流“DC”自耦合系数, 其表达式1 d? ? ? ?d ? ? ? 2 dz?3.109δd 表示模式间的失谐量, 它与 z 没有关系, 其表达式为?1 1 ? ? d? ? ? ? 2?neff ? ? ? ?? ? ? ? d ? ??3.110λd = 2neffΛ是布拉格光纤光栅的设计波长, 为有效折射率调制无限小( δneff →0) 的弱光栅 的谐振波长。 复数因子 ξ用来描述光栅的吸收损耗, 损耗系数可表示为 a= 2Im(ξ) 。 对单模布拉格光栅反射, 可将直、交流耦合系 数简化为??2????n eff3.1113.112? ? ? ? ? s?n eff ?当光栅纵向均匀时, δneff 为常数并且 dh/ dz = 0。 k、ξ、ξ+ 全为常数, 将式( 3. 107) 、式( 3. 108) 简化为全部常数 因子一阶模式耦合的普通差分方程, 当边界条 件已知时, 就可以得到差分方程的闭合解。设长为L的均匀布拉格光栅在 z= - ∞处有 前 向传输的光注入, 在 z ≥ L/ 2 时没有反射 光。 幅 度反射系数 ρ= B+ (- L/ 2) /A+(- L/ 2) 与 能量反射系数 R= IρI2表示如下:?? k sinh ?kL? ? ? L2 ? ? 2 ? 2 ?2? ??2? sinh ?kL? ? ?? L? ? i k ? ? cosh ?kL? ? ?? L?2 ?3.1132R? ?sinh2?kL?2??2 2k? cosh? ?kL? ? ?? L?2? ? L2?23.114?2布拉格光纤光栅的最大反射率为Rmax ? tanh ?kL?23.115这个最大值发生在 ξ+ = 0 时, 即在波长 λmax 处 ? ?neff ??max ? ? 1 ? ? neff ?? ?d ? ? 3.116布拉格光纤光栅的带宽为谐振波长两侧反射 率第一次为零的波长间距,?? 0 s?n eff ? ? neff ? ?d ? ? 1? ? ? s?n L ? eff ? ?23.117当折射率变化非常小时, 即 S?n eff 非常小, 则S ?n eff ? ? d / L?? 0s?n eff 2 ? ? ? neff N3.118上式说明弱光栅的带宽由光栅长度所决定。 对于 S?neff ? d / L 的强光栅, 上式转化为?? 0s?n eff ? ? neff3.119结论当折射率变化很大时, 光线不能穿过整个的 光栅区域, 反射光谱的带宽将不再由光栅长 度决定, 而取决于折射率的改变, 也就是说 带宽无论是在反射带边缘、第 一零点还是 在最大反射强度一半处测量都是相似的。2. 非均匀光栅中的双模耦合在实际应用中, 经常都要用到非均匀布拉格 光栅, 其中最重要的一个原因就是以此来消 除均匀布拉格光栅中非常明显的边瓣, 它们 已经在密集波分复用系统中应用。 同样, 啁啾可用于控制光栅的色散特性, 可 用于短光纤激光器中的脉冲位相压缩和整 形, 还可用在可调谐锁模外腔式半导体激光 器中以获得稳定可靠的连续波输出。从非均匀光栅的双模耦合中我们考虑用两 种不同的方法来求光栅的反射及透射谱。 首先对模式耦合方程进行数值积分, 再将光 栅分成离散均匀的小段, 通过将这些均匀小 段的闭合解形式 的一连串 矩阵相乘得到总 矩阵, 这是一 个非常繁 杂的计算方法。3.5.2 光在长周期光纤光栅中的传输长周期光纤光栅( long period fiber grating, LPFG) 的理论是在光纤布拉格光栅理论的基 础上发展起来的。 长周期光纤光栅的模式耦合属于同向传输的 纤芯基模和包层模之间的耦合。 早在光纤光栅出现之前, 人们就已经用耦合模 理论研究了平面波导中的光栅, 其中的许多方 法和结论可用于研究长周期光纤光栅, 只是需 要具体考虑光纤中传输模式的不同。对于折射率调制较大(10-2量级以上) 的 情形, 模型的精确度变差, 数值运算复杂, 计算量较大。 分段传输矩阵分析长周期光纤光栅传输 特性的方法: 该方法没有太多的近似, 精确度较高, 且 适合于数值运算, 计算量相对较小, 因此 特别适合计算一些长的或非均匀的光纤 光栅。耦合模理论和传输矩阵法是分析包括长周期 光纤光栅在内的光纤光栅, 特别是非均匀光纤 光栅的基本方法, 是一种严格的理论分析方法, 可用于研究各类复杂结构的光纤光栅。 长周期光纤光栅的模式耦合主要是指纤芯基 模和同向传输的各阶包层模之间的耦合。 由光纤的模式理论可知光纤的包层模式很多, 为了讨论的方便和易于理解. 主要讨论长周期光纤光栅中纤芯基模和一个 包层模之间的耦合。定义长周期光纤光栅的设计波长λD , 即光 纤 有效折射率调制无限小( δneff →0)时的谐振 波长(也称初始谐振波长)为? D ? ?neff ?3.120Δneff 表示光纤基模( mode 1) 和同向包层模 ( mode 2) 之间的有效折射率差,?neff ? neff 1 ? neff 23.121定义长周期光纤光栅模式间的失谐量δ为?1 1 ? ? ? ??neff ? ? ?? ? ? ? D ? ? 3.122定义长周期光纤光栅的直流“DC”自耦合系 数( “DC”self-coupling coefficient) ζ.? ? ?? ?? 11 ? ? 222221 d? ? 2 dz3.123式中, ζ 11 和ζ为直流“DC”耦合系数。通过同步近似, 长周期光纤光栅的模式耦合 方程可近似表示为dR ? ? i?R?z ? ? ikS?z ? dz 3.124dS ?S ?z ? ? ik ? R?z ? ? ? i? dz3.125R和S分别表示纤芯基模和同向包层模的幅度; ζ 和k分别表示直流“DC”自耦合系数和模式 间的交流 “A C ”交叉耦合系数( “A C” cross-coupling coefficient) 。在长周期光纤光栅的耦合区, 模式之 间的耦合 导致纤芯基模的功率逐渐转换到包层模中。 设长为 L 的长周期光纤光 栅的边界条件为: 在光栅的入射端只有一个模式, 即在光栅的入 射端纤芯基模的能量最大 R( 0) = 1, 而包 层 模的能量为零S( 0) = 0。 对于均匀单模长周期光纤光栅, δneff是常数且 dΦ/ dz= 0, 因此 k、e、e 也是常数。 常系数一阶微分方程。结合边界条件解由式(3.124) 和式(3.125)构成 的方程组可求得均匀单模长周期光纤光栅纤芯 基模中未耦合部分的能量和已耦合到包层模中 的能量的比例 即自耦合率t= 和交叉耦合率t×分别为t? ? R?z ? R?0 ?2 2? cos2?2 2? k ?? 2z ?2?1 sin2 k2 1? 2 ? ??k2? ?? 2z?3.126tx ?S ?z ? R?0 ??1 sin2 2 k 1? 2 ? ??k2? ?? 2z?3.127由 式( 3. 127) 可知, 当直流“DC”自耦合 系数 e= 0 时, 长周 期光纤光 栅的交叉耦合 率取最大值, 即t x ,max ? sin kLg2? ?3.1283. 6 小 结根据芯区折射率径向分布的不同, 可分为阶跃光纤和 渐变光纤; 按照传输的模式数量可分为单模光纤和多模光 纤。 不同的折射率分布及不同模式的光纤, 传输特性完全 不同。 光纤传输的条件要满足光线在纤芯和包 层界面上 的 全反射条件, 同时还需满足传输过程中的相干加强条 件。 对于特定的光纤结构, 只有满足一定条件的电磁波可 以在光纤中有效的传输, 这些特定的电磁波称为光纤 模式, 光纤中可传导的模式数量取决于光纤的具体结 构和折射率的径向分布。对于多模光纤, 纤芯直径2a 和光波波长 λ比值 2a/ ^ 远大于光波波长λ; 对于单模光纤, 2a 与λ可比拟。根据纤芯直径2a 和 光波波长λ比值的大小, 光纤的传输原理可用光线理 论和电磁场及模式理论进行分析。 在理想的单模光纤回路中 往往存在两个正交、独立 的简并模(也就是正交偏振) 。 由于二者都由相同的传播常数或相同的传播速度来 定义, 所以这些模发生简并。 光纤中的电场往往是这样两个本征偏振或本征模的 线性叠加。 由于本征模是独立的, 所以它们的传播互不干扰。 单模光纤中, 一个本征模比另一个本征模传播得慢; 如果存在模式耦合, 通常可以观察到有能量的相互 交换, 其结果是两个模, 即正交偏振不再相互独立。思考与练习1. 给出数值孔径的定义, 并分析影响数值孔 径的诸因素。 2. 试比较多模光纤和单模光纤的结构和传 输特性的差别。 3. 简述光在非正规波导中的传输。
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