不定积分求解这一步怎么来的？_百度知道
不定积分求解这一步怎么来的？
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MATLAB中这个不定积分好像算不出来？
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新手, 积分 7, 距离下一级还需 43 积分
代码如下，语法应该没错啊，我用的是Matlab R2013a：int( sym('sqrt(1+x+sqrt(x))') )复制代码
_203235.png (4.55 KB, 下载次数: 0)
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语法没错，解析解不存在求不出符号积分是正常的。
如果你求数值定积分，是没问题的
&& double(int( sym('sqrt(1+x+sqrt(x))') ,'x', 0, 1))
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winner245 发表于
语法没错，解析解不存在求不出符号积分是正常的。
如果你求数值定积分，是没问题的
但这个确实存在解析解的
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user0309 发表于
但这个确实存在解析解的
解析解是什么样子的？Matlab求不出解析解通常有两类情形：
1. 问题本身无解析解，那么用任何软件（mathematica、maple）都求不出解
2. 问题本身有解析解，但matlab符号引擎不够智能，没有求出来。
如果你说这个问题有解析解的话，那可能是第2种情况，你不妨贴出解析解来看看
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本帖最后由 user0309 于
00:19 编辑
winner245 发表于
解析解是什么样子的？Matlab求不出解析解通常有两类情形：
1. 问题本身无解析解，那么用任何软件（mathe ...
MSPah022fach328h7a05gie3.png (133.99 KB, 下载次数: 0)
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user0309 发表于
很遗憾，matlab 的符号引擎没有智能到这一步，自动完成这么多有规律的变量代换。不过，你的第一步变量替换得到的积分式子，matlab就可以计算了：syms x
I = 2*int(x*sqrt(x^2+x+1))复制代码I =
((8*x^2 + 2*x + 5)*(x^2 + x + 1)^(1/2))/12 - (3*log(x + (x^2 + x + 1)^(1/2) + 1/2))/8
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user0309 发表于
对你截图的文献比较感兴趣，能否告知文献名？
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winner245 发表于
对你截图的文献比较感兴趣，能否告知文献名？
这个不是文献，是WolframAlpha生成的图片。链接打开后点击Step-by-step solution就出来了(好像需要登录)
wolframalpha.com/input/?i=int+sqrt%28x%2Bsqrt%28x%29%2B1%29+
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user0309 发表于
这个不是文献，是WolframAlpha生成的图片。链接打开后点击Step-by-step solution就出来了(好像需要登录)
这也说明 Mathematica 计算这个积分是完全没问题的。
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这也说明 Mathematica 计算这个积分是完全没问题的。
求解一个积分
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MATLAB中文论坛微社区第六章 定积分 (2)_伤城文章网
第六章 定积分 (2)
第六章 定积分积分学不定积分定积分第一节定积分的概念一、定积分的实际背景二、 定积分的概念三、 定积分的几何意义 四、 定积分的性质引言在生产实践中，经常会遇到这样的问题： 如，为了确定草场的畜牧量，需要先估算草场的面 积，那么不规则图形的草场面积该如何计算呢？ 远在上古时代，伟大的数学家阿基米德曾用 “穷竭法”成功地计算过圆等图形的面积，经过漫 长岁月演变，“穷竭法”已成为今天用定义更为普 通的概念――定积分的指导思想。在自然科学和社 会实践中，有许多实际问题最后都可以用定积分的 思想解决。下面向大家介绍定积分的概念及性质。 疑问：定积分到底解决一个什么问题？一、定积分实际背景矩形面积 ? a hha ahy ? f (x)h 梯形面积 ? (a ? b) 21. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线by ? f ( x) ( f ( x) ? 0)以及两直线 x ? a , x ? b 及 x 轴， 所围成 , 求其面积 A .A??会求梯形的面积， 曲边梯形的面积怎样求？若 会，则可求出各平面图形的面积。 考虑如下曲边梯形面积的求法。yy ? f ( x)A??oa b x2/29思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。用矩形面积近似曲边梯形面积：yyoa（四个小矩形）bx oa（九个小矩形）bx一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲 边梯形面积．3/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．4/29解决步骤 : 在区间 [a , b] 中任意插入 n C1 个分点 1) 分割.a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 用直线 x ? xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似代替. 在第i 个窄曲边梯形上任取? i ? [ xi ?1 , xi ] y 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底 , f (? i ) 为高的小矩形, 并以此小y ? f (x)矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积 ?Ai , 得?Ai ? f (? i )?xi?i (?xi ? xi ? xi ?1 , i ? 1, 2 ,?, n ) )o a x1xi ?1 xi b x3) 求近似和. 将所有小矩形面积全部加起来，即A ? ? ?A i ? ? f (? i )?xi? f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? ? ? f (?i )?xi ? ? ? f (?n )?xni ?1 i ?1nn4) 取极限. 当分割无限加细，即令 ? ? max{?xi }, 1? i ? n y ? 称为最大小区间长y ? f (x)则曲边梯形面积A ? lim ? ?Ai? ?0 i ?1n? lim ? f (? i )?xi? ?0 i ?1no a x1xi ?1 xi b x?i2. 变速直线运动的路程且 v(t ) ? 0 ,求在运动时间内物体所经过的路程 s.v1 v2设某物体作变速直线运动, 已知 v ? v(t ) 是[T1 , T2 ]上连续函数,v3 vi解决步骤: 1) 分割.。vn tn?1tT2 ? tnT1 ? t0t1t2ti ?1 ?i ti在 [T1 , T2 ] 中任意插入n ? 1个分点, 将它分成n 个小段 [ t i ?1 , t i ] (i ? 1, 2 ,?, n) , 在每个小段上物体经 过的路程为 ? s i (i ? 1, 2 ,?, n)部分路程值2) 近似代替. 任取 ? i ? [t i ?1 , t i ] , 以v(? i ) 代替变速 , 得? si ? v(? i )?t i(i ? 1, 2,?, n)3) 近似和. n s ? ? v (? i ) ? t ii ?14) 取极限 .n ? f (? 1))?t1 ?(? (? maxt2?? }) ? v(?n )?tn v ? 2 ) ?{ x ? A ? lim ? v(? ?x ? ?0 i ?1 i i1? i ? nis ? lim ? v(? i ) ? t i? ?0 i ?1n(? ? max{?ti })1? i ? n上述两个问题的共性: ? 解决问题的方法步骤相同 :D分割 , 近似代替 ,求和 , 取极限 ”? 所求量极限结构式相同: 特定乘积和式的极限二、定积分的概念 ( P68 ) 设函数 y ? f ( x) 在[a, b]上有定义, 任取分点a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b ,分[a, b]为n个小区间[ xi ?1 , xi ] (i ? 1,2,?, n), 令 ? ? max{?xi }1? i ? n再在每个小区间 [ xi ?1 , xi ]上任取一点?i 作乘积 f (?i )?xi 的和式：no a x1?i xi ?1 xi b x? f (? i )?xi 如果 ? ? 0 时上述极限存在， 则称此极限值为 i ?1 ? f (?1()这个极限值与[?,?的分割及点?i的取法均无关 ?x1 ? f (?2 a?b]上的定积分，记为? b f ?n )?xn ) , x2 a b] ? f (?i )?xi ? ? f ( ( x) d x 函数 f x) 在区间[ ?即?a f ( x) d x ? ?lim0 i? f (? i ) ?xi ? ?1bna特定乘积和式的极限积分上限?a积分下限[a , b] 称为积分区间 n bf ( x) d x ? lim ? f (? i ) ? xi? ?0 i ?1被 积 函 数被 积 表 达 式n积 分 变 量积 分 和两个实际问题的积分表示为: a 到 b 的定积分. ?a f ( x )dx 读作 f (x) 从b 曲边梯形面积 A ? lim ? f (? i )?xi ? ?a f ( x) d x ? ?0T 变速运动路程 s ? lim ? v(? i ) ? t i ? ?T v(t ) dt ? ?02bi ?1 ni ?11关于定积分的说明:1.定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即b b ? f ( x) d x ? ? a f (t ) d t ? ? a f (u ) d u b a2.定义中曾要求积分限a&b,我们补充规定:当a ? b 时 ? f ( x) dx ? ? ? f ( x) dxb a a b? f ( x ) dx ? 0a a3.可积的充分条件: (1) 函数 f ( x) 在 [a, b]上连续f ( x) 在 [a, b]可积 .(2) 函数 f ( x) 在[a, b]上有界, 且只有有限个间断点f ( x) 在 [a, b]可积 .思考下列问题,并给出结果.(1)(2)?? f ( x)dx??? f (x)?f ( x)为已知函数.f ( x)为已知函数, a, b为常数??b af ( x)dx? ? 0三 定积分的几何意义:f ( x) ? 0 , f ( x) ? 0 ,? a f ( x ) dx ? A ? a f ( x ) dx ? ? AyA3 A2bb曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值y ? f (x)A1 abA5 A4b x?a f ( x) d x ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5各部分面积的代数和例1：利用定积分的几何意义 ,推证下列积分值.(1) ? xdx ? 0 y y?x1 ?1?11 2 (2) ? R ? x dx ? ?R 2 y 2 2R ?R 2 2y? R ?xo2π 01x?RORx(3) ? sin xdx ? 0 y y ? sin x 1O ?1(4) ? x dx ?11 ?1yy? x?2?x?1o1x四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)性质1b a两个函数代数和的积分等于这两个函数积分的代数和，即b b [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? a f ( x) dx ? ? a g ( x) dx ?yy ? f (x)y ? g (x)h( x ) ? f ( x ) ? g ( x )oabx（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2b a被积式中的常数因子可以提到积分号前面b k f ( x) dx ? k ? a f ( x) dx ( k 为常数) ?ykf (a)y ? kf (x) y ? f (x)?b akf ( x)dxf (a )?abb af ( x)dxox性质3 (积分区间可加性)b c 若a ? c ? b时 ? a f ( x) dx ? ? a f ( x) dx ? ? cb f ( x) dxy?c af ( x)dxy ? f (x)?b cf ( x)dxoacbx当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 则有c ba ? b ? c,acbc? a f ( x ) dx ? ? a f ( x ) dx ? ? b f ( x ) dx?? a f ( x ) dx ? ? a f ( x ) dx ? ?b f ( x ) dx? ? f ( x ) dx ? ? f ( x ) dxa c c bb c c bbcc由定义说明（） f ( x) dx ? ? ? f ( x) dx 2 ?性质4. 若在 [a, b] 上 f ( x) ? 0 , 则? a f ( x ) dx ? 0 .b性质4?. 在[a, b]上若f ( x) ? g ( x), 则? b f ( x)dx ? ? b g ( x)dx. a ayy ? f (x)y ? g (x)oabx性质5 (积分估值性质) 设 M ? max f ( x) , m ? min f ( x) , 则[ a , b] [ a , b]m(b ? a) ? ? f ( x) dx ? M (b ? a)ab( a ? b)证 因为m ? f ( x) ? M 已知,由性质4得? mdx ? ? f ( x)dx ? ? Mdxb a b a b ab 将常数因子提出 利用? a dx ? b ? a 即可得证 y b b 性质2? 1 a k f ( x) dx ? k ? a f ( x) dx y ?1oabx性质5 (积分估值性质) 设 M ? max f ( x) , m ? min f ( x) , 则[ a , b] [ a , b]m(b ? a) ? ? f ( x) dx ? M (b ? a)ab( a ? b)B y = f (x)该性质的几何解释是： 曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上 的曲边梯形面积 介于与区 间[a, b] 长度为底， 分别 以 m 和 M 为高的两个矩 形面积之间.y M A mOabx例2. 试估计 ? e1 ?1? x2dx . 的值.? x2证: 设 f (x) ? e求在 ?? 1,1? 上 的最大值和最小值.因为f ?(x) ? ? 2 xe? x2令f ?( x) ? 0, 得驻点 x ? 01 f (?1) ? f (1) ? e ? e?1比较在驻点及区间端点处的函数值f ( x) ? e ? 1,0故1 M ? 1, m ? e22 1 ?x ? ??1 e dx ? 2 即 e b 由性质5 得 m(b ? a) ? ? a f ( x) dx ? M (b ? a)性质6. 积分中值定理如果 f ( x)在[a , b]上连续, 则至少存在一点 ? ?[a , b] , 使?a f ( x) dx ? f (? )(b ? a)证: 设 f ( x) 在[a, b]上的最小值与最大值分 别为 m, M , 则由性质5 可得b1 b m? ? a f ( x ) dx ? M b?a 根据闭区间上连续函数介值定理, 在[a , b]上至少存在一 b 由性质 点 ? ?[a , b] , 使5 得 m(b ? a) ? ? a f ( x) dx ? M (b ? a) 1 b f ( ?) ? ? ? ? a f ( x ) dx b?a 因此定理成立.说明:? 积分中值定理对 a ? b 或 a ? b 都成立. ? 可把? f ( x ) dxb ay ? f (x)b?a? f ( ?)y理解为 f ( x) 在[a, b] 上的平均值 . 因? f ( x ) dxb ao a ?b xb?an 1 b?a 1n ? lim ? f (?i ) ? ? lim ? f (?i ) n?? n i ?1 b ? a n?? i ?1 n故它是有限个数的平均值概念的推广.曲线y ? f ( x)在[a, b]上的平均高度.小结? 两个实例 ? ? ? 变速直线运动的路程 1.定积分的概念 ? ? 定积分的定义2.定积分的几何意义 3.定积分的性质曲边梯形的面积曲边梯形的面积的代数和性质 f ( x? g ? ( d f 性质 ( ( ) ) ? ) ( f d( )) x ?( xf d ) a) b ? 性质3 1? 5f[mxb dxa? ?x)]f xx?d?x? ?M)((x? d?x g ( x) dxbb ? aa b 性质６ a c b a? ab ab cb ab 性质2 ? ak b](积分中值定理x) d则? b f ( x)dx ? ? b g ( x)dx. f 上若f ?xk ?? fg(( x), x x ) dx ( ) a 性质4. 在[ , a a１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：分割求和 取极限化整为零求近似：以直（不变）代曲（变）积零为整取极限精确值――定积分3．典型问题:(１) 估计积分值； (２)（不计算）比较积分大小．27/29思考题f ( x) ≤ g ( x) 1.若当 a≤x≤b,有 问下面两个式子是否均成立，为什么？b b (1) ? a f ( x)dx ? ? a g ( x)dx(2) ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx (3) ? f ( x)dx ? ? g ( x)dxb a性质4?. 在[a, b]上若f ( x) ? g ( x), 则? b f ( x)dx ? ? b g ( x)dx. a a作业P72习题4.21. 2.
第二节微积分的基本公式一、引例 二、变上限的定积分 三、牛顿 C 莱布尼兹公式一、引例在变速直线运动中, 已知位置函数 s (t ) 与速度函数 v(t ) 之间有关系:s?(t ) ? v(t )物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程为?TT21v(t ) d t ? s (T2 ) ? s (T1 )这里 s(t ) 是 v(t )的原函数 .这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .二、变上限的定积分 设函数 f (x) 在[a,b]上连续，于是定积分? f ( x)dx 是一个定数，这种写法有一个不方便之处，x a既表示积分上限，又表示积分变量. x 我们把积分变量改写成 t ，于是这个积分就写成了 a f (t )dt ?b b b 当 x 在［a,b]上变动时，对应于每一个 x 值，积分 ?a f ( x) d x ? ?a f (t ) d t ? ?a f (u ) d u x f (t )dt 就有一个确定的值，因此 ? ax f (t )dt 是变上限 x ?a就是x的一个函数，记作 Φ (x)其中Φ(x) ? ? f (t )dtx a( a ? x ? b)Φ (x) 称为变上限积分函数或变上限积分二、积分上限的函数及其导数 ,则变上限函数可导 定理1. 若 f ( x)在[a , b]上连续 y ? f (x) d x 且 其导数是 ??( x) ? ? a f (t ) d t ? f ( x) y dx ?(x) 则?( x)是 f ( x) 在[a , b] 上的一个原函数. o a x ? b x 证: 任意x , x ? h ? [a , b] , 则有 x?h x ? ( x ? h) ? ? ( x ) 1 x ? h ? ?? f (t ) d t ? ? f (t ) d t ? a h h a 1 x?h ? ? f (t ) d t ? f (? ) ( x ? ? ? x ? h) h x ? f ( x)在[a , b]上连续 ? ( x ? h) ? ? ( x ) ?(x) ? lim ? lim f (? ) ? f (x) ?? h?0 h ?0 h说明1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 . d b 2) 变限积分求导: ? x f (t ) d t ? ? f (x) dx d ?( x ) ? a f (t ) d t ? f [?( x)]??( x) dx? d ? a d ?( x ) ?( x ) ? ? ( x ) f (t ) d t ? ? ? ? ( x ) f (t ) d t ? ? a f (t ) d t ? dx ? dx ?? f [?( x)]??( x) ? f [?( x)]??( x)π 例 1 计算Φ (x ) = ? sin t dt 在 x =0 , 处的导数. 0 2 d x 解 因为 ? sin t 2 dt = sin x 2 ,故x 2π π 2 Φ?(0) ? sin 0 ? 0 Φ?( ) ? sin ? 2 4 2 例 2 求下列函数的导数： d ?( x ) e ln t ? a f (t ) d t ? f [?( x)] ??( x) (1) Φ( x) ? ? a dt (a ? 0) dx t 解 这里 Φ (x) 是 x 的复合函数，其中中间变量2xdx0u ? ex所以按复合函数求导法则，有.dΦ d u ln t d(e x ) ln e x x ? ( ? a dt ) ? x e ?x dx du t dx esin ? (2) Φ( x) ? ? d?( x ? 0) ?1 x2解dΦ d x sin ? ? ? ?1 d? dx dx ? sin ? 2 ?? ( x )? ?? x ?2 2sin x 2 sin x ? ? 2 ? 2x ? ? x xd ?( x ) ? a f (t ) d t ? f [?( x)] ??( x) dx三、牛顿 C 莱布尼兹公式定理2. 设 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在 [a, b] 上的一个原函数 , 则?a f ( x) dx ? F (b) ? F (a)xb( 牛顿 - 莱布尼兹公式)再令 x ? b , 得b?a f ( x) dx 是 f ( x) 的一个原函数 , 故 x F ( x ) ? ? f ( x ) dx ? C a x 令 x ? a , 得 C ? F (a) , 因此 ? f ( x) dx ? F ( x) ? F (a) a证: 根据定理 1,?a f ( x) dx ? F (b) ? F (a)记作b ?F (x)? a ? F (x) b a?a f ( x) dx ? F (b) ? F (a)注意：b记作b ?F (x)? a ? F (x) b a也就是说，求定积分的值就是先求出被积函数的一个原 函数，然后计算原函数在[a,b]内的增量即可。 牛顿莱布尼茨公式的条件：函数连续，或者有有限个第一 类间断点。1 如： ? dx ? ln x ? C x但是1 ??1 xdx1不能用公式。例3(1) ?求定积分：2 1x dx?x1 2 22dx (2) ? ?1 1 ? x 213 2(3)?1 3(x-1)dx解(1)dx ? x317 ? 31 ?1dx (2) ? ? arctan x ?1 1 ? x 21??? (? ) ? 4 4 23??(x-1)dx ? ? (1-x)dx ? x ? 1 x 2 ? ? (3 ? 9 ) ? (1 ? 1 ) ?? ?3 1 2 ?1 2 2 ? ? ?1 1 ? 练习 (4) ? sinxdx (5) ? dx ?2 x 0 (3)1 3例4求定积分： 2 2 dx 1 2 (2) ? 13 (1) ?1 ( x ? ) dx x(1 ? x) 2 x 2 1 1 2 2 2 (1) ?1 ( x ? ) dx ? ?1 ( x ? 2 ? )dx 解x x2(3) ?1 ?1x dx2x ? 2x ? 1) ? 4 5 ?( 3 x 1 6 2 2 1 dx 1 (2) ?13 ? ?13 dx x(1 ? x) 2 1 ? x x 2 2 1 ? 2? 13 d( x ) 2 2 1 ? ( x) 2 2 1 3 ? 2 arcsin x 1 ? 2(arcsin ? arcsin ) ? 0. 232(3)x 2 ? x 在 [?1,1] 上写成分段函数的形式?? x, ? 1 ? x ? 0, f ( x) ? ? ? x, 0 ? x ? 1 ,1 0 1 于是 ? ?1 x 2 dx ? ? ?1 (? x)dx ? ? 0 xdxx2 0 x2 1 ?? ? ?1 2 ?1 2 0若不分段,则有以下错误?1 ?1x2 1 1 2 x dx ? ??1 xdx ? ?1 ? 0 2分析： ( x)在（-1，0）连续，在（0，1）也连续，只考虑0这一点是否连续。 f? e , x ? 0, (4) f ( x) ? ? ? 2 ? x, x ? 0 ,xx求?1?1f ( x)dx解：lim e ? 1 ? lim(2 ? x) ? 2 X=0 是第一类间断点。 ? ?x?0 x?0?1?1f ( x)dx ? ? e dx ? ? (2 ? x)dxx ?1 0x 0 ?101?e1 1 2? ? ?1 ? ?2 x ? x ? ? 1 ? e ? 2 ? 2 ?0 2 ?1练习：?302 ? x dx? 例 5 计算 limx?0cos x1e dt2?t 20 型未 0 cos x ?t 2 定式,可以用洛必达法则来求.这里 ? e dt 是 x 的复 1 d ?( x ) 合函数,其中 u ? cos x ,所以 ? a f (t ) d t ? f [?( x)] ??( x) dx解因为 x ? 0 时, cos x ? 1,故本题属x.d cos x ?t ?cos x ?cos (cos x)&#39; ? ? sin xe ?1 e dt ? e dx2 22x于是有limx ?0?cos x 1e dt2?t 2x? sin x ? e ? lim x ?0 2x1 ?1 1 ?? e ?? 2 2e?cos 2 x? sin x ?cos ? lim e x ?0 2x2x例6. 计算 ? ?13dx . 2 1? x 3 3 dx ? arctan x ? arctan 3 ? arctan(?1) 解: ? ?1 2 ?1 1? x 7 ? ? ? ? (? ) ? ? 12 3 4例7.计算正弦曲线 y ? sin x 在 [0, ?] 上与x 轴所围成的面积 .解: A ? ? sin x dx ? ? ?[?1? 1] ? 2 ? ? cos x 0? 0yy ? sin xo? x内容小结1. 微积分基本公式设 f ( x)在[a, b]上连续, 且 F ?( x) ? f ( x) , 则有?a f ( x) d x ? f (? )(b ? a) ? F ?(? )(b ? a) ? F (b) ? F (a)积分中值定理 微分中值定理b牛顿 C 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 d ?( x) ? ? ax f (t ) d t ? f (x) ? dx练习题 2 1 2 1. 设 f ( x) ? x ? x ? f ( x) d x ? 2? f ( x) d x , 求 f (x).0 0解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设?01f ( x) d x ? a ,?02f ( x) d x ? b , 则f ( x) ? x 2 ? bx ? 2ax 3 bx 2 1 ? 1 ? b ? 2a a ? ? f ( x) d x ? ? ? ? 2ax ? 0 0 3 2 3 2 2 x 3 bx 2 2 ? 8 ? 2b ? 4a b ? ? f ( x) d x ? ? ? ? 2ax ? 0 0 3 3 2 1 4 2 2 4 a? , b? f ( x) ? x ? x ? 3 3 3 31
第三节 定积分的积分方法一、定积分的换元积分法dx 例 1 求? . 01? x dx 令 x ? t 2tdt 解一 ? ? 1? t 1? x4? 2? (1 ?1 )dt ? 2(t ? ln 1 ? t ) ? C 1? t回代 2[ x ? ln 1 ? x ] ? C4 dx ?0 1 ? x ? 2[ x ? ln(1 ? x )] 0 ? 4 ? 2 ln 3 4上述方法，要求求得的不定积分、变量必须还原， 但是，在计算定积分时，这一步实际上可以省去 这只要将原来变量 x 的上、下限按照所用的代换式 x ? ?(t ) 换成新变量 t 的相应上、下限即可. 解二 设 x ? t ，即 x ? t 2 (t ? 0) 当 x ? 0 时, t ? 0 当 x ? 4 时，t ? 2 1 2 2t 2 4 dx dt ? 2?0 (1 ? )dt ? ?0 ?0 1? t 1? t 1? x 2 ? 2(t ? ln(1 ? t )) 0 ? 2(2 ? ln 3)解二要比解一来得简单一些，因为它省掉了变量 回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简单的. 以后在定积分使用换元法时，就按照这种 换元同时变换上下限的方法来作.一般地，定积分换元法可叙述如下：设 f (x) 在[a, b] 上连续,而 x ? ? (x ) 满足下列条件： （1） x ? ? (t ) 在[? , ? ] 上有连续导数； （2）? (? ) ? a, ? ( ? ) ? b ,且当 t 在[? , ? ] 上变化 时, x ? ? (t ) 的值在[a, b] 上变化，则有换元公式：?a f ( x)dx ???b?f [ ? (t )] ??(t ) d t?a f ( x)dx ???说明:b?f [ ? (t )]? ?(t ) d t1) 当? & ? , 即区间换为[ ? ,? ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即??? ?f [? (t ) ]? ?(t ) d t ? ? f ( x) d x (令 x ? ? (t ) )ab或凑微分 ? f [? (t ) ]? ?(t ) d t ? ? f [ ? (t ) ] d ? (t )???凑微分不换限4)要求函数在区间[a,b]上单值，有连续导数。例11 ? x dx 求? . 0 1? 1? x3解 设 1 ? x ? t ，即 x ? t ? 1(t ? 0), dx ? 2tdt 当 x ? 0 时, t ? 1 当 x ? 3 时，t ? 221 ? xdx ?0 1 ? 1 ? x ?3?212 t ? 2t 1 dt ? 2? (t ? 1 ? )dt 1 1? t 1? tt2 ? 2( ? t ? ln(1 ? t )) 22 13 ? 1 ? 2ln 2例2解ln 2 求 ?0xe x ? 1dx .2设 e ?1 ? t ，即 x ? ln(t ? 1), dx ?2t t ?12dt .换积分限：当 x ? 0 时，t ? 0 , 当 x ? ln 2 时，t ? 1,于是ln 2 ?0e ? 1dx ?x2t 1 ?0 t ? 2dt t ?11 1 ? 2? 0 (1 ? 2)dt t ?1? 2(t ? arctan t ) 1 0π ? 2? 2例3解2a 求 ?ax2 ? a2 x4dx .设 x ? a sec t ，则 dx ? a sec t tan tdt .π 换积分限:当 x ? a 时， t ? 0 ; x ? 2 a 时， t ? ,于是 3 π 2a x2 ? a2 a tan t 3 ?a x 4 dx ? ?0 a 4 sec 4 t a sec t tan tdt??? 3 01 asin 2 t cos tdt 21 π 2 ? 2 ? 3 sin td(sin t ) a 0 3 π 1 sin t 3 3 ? 2 ? 3 0 8a 2 a例５. 计算 解: 令a ?0a 2 ? x 2 dx ( a ? 0).x ? a sin t , 则 dx ? a cos t d t , 且?2当 x ? 0 时, t ? 0 ;2 ∴ 原式 = ax ? a 时, t ? ? . 2?0ycos 2 t d ty ? a2 ? x2a2 ? 2 ? ? 0 (1 ? cos 2 t ) d t 2? a2 1 ? a2 ? ( t ? sin 2t ) 2 ? 2 2 4 0oa x练习：?204 ? x 2 dx .例６. 计算4 ?0x?2 dx . 2x ?1t 2 ?1 x? , dx ? t d t , 2 x ? 4 时, t ? 3 .解: 令 t ? 2 x ? 1 , 则且当 x ? 0 时, t ? 1;∴ 原式 =t 2 ?1 ? 2 3 2 t dt ?1t1 3 ? ?1 (t 2 ? 3) d t 2 1 1 3 ? ( t ? 3t ) 2 33 1?22 3例７. 设 f ( x)在对称区间[?a , a]上连续,则??aa f ( x) dx ? 2? 0a f ( x) dx (1) 若 f (? x) ? f ( x) ,(2) 若f (? x) ? ? f ( x) ,则??a f ( x ) dx ? 0a偶倍奇零a 0 a 证: ??a f ( x) dx ? ??a f ( x) dx ? ? 0 f ( x) dx? ? 0a f ( x) dx ? ? f (?t ) d ta 0令 x ? ?t? ? 0a[ f (? x) ? f ( x) ] dx?2? 0a f ( x) dx ,f ( ? x ) ? f ( x )时 f ( ? x ) ? ? f ( x )时0,该题几何意义是很明显的，如图所示:y?ayOa x-aOax例 8 求下列积分。 2 2 5 1 sin x ? (arctan x ) 3 sin x ? x dx .（2） ? dx （1） ? 2 2 4 ?1 ? 3 1? x ? x 1? x1 解： (1) sin x ? (arctan x) dx ? ??1 1 ? x2 21 ? arctan x ? sin x ? ?1 1 ? x 2 dx ? ? ?1 1 ? x 2 dx 2 1? 0 ? 2 ? ? arctan x ? darctanx1 2 0(2) ?3 ?sin 2 x ? x5 dx ? 0 2 4 3 1? x ? x2 2?? ? 3 1 ? ? arctan x ? 0 ? ? ? 3 3? 4 ?3n n ? （2） I n ? ? sin xdx ? ? cos xdx n ? N .注意：积分区间一定只能是 ?0, ? ? ? 2? ? ? ?1 ? 3 ? 5 ??????( n ? 1) ?π 2 0π 2 0特例：I1＝1（n=1）,I0 ? (n ? 0)如：? 2 ? 4 ? 6 ??????n ? 2 ????( n ? 正偶数 ) ? In ? ? . ? 2 ? 4 ? 6 ??????( n ? 1) ????( n ? 大于1的奇数 ) ? 1 ? 3 ? 5 ??????n ? ???2 01? ? cos tdt ? ? 22 422??2?cos5 xdx ? 2 ? 2 cos5 xdx ? 2 ?2 0???2?4 3?52?sin 5 tdt ? 0 ?2??2?sin 8 tdt ? 2 ? 2 sin 8 tdt ? 2 ?2 0?1? 3 ? 5 ? 7 ? 2 ? 4 ? 6 ?8 2思考题1.定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？2.下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结 果：（1） ?π 2 π ? 2cos x ? cos 3 xdx ? ? (cos x ) sin xdx? ? ? (cos x ) d(cos x )2 ? ? cos 2 x 2 π ? 0 . ? 3 23 ππ 2 π ? 2 π 2 π ? 21 21 2作业：P89 4
第四节 广义积分常义积分推广积分限有限 被积函数有界广义积分 (或称反常积分)一、无穷区间上的广义积分二、无界函数的广义积分一、无穷区间上的广义积分1 引例. 曲线 y ? 2 和直线 x ? 1 及 x 轴所围成的开口曲 x 边梯形的面积 可记作 ? ? dx A?? 1 1 x2 y? 2 x 其含义可理解为 b A b dx ??1? A ? lim ? 2 ? lim ? ? 1 b b ? ? ?? x ?1 b ? ?10 1 x ? 1 1 10 9 b ? 10???, s ? ? 2 dx ? ? 1 ? 1 x 100 1 ? 1 ? 1 ? x 1 10 99 ? ???, s ? b ? 100lim ? ? ?2? 1 ? ? 100 ? dx 1 b ? ? ?? 1 b x ? x 100定义1. 设 f ( x)在[a , ? ?)上连续, 取 b ? a , 若?a f ( x) dx b? ? ?lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷区间上广义积分,记作b?a??f ( x) dx ? lim???a f ( x) dx b? ? ?b这时称广义积分 ? 就称广义积分 ?ba ??f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,af ( x) dx 发散 .b类似地 , 若 f ( x)在 (?? , b]上连续, 则定义??? f ( x) dx ? alim? ?a f ( x) dx ??若 f ( x)在 (?? , ? ?)上连续, 则定义lim ??? f ( x) dx ?alim? ?a f ( x) dx ? b? ?? ?c f ( x) dx ??( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称??cb??? f ( x) dx 发散 .??无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.说明: 上述定义中若出现 ? ? ? , 并非不定型 ,它表明该广义积分发散 .若 F ( x) 是 f ( x)的原函数 , 引入记号F (??) ? lim F ( x) ;x? ??F (??) ? lim F ( x)x ? ??则有类似牛顿 C 莱布尼兹公式的计算表达式 :?a???? f ( x) dx ? F (x) ? F (??) ? F (a) ab ??? f ( x) dx ? F (x) ? ? ? F (b) ? F (??) ?? ?? ??? f ( x) dx ? F (x) ? ? ? F (??) ? F (??)b例1求 1 ?? 1 dx ? ln x 解 ? 1 x???1 dx . x b1? lim ln b ? ln1 ? lim ln xb??b??????? lim ln xb?????极限不存在，所以广义积分发散。例 2 讨论 ? sin xdx 的敛散性. 0 ?? dx ?? ?? ? ? sin xdx ? ? cos x ? ? lim cos x ? cos 0 解 ? 2 0 x??? 0 x ln x ? ?(cos(??) ? 1) ???? lim cos x 摆动不存在，所以广义积分发散.??x???例 3 求 ?0 e dx .解???x???0e dx ? lim ? e dx ? lim ( ?e?x ?x b??? 0 b???b?x b 0)? lim (?e?b ? 1) ? 1b???例 4 讨论 ?解??2dx 的敛散性. x ln x???2? ? d (ln x ) ?? dx ?? ? ln ln x 2 x ln x ln x 21 ? du ? ln u ? C u u ? ln x? ln[ln( ??)] ? ln ln 2 ? ??所以???2dx x ln x发散.例5求解?0 ??xe dx ? ? xde ? xex x ???0 ??xe x d x .0 x 0 ??? ? e x dx??0? 0 ? lim xe ? e ?? x??? x ? ? lim ? x ? (1 ? lim e x ) x??? e x??? 1 ? ? lim ? x ? 1 ? 0 ? ?0 ? 1 ? 0 ? ?1 x??? ?e 0 dx 例 6 求? . 2 ?? 1 ? xxx 0解??? 20 dx dx 0 ?? ? arctan x ?? ?? 1 ? x 2 x ln x ? ? ? 0 ? lim arctan x ? ?(? ) ? x??? 2 2dx 例7. 计算广义积分 ? . 2 ?? 1 ? x ?? ? ? dx 解: ? ? [ arctan x ] ?? 2 ?? 1 ? x ? ? ? ? (? ) ? ? 2 2 ? ? x dx ? 0 对吗 ? 思考: ??? 1 ? x2x dx d(1 ? x ) 1 分析:? ?? ? ln(1 ? x 2 ) ?? 1 ? x 2 ?? 1 ? x 2 2?? ?? 2 ?? ????yy?1 1? x 2ox原积分发散 !注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 D偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例8. 计算广义积分?0??te? ptd t ( p ? 0) .t ? p t ? ? 1 ?? ? p t 解: 原式 ? ? e ? ? e dt p 0 p 0 b b b ?a udv ? (uv) a ? ?a vdu 1 ? pt ? ? 1 ?? 2e ? 2 p p 0令u ? t , dv ? e? pt dt 1 ? pt 则du ? dt, v ? ? e p练习： e ?0+?? xdx例9. 证明第一类 p 积分时发散 .?a??dx 当 p &1 时收敛 ; p≤1 p x??证:当 p =1 时有 ?1 ? ? dx ?? ?a x ? ? ln x ? a ? ?? 当 p ≠ 1 时有 ??, ?? 1? p ? ? dx ? 1? p ? x ? ?a x p ? ? 1 ? p ? a ? ? a ? ? ? p ?1,1???dx 1 ? ?1 2 x 2 ?1dx ????发散 xp ?1 p ?1a 1? 因此, 当 p &1 时, 广义积分收敛 , 其值为 p ?1 当 p≤1 时, 广义积分发散 .二、无界函数的广义积分1 引例:曲线 y ? 与 x 轴, y 轴和直线 x ? 1 所围成的 x y 开口曲边梯形的面积可记作 1 dx 1 A?? y? 0 x x 其含义可理解为 A 1 dx 1 A ? lim ? ? lim 2 x ? ? ? x ? ? 0? ??0 x 0? ? lim 2(1 ? ? ) ? 2? ? 0?定义2. 设 f ( x)在 (a , b]上连续,而在点 a 的右邻域内无界,取 ? ? 0 , 若极限 lim? ?? ?0bba ??f ( x)dx 存在 , 则称此极限为函b数 f (x) 在 (a , b] 上的广义积分, 记作?a f ( x) dx ? ?lim? ?a ?? f ( x) dx ?0这时称广义积分 ? f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,a b就称广义积分 ? f ( x) dx 发散 .ab类似地 , 若 f ( x)在[a , b)上连续, 而在 b 的左邻域内无界, 则定义?a f ( x) dx ? ?lim? ?a ?0bb ??f ( x ) dx若 f ( x) 在 [a, b]上除点c (a ? c ? b) 外连续, 而在点 c 的邻域内无界 , 则定义?a f ( x) dx ? ?a f ( x) dx ? ?c f ( x) dx c ?? b ? lim ? f ( x) dx ? lim ? ? ?0 a ? ? 0 c ??1 ? ? 1 2bcbf ( x ) dx2无界函数的积分又称作第二类广义积分 (瑕积分), 无界点常称 为瑕点(奇点) . 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分.1 x2 ?1 dx ? ? ( x ? 1) dx 例如, ? ?1 ?1 x ? 11设 F ( x) 是 f ( x)的原函数 , 则也有类似牛 C 莱公式的的计算表达式 :若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则?a ?abf ( x) dx ? F (b ? ) ? F (a) f ( x) dx ? F (b) ? F (a ? )b若 a , b 都为瑕点, 则?a ?abbf ( x) dx ? F (b ? ) ? F (a ? )注意: 若瑕点 c ? (a , b) , 则f ( x) dx ? F (b) ? F (c ? ) ? F (c ? ) ? F (a)可相消吗?例6 解求积分 ? ln xdx? ln xdx 这里下限1 01 0x ? 0 是被积函数的瑕点1 1于是?1 0ln xdx ? lim ? ln xdx ? lim( x ln x ? ? dx) ? ?? ?0 ? ? ?0 ? ?1注? lim(?? ln ? ? 1 ? ? ) ? ?1 ? ?0? 1 ln ? lim ? ln ? ? lim ? lim ? ? 0 ? ?0? ? ?0? 1 ? ?0? 1 ? 2 ? ?例7. 计算广义积分 ?0adxa2 ? x2 解: 显然瑕点为 a , 所以 x ? a? ? ? arcsin ? arcsin1 ? 原式 ? ? a? 0 ? ? 2例8. 讨论广义积分 ??11(a ? 0) .dx2x 0? 1 dx 0 dx 1 下述解法是否正确: dx ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 解: ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?1 x ?1 x 0x x ? ?1 ? x ? 0? ? ? ? ? 1 1 dx ? ? 2 ? ?1 ?d1 ? ? ?1 ? 1 ? ?2 , ∴积分收敛 ?1 x ? x ? ?1 ? x ?发散 . 所以广义积分 ? ?1 x 2的收敛性 .dx 练习 讨论 ? 2 的收敛性 ( x ? 1) 解 在[0,2] 内部有被积函数的瑕点 x ? 1 1 所以有 ? 02 dx 2 ? ? 0 dx 2 ? ?12 dx 2 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)2 02 dx dx （让瑕点在小区间端点处） ? lim? ? ? lim? ? 2 2 0 1?? 2 ( x ?1) ?1 ?0 ? 2 ?0 ( x ? 1) 2 1 1 ? ?1 1 ? lim? (? ) ? lim? (? ) ?1 ?0 x ? 1 0 ? 2 ?0 x ?1 1 ? ?2 1 1 ? lim? (?1 ? ) ? lim? ( ? 1) ?1 ?0 ?1 ? 2 ?0 ? 2 1??1所以dx ?0 ( x ? 1) 22发散.dx 例9 讨论 ? q 的敛散性. x 解 x ? 0 是被积函数的瑕点. (1)当q &1时1 0dx 1 1 1 1?q 1 1?q ? 0 xq ? 1 ? q ?lim?( x ? ) ? 1 ? q ?lim?(1 ? ? ) ? 1 ? q ?0 ?01??(收敛)1 dx x1?q 1 1 (2)当q &1时 ?0 q ? lim [ ? lim (1 ? ?1?q ) ? ?? ]? ? ?0 1 ? q 1 ? q ? ?0 x (3)当q =1时1 dx 1 dx ? 0 x ? ?lim? ? ? x ? ?lim(ln x ) ? ? ?lim(? ln ? ) ? ?(发散) ?0 ?0? ?0? 1dx 1 当q≥1时发散 ? q 当q&1时收敛于 x 1? q1 0内容小结1. 广义积分 积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2. 两个重要的广义积分?ab??dx ? p x??, 1 , p ?1 ( p ? 1) ap ?1 p ?1(b ? a) 1? q ??,1? q(a ? 0), q ?1dx b dx ?a ( x ? a) q ? ?a (b ? x) q ?q ?1说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,?01dx 1? x22? ? 2 dt0?(令 x ? sin t）dt ? ?1?1 ? 0 x 4 ? 1 dx ? ?1x1 1 x2 0 x2 ? 1 x21?d( x ? 1 ) x ?20 ( x ? 1)2 xdt 1 ?? (令 t ? x ? ) ?? 2 ? t 2 x (2) 当一题同时含两类广义积分时, 应划分积分区间,0分别讨论每一区间上的广义积分.作业P895定积分及其应用小结一、问题的提出实例1 （求曲边梯形的面积）曲边梯形由连续曲线 y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) 、x 轴与两条直线 x ? a 、yy ? f ( x)A??oa bx ? b 所围成.x二、定积分的定义定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a , b]中任意插入 在若干个分点a ? x ? x ? x ? ?? x0 1 2n ?1? x ?bn把区间[a , b ]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为?x i ? x i ? x i ?1 ，( i ? 1,2,?) ， 在各小区间上任取一点? i （? i ? ?x i ），作乘积 f (? i )?x i ( i ? 1,2,?)并作和 S ? ? f (? i )?x i ，n记? ? max{?x1 , ?x 2 ,? , ?x n }，如果不论对[a , b]i ?1怎样的分法， 也不论在小区间[ xi ?1 , xi ] 上点? i 怎样的取法，只要当? ? 0 时，和 S 总趋于确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分， 记为积分上限积分和?a f ( x )dx ? I ? lim ? f (? i )?xi ? ?0 i ?1bn积分下限被 积 函 数被 积 表 达 式积 分 变 量[a , b] 积分区间注意：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关.?a f ( x )dx ? ?a f ( t )dt ? ?a f ( u)du（2）定义中区间的分法和? i 的取法是任意的.bbb（3）当函数 f ( x ) 在区间 a , b] 上的定积分存在时， [称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.说明:1．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割 化整为零求近似以直（不变）代曲（变）求和取极限积零为整取极限精确值――定积分三、存在定理定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续时，称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，且只有有限个间断点， 则 f ( x ) 在区间[a , b ]上可积.四、定积分的几何意义f ( x ) ? 0, f ( x ) ? 0,?a f ( x )dx ? A ?a f ( x )dx ? ? Abb曲边梯形的面积曲边梯形的面积 的负值A1A3 A2A4?a f ( x )dx ? A1 ? A2 ?bA3 ? A4几何意义：它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x ? a, x ? b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； x 轴下方的面 在 积取负号．????五 定积分的性质规定 (1) 当a=b时， ?a f ( x )dx ? 0. (2) 当a&b时, ? b f ( x )dx ? ? ? a f ( x )dx. a bb性质 1 若f ( x )与g( x )在[a , b]上可积，则f ( x ) ? g( x )在[a , b]上也可积，且? [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dxa a a b b b注. 性质1可推广到有限个，即?a ? f i ( x )dx ? ? ?a f i ( x )dxb i ?1 i ?1b nn性质 2 若f ( x )在[a , b]上可积，k为常数，则kf ( x )在[a , b]上也可积，且? kf ( x )dx ? k ? f ( x )dxa a b b性质 3 (区间可加性) 若f ( x )在点a、b、c所成区间中最大的一个上可积，则f ( x )在其余两个区间上也可 积，且?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c f ( x )dx性质4 若f ( x ) ? 1， f ( x )dx ? dx ? b ? a ? ?a a b bbcb性质 5 若f ( x )和g( x )在[a , b]上都可积，且?x ? [a , b]，均有f ( x ) ? g( x )，则? f ( x )dx ? ? g( x )dxa a b b性质 6 (估值定理)若f ( x )在[a , b]上可积，且?x ? [a , b]，均有m ? f ( x) ? M则 m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a )a b此性质的几何解释:区间[a, b]上方以曲线 y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积,介于以[a,b]为底、 以被积函数?(x)的最小值m及最大值M为高的两个矩形的面积之间.性质 7 (积分中值定理)若f ( x )在[a , b]上连续，在 a , b]上至少存在一点 ，使得 [ ??a f ( x )dx ?bf (? )( b ? a )? ? [a , b ]此性质的几何解释: 区间[a ,b]上方以曲线 y =?(x)为曲边的曲边梯形的面积, 等于以区间[a, b]为底、以?(ξ) 为高的这个矩形的面积.注1 b 通常把 ?a f ( x )dx ? f (? )称为f ( x )在[a, b]上的平均值. b?a变上限定积分如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 x ?a f (t )dt 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形 AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积. 当 x 在 y B 区间 [a, b] 上变化时, y = f (x) 阴影部分的曲边梯形面 C A 积也随之变化，所 以 变 ?(x) 上限定积分 x ? f (t )dt 是上限变量 x 的函数. 记作 ? (x)， 即 x ? ( x ) ? ? f (t )dt (a ≤ x ≤ b).a aOaxbx定理若函数 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则变上限定积分? ( x ) ? ? f (t )dtax并且它的导数等于被积函数， 在区间 [a, b] 上可导， 即?? ?( x ) ? ? ? f ( t )dt ? ? f ( x ).x? ?a? ?推广变限积分求导:d b ? x f (t ) d t ? ? f (x) dxd ?( x ) ? a f (t ) d t ? f [?( x)]??( x) dx ? d ? a d ?( x ) ?( x ) ? ? ( x ) f (t ) d t ? ? ? ? ( x ) f (t ) d t ? ? a f (t ) d t ? dx ? dx ?? f [?( x)]??( x) ? f [?( x)]??( x)微积分的基本公式定理 如果函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数， 那么?baf ( x )dx ? F (b) ? F (a ).无穷区间上的广义积分limb定义1. 设 f ( x)在[a , ? ?)上连续, 取 b ? a , 若?a f ( x) dx b? ? ?存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷区间上广义积分,记作?a??f ( x) dx ? lim???a f ( x) dx b? ? ?b这时称广义积分 ?就称广义积分 ?ba ??f ( x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,af ( x) dx 发散 .b类似地 , 若 f ( x)在 (?? , b]上连续, 则定义??? f ( x) dx ? alim? ?a f ( x) dx ??若 f ( x)在 (?? , ? ?)上连续, 则定义lim ??? f ( x) dx ?alim? ?a f ( x) dx ? b? ?? ?c f ( x) dx ??( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称??cb??? f ( x) dx 发散 .??无穷限的广义积分也称为第一类广义积分.说明: 上述定义中若出现 ? ? ? , 并非不定型 ,它表明该广义积分发散 .若 F ( x) 是 f ( x)的原函数 , 引入记号F (??) ? lim F ( x) ;x? ??F (??) ? lim F ( x)x ? ??则有类似牛顿 C 莱布尼兹公式的计算表达式 :?a???? f ( x) dx ? F (x) ? F (??) ? F (a) ab ??? f ( x) dx ? F (x) ? ? ? F (b) ? F (??) ?? ?? ??? f ( x) dx ? F (x) ? ? ? F (??) ? F (??)b平面图形的面积yy ? f ( x)yy ? f2 ( x) y ? f1 ( x )oax x ? ?xbxoax x ? ?xbx曲边梯形的面积曲边梯形的面积A ? ?a f ( x )dxbA ? ?a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dxb面积元素: dA ? f ( x )dx, dA ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx.选积分变量的原则： 两个尽量积分区间尽量不分块（或尽量少分块）被积函数尽量简单求解平面图形面积步骤：画草图――求交点――选积分变量――写变量 的区间――代公式――得结果 练习：选择合适的积分变量，将图形面积用积分 表示。旋转体的体积yy ? f ( x)ox x ? dxx取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV ? ?[ f ( x )]2 dx旋转体的体积为 V ? ?[ f ( x )]2 dx ?ab例1 估计积分 ln( ? x 2 )dx 的值. ??1 1 解： 令f ( x ) ? ln( ? x 2 )， ?( x ) ? f 1由f ?( x ) ? 0，有x ? 02x 1? x22，f (0) ? 0，f (?1) ? ln 2，f (2) ? ln 5 ? 0 ? f ( x ) ? ln 50 ? ??1 ln( ? x 2 )dx ? 3 ln5 12注 学会应用微分法来求函数的最大、最小值,从而可利用估值定理估计定积分的值.例1. 计算 解: 令 x ? a sin t , 则 dx ? a cos t d t , 且当 x ? 0 时, t ? 0 ; x ? a 时, t ? ? . 22 a 2 ?02 cos t d t ∴ 原式 =?yy ? a2 ? x2a2 ? ? ? 2 (1 ? cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ? ( t ? sin 2t ) 2 2 2 0机动o2?a x目录上页下页返回结束例2. 计算t 2 ?1 , dx ? t d t , 且 解: 令 t ? 2 x ? 1, 则 x ? 2 当 x ? 0 时, t ? 1; x ? 4 时, t ? 3 .∴ 原式 =?t 2 ?1 3 2 ?2 t dt 1 t1 3 2 ? ? (t ? 3) d t 2 1 3 1 1 3 ? ( t ? 3t ) 2 3 1机动 目录 上页 下页 返回 结束例2已知? ( x ) ? ? e dt , 求?? (x).t2 0x解根据定理 1，得? e t dt ? ? e x 2 . ? ?( x ) ? ? ? ? ? 0 ?x2?例 3 已知 F ( x ) ? ?x cos(3t ? 1)dt , 求 F? (x).0解根据定理 1，得0F ?( x ) ? ? ? cos(3t ? 1)dt ? ? ? ? ? cos(3t ? 1)dt ? ? x ? ? 0 ? ? ? ? ?x??? ? cos(3 x ? 1).例4设 ? ( x ) ? ? sin(t )dt , 求?? (x).2 0x解? x sin(t 2 )dt ? ? ?? (x) ? ? ? ? 0 ? ?x? x sin(t 2 )dt ? ? ? ( x )? ? ?? ? x 0 ? ? x?1 2 xsin x .例5 设 y??解x2x2dy 1 ? t dt , 求 . dx3dy ? ? x ? ?x dx ?a? ? 1 ? t dt ? ?x3x2? ? 3 3 ? ? ? 1 ? t dt ? ? 1 ? t dt ? a ? x ?x ? ? x x2 ? 3 3 ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? t dt ? ? ? 1 ? t dt ? ? a ?x ? a ?x ? x2 ? ? ? ? 1 ? x3 ? ? ? 1 ? t 3 dt ? x 2 ? ( x 2 )?x ? 0 ?? ? 1 ? x3 ? 2x 1 ? x6 .?例6计算下列定积分.1 (1) ? 0 1 ? x21( 2) ? tan xdx .? 3 0解1 1 (1) ? dx ? arctan x 0 2 0 1? x1? ? arctan 1 ? arctan 0 ? ; 4( 2) ? tan xdx ? ? ln | cos x |? 3 0? 3 0? ? ? ln cos ? ln cos 0 ? ln 2. 3例7计算下列定积分.(1) ?1 x ?1 1 ? e1x( 2) ? cos 2 xdx .? 4 ? 61 1 ex d(1 ? e x ) (1) ? dx ? ? 解 ?1 1 ? e x ?1 1 ? e x? 1? ? ln(1 ? e ) ? ln(1 ? e) ? ln? 1 ? ? ? 1; ?1 e? ? ? 1 ? 2 ( 2) ??4 cos xdx ? ??4 (1 ? cos 2 x )dx 2 6 6x 11 ? 1 ? ? ??4 dx ? ??4 cos 2 xd 2 x 2 6 4 6 ? ? 1 3 1? ? ?? 1 4 ? ? ? . ? ? ? ? ? sin2 x ? 24 4 8 2? 4 6? 4 6例 8 计算 解??0sin x ? sin3 xdx.?把被积函数化简.? ?? ?????0 ?sin x ? sin xdx ? ?30sin x(1 ? sin2 x )dx0 ? 2 0 ? 2 0sin x | cos x | dx.sin x cos xdx ? ?? sin x ( ? cos x )dx2 ?sin x d sin x ? ?? sin x d sin x2 3 3?? 2 2 ? 2 2 2 ? ? sin x 0 sin x ? 3 3 2 2 2 4 ? ? (? ) ? . 3 3 3例9?3 x , 设函数 f ( x ) ? ? ? x ?e ,0 ≤ x ? 1， 计算 1 ≤ x ? 3，?30f ( x )dx .解?30f ( x )dx ? ?1304 3xdx ? ? e? x dx1133 ? x 4? ( ?e )0?x3 13 e2 ? 1 ? ? 3 . 4 e例10求? x ? 1dx?13解所以因为?1? x x ?1 ? ? ?x ?113?1? x ? 1 1? x ? 33?3 ?1x ? 1dx ? ? ?1 x ? 1 dx ? ?1 x ? 1dx1? ??1 (1 ? x )dx ? ?1 ( x ? 1)dx说明： 若被积函数是分段函数，当分段点在积 分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性 （性质6）。例6的被积函数是绝对值函数，而绝对值 函数是分段函数，且分段点x = 1在积分区间内，所以 求积分时用了性质6。x2 1 x2 3 ? ( x ? ) ?1 ? ( ? x ) 1 ? 4 2 2例11解dx 先用换元积分法求不定积分 ? 1? x求?4 0dx 1? x令 x ? t , 则x ? t 2 , dx ? 2tdt , 于是2tdt ? 1? x ? ? 1? tdx1? t ?1 1 ? 2? dt ? 2? (1 ? )dt 1? t 1? t? 2 [ x ? ln(1 ? x ) ] ? C ? 2 [ x ? ln(1 ?x )]? C取一个原函数 F ( x ) ? 2[ x ? ln(1 ? x ) ] 由牛顿―莱布尼兹公式，得dx ?0 1 ? x ? 2 ? x ? ln(1 ? x ) ?0 ? 2 (2 ? ln 2)4 4注意： 在本例求原函数时用到了不定积分的换元 积分法。需消去新变量 t，还原为原积分变量 x，而后用 牛顿―莱布尼兹公式。定积分的分部积分法设函数 u (x) 和 v (x) 在区间 [a, b] 上存在连续 导数，则由( uv )? ? u?v ? uv?, 得 uv? ? ( uv )? ? u?v ,两端从 a 到 b 对 x 求定积分, 便得定积分的分部积分公式：?解b audv ? uv ? ?a vdub a b例13 求?1 2 01 20arcsin xdx1 2 0 1 2 0??arcsin xdx ? x arcsin x ? ?xdx 1 ? x2?12? 1? x1 2 2 03 ? ? ?1 12 2?例14 求 解e x dx ?01令 x ? t , 则 x ? t 2 , dx ? 2tdt,且当 x ? 0时 t ? 0,当 x ? 1时 t ? 1 , 于是e dx ? 2?0 te dt ? 2( te ) ? 2?0 e t dt ?01 x 1 t t 1 0 1? 2e ? 2e t 1 ? 2e ? 2(e ? 1) ? 2 0说明： 与求不定积分类似，在求定积分时也会遇 到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要 灵活掌握。例15求I ? ? (arcsin x ) 2 dx02 1 01解 I ? x(arcsin x )?? 2? x(arcsin x )01dx 1? x2?24? ? (arcsin x )01d (1 ? x )21 ? x22??42? 2 ? (arcsin x )d 1 ? x02 1 11??24? 2 1 ? x ? arcsin x ? 2 ? dx ?0 0?42?2例165 计算0 cos x sin xdx . ?? 2解： 令 t ? cos x,? x ? ? t ? 0, 2dt ? ? sin xdx ,x ? 0 ? t ? 1,?0? 2cos 5 x sin xdx0 5t 1 ? ? ?1 t dt ? ? . 60 66 1上一页下一页2 x 2 ? x cos x 例18 计算?1 ? 1 ? 1 ? x 2 dx.1解：原式 ? ??111 x cos x 2x dx dx ? ??1 2 2 1? 1? x 1? 1? x2偶函数奇函数? 4?012 2 x 1 x (1 ? 1 ? x ) dx ? 4 ? dx 2 2 0 1? 1? x 1 ? (1 ? x )2? 4?0 (1 ? 1 ? x )dx ? 4 ? 4 ?02111 ? x 2 dx? 4 ? ?.单位圆的面积上一页下一页例20 讨论广义积分0 ??0? cosxdx??0的收敛性 不存在，所以，广义积分0 , 解 ? cos xdx ? [sin x]??因为极限x ???lim sin x发散 ???cosxdx 例21 求??2x ? 3 ??? x 2 ? 2 x ? 2 dx??2x ? 2 1 ?? [ 2 ? ]dx 2 ?? x ? 2 x ? 2 ( x ? 1) ? 1? [ln( x 2 ? 2 x ? 2) ? arctan( x ? 1)]?? ??[ln( x 2 ? 2 x ? 2) ? arctan(x ? 1)] ? ?? limx ? ? ??2x ? 3 ??? x 2 ? 2 x ? 2 dx发散??例 22 求 解∵??11 1? x20dxlimx ? ?111 1? x2? ??∴ ?01 1 ? x2dx ? lim?t ??1?t1 1 ? x20dx ? lim[arcsin x]t0 ?t ?1? lim arcsin t ? ?t ?1?21 例23 讨论 ? 2 dx的收敛性 -1 x 1 解 因为 lim 2 ? ??，所以，所求积分是被积函数在 x ?0 x x ? 0处有无穷间断点的广义积分。11 ?-1 x 2 dx ?1因为上述例题，如果没有考虑到被积函数1 1 1 ?-1 x 2 dx ? ?0 x 2 dx t 1 1 1 ? lim ? 2 dx ? lim ? 2 dx t ? 0? -1 x t ? 0? t x 1 1 = lim[ ? ]t?1 ? lim[ ? ]1 t t ? 0? t ? 0? x x 1 1 = lim( ? ? 1) ? lim( ?1 ? ) t ? 0? t ? 0? t t 1 1 1 lim( ? ? 1) ? ??，所以广义积分 ? 2 dx是发散的。 -1 x t ? 0? t 0间断点的情况，仍然按定积分来计算，就会得出如下的错 误结果：1 1 dx ? [? ]1 1 ? ?2 ? ?-1 x2 x11 x2在x?0处有无穷例 24 计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x 2 所围成 的图形的面积.解 两曲线的交点x ? y2(0,0) (1,1)选 x 为积分变量 x ? [0,1] 面积元素 dA ? ( x ? x 2 )dxy ? x2?2 3 x ? 1 A ? ?0 ( x ? x )dx ? ? x 2 ? ? ? . 3 ?0 3 ?31312例 25计算由曲线 y ? 2 x 和直线 y ? x ? 4 所2围成的图形的面积.解 两曲线的交点? y ? 2x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?42y ? x?4dA1 ? ? 2 x ? (? 2 x )?dxdA2 ? ? 2 x ? ( x ? 4)?dxy2 ? 2 xA ? A1 ? A2 ? ?0 dA1 ? ?2 dA2 ? 18.28选 y 为积分变量y ? [?2, 4]? y2 ? dA ? ? y ? 4 ? ? dy 2? ?A ? ? dA ? 18.4 ?2x y 例 26 求椭圆 2 ? 2 ? 1的面积. a b ? x ? a cos t 解 椭圆的参数方程 ? ? y ? b sin t由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．22A ? 4 ?0 ydx ? 4 ?? b sin td ( a cos t )2a0? 4ab ? sin 2 tdt ? ?ab.0? 2例 28求摆线 x ? a( t ? sin t ) ， y ? a(1 ? cos t ) 的一拱与 y ? 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转 构成旋转体的体积.y(x )?a2?a解 绕 x 轴旋转的旋转体体积Vx ? ?0 2 ?a 0? y 2 ( x )dx? ? ? a 2 (1 ? cos t ) 2 ? a(1 ? cos t )dt ? ?a32??02?(1 ? 3 cos t ? 3 cos 2 t ? cos 3 t )dt ? 5? 2 a 3 .绕 y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC 与OBC2a 2ay分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.V y ? ? ?x 2 ( y )dt ? ? ?x 12 ( y )dt2 0 0B x ? x2 ( y ) 2a C x ? x1 ( y ) A o 2?a x? ? ? a 2 ( t ? sin t ) 2 ? a sin tdt2??? ? ? a 2 ( t ? sin t ) 2 ? a sin tdt0?? ?a3?02?( t ? sin t ) 2 sin tdt ? 6? 3 a 3 .例4. 求由y ? 2 x 与 y ? 4 x ? x 2 所围区域绕 x轴旋转所得旋转体体积. 解: 曲线与直线的交点坐标为 A (2 , 4), 故所求旋转体体积为V ? ? ? ?(4 x ? x 2 )2 ? (2 x) 2 ? d x ? 0 ?2A y ? 2xy ? 4x ? x P duo2? ? ? ?16 x 2 ? x 4 ? 8 x3 ? 4 x 2 ?dx ? 0 ? ? ? ? ?12 x ? x ? 8 x ?dx ? 0 ?2 4 3 22dx 2? 3 1 5 ? ? ? ?4 x ? x ? 2 x 4 ? 5 ? ?02机动目录上页下页返回结束例4、lim? cosx1tlntdtx ?0x4cosxlncosx ? sinx ? lim x ?0 4x 31 sinx lncosx ? lim cosx ? lim ? lim x ?0 x ?0 4 x x ?0 x 21 ? sinx ? lim 4 x ?0 2x ? cosx?? 1 8例10、?0π 2cos x cos x ? 2sin x2dx ? ?π 2 π ? 2cos x dx 2 1 ? sin xπ 2 0??π 2 01 dsin x ? 2arctansinx 2 1 ? sin xπ ? 2?