（3） 切变模量与杨氏模量的关系 （4） 切变弹性势能密度 43. 圆杆的扭转 44. 杆的弯曲 （1） 单纯弯曲 （2） 关于截面的形状 （3） 带有切变的弯曲 45. 胁变的一般分析 （1） 胁变张量 （2） 胁变主轴 （3） 体胀系数 （4） 相容条件 46. 胁强的一般分析 （1） 胁强张量 （2） 胁强主轴 （3） 胁强与胁变之间的关系 （4） 相容条件 47. 弹性体静力学 48. 弹性体动力学 （1） 动力学基本方程 （2） 哈密顿原理；拉格朗日方程 （3） 弹性体中的波动 第十一章
流体运动学 49. 流体运动学的特点 （1） 着重研究速度场 （2） 迹线与流线 （3） 当地变化率与实体变化率 50. 速度场的分析 （1） 速度场的一般分析 （2） 有旋流动与无旋流动
（3） 连续性方程 第十二章
流体动力学 51. 流体动力学的特点 52. 流体静力学 （1） 流体的平衡方程 （2） 静止液体的自由表面 （3） 不可压缩流体中的静压强分布（4） 可压缩流体中的静压强分布 53. 理想流体稳恒流动的运动定理 （1） 动量定理 （2） 伯努利定理 54．无粘滞流体动力学 （1）
欧拉方程 （2）
欧拉方程的第一次积分 （3）
涡旋动力学 （4）
绕流对物体的作用力 （5）
欧拉方程的线性近似 55.粘滞流体 （1）
粘滞系数 （2）
直圆管的流量公式 （3）
运动定理 56.粘滞流体动力学方程 （1）
纳威尔―斯托克斯方程 （2）
雷诺数 （3）
边界层[附]球体所受粘滞阻力附录 习题 答案
5.6 朗道《力学》第五版 26
第一章 运动方程 1 广义坐标 2 最小作用量原理 3 伽利略相对性原理 4 自由质点的拉格朗日函数 5 质点系的拉格朗日函数 第二章 守恒定律 6 能量 7 动量 8 质心 9 动量矩 10 力学相似性 第三章 运动方程的积分 11 一维运动 12 根据振动周期确定势能 13 折合质量 14 有心力场内的运动 15 开普勒问题 第四章 质点碰撞 16 质点分裂 17 质点弹性碰撞 18 质点散射 19 卢瑟福公式 20 小角度散射 第五章 微振动 21 一维自由振动 22 强迫振动 23 多自由度系统振动 24 分子振动 25 阻尼振动
26 有摩擦的强迫振动 27 参数共振 28 非简谐振动 29 非线性振动中的共振 30 快速交变场中的运动 第六章 刚体的运动 31 角速度 32 惯性张量 33 刚体动量矩 34 刚体运动方程 35 欧拉角 36 欧拉方程 37 非对称陀螺 38 刚体接触 39 非惯性参考系中的运动 第七章 正则方程 40 哈密顿方程 41 罗斯函数 42 泊松括号 43 作为坐标函数的作用量44 莫培督原理 45 正则变换 46 刘维尔定理 47 哈密顿一雅可比方程 48 分离变量 49 绝热不变量 50 正则变量 51 绝热不变量守恒精确性52 条件周期运动 27
朗道撰写的第一版序 索引
附录：理论力学短评
理论力学是人们称为“四大力学”的物理课程之一，也称为经典力学。在物理学中占有重要的地位，对于各高校物理教学是必不可少的基础课程。经典力学有三种不同的理论形式：牛顿力学、拉格朗日方程和哈密顿理论，后两者合称为分析力学。拉格朗日方程是其中的一个关键节点。也有拉格朗日力学之说，强调对经典力学的数学表述。拉格朗日方程是处理力学体系特别是约束体系动力学问题的主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系的动力学方程。 对于拉格朗日方程的引入，中外《理论力学》的不同教材采取的方式和侧重点有所不同。归纳起来，可粗略分为两类：一类是以达朗伯方程、虚功原理为线索出发得到拉格朗日方程（为方便起见，此处称为第一类）；另一类是以哈密顿原理、最小作用量原理，变分法为线索出发得到拉格朗日方程（此处称为第二类）。从历史的角度来看，似乎第一类更为顺理成章，因为，在历史上，先有的达朗伯原理，虚功（虚位移）原理，再有的拉格朗日方程（虚功、虚位移原理的变分形式）。从教学的角度，国内似乎倾向于使用第一类做法，这样做的好处还有一个：就是与下位课程普通物理的衔接上比较自然。可以直接从普通物理的牛顿力学对质点运动的讨论出发，加上“约束”这个新内容，由于约束的加入使得问题复杂化，需要新的方法来处理这样的问题，于是引入虚位移的概念，顺利进入理论力学。不过，围绕虚位移和约束的概念产生了一系列的新概念，例如理想约束和非理想约束，完整约束和非完整约束等，加上广义坐标等，在有限的时间（学时）内，会令学生一时感到不适应，这种情况会随着学生接触的例题、习题的增多而得到改善。对于第二类做法，国外的教材不乏采用者，这样做的好处是物理意义明确，可以在内容上做简单的切割。虽然从历史的时间顺序上不是很符合，但是从逻辑性看，由哈密顿原理、最小作用量原理，变分法导出拉格朗日方程，是一条线索很清晰的思路，与普通物理的力学的联系是松散的，且不需要引入过多的新概念。唯一需要解释的新东西就是最小作用量，结合对历史的讲解，对变分法的讲解，这是很容易做到的，然后就是集中精力研究广义坐标了。综上所述，对于简明的教材和少学时的教学，使用第二类做法比较合适，而对于比较深入、系统的教材和学时充分的教学，第一类做法比较合适。 28
国外《理论力学》教材的一个常见的风格是经常会提到历史沿革，而国内的教材在这方面则提的较少。另一方面，国内《理论力学》教材在理科和工科有较大区别，而国外似乎并不刻意加以区分，特别是例题和习题中不乏相当联系实际的内容。
【基金项目】 教育部2012年研究项目《比较中外著名大学“四大力学”本科课程与主流教材，探索物理学国际化创新人才培养模式》（2012-28）资助.Everything is Physics 万物皆理Everything is Physics 万物皆理物理虐我千百遍，我待物理如初恋关注专栏更多最新文章{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\u002Fpay.zhihu.com\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth c3cef7c66aa9e6a1e3160e20&}}{&database&:{&Post&:{&&:{&title&:&量子力学（科普部分）&,&author&:&zhao-yong-feng&,&content&:&嗯，铺垫了这么久终于写到群众喜闻乐见的量子力学了。量子力学随着各种乱七八糟科普书的推广，在大众心中一直以一种奇怪的形象出现。但愿这一篇能更正一部分人乱七八糟的想象。这次会与以往不同，会分为历史、科普、正式三部分。需要的人可以自取所需。\u003Ch2\u003E一、历史\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E量子力学的开端，来源于20世纪初“两朵乌云”其中的一朵：黑体辐射的问题。所谓黑体，是黑色的物体……其实是理想中不能反射与透射电磁波、与环境达到热平衡的物体。当然，理想的模型往往是不存在的，然而，一个只留有一个小孔的空腔和黑体已经非常接近了。黑体虽然不能反射电磁波，但它自己依然可以发出电磁波。当黑体达到热平衡时，它吸收的电磁波和发射的电磁波应当是平衡的，使得它的能量不再变化，这时候，它辐射的电磁波称为黑体辐射。如果我们去测量黑体辐射的谱，看看不同频率的电磁波强度分别是多少，会得到一个黑体辐射谱，这个谱的形状只与黑体的温度有关。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cimg src=\&aeed21a41bc\& data-rawwidth=\&2025\& data-rawheight=\&1370\&\u003E（图片取自Wiki）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E于是一个自然的想法是用统计力学的方法来解释黑体辐射谱为什么是这个形状。于是，有了Wien近似和Rayleigh-Jeans公式，但这两个曲线的形状都不能完美地吻合实验，一个仅在长波区域符合，另一个仅在短波区域符合。1900年，Planck在改进Wien近似的过程中，唯象地找到了一个公式，能够与实验完美符合，但在解释这个公式的物理意义时，却遇到了麻烦：Planck的公式中电磁场的能量似乎是一份一份而不连续的。然而，作为古典的物理学家，Planck是不会承认这一点的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1905年，Einstein针对光电效应（这个应该在高中课本中被讨论烂了）提出了光量子的概念，认为电磁波的能量不是连续的，而是以光量子为单位的一份一份的，简称光子。一个光子的能量与光子的频率成正比，而光照的强度只与光子的数目有关。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E另一方面，1909年Rutherford发现原子核的存在之后，原子模型也引起了人们的兴趣。因为按照经典的电磁理论，具有加速度的电子会不断辐射电磁波而损失能量，因此原子的行星模型不可能稳定存在。而对原子光谱的测量结果也令人费解，一种原子似乎只能吸收或发射特定频率的光，如果原子的能量是可以连续变化的，应该可以发出任意频率的光才对。为此，1913年波尔提出Bohr模型来解决原子光谱的问题。Bohr模型认为原子核外电子的轨道不是任意的，电子只能在满足特定量子化条件的轨道上运动。这个模型比较好地预测了类氢原子的光谱，但是不能预测其他原子的光谱。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1924年，de Broglie通过类比，提出了物质波的假说，认为电子之类的粒子也具有和光子类似的波动特性。结果，1927年完全与之独立的一个实验组在晶体中观测到了电子的衍射图样，发现电子运动确乎具有波的特征，让de Broglie撞上了大运。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1921年，测量原子磁矩的Stern-Gerlach实验也发现了令人奇怪的结果。实验用一个非均匀的磁场来偏转带有磁矩的银原子，原子带有的磁矩角度与原子被偏转的角度相关。原本人们预期会看到一个宽阔的斑——因为随机运动的原子磁矩应该可以有各种取向，然而实验结果看到的却是两个条带，这意味着原子磁矩只有两个取向，角动量也是量子化的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1924年为进一步解决原子光谱的问题，泡利提出电子具有一个内禀的双值的自由度，1925年Ralph Kronig、George Uhlenbeck与Samuel Goudsmit提出基本粒子的自转与角动量的概念，1927年泡利提出了形式化的自旋理论。然而电子自旋仍然是一个奇怪的东西，因为电子为达到自旋角动量，其“转动”会超过光速。在量子力学的范畴中，自旋只是被唯象地描述。1928年Dirac提出相对论性的Dirac方程，描述了相对论性电子的运动，而此时电子自然地带有一个内禀的角动量，与自转无关。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E关于量子力学的公理形式，1920年代先后有Schr?dinger的波动力学与Heisenberg的矩阵力学，后来1926年Schr?dinger证明了两种力学的等价性，于是（非相对论性）量子力学的公理形式便完成了。1948年，Feynman提出路径积分表述，作为第三种构建量子力学的方式，并明确了量子力学与经典力学的关系。其思想可以参见\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Feverytingisphysics\u002F\& data-editable=\&true\& data-title=\&理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\& class=\&\&\u003E理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E最后一节。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E至此提出的量子力学是不包含相对论的。关于相对论性量子力学有诸多尝试，Schr?dinger在提出非相对论性的Schr?dinger方程之前，也曾想到了Klein–Gordon方程，但它不能保证粒子出现的概率是正的，具有严重问题。1928年Dirac方程解决了这个问题，但依然有问题：相对论意味着描述单粒子的理论框架不再准确。正式的相对论性的量子理论框架则是1950年代逐渐建立起的量子场论。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E二、科普\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E先推荐一本比较靠谱的量子力学的科普书：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fwww.amazon.cn\u002F%E6%96%B0%E9%87%8F%E5%AD%90%E4%B8%96%E7%95%8C-%E5%AE%89%E4%B8%9C%E5%B0%BC%C2%B7%E5%B8%95%E7%89%B9%E9%87%8C%E5%85%8B%C2%B7%E6%B2%83%E5%B0%94%E7%89%B9%E6%96%AF\u002Fdp\u002FB\& data-editable=\&true\& data-title=\&《新量子世界》 安东尼·帕特里克·沃尔特斯【摘要 书评 试读】图书\& class=\&\&\u003E《新量子世界》 安东尼·帕特里克·沃尔特斯【摘要 书评 试读】图书\u003C\u002Fa\u003E，译者是我的C++老师，北京大学物理学院做核物理的老师。这本书态度诚恳，内容也很准确，准确到几乎感觉就是将普物级别的量子物理书中的公式去掉而已。原则问题绝不含糊，不过缺点是进入场论之后，后半部分展开很难跟上，我当时就没怎么看懂。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E微观粒子毁三观的运动方式令人不得不放弃宏观的图像：粒子运动不再具有确定的轨迹，甚至不再具有确定的位置。人们转而描述粒子的状态。关于粒子的状态，最重要的假设是它是可以叠加的。态的叠加特性，按照Sakurai的说法，可以在测量粒子自旋的Stern-Gerlach实验这个“最简单且最量子的”实验中得到验证。一束自旋朝向+z轴的电子，在测量其x方向的自旋时，会观察到具有+x轴方向与-x轴方向自旋的电子各占50%。然而在继续测量这些电子在z方向的自旋时，会发现有一半的电子的自旋变成了-z轴方向。然而，一束自旋朝向+z轴的电子，无论多少次测量其z方向的自旋，都找不到自旋朝向-z方向的电子。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E首先，这意味着自旋朝向正z方向的电子并不是两种电子的混合。电子并不是某种贴着“自选方向：+x,+z”与“自选方向：-x,+z”标签的东西。自旋的z方向和x方向存在某种联系，而这种联系最适合用线性代数来描述：一个自旋+z方向的电子状态，是自旋+x方向与-x方向两种状态的叠加。这种叠加，甚至不同于将50%的+x方向与50%的-x方向的两种粒子混合起来。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而两个测量过程不可交换，意味着测量改变了粒子的状态。在经过x方向的自旋测量之后，粒子便不再处于自旋+z方向的状态了。这正是\u003Cb\u003E不确定性原理\u003C\u002Fb\u003E，粒子的某些特征是不能被同时测量的，一旦进行了一个特征的测量，另一个特征就被改变了。比粒子自旋\u002F角动量各个方向的不确定性更有名的，是粒子的位置-动量满足的不确定性原理。实际上，是同样的缘故。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E注意时间和能量并没有相应的不确定性原理。在非相对论性的理论中，时间不是粒子的可观测量，不是粒子的属性，只是一个参数。因此，没有与位置-动量类似的不确定性关系，实验上也不存在。相对论性理论中，位置与时间必须要统一处理，因此在场论中，位置也不再是算符，和时间一样变作参数。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E然而测量为何会改变粒子的状态，这应该是比较显然的。观察粒子的运动，我们只能通过它和其他东西的相互作用的结果来观察，而这种相互作用，常常会干扰粒子的运动。比如观察粒子的位置，我们要用光子去撞击它，或者让它撞上某个屏幕，这时候，它的动量必然就改变了。在SG实验中，我们用了一个非均匀的磁场干扰了粒子的自旋。注意这里并没有人意识的作用。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E测量的结果，就是一个有意思的事情了。测量改变粒子的状态并不是完全随机的，而是只能将粒子的状态改变至特定的几个状态：比如测量x方向自旋之后，你只能得到自旋处于+x方向的粒子和-x方向的粒子，而得不到其他的自旋状态，比如+z，+y等等。然而，我们无法预测会得到具体的哪一个状态，只能预测得到某个状态的概率。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这个过程中究竟发生了什么，历史上有诸多种解释方法，这称为\u003Cb\u003E诠释\u003C\u002Fb\u003E。查看\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fen.wikipedia.org\u002Fwiki\u002FInterpretation_of_quantum_mechanics\& class=\&\& data-editable=\&true\& data-title=\&Interpretations of quantum mechanics\&\u003EInterpretations of quantum mechanics\u003C\u002Fa\u003E可以找到现在被提出的所有诠释。但依然需要提醒的是，除了极个别诠释，大多数诠释无法带来可观测的差异，无法在实验中加以区分，因此诠释问题往往并不真正被人关心。下面挑几个比较有名的诠释：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E1、隐参量诠释。早期Bohm等人认为微观粒子运动之所以具有不确定性，是因为粒子仍然具有没有被人发现的隐参量，因而造成与统计力学类似的不确定性。这个诠释最接近经典力学的世界观，然而，随着Bell不等式的相关实验，人们发现局域的隐变量是不存在的，因此这个诠释不再被人提及了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、多世界诠释。这个诠释被各种科幻小说改编，但基本都是错的。多世界诠释认为波函数被测量时并没有坍缩，只是将观测者与系统纠缠起来，整个宇宙波函数的演化依然是可逆且确定的。观测的不同结果是因为宇宙发生了“分裂”。很多人不喜欢这个诠释，因为它引入了太多不可观测的假设的宇宙。一些更为高级的多世界理论称可以提供可观测的验证，这些我就不清楚了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3、系综诠释。Einstein等人主张这一诠释。这个诠释认为波函数不是描述单粒子行为的，而是一个描述一堆相近系统的系综。量子力学的结论只是统计意义下的结论，不能用于预测单个粒子的行为。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E4、Copenhagen诠释。这个诠释是流传最为广泛影响最大的诠释，很多教材实际上都采用了这一诠释。Copenhagen诠释认为，波函数描述了粒子的全部状态，而这种状态确实是非确定的，测量导致坍缩也确实是存在的。至于为何导致坍缩，Copenhagen诠释并没有提出假说。这种诠释造成了很大的争论，也因此带来了很多佯谬，比如著名的Schr?dinger的猫和EPR佯谬。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003ESchr?dinger的猫是这样一个系统：将一只猫置于一个黑盒子中，盒子配备一块放射性物质与盖革计数器，放射性物质在固定时间内有1\u002F2的概率发生衰变，一旦盖革计数器探测到原子衰变，就打破装有氰化物的瓶子将猫毒死。Schr?dinger认为，在这系统中，一定时间后猫的状态成为死与活的叠加态，只有人打开盖子时这个量子态才坍缩。猫的生死似乎决定于人打开盖子的行为，这是一个很荒谬的事情。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E毕竟Schr?dinger的猫是一个佯谬。实际上，宏观的量子纠缠态是存在的，这在一些介观的实验中被观测到了。超导、超流等现象都与宏观的量子纠缠态有关。而另一方面，退相干使得Schr?dinger的猫无法稳定在一个确定的纠缠态之中。因为猫、盖革计数器等等都是包含大量粒子的、自由度极高的经典系统，我们几乎无法使它处于确定的量子态之中，与它们发生纠缠的系统会很快脱散。因此，Schr?dinger的猫难以长时间维持在叠加态之中。\u003Cp\u003E而EPR佯谬也与纠缠态有关。如果我们让两个电子进入总自旋为0的纠缠态，并将两个电子隔离，一旦我们对其中一个电子A进行测量，它的自旋状态会被确定，而由于两个电子总自旋为0，另一个电子B的状态也会被随之确定。Einstein当年认为这其中存在超光速传递信息。在哥本哈根诠释中，另一个电子B波函数的坍缩原因显得有些诡异，似乎测量电子A后有种超光速的信号告诉了电子B，使它的波函数坍缩了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E但是抛开哥本哈根诠释，在观测上，纠缠态其实没有传递任何信息。因为我们无法控制电子A的测量结果。当我们对电子B进行测量后，如果不与保管电子A的那些人联络，我们甚至无从得知电子A有没有被测量。不论A是否被测量，B的测量结果都会是一半自旋向上一半自旋向下。虽然我们测量A之后便立刻知道了B的测量结果，但这种关联，并不是超光速的信息传递。这种“信息传递”的方式就好比把装有黑球和白球的两个盒子分开，并把其中一个带到很远的地方。虽然打开一个盒子，我们就会知道另一个盒子里球的颜色，但这并没有超光速的信息传递。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E关于EPR佯谬，它作为一个量子效应和经典效应的主要区别，正体现在前文提到的Bell不等式上。同样考虑两个总自旋为0的电子（类似的系统可以由\u003Cequation\u003E\\eta\u003C\u002Fequation\u003E介子的衰变得到）。现在，我们对电子A测某一方向的自旋，对电子B测另一方向的自旋，两个方向可以不正交，那么两个测量结果在统计上会如何联系？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E（以下出自Sakurai《Modern Quantum Mechanics》）如果我们有很多对纠缠中的电子，按照隐参量的理解，测量结果是由粒子的不知道但确定的属性决定的，三个方向自旋的测量结果可以分为8种：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\begin{array}{c|c|c}\n\\hline\n\\mbox{粒子数目} & A & B \\\\\\hline\nN_1 & (a+,b+,c+) & (a-,b-,c-) \\\\\\hline\nN_2 & (a+,b+,c-) & (a-,b-,c+) \\\\\\hline\nN_3 & (a+,b-,c+) & (a-,b+,c-) \\\\\\hline\nN_4 & (a+,b-,c-) & (a-,b+,c+) \\\\\\hline\nN_5 & (a-,b+,c+) & (a+,b-,c-) \\\\\\hline\nN_6 & (a-,b+,c-) & (a+,b-,c+) \\\\\\hline\nN_7 & (a-,b-,c+) & (a+,b+,c-) \\\\\\hline\nN_8 & (a-,b-,c-) & (a+,b+,c+) \\\\\\hline\n\\end{array}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E那么，比如，测量A在c方向的自旋得到+，B在a方向的自旋得到-的概率是：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003EP(c+,a-)=\\frac{N_1+N_3}{\\sum N_i}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E同样，有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003EP(c+,b-)=\\frac{N_1+N_5}{\\sum N_i}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003EP(b-,a-)=\\frac{N_3+N_4}{\\sum N_i}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E很显然，\u003Cequation\u003EP(c+,a-)\\leq P(c+,b-)+P(b-,a-)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这个长得有点像“三角形两边之和大于第三边”的不等式，就是贝尔不等式。然而，如果从量子力学出发进行推导，会发现，很容易举出反例使贝尔不等式不成立。比如，a沿x方向，b沿y方向，而c沿45度角的方向。于是，纠缠态中不正交的状态体现了一种经典统计无法理解的奇妙的相关性。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E微观尺度上还有很多新奇的事情，比如粒子全同性。同类的微观粒子是完全相同、不可辨认的。两个电子是没有区别的，我们无法分辨它们。这个假设源于统计的结果。粒子是否具有全同性，会导致不同的统计分布。对于可分辨粒子，不同能级上的粒子数满足Boltzmann分布，但对于不可分辨粒子，则满足Fermi-Dirac分布或Bose-Einstein分布（取决于一个能级上是否只允许存在一个粒子），不同的统计分布在观测上有很大的区别，因此可以很容易被实验所区分。\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T10:47:02.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:50,&likeCount&:316,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&sourceUrl&:&&,&publishedTime&:&T18:47:02+08:00&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&url&:&\u002Fp\u002F&,&titleImage&:&&,&summary&:&&,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&snapshotUrl&:&&,&commentsCount&:50,&likesCount&:316},&&:{&title&:&量子力学（一~五）&,&author&:&zhao-yong-feng&,&content&:&依然从推荐用书开始。其实我在很多答案下写过这个书单，而且量子力学的好书确实很多。如果有时间，想看看各种观点，可以多看几本。我看过的有3本：\u003Cp\u003E1、Griffiths《Introduction to Quantum Mechanics》Griffiths的书看起来很令人享受，非常好懂，平易近人，拿来做入门实在是非常适合。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、P.A.M. Dirac《The Principle of Quantum Mechanics》不过我是拿这一本来当做量子力学的入门……引用Fang的话，敢叫Principle的书都特别牛。这本书一直被当做量子力学“圣经”一样的存在，当然批评者认为这本书有些陈旧，而且实用性不高。他的原则问题讲得清楚，Dirac符号讲得也很清楚（因为他自己发明的呗= =），不过最后一章QED写得很乱，鉴于Dirac写书的时代量子场论没有发展得很成熟，我觉得这一章可以跳过去。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3、Sakurai（樱井）《Modern Quantum Mechanics》我看的是2011年的第二版，这个版本内容现代很多。不过因为樱井去世得早，后面的内容是他的同事修订的，整本书的质量有点参差不齐。前几章写得不错，但总给我一种Dirac扩写版的感觉。原则问题和Dirac符号讲得也还清楚，另一个很大的优点是包括了很多实验结果，来阐述量子力学中某些毁三观的概念。缺点是有几章写得很乱，比如散射和微扰论，物理图像不清楚数学推导也怪怪的，看起来不知所云。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E以下几本我没看过，但是推荐的人很多：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E1、Shankar《Principles of Quantum Mechanics》据说适合用来入门。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E2、Landau《Quantum Mechanics》朗道的书还用我多说么？不过因为俄国的体系和欧美不太一样，Landau这本书通篇没用Dirac符号，看起来可能会不习惯。而且Landau的数学很犀利，所以看起来或许压力会很大。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3、Claude Cohen-Tannoudji，他的书据说也很不错，适合初学，但缺点是特别厚……而且国内没有影印版……\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E注：量子力学的内容很多很多，所以本文也会非常非常长。由于写作时间拖得很久，如果发现前后不一致还请帮忙指出。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E=======================================\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E目录\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E一、态\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E二、可观测量\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E三、对易\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E四、时间演化\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E五、二次量子化\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E（下篇：\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Feverytingisphysics\u002F\& class=\&\& data-editable=\&true\& data-title=\&量子力学（六~九） - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\&\u003E量子力学（六~九） - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E六、角动量\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E七、对称性\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E八、微扰论\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E九、相对论性量子力学\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E=======================================\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E一、态\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E一切应该要从态的概念说起。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E物理各式各样的理论，都是在描述一个系统的状态。只不过在描述宏观现象的经典力学中，我们发现粒子的坐标和动量足够标记它的状态。但实验发现，诸如电子这些细小的粒子，运动的不确定性使得我们无法再用坐标和动量来标记它的状态。于是，在量子力学中，我们直接处理系统的状态本身。这时我们需要一个不同于经典力学的数学结构来描述系统的状态。暂时我们按照Dirac记号，将态用一个\u003Cb\u003E右矢（ket）\u003C\u002Fb\u003E来表示：\u003Cequation\u003E|\\cdot\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，然后来讨论它应该是怎样的数学结构。（当年线性代数老师说莱布尼茨说，好的记号可以启迪人的思维，Dirac记号对于量子力学就是一个好的记号系统。）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E原则上，没有经典量子之分，量子力学可以处理\u003Cb\u003E任何\u003C\u002Fb\u003E系统。所以这里所讨论的系统，可以是一个粒子，也可以是很多粒子，甚至是场（当然，场论中场和粒子是一回事）。如果一个系统是由若干子系统构成，那我们可以简单地用子系统的态的\u003Cb\u003E直积（笛卡尔积）\u003C\u002Fb\u003E来构造系统的态。数学上，\u003Cequation\u003EA\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003EB\u003C\u002Fequation\u003E的直积仅仅是将它们“拼”成一个元素：\u003Cequation\u003EA\\otimes B=(A,B)\u003C\u002Fequation\u003E。在Dirac记号中，两个右矢的直积可以仅仅将他们拼在一起：\u003Cequation\u003E|a\\rangle\\otimes |b\\rangle=|a\\rangle|b\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，或者在不产生歧义的前提下，干脆写在一起：\u003Cequation\u003E|a,b\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E由诸如SG实验等实验所暗示的那样，量子力学中的态似乎有别于我们以往熟悉的状态的概念。比如一个自旋朝向+z方向的电子，它在x方向自旋的状态一半可能朝向+x方向，一半可能朝向-x方向；但一个自旋朝向+x方向的电子，它在z方向自旋的状态却一半可能朝向+z方向，一半可能朝向-z方向。这种性质我们可以用态的叠加来描述，即\u003Cb\u003E态叠加原理\u003C\u002Fb\u003E——系统的两个状态的“叠加”依然是系统的状态。记\u003Cequation\u003E\\mathcal{S}\u003C\u002Fequation\u003E为系统所有状态的集合，形式上粗略地可以写作：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\forall |a\\rangle, |b\\rangle\\in\\mathcal{S},\\
|a\\rangle+|b\\rangle\\in\\mathcal{S}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这样看来，\u003Cequation\u003E\\mathcal{S}\u003C\u002Fequation\u003E的数学结构很像一个线性空间。但为了用线性空间来描述系统的状态，我们需要对数乘运算做出规定，于是进一步假设态\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E与数乘后的\u003Cequation\u003E\\lambda|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E（\u003Cequation\u003E\\lambda\\neq 0\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\lambda\\in\\mathcal{C}\u003C\u002Fequation\u003E）表示同一个状态。同时，数乘运算满足分配率：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cequation\u003E\\lambda_1|a\\rangle+\\lambda_2|a\\rangle=(\\lambda_1+\\lambda_2)|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E且如果结果非零，依然表示同一状态。值得注意的是，虽然\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003E\\lambda|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E是同一个状态，但\u003Cequation\u003E\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E并不是没有意义的。在两个系统发生干涉时我们会看到，\u003Cequation\u003E\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E携带了相位的信息，正如两列机械波的干涉。如果我们将\u003Cequation\u003E0|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E视作真空态加入进来，（扩充的）系统所有状态的集合构成一个复线性空间。但这样的定义还有一个麻烦，因为一个状态对应于复线性空间的无穷多个矢量，这样我们不知道应该用哪个矢量来进行运算。这个问题需要引入内积后才能够解决。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这里有必要复习一下线性代数，想想使用线性空间来描述有什么好处。对于一个线性空间，我们总可以找到一组基矢量，然后将线性空间中每一个矢量用这组基分解：\u003Cequation\u003E|a\\rangle=c_1|e_1\\rangle+c_2|e_2\\rangle+\\cdots+c_n|e_n\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。对于给定的基矢量，这种分解是唯一的。如果使用矩阵来表示，右矢相当于行向量：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|a\\rangle=\\left(\\begin{array}{c}c_1 \\\\ c_2 \\\\ \\vdots\\\\ c_n\\end{array}\\right)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E当然这种表示并不总是可能的，因为状态空间的维数不一定是有限的，甚至不一定是可数的，这取决于问题的性质。比如粒子的位置状态就是不可数无穷维的线性空间。这种情况常常称为连续谱。对于连续谱，我们可以将态的叠加推广为态的积分，但并没有太多本质的不同。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于任意一个线性空间\u003Cequation\u003E\\mathcal{S}\u003C\u002Fequation\u003E，以其为定义域的所有线性函数\u003Cequation\u003Ef:\\mathcal{S}\\to\\mathcal{C}\u003C\u002Fequation\u003E也组成一个线性空间。这两个线性空间实际上具有对称的地位，所以我们常常称两个空间是对偶的。对于描述系统状态的右矢组成的线性空间，我们将它的对偶空间中的元素称为\u003Cb\u003E左矢（bra）\u003C\u002Fb\u003E。在Dirac记号中，由于这种对偶特性，我们不再使用一般的函数记号\u003Cequation\u003Ef(|a\\rangle)\u003C\u002Fequation\u003E，而使用\u003Cequation\u003E\\langle\\cdot|\u003C\u002Fequation\u003E。由定义，左矢作用于右矢我们会得到一个复数，记为\u003Cequation\u003E\\langle f|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E既然左矢也组成线性空间，当然也可以找到一组基来将任一个左矢展开。不过如果右矢空间的基\u003Cequation\u003E|e_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E已经确定，我们总可以按照如下规则产生一组左矢空间的基，即令左矢空间的基\u003Cequation\u003E\\langle e_i|\u003C\u002Fequation\u003E满足：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle e_i|e_j\\rangle=\\delta_{ij}\u003C\u002Fequation\u003E（或者对于连续谱：\u003Cequation\u003E\\langle e(x_1)|e(x_2)\\rangle=\\delta(x_1-x_2)\u003C\u002Fequation\u003E）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这个称为正交归一化条件。这样选取的基往往更为方便计算：如果\u003Cequation\u003E|a\\rangle=c_1|e_1\\rangle+c_2|e_2\\rangle+\\cdots+c_n|e_n\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\langle f|=d_1\\langle e_1|+d_2\\langle e_2|+\\cdots+d_n\\langle e_n|\u003C\u002Fequation\u003E，那么\u003Cequation\u003E\\langle f|a\\rangle=c_1d_1+c_2d_2+\\cdots+c_nd_n\u003C\u002Fequation\u003E。如果可以写作矩阵形式，这组基下的左矢相当于列向量：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle f|=(d_1,d_2,\\cdots,d_n)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E而\u003Cequation\u003E\\langle f|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E正是两个矩阵的积。对于连续谱，仅仅需要将求和改成积分。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这样一来，对于任意一个右矢\u003Cequation\u003E|a\\rangle=c_1|e_1\\rangle+c_2|e_2\\rangle+\\cdots+c_n|e_n\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，我们可以找到一个与它相对应的左矢：\u003Cequation\u003E\\langle a|=c^*_1\\langle e_1|+c^*_2\\langle e_2|+\\cdots+c^*_n\\langle e_n|\u003C\u002Fequation\u003E（提醒：星号表示复共轭），称为与\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E共轭的左矢。如果写成矩阵形式，共轭相当于对矩阵每一个元素求复共轭后再进行转置，这个运算在线性代数中，用上标\u003Cequation\u003E^\\dagger\u003C\u002Fequation\u003E（dagger，小刀，不是十字哟）来表示。有了共轭的概念，我们终于可以定义两个右矢\u003Cequation\u003E|a\\rangle,|b\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E的内积为：\u003Cequation\u003E\\langle a|b\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。注意这个内积是有顺序的，因为显然，\u003Cequation\u003E\\langle a|b\\rangle=(\\langle b|a\\rangle)^*\u003C\u002Fequation\u003E。这样一来，虽然中间还缺点什么，bra和ket合成了bra(c)ket。因此我们约定，\u003Cb\u003E当\u003Cequation\u003E\\langle\u003C\u002Fequation\u003E和\u003Cequation\u003E\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E匹配为一个完整的括号时，括号整体总是表示一个数！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于\u003Cequation\u003E|a\\rangle=c_1|e_1\\rangle+c_2|e_2\\rangle+\\cdots+c_n|e_n\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，由于\u003Cequation\u003E\\langle a|a\\rangle=c_1c_1^*+c_2c_2^*+\\cdots+c_nc_n^*=|c_1|^2+|c_2|^2+\\cdots+|c_n|^2\\geq 0\u003C\u002Fequation\u003E，这个内积的定义是符合内积空间的要求的。因此在这个内积的定义之下，所有右矢构成的空间，是一个复内积空间，又称\u003Cb\u003E希尔伯特空间\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E现在终于可以解决先前的问题了。我们进一步规定，与真实的物理状态对应的右矢\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，必须是\u003Cb\u003E归一化\u003C\u002Fb\u003E的：\u003Cequation\u003E\\langle a|a\\rangle=1\u003C\u002Fequation\u003E。这样一来，描述同一个态的右矢最多相差一个模1的相因子：\u003Cequation\u003Ee^{i\\theta}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，虽然仍不唯一，但至少我们可以得到具有确定的模的内积了。这样我们今后的讨论，只限定于希尔伯特空间中单位球上的点，而不是整个希尔伯特空间。当然，偶尔遇到没有归一化的态我们依然会认为是系统的状态，但是归一化之前不能参与内积运算。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E除去内积，左矢和右矢也可以以相反的顺序相乘，正如一个列向量乘以一个行向量，得到的是一个矩阵，称为外积。在Dirac记号中，外积则可以写成：\u003Cequation\u003E|a\\rangle\\langle b|\u003C\u002Fequation\u003E。作为矩阵乘法，很容易证明，内积和外积都满足\u003Cb\u003E对加法的分配律\u003C\u002Fb\u003E和\u003Cb\u003E结合律\u003C\u002Fb\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E有了这两个的定义，我们可以用很简洁的方式写出任意一个矢量在基矢量下的展开式。因为如果\u003Cequation\u003E|a\\rangle=c_1|e_1\\rangle+c_2|e_2\\rangle+\\cdots+c_n|e_n\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，由正交归一化条件，有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle e_i|a\\rangle=c_1\\langle e_i|e_1\\rangle+c_2\\langle e_i|e_2\\rangle+\\cdots+c_n\\langle e_i|e_n\\rangle=c_i\\langle e_i|e_i\\rangle=c_i\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E这样我们可以把展开式写成（注意矩阵的数乘是可交换的，而\u003Cequation\u003E\\langle\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E括起来的，永远是一个数字）：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|a\\rangle=\\langle e_1|a\\rangle|e_1\\rangle+\\langle e_2|a\\rangle|e_2\\rangle+\\cdots+\\langle e_n|a\\rangle|e_n\\rangle=\\sum_i| e_i\\rangle\\langle e_i|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这个展开式很有意思，相当于把一组基\u003Cequation\u003E|e_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E与自己做外积后相加，再把得到的矩阵：\u003Cequation\u003E\\sum_i|e_i\\rangle\\langle e_i|\u003C\u002Fequation\u003E乘在\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E上，然后得到\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E本身。这实际上意味着，\u003Cb\u003E对于任意一组基，矩阵\u003Cequation\u003E\\sum_i|e_i\\rangle\\langle e_i|\u003C\u002Fequation\u003E正是单位矩阵\u003Cequation\u003E\\hat{I}\u003C\u002Fequation\u003E！\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Ch2\u003E二、可观测量\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E接下来一个重要的问题，就是我们对一个处于\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E状态的系统进行测量，会发生什么？实验告诉我们，首先，测量的结果往往不是连续取值的。回想线性代数中可以得到离散取值的结构，线性算符\u002F矩阵的特征值是个合适的选择。在量子力学中，我们假定可观测量是希尔伯特空间中的\u003Cb\u003E线性算符\u003C\u002Fb\u003E，且算符的特征值则是测量的所有可能结果。因为要求测量值，也就是算符的特征值必须全部是实数，我们要求可观测量只能为\u003Cb\u003EHermitian算符\u003C\u002Fb\u003E，即表示算符的矩阵的转置共轭，依然是算符自身。在Dirac记号中，用字母加“帽子”（hat）来表示，比如\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E。比如，我们有坐标算符\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{x}}\u003C\u002Fequation\u003E，动量算符\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{p}}\u003C\u002Fequation\u003E，角动量算符\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{L}}\u003C\u002Fequation\u003E，哈密顿（能量）算符\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E。算符的Hermitian性质意味着\u003Cequation\u003E\\hat{A}^\\dagger=\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E注意，在量子力学中，时间不是可观测量，也不是算符，仅仅作为参数出现。因为我们对时间的测量，其实和其他测量有着很大不同：时间的测量并不直接干扰系统，我们相当于一边测量粒子的其他状态（比如位置、自旋），一边“看表”。而“看表”是通过考察时钟的状态来完成的。在相对论性的量子理论中，我们需要把坐标和时间统一处理以满足洛伦茨不变性，但这个过程是通过把坐标也当做参数来完成的，而不是把时间变成算符。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E继续复习线性代数。我们知道，线性算符是将线性空间中的矢量映射到另一个矢量的数学结构（\u003Cequation\u003E\\hat{A}:\\mathcal{S}\\to\\mathcal{S}\u003C\u002Fequation\u003E），并且在选取线性空间的基矢量之后，可以用矩阵来表示。如果\u003Cequation\u003E|e_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E是一组基矢量，那么有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{A}=\\sum_i\\sum_j|e_i\\rangle\\langle e_i|\\hat{A}|e_j\\rangle\\langle e_j|=\\sum_i\\sum_j\\langle e_i|\\hat{A}|e_j\\rangle|e_i\\rangle\\langle e_j|\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E运用结合律，注意到括号匹配变成了一个数！这相当于将算符\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E用矩阵\u003Cequation\u003E|e_i\\rangle\\langle e_j|\u003C\u002Fequation\u003E展开，而这个数\u003Cequation\u003E\\langle e_i|\\hat{A}|e_j\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E可以看做矩阵第\u003Cequation\u003Ei\u003C\u002Fequation\u003E行第\u003Cequation\u003Ej\u003C\u002Fequation\u003E列的矩阵元。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E（这样一来，如果把算符看做c，那么bra+c+ket就是一个完整的括号（bracket）了。）\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果存在某个不为0的矢量\u003Cequation\u003E|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，使得算符\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E作用于矢量上得到的还是矢量本身，只是有一个比例系数：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{A}|\\lambda\\rangle=\\lambda|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E则称\u003Cequation\u003E\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E是\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E的特征值，\u003Cequation\u003E|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E是\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E的特征矢量。一个维数为\u003Cequation\u003EN\u003C\u002Fequation\u003E的矩阵最多可以有\u003Cequation\u003EN\u003C\u002Fequation\u003E个特征值，如果\u003Cequation\u003EN\u003C\u002Fequation\u003E个特征值均不为0，则意味着\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E是满秩的。特征矢量\u003Cequation\u003E|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E是可以相差一个常数因子的，但通常为了方便起见，我们总是使用归一化的特征矢量。对于任意给定的矩阵\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E，我们可以通过解特征方程——关于\u003Cequation\u003E\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E的代数方程\u003Cequation\u003E\\det(\\hat{A}-\\lambda\\hat{I})=0\u003C\u002Fequation\u003E来求出所有特征值，特征矢量则由\u003Cequation\u003E\\hat{A}|\\lambda\\rangle=\\lambda|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E配合归一化条件即可解出。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有意思的是，一个满秩的Hermitian矩阵的所有特征矢量实际上构成了这个线性空间的一组正交的基矢量。因为，对于属于不同特征值的特征矢量，其实是线性无关且正交的：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\lambda_2\\langle\\lambda_2|\\lambda_1\\rangle=\\langle\\lambda_2|\\lambda_2|\\lambda_1\\rangle=\\langle\\lambda_2|\\hat{A}|\\lambda_1\\rangle=\\langle\\lambda_2|\\lambda_1|\\lambda_1\\rangle=\\lambda_1\\langle\\lambda_2|\\lambda_1\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E如果\u003Cequation\u003E\\lambda_1\\neq\\lambda_2\u003C\u002Fequation\u003E，则必须\u003Cequation\u003E\\langle\\lambda_2|\\lambda_1\\rangle=0\u003C\u002Fequation\u003E。因为每个特征矢量都不能为0，这意味着几个特征矢量不能线性相关。（如果要证明，\u003Cequation\u003En\u003C\u002Fequation\u003E个特征矢量线性相关意味着\u003Cequation\u003Ec_1|\\lambda_1\\rangle+c_2|\\lambda_2\\rangle+\\cdots+c_n|\\lambda_n\\rangle=0\u003C\u002Fequation\u003E，尝试用随便一个特征矢量\u003Cequation\u003E\\langle\\lambda_i|\u003C\u002Fequation\u003E乘以上式就会得到矛盾。）如果矩阵的特征方程有\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E重根（称为\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E重简并），那么情况会稍微复杂一点——这个\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E重的（简并的）特征值对应的所有特征矢量构成一个线性空间，且这个线性空间是\u003Cequation\u003Em\u003C\u002Fequation\u003E维的。相关的证明在任何一本线性代数书中均可以找到。而在这组基下，Hermitian算符的矩阵表示是一个对角矩阵，且对角元是算符的特征值。换言之：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{I}=\\sum_i|\\lambda_i\\rangle\\langle\\lambda_i|\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{A}=\\sum_i\\sum_j\\langle \\lambda_i|\\hat{A}|\\lambda_j\\rangle|\\lambda_i\\rangle\\langle \\lambda_j|=\\sum_i\\sum_j\\lambda_j\\delta_{ij}|\\lambda_i\\rangle\\langle \\lambda_j|=\\sum_i\\lambda_i|\\lambda_i\\rangle\\langle \\lambda_i|\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这个结论意味着，我们实际上可以用任意可观测量的特征矢量来作为态空间的一组基。比如，对于粒子的位置算符\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{x}}\u003C\u002Fequation\u003E，它有无穷多个测量值，因此有无穷多个特征值。还记得前面说过的吗？这种情况称为连续谱，因为特征值不但有无穷多个，而且是连续的，态空间也是无穷维的，叠加也需要改写为积分的形式。对于每一个特征值\u003Cequation\u003E\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E，它相应的特征矢量\u003Cequation\u003E|\\bm{x}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E构成了粒子运动状态的一组基。对于粒子的任何状态\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，我们都可以用这组特征矢量来展开（这里会出现的积分都是对全空间的\u003Cb\u003E定积分\u003C\u002Fb\u003E，不要和不定积分混淆了）：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle=\\int d^3\\bm{x'}\\, \\phi(\\bm{x'})|\\bm{x'}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E展开式前面的系数，可以用内积\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{x}|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E算出，因为：\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{x}|\\phi\\rangle=\\int d^3\\bm{x'}\\, \\phi(\\bm{x'})\\langle\\bm{x}|\\bm{x'}\\rangle=\\int d^3\\bm{x'}\\, \\phi(\\bm{x'})\\delta(\\bm{x}-\\bm{x'})=\\phi(\\bm{x})\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这个系数，可以看做关于特征值\u003Cequation\u003E\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E的函数，称为\u003Cb\u003E波函数\u003C\u002Fb\u003E。同样的态我们也可以用动量算符的特征值来展开：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle=\\int d^3\\bm{p'}\\, \\phi(\\bm{p'})|\\bm{p'}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E并把系数\u003Cequation\u003E\\phi(\\bm{p})=\\langle\\bm{p}|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E称为动量表象中的波函数。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于同样的问题，我们往往可以选择不同的可观测量的特征矢量作为基函数，得到不一样但又相互等价的描述。不同的基函数选择，我们称为不同的\u003Cb\u003E表象\u003C\u002Fb\u003E。对于物理问题我们有选择表象的自由。比如我们可以用坐标表象中的波函数来描述粒子运动，也可以用动量表象中的波函数，这种描述是完全等价的。而基函数的变换，则需要知道两组基之间的内积，灵活利用\u003Cequation\u003E\\hat{I}=\\sum_i|\\lambda_i\\rangle\\langle\\lambda_i|\u003C\u002Fequation\u003E即可。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E对粒子的测量结果常常是不确定的。即使对于给定的态\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，对它的位置测量结果我们也无法预知。但是，我们发现测量到不同结果的概率是确定的。因此，量子力学假定，\u003Cb\u003E如果对于一个态\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，用可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E的特征矢量\u003Cequation\u003E|\\lambda_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E展开的展开式是：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle=\\sum_ic_i|\\lambda_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E（或\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle=\\int d\\lambda\\, \\phi(\\lambda)|\\lambda\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E）\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E那么测量值为\u003Cequation\u003E\\lambda_i\u003C\u002Fequation\u003E（或测量值在\u003Cequation\u003E\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003E\\lambda+d\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E之间）的概率为：\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cb\u003E\u003Cequation\u003E|c_i|^2\u003C\u002Fequation\u003E（或\u003Cequation\u003E|\\phi(\\lambda)|^2d\\lambda\u003C\u002Fequation\u003E）\u003C\u002Fb\u003E。注意到态的归一化要求\u003Cequation\u003E\\sum_i|c_i|^2=1\u003C\u002Fequation\u003E（或\u003Cequation\u003E\\int|\\phi(\\lambda)|^2d\\lambda=1\u003C\u002Fequation\u003E），这个定义完全符合概率（或概率密度函数）定义的要求！这样一来，如果我们有一大堆处于\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E状态的粒子，那么我们对\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E测量得到的平均值是：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\sum_i|c_i|^2\\lambda_i=\\sum_i(\\langle\\lambda_i|\\phi\\rangle)^*\\langle\\lambda_i|\\phi\\rangle\\lambda_i=\\sum_i\\langle\\phi|\\lambda_i\\rangle\\langle\\lambda_i|\\phi\\rangle\\lambda_i=\\langle\\phi|\\sum_i(\\lambda_i|\\lambda_i\\rangle\\langle\\lambda_i|)|\\phi\\rangle=\\langle\\phi|\\hat{A}|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E如果不会造成歧义，我们也可以简单地写成\u003Cequation\u003E\\langle\\hat{A}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E我们知道测量也会干扰系统的状态。那么对于系统进行测量后系统变成了什么？这个规律大概是量子力学中最饱受争议的规律：\u003Cb\u003E如果\u003C\u002Fb\u003E\u003Cb\u003E用可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E测量态\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E得到的测量值为\u003Cequation\u003E\\lambda_i\u003C\u002Fequation\u003E，那么测量后系统从态\u003Cequation\u003E|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E变为态\u003Cequation\u003E|\\lambda_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fb\u003E。基本上所有诠释争论的核心问题，就是这个规律很不自然，这种态的突变和一般的时间演化不一样。现在一种影响力比较大的观点认为，实际上测量是系统\u003Cequation\u003E|\\mbox{粒子}\\rangle\\otimes |\\mbox{仪器}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E的时间演化，这个总体的态依然满足时间演化的规律。但因为仪器是个经典的、微观态不确定的系统，粒子与仪器的退相干效应使得粒子的态看上去像是突变了。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这样，我们基本完成了量子力学框架的所有基础假设。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E三、对易\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E在线性代数中，矩阵的乘法是不满足交换律的，也就是说，对于一般的矩阵，\u003Cequation\u003E\\hat{A}\\hat{B}\\neq\\hat{B}\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E。然而，如果两个矩阵对易\u003Cequation\u003E\\hat{A}\\hat{B}=\\hat{B}\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E，那么可以找到一组基将\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E同时对角化。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E然而这个性质对于量子力学来说有着无比的重要性。因为，如果两个可观测量对易，意味着可以找到这两个可观测量的共同的基。在没有简并的情况下，可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E的特征矢量同时也是可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E的特征矢量。这时，如果对可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E测量使得系统的状态变为一个基，那么之后再测量\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E也不会改变系统的状态，此后无论怎样测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E或\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E总会得到确定的结果。反之，如果两个可观测量不对易，它们一定无法被同时对角化（否则就可对易了），这意味着如果接着\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E测量之后对\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E进行测量，总是会改变系统的状态。而经过\u003Cequation\u003E\\hat{A}\\to\\hat{B}\\to\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E测量之后，因为每次测量都一定会扰动系统，测量结果又会变得不确定。\u003Cp\u003E这就导致了科普中常常提到的\u003Cb\u003E不确定性关系：如果两个可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E不对易，那么这两个可观测量无法被同时测准，因为对其中一个量的测量必然会扰动系统，使得对另一个量的测量结果变得不确定。\u003C\u002Fb\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cbr\u003E更进一步，我们定义对易子：\u003Cequation\u003E[\\hat{A},\\hat{B}]=\\hat{A}\\hat{B}-\\hat{B}\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E如果对易子等于0，显然\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E与\u003Cequation\u003E\\hat{B}\u003C\u002Fequation\u003E对易；但如果对易子不为0，我们就有不确定性关系：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle(\\Delta \\hat{A})^2\\rangle\\langle(\\Delta \\hat{B})^2\\rangle\\geq\\frac{1}{4}|\\langle[\\hat{A},\\hat{B}]\\rangle|^2\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这里，算符\u003Cequation\u003E\\Delta\\hat{A}=\\hat{A}-\\langle\\hat{A}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。数学上的证明比较tricky，需要引用Schwarz不等式，有兴趣可以尝试一下。这里介绍一个实验上被人熟知的不确定性关系，是坐标和动量的不确定性关系：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\sqrt{(\\Delta x)^2}\\cdot\\sqrt{(\\Delta p)^2}\\geq\\frac{\\hbar}{2}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这正是因为坐标和动量有对易子：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E[\\hat{x},\\hat{p}]=i\\hbar\\neq 0\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E（完整写出，是\u003Cequation\u003E[\\hat{x_i},\\hat{p_j}]=i\\hbar\\delta_{ij}\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E[\\hat{x}_i,\\hat{x}_j]=0\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E[\\hat{p}_i,\\hat{p}_j]=0\u003C\u002Fequation\u003E，其中\u003Cequation\u003Ei,j=1,2,3\u003C\u002Fequation\u003E是空间的三个方向，\u003Cequation\u003E\\delta_{ij}=0\u003C\u002Fequation\u003E如果\u003Cequation\u003Ei\\neq j\u003C\u002Fequation\u003E，否则\u003Cequation\u003E\\delta_{ij}=1\u003C\u002Fequation\u003E。）\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E然而，为何是这个对易子，就是件比较不好解释的事情了。这个对易关系是量子力学最为基本的对易关系，但它基本上无法只从前面所提到的基本假设中推导出来，因为坐标虽然我们有先验的概念，动量的概念却并没有那么直观。一种理解方式是从动量的定义出发，认为动量是空间平移操作的生成子。所以，平移\u003Cequation\u003E\\delta\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E后的状态\u003Cequation\u003E|a'\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E与平移前的状态\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E可以形式地写成：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|a'\\rangle=e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{\\bm{p}}\\cdot \\delta\\bm{x}}|a\\rangle\\approx(1-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{\\bm{p}}\\cdot \\delta\\bm{x})|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E在坐标表象中，我们将态用坐标特征矢量展开：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|a\\rangle=\\int|\\bm{x}\\rangle\\langle \\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E那么（第一步的平移就是把态平移而已，第二步则是做了代换\u003Cequation\u003E\\bm{x}'=\\bm{x}+\\delta \\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E，因为积分限是全空间所以不变，第三部就是单纯的函数泰勒展开）\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|a'\\rangle=\\int|\\bm{x}+\\delta\\bm{x}\\rangle\\langle \\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}=\\int|\\bm{x}'\\rangle\\langle \\bm{x}'-\\delta\\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}'=\\int|\\bm{x}'\\rangle(1-\\delta\\bm{x}\\cdot\\nabla)\\langle \\bm{x}'|a\\rangle d^3\\bm{x}'\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E我们和\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|a'\\rangle=(1-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{\\bm{p}}\\cdot \\delta\\bm{x})|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E对比一下，由于平移\u003Cequation\u003E\\delta\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E是任意（小）的，所以\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{p}}|a\\rangle=-i\\hbar\\int|\\bm{x}'\\rangle\\nabla\\langle\\bm{x}'|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{x}'|\\hat{\\bm{p}}|a\\rangle=-i\\hbar\\nabla\\langle\\bm{x}'|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E也就是\u003Cb\u003E对坐标表象中的波函数而言，\u003Cequation\u003E\\hat{\\bm{p}}=-i\\hbar\\nabla\u003C\u002Fequation\u003E。\u003C\u002Fb\u003E由此可以得到对易子\u003Cequation\u003E[\\hat{x}_i,\\hat{p}_i]|a\\rangle=-i\\hbar x_i\\nabla_i|a\\rangle+i\\hbar\\nabla_i(x_i|a\\rangle)=i\\hbar (\\nabla_ix_i)|a\\rangle=i\\hbar|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E即\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E[\\hat{x},\\hat{p}]=i\\hbar\u003C\u002Fequation\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E另一方面，我们可以把它看做是由与经典力学的类比得到的。在对易子的定义下、算符的代数结构和泊松括号的定义下、经典轨迹的代数结构是同构的，它们同样满足Jacobi方程，构成了同一类李代数。于是，经典力学的正则量子化认为我们在\u003Cequation\u003E\\hbar\u003C\u002Fequation\u003E有限的时候，可以做对应：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\{A,B\\}\\to \\frac{1}{i\\hbar}[\\hat{A},\\hat{B}]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E关于这个量子化的具体讨论，可以参见问题\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fquestion\u002F\& data-editable=\&true\& data-title=\&泊松括号（Poisson bracket）是怎么量子化到李括号（Lie bracket）的？\& class=\&\&\u003E泊松括号（Poisson bracket）是怎么量子化到李括号（Lie bracket）的？\u003C\u002Fa\u003E下的诸多答案。如果从不同的角度出发，比如先验地假定粒子波函数的平面波形式，我们可以某种意义上“证明”这个量子化关系。或者，通过路径积分方法（见\u003Ca href=\&http:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Feverytingisphysics\u002F\& data-editable=\&true\& data-title=\&理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\& class=\&\&\u003E理论力学——哈密顿力学 - Everything is Physics 万物皆理 - 知乎专栏\u003C\u002Fa\u003E第四节）构建量子力学，也应该可以证明对易子与泊松括号的关系。但因为这里涉及到路径积分这个不太显然的数学，甚至需要引入维纳测度，所以实际上要复杂得多。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E有了这个基本的对易关系，我们可以得到在坐标表象下动量算符的表达式。由于微分的乘法规则，有显然的恒等式：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{\\partial}{\\partial x}(x|\\phi\\rangle)-x\\frac{\\partial}{\\partial x}|\\phi\\rangle=|\\phi\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E或者写成算符的形式：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{\\partial}{\\partial x}x-x\\frac{\\partial}{\\partial x}=\\hat{I}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E注意到微分算符\u003Cequation\u003E\\frac{\\partial}{\\partial x}\u003C\u002Fequation\u003E也是一个线性算符，而且由分部积分可以发现它与Hermitian算符相差一个虚数单位，因为：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\int\\langle a|(i\\frac{\\partial}{\\partial x}|b\\rangle) dx=i\\langle a|b\\rangle|^\\infty_{-\\infty}-\\int(i\\frac{\\partial}{\\partial x}\\langle a|)|b\\rangle dx=-\\int(i\\frac{\\partial}{\\partial x}\\langle a|)|b\\rangle dx=-\\int(\\langle a|(i\\frac{\\partial}{\\partial x})^*)|b\\rangle dx=\\int(\\langle a|i\\frac{\\partial}{\\partial x})|b\\rangle dx\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cp\u003E所以\u003Cequation\u003E-i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial x}\u003C\u002Fequation\u003E具有和\u003Cequation\u003E\\hat{p}\u003C\u002Fequation\u003E同样的对易关系，所以我们可以认为\u003Cequation\u003E\\hat{p}=-i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial x}\u003C\u002Fequation\u003E.\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E知道动量算符在坐标表象中的表达式后我们可以知道坐标表象和动量表象是如何相联系的。回忆之前的内容，在坐标表象下，一个态可以用坐标特征矢量展开：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|a\\rangle=\\int|\\bm{x}\\rangle\\langle \\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E其中\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{x}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E称作波函数。动量波函数则写作\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{p}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E。如果我们在其中插入一个单位算符\u003Cequation\u003E\\int|\\bm{x}\\rangle\\langle\\bm{x}|d^3\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E，有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{p}|a\\rangle=\\int\\langle\\bm{p}|\\bm{x}\\rangle\\langle\\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E于是，如果我们会算\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{p}|\\bm{x}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，我们就知道如何在两种表象中切换。这是前面第二节中已经提到过的。为了计算\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{p}|\\bm{x}\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，我们把动量算符在坐标表象的表达式插进去：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle p_i|\\hat{p_i}|x_i\\rangle=p_i\\langle p_i|x_i\\rangle=-i\\hbar\\langle p_i|\\frac{\\partial}{\\partial x_i}|x_i\\rangle=-i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial x_i}\\langle p_i|x_i\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E解这个微分方程得到：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle p_i|x_i\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{2\\pi\\hbar}}e^{\\frac{i}{\\hbar}p_ix_i}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E或\u003Cequation\u003E\\langle \\bm{p}|\\bm{x}\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{(2\\pi\\hbar)^3}}e^{\\frac{i}{\\hbar}\\bm{p}\\cdot\\bm{x}}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E其中归一化系数由归一化条件：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle x_i'|x_i\\rangle=\\int\\langle x_i'|p_i\\rangle\\langle p_i|x_i\\rangle dp_i=\\delta(x_i'-x_i)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E得到。于是坐标表象波函数和动量表象波函数由一个类似傅里叶逆变换与傅里叶变换的形式相联系起来：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{p}|a\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{(2\\pi\\hbar)^3}}\\int e^{\\frac{i}{\\hbar}\\bm{p}\\cdot\\bm{x}}\\langle\\bm{x}|a\\rangle d^3\\bm{x}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cequation\u003E\\langle\\bm{x}|a\\rangle=\\frac{1}{\\sqrt{(2\\pi\\hbar)^3}}\\int e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\bm{p}\\cdot\\bm{x}}\\langle\\bm{p}|a\\rangle d^3\\bm{p}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E把\u003Cequation\u003E\\langle \\bm{p}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E换成\u003Cequation\u003E\\phi(\\bm{p})\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\langle \\bm{x}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E换成\u003Cequation\u003E\\phi(\\bm{x})\u003C\u002Fequation\u003E，就是大家常见的形式了。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E四、时间演化\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E量子力学的基本描述框架已经完成，现在要让这个世界动起来。动起来意味着某些东西要开始与时间\u003Cequation\u003Et\u003C\u002Fequation\u003E有关，但关于此，我们有至少2种观点，我们称为\u003Cb\u003E图像\u003C\u002Fb\u003E——薛定谔图像和海森堡图像。回忆一下，我们用右矢表示态，用算符表示可观测量，而且，我们常常用算符的基向量来做系统状态的基，于是，我们有了至少两种选择：\u003C\u002Fp\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E\u003Cb\u003E薛定谔图像\u003C\u002Fb\u003E：系统的态随时间变化，但可观测量及其基向量不随时间变化。\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E\u003Cb\u003E海森堡图像\u003C\u002Fb\u003E：可观测量及其基向量随时间变化，但系统的态不随时间变化。\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Cbr\u003E这两种图像是完全等价的，其区别就好像是对于一个运动的粒子，我们可以在静止的坐标系中描述它位置的变化，也可以在与粒子相对静止的、运动的坐标系中描述它。\u003Cp\u003E但在微扰论的实际应用中，我们还常常有用到第三种图像：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E3.
\u003Cb\u003E相互作用图像\u003C\u002Fb\u003E：系统的态、可观测量及其基向量均以某种方式随时间变化。只是其变化分别遵循不同的哈密顿量（见后文，如果我会提到的话……）。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E这种处理有时也是有好处的，因为它可以做到让复杂的相互作用与单粒子的哈密顿量分开处理。\u003Cp\u003E在薛定谔图像中，系统的态会随时间变化，于是我们的问题自然就是，对于态\u003Cequation\u003E|a(0)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，经过时间\u003Cequation\u003Et\u003C\u002Fequation\u003E后，它（\u003Cequation\u003E|a(t)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E）变成了什么？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E假设联系这两个态的映射是\u003Cequation\u003E\\hat{U}(t)\u003C\u002Fequation\u003E，因为我们要保证态的可叠加性，即\u003Cequation\u003E|a_1(t)\\rangle+|a_2(t)\\rangle=\\hat{U}(t)|a_1(0)\\rangle+\\hat{U}(t)|a_2(0)\\rangle=\\hat{U}(t)(|a_1(0)\\rangle+|a_2(0)\\rangle)\u003C\u002Fequation\u003E，\u003Cequation\u003E\\hat{U}(t)\u003C\u002Fequation\u003E应当是一个线性算符，称为时间演化算符。那么这是个什么样的算符呢？我们可以很容易地得到它的一些性质。\u003C\u002Fp\u003E\u003Col\u003E\u003Cli\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{U}(-t)\\hat{U}(t)=\\hat{U}(t)\\hat{U}(-t)=\\hat{I}\u003C\u002Fequation\u003E，这个应该比较显然吧，因为\u003Cequation\u003E\\hat{U}(-t)\u003C\u002Fequation\u003E表示倒退时间\u003Cequation\u003Et\u003C\u002Fequation\u003E，一个态经过一段时间又倒退回去，显然还是自己。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{U}^\\dagger(t)=\\hat{U}^{-1}(t)\u003C\u002Fequation\u003E，这是因为演化后的态依然要保证归一化，即\u003Cequation\u003E\\langle a(t)|a(t)\\rangle=\\langle a(0)|\\hat{U}^\\dagger(t)\\hat{U}(t)|a(0)\\rangle=\\langle a(0)|a(0)\\rangle=1\u003C\u002Fequation\u003E，显然要有\u003Cequation\u003E\\hat{U}^\\dagger(t)\\hat{U}(t)=\\hat{I}\u003C\u002Fequation\u003E。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003Cli\u003E\u003Cequation\u003E\\lim_{t\\to 0}\\hat{U}(t)=\\hat{I}\u003C\u002Fequation\u003E，因为我们假定时间演化是个连续的过程，如果经过时间无限接近于0，演化后的状态应该无限接近于初始状态。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fli\u003E\u003C\u002Fol\u003E\u003Cbr\u003E前两个条件意味着一般情况下\u003Cequation\u003E\\hat{U}^\\dagger(t)=\\hat{U}(-t)\\neq\\hat{U}(t)\u003C\u002Fequation\u003E，这意味着时间演化算符不是Hermitian算符，不是可观测量。于是，我们现在要找一个可观测量和它联系起来。首先我们可以猜一下\u003Cequation\u003E\\hat{U}(t)\u003C\u002Fequation\u003E应该长什么样。（当然，薛定谔当年并不是这么猜的，而是用一种看起来更不严谨的方式猜出来的——这很自然，因为一个理论的历史发展顺序往往并不是理论严格化后的逻辑顺序。）首先，\u003Cequation\u003E\\hat{U}^\\dagger(t)=\\hat{U}(-t)\u003C\u002Fequation\u003E意味着时间大概和虚数单位乘在一起；其次，第二条和第三条性质看起来像是复数的指数表示。于是我们猜测时间演化算符可以\u003Cb\u003E形式地\u003C\u002Fb\u003E写成：\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{U}(t)=e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E其中我们用\u003Cequation\u003E\\hbar\u003C\u002Fequation\u003E作为某种尺度，它的意义我们马上就会看到。而\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E如果我们假设是一个Hermitian算符，\u003Cequation\u003E\\hat{U}(t)\u003C\u002Fequation\u003E就满足了上面写的全部三条性质。而\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E究竟是什么？我们来猜猜看：一方面，在经典力学中，时间演化总是和哈密顿量联系在一起；另一方面，如果考虑粒子是一个波动函数\u003Cequation\u003Ee^{-i\\omega t}\u003C\u002Fequation\u003E，我们知道德布罗意关系告诉我们\u003Cequation\u003EE=\\omega\\hbar\u003C\u002Fequation\u003E（这就是为什么我们要加入一个\u003Cequation\u003E\\hbar\u003C\u002Fequation\u003E作为某种尺度），而经典力学中哈密顿量\u003Cequation\u003EH(q,p,t)=E\u003C\u002Fequation\u003E，于是，我们猜测\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E是哈密顿量。这样，我们将态的演化写成：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cequation\u003E|a(t)\\rangle=e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}|a(0)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E当然，这个算符的指数函数终究只是形式写法，虽然我们可以用幂级数来定义这个指数，但计算并不见得容易。所以我们对时间进行微分，得到方程：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003Ei\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}|a(t)\\rangle=\\hat{H}|a(t)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这就是著名的\u003Cb\u003E薛定谔方程\u003C\u002Fb\u003E，常常我们把这个方程作为量子力学的基本假设之一。对于经典粒子，量子化让我们可以直接把经典力学的哈密顿量改写成算符：\u003Cequation\u003E\\hat{H}=\\frac{\\hat{p}^2}{2m}+V(\\hat{\\bm{x}})\u003C\u002Fequation\u003E（当然，为了摒弃经典力学的第一性，这个哈密顿量也可以由路径积分构造），如果写在坐标表象中，带入动量算符的表达式，我们可以得到一个常见的形式：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003Ei\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\phi(\\bm{x},t)=-\\frac{\\hbar^2}{2m}\\nabla^2\\phi(\\bm{x},t)+V(\\hat{\\bm{x}})\\phi(\\bm{x},t)\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E如果给定一个势能\u003Cequation\u003EV(\\hat{\\bm{x}})\u003C\u002Fequation\u003E，我们可以从薛定谔方程解出波函数随时间的演化。比如可以从\u003Cequation\u003EV(\\hat{\\bm{x}})=-\\frac{ke^2}{r}\u003C\u002Fequation\u003E解出氢原子的能级。如果我们更仔细地看看薛定谔方程，会发现哈密顿算符的特征矢量有着特别重要的地位。如果系统原本处于其中一个基矢，\u003Cequation\u003E\\hat{H}|a(0)\\rangle=E|a(0)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，那么，根据薛定谔方程，我们可以直接解出：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E|a(t)\\rangle=e^{-\\frac{i}{\\hbar}Et}|a(0)\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E即经过时间\u003Cequation\u003Et\u003C\u002Fequation\u003E后，系统只改变了一个\u003Cb\u003E相位\u003C\u002Fb\u003E！我们还记得如果两个态只单纯相差一个相位，那么对于这个态的所有宏观的测量结果都不会改变，也就是说在这个意义上，这个态并不随时间变化，于是能量\u003Cequation\u003EE\u003C\u002Fequation\u003E也不会随时间变化。这正是能量守恒在量子力学中的体现。因此，我们把方程\u003Cequation\u003E\\hat{H}|a\\rangle=E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E称为\u003Cb\u003E不含时的薛定谔方程\u003C\u002Fb\u003E。我们可以从它解出哈密顿量的所有特征矢量，这些特征矢量称为系统的\u003Cb\u003E能级\u003C\u002Fb\u003E。当一个系统处于某一能级时，它将一直处于这一能级中。这里需要提醒的是，当个全同的系统发生干涉时，相位会起到至关重要的作用，所以，这个相位的差别并不是没有意义的。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cbr\u003E下面我们转向海森堡图像。在海森堡图像中，系统的状态\u003Cequation\u003E|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E不随时间变化，但我们关系的可观测量\u003Cequation\u003E\\hat{A}\u003C\u002Fequation\u003E从\u003Cequation\u003E\\hat{A}(0)\u003C\u002Fequation\u003E变成了\u003Cequation\u003E\\hat{A}(t)\u003C\u002Fequation\u003E。那么怎么算出\u003Cequation\u003E\\hat{A}(t)\u003C\u002Fequation\u003E？\u003Cp\u003E因为海森堡图像和薛定谔图像是等价的，所以我们用任何一个图像都应该预测出相同的测量结果。一般宏观的测量结果会体现为内积\u003Cequation\u003E\\langle a|\\hat{A}|a\\rangle\u003C\u002Fequation\u003E，我们用下标\u003Cequation\u003ES\u003C\u002Fequation\u003E表示薛定谔图像，下标\u003Cequation\u003EH\u003C\u002Fequation\u003E表示海森堡图像，显然有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle a(t)|_S\\hat{A}_S|a(t)\\rangle_S=\\langle a|_H\\hat{A}_H(t)|a\\rangle_H\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E因为海森堡图像中系统状态不随时间变化，假设初始状态时我们让两种图像中的算符和态完全相同，即\u003Cequation\u003E|a\\rangle_H=|a(0)\\rangle_H=|a(0)\\rangle_S\u003C\u002Fequation\u003E，我们有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\langle a(0)|_S\\hat{U}^\\dagger(t)\\hat{A}_S\\hat{U}(t)|a(0)\\rangle_S=\\langle a(0)|_S\\hat{A}_H(t)|a(0)\\rangle_S\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E由于上式对任何系统状态都成立，有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{A}_H(t)=\\hat{U}^\\dagger(t)\\hat{A}_S\\hat{U}(t)=e^{\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{A}_H(0)e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E同样，我们对时间进行微分，得到：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{d}{dt}\\hat{A}(t)=\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}e^{\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{A}(0)e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}-\\frac{i}{\\hbar}e^{\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{A}(0)e^{-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\\hat{H}=\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}\\hat{A}(t)-\\frac{i}{\\hbar}\\hat{A}(t)\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E（显然，\u003Cequation\u003E\\hat{H}\u003C\u002Fequation\u003E与它的函数\u003Cequation\u003Ee^{\\frac{i}{\\hbar}\\hat{H}t}\u003C\u002Fequation\u003E是对易的。）于是有：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{d}{dt}\\hat{A}(t)=\\frac{i}{\\hbar}[\\hat{H},\\hat{A}(t)]=\\frac{1}{i\\hbar}[\\hat{A}(t),\\hat{H}]\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E这个就是量子力学中另一个重要的运动方程：\u003Cb\u003E海森堡方程\u003C\u002Fb\u003E。有趣的是，在正则量子化\u003Cequation\u003E\\{A,B\\}\\to \\frac{1}{i\\hbar}[\\hat{A},\\hat{B}]\u003C\u002Fequation\u003E之下，上式和经典物理的运动方程（\u003Cequation\u003EA\u003C\u002Fequation\u003E不显含时间）：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\frac{d}{dt}A(t)=\\{A(t),H\\}\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E完全相同。\u003C\u002Fp\u003E\u003Ch2\u003E五、二次量子化\u003C\u002Fh2\u003E\u003Cp\u003E现在我们考虑一个例子。对于类似谐振子的哈密顿量：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cequation\u003E\\hat{H}=\\frac{\\hat{p}^2}{2m}+\\frac{1}{2}m\\omega^2\\hat{x}^2\u003C\u002Fequation\u003E\u003Cbr\u003E\u003Cp\u003E它的能级是什么样的？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E当然，我们可以用薛定谔方程硬解，