设f(x)在[0,1]上连续（x）在［0，1］上可微，且f（1）=2∫（0~1/2）e¹-x2f（x）dx，证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-01-15 13:04 标签： 设函数f(x)=x^2

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设函数f（x）在闭区间[01]上可微，对于[01]上的每一个x，函数f（x）的值都在开区间（01）内，且f′（x）≠1证明在（0，1）内有且僅有一个x使得f（x）=x．
因为：0＜f（x）＜1
所以：g（0）g（1）＜0，
因为函数f（x）可微分故f（x）连续，因此g（x）肯定连续
根据零点定理可知，茬x∈（01）上，至少有一个点满足：
g（?）=0?∈（0，1）
即：f（?）-?=0
假设存在两个或两个以上的点满足f（x）=x
设x1，x2为其中的两个点x1≠x2．则有：
既有：g（x1）=0；
与题设矛盾，故不存在两个或者两个以上的点满足f（x）=x．
综上所述：f（x）在x∈（01）有且仅有一个x满足f（x）=x．
令函數g（x）=f（x）-x，根据零点定理已知g（x）有零点；在根据反证法证明g（x）至多有一个零点即可．
A:多元函数连续、可导、可微的关系 B:连续函数嘚性质 C:零点定理及其推论的运用
本题综合考察了零点定理及其推论，证明有一定的灵活性属于中档题．

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