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高等数学习题及解答(极限,连续与导数)
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3秒自动关闭窗口高数,极限与导数的存在问题
分类：数学
令 t=2^(-x) ,则由 -1所以 y=t^2-2t-1=(t-1)^2-2 ,由 1/4当 t=1 即 x=0 时,y最小=-2 ,当 t=2 即 x=-1 时,y最大=-1 ,因此,函数值域为：[-2,-1] .
因为3/2大于1 所以(3/2)^x为单调递增函数 当x
a还不能等于-2/3
嗯嗯，感谢了。
0">求解对数不等式（2x-3）底log（x^2-3）>0
如图,已知二次函数图像的顶点P为（0,-1）,且过（2,3）.点A是抛物线上一点,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,分别过B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结PA、PD.第三问有几个答案?一个以上的话还有那几个?
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关于高数导数极限的小问题假设一个函数是y=x^2 两种方法求导数求x->0时的导数就f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=x^2/x 两种方法：(1).消去x,f'(0)=x=0 (2)0/0型洛必达 f'(0)=2x/1=2x=0 再扩展Δx->0时f'(x)=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx=[(x+Δx)^2-x^2]/Δx=(2xΔx+Δx^2)/Δx同样两种方法（1）消去Δx ,f'(x)=2x+Δx=2x (2).洛必达f'(x)=2x+2Δx=2x为什么上面式子不一样呢?
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一样的 f(x)=x^2f’(x)=2xx=0时f'(0)=0 x=1时f'(1)=2求x->1时的导数就f'(0)=lim[f(x)-f(1)]/(x-1)=(x^2-1)/(x-1) 两种方法：(1).消去x-1,f'(0)=x+1=2
(2)0/0型洛必达 f'(0)=2x/1=2x=2 x=3时f'(3)=2x=6
x=0f'(0)是f(x)在x=0处的导数
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高等数学中极限问题的解法详析
数学分析中极限的求法摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,1：利用两个准则求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性 质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9： 利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极 限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利 用换元法求极限。关键词:夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来 描述。如函数 y＝f(x)在 x ? x0 处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义， 二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限 是研究数学分析的基本公具。 极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以 下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考 虑如何计算此极限。 本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求 极限进行综述。1：利用两个准则求极限。lim xn ? lim zn ? a, x ?? (1)夹逼准则：若一正整数 N,当 n&N 时，有 xn ? yn ? z n 且 x ?? 则有lim yn ? ax ??.利用夹逼准则求极限关键在于从 xn 的表达式中， 通常通过放大或缩小的方法找出 两个有相同极限值的数列 ?xn ? 1 n ?12yn ?和? zn ? ，使得 yn ? xn ? zn 。1 n ?n2?1 n ?22? .......例[1]求 xn 的极限 解：因为 xn 单调递减，所以存在最大项和最小项xn ?1 n2 ? n?1 n2 ? n? ....... ?1 n2 ? n?n n2 ? nxn ?1 n2 ? 1?1 n2 ? 1? ....... ?1 n2 ? 1?n n2 ? 1n则 n ?n2? xn ? n n2 ? nn n2 ? 1 ? lim n n2 ? 1 ?1lim又因为x ??x ??lim xn ? 1x ??（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。 例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。y1 ? a , y2 ? a ? a , y3 ? a ? a ? a ,??, yn ? a ? a ? a ? ? ? a证明：从这个数列构造来看 yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为y2 ? a ? y1 , y3 ? a ? y2 ,?? , yn ? a ? yn ?12 所以得 yn ? a ? yn?1 . 因为前面证明 yn 是单调增加的。两端除以 yn 得yn ?a ?1 yna a ? a ?1 ? a ?1 因为 yn ? y1 ? a , 则 yn , 从而 yna ? yn ? a ? 1y 即 yn 是有界的。根据定理 ? n ? 有极限，而且极限唯一。令lim yn ? ln ??则lim yn 2 ? lim( yn ?1 ? a)n ?? n ??l? 则 l ? l ? a . 因为 yn ? 0, 解方程得21 ? 4a ? 1 2所以lim yn ? l ?n ??1 ? 4a ? 1 22：利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的 极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。 通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接 进行极限的四则运算。 首先对函数施行各种恒等变形。 例如分之， 分母分解因式， 约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无 穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限x2 ?1 2 (1) x ?1 2 x ? x ? 1 limlim 1? x ? 2 x?3(2) x ?3(3)x ??1lim(1 3 ? 3 ) x ?1 x ?1(4)已知limxn ?1 1 1 ? ? ?? ? , 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n 求 lim xn n ??( x ? 1)( x ? 1) x2 ?1 x ?1 2 lim lim 2 x ?1 ( x ? 1)(2 x ? 1) 解：(1) x ?1 2 x ? x ? 1 ＝ ＝ x?1 2 x ? 1 ＝ 3lim x ?3 1 ? x ? 2 lim ( 1 ? x ? 2)( 1 ? x ? 2) lim 1 x ?3 x ?3 ( x ? 3)( 1 ? x ? 2) ( x ? 3)( 1 ? x ? 2) ＝ x?3 ＝ ＝4(2) x ?3(3)x ??1lim(1 3 ? 3 ) x ?1 x ?1x 2 ? x ? 2 lim ( x ? 1)( x ? 2) x?2 lim 3 x ??1 ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1) x ??1 x ??1 x 2 ? x ? 1 x ?1 ＝ ＝ ＝ ＝-1 lim(4) 因为xn ?1 1 1 ? ? ?? ? , 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1? n 2 2 3 3 4 4 n ?1 n ?1 n1 lim xn ? lim(1 ? ) ? 1 n ?? n ?? n 所以3：利用两个重要极限公式求极限sin x 1 ? lim x? sin ? 1 x ?? x 两个极限公式 (1) x ?0 x lim1 1 lim(1 ? ) x ? lim(1 ? x) x ? e x ?0 x (2) x??在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可 以利用公式。 例：求下列函数的极限[4]? x x x x ?? ? lim ?lim ?cos cos 2 cos 3 ?? cos n ? ? n ?0 n ?? 2 2 2 2 ?? ? ? (1)(2) m??lim(1 ?n2 m ) m2解：(1)x x x x cos cos 2 cos 3 ?? cos n 2 2 2 2x x x x x sin x cos cos 2 cos 3 ?? cos n sin n x 2 2 2 2 2 2 sin n 2 ＝1 x 2 sin n 2 ＝n1sin xx x x x lim cos cos 2 cos 3 ?? cos n n ?? 2 2 2 2limn ??1 2n sin x 2nsin x＝=n ??sin x lim 2n sin x 2nsin x ＝ x? x x x x ?? ? lim ?lim ?cos cos 2 cos 3 ?? cos n ? ? lim sin x x ?0 n ?? 2 2 2 2 ? ? ＝ x?0 x ＝1 ? ? n 2 ? 2 ?( ? 2 ) ?m n 2 ? 2 ?( ? ) n2 lim(1 ? 2 ) n m lim(1 ? 2 ) m lim(1 ? 2 ) n m 0 m ?? m m m ＝ m?? ＝ m?? ＝ e ＝1m2 n2 m2 n2(2)4：利用单侧极限求极限这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、 右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极 限不存在。1 ? ? x sin , f ( x) ? ? x ?1 ? x 2 , ? 例： x&0 x?0求 f(x)在 x=0 的左右极限 解： x?0lim x ? sin ? 1 x ＝1 1 x ＝1x ?0x ?0?lim x ? sinx ? 0?lim f ( x) ? lim f ( x) ? 1 ?lim f ( x) ? 1x ?05：利用函数的连续性求极限这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点 x0 连续 g( x0 )= u 0 , 而 y=f(u)在点 x0 连续，那么复合函数 y=f(g(x))在点 x0 连续。即x ? x0lim f ( g ( x)) ? f ( g ( x0 )) ? f (lim g ( x))x ? x0lim 也就是说，极限号 x ? x0 可以与符号 f 互换顺序。1 lim ln(1 ? ) x x 例：求 x?? 1 (1 ? ) x x 解：令 y＝lnu, u＝ 1 u0 ? lim ln(1 ? ) x ? e x ?? x 处连续因为 lnu 在点所以1 lim ln(1 ? ) x x ?? x1 ? ? ln ? lim(1 ? ) x ? x ?? x ? ＝ ?＝ ln e ＝16：利用无穷小量的性质求极限：无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果x ? x0lim f ( x) ? 0lim f ( x) ? g ( x) ? 0 ,g(x)在某区间 ( x0 ? ? , x0 ), ( x0 , x0 ? ? ) 有界，那么 x ? x0 .这种方法可以处理一个函数不存在但有界， 和另一个函数的极限是零的极限的乘 积的问题。sin x 例：求 x ?? x limsin x ? 1解： 因为limx ??1 ?0 xsin x 所以 x ?? x ＝0 lim7：利用等价无穷小量代换求极限：y ?1 等价无穷小量：当 z 时，称 y,z 是等价无穷小量：记为 y ? z 在求极限过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除 的情况，不一定能这样做。x 4 ? x3 x ?0 x (sin )3 2 例：求 limsin x x ? 2 2解：?4 3 x 4 ? x3 x 4 ? x 3 lim x ? x lim lim 3 x ?0 x ?0 x ?0 x 3 x 3 x (sin ) ( ) 2 ＝ 2 8 ? ＝ ＝88：利用导数的定义求极限导数的定义：函数 f(x)在 x0 附近有定义， ?? x, 则 ? y ? f ( x0 ?? x) ? f ( x0 )lim f ( x0 ?? x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ? x ?0 ?x ?x 存在， 则此极限值就称函数 f(x)在点 x0 的 f / ( x0 ) ? lim f ( x0 ?? x) ? f ( x0 ) ?x 在这种方法的运用过程中。如果? x ?0导数记为f ( x0 ) .即/? x ?0首先要选好 f(x)。然后把所求极限。表示成 f(x)在定点 x0 的导数。lim( x ? ) ? ctg 2 x ? 2 x?2?例：求解：取 f(x)= tg 2 x .则? 1 1 lim( x ? ) ? ctg 2 x ? ? ? tg 2 x ? 2 x? lim tg 2 x ? tg (2 ? ) 2 ? ? lim 2 x? 2 x? ? ? 2 x? 2 x? 2f ( x) ? f ( ) 1 1 2 lim ? ? ? ? x? f / ( ) (2sec 2 2 x) x ? x? 2 2 ＝ 2 2 ＝ ＝1 ＝2?9：利用中值定理求极限：1： 微分中值定理： 若函数 f(x) 满足 ( i ) 在 则在(a,b)内至少存在一点 ? ，使limx ?0? a, b ? 连续.( ii )在(a,b)可导；f / (? ) ?f (b) ? f (a) b?a例[2]：求 解：limx ?0sin(sin x) ? sin x x3sin(sin x) ? sin x ? (sin x ? x) ? cos ?? ? ( x ? sin x) ? x ?sin(sin x) ? sin x x3? 0 ? ? ? 1?＝ x ?0lim(sin x ? x) ? cos ?? ? ( x ? sin x) ? x ? x3cos x ? 1 3x 2＝cos 0 ? limx ?0? sin x ＝ x ?0 6 x lim 1 ＝ 6 ?2：积分中值定理：设函数 f(x) 在闭区间a, b 变号且可积，则在 ? ? 上至少有一点 ? 使得 ?ab? a, b ? 上连续;g(x)b a在?a, b ?上不f ( x) ? g ( x) ? f (? ) ? ? g ( x)dx?a ? ? ? b?例：求lim ? 4 sin n xdxn ?? 0?解：lim ? 4 sin n xdxn ?? 0?lim six n ? ? ? ( ? 0) 4 ＝ n??lim(sin ? )n 4 n?? ＝??? ? ?0 ? ? ? ? 4? ???010：洛必达法则求极限：0 ? 洛必达法则只能对 0 或 ? 型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种f / ( x) lim / g ( x) 等于 A 时， 类型之一， 然后再应用洛必达法则。 洛必达法则只说明当lim那么f / ( x) f ( x) f ( x) lim / lim g ( x) 不存在时，并不能断定 g ( x) 也存在且等于 A. 如果 g ( x) 也lim f ( x) g ( x) 。不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论limx ?0例[1]：(1) 求 (2)求 解：(1)ln sin mx ln sin nxx ? 0?lim x xlim ln sin mx ? lim ln sin nx ? ?? x ?0 由 x ?0? 所以上述极限是 ? 待定型 limx ?0ln sin mx m cos mx ? sin nx m sin nx ? lim lim ? x ?0 sin mx x ?0 n cos nx ? sin mx ln sin nx ＝ ＝n ＝1(2)x ? 0?lim x x它为 0 型0x x ln x 由对数恒等式可得 x ? ex ? 0?lim x x=ex ?0 ?lim x ln xx ?0?lim x ? ln x ? limln x ?0 x ?0? 1 xx ? 0?lim x x0 ＝e ?111：利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f(x)。把所求极限的 和式表示成 f(x)在某区间? a, b ? 上的待定分法 （一般是等分） 的积分和式的极限。?1 ? n n n lim ? ? 2 2 ? 2 ? ?? ? 2 2 2? n ?? n n ?1 n ? 2 n ? (n ? 1) ? ? 例：求1 n n n ? 2 2? 2 ? ?? ? 2 2 n ? (n ? 1) 2 解：由于 n n ? 1 n ? 2? ? ? ? 1? 1 1 1 ? ? ? ?? ? 2 2 n ? ? 1 ? 1 ?2 2 ?1 ? n ?1 ? ? ? ? 1? ? ?1 ? ? ? 1? ? ? ? ? n ? n ? ? ? n ? ? ＝ ? ?1 1 2 ? 0,1? 上述和式恰好是 f ( x) ? 1 ? x2 可取函数 f(x)＝ 1 ? x 区间为在? 0,1? 上 n 等分的积分和。?1 ? n n n lim ? ? 2 2 ? 2 ? ?? ? 2 2 2? n ?? n n ?1 n ? 2 n ? (n ? 1) ? ? 所以? ? ? ? 1? 1 1 1 ? ? ? ?? ? 2 2 n ? ? 1 ? 1 ?2 ? 2 ?1 ? ? n ?1 ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? lim ?1 ? ? ? n ? ? n ? ? ＝ n?? ? ? n ?? ＝ 1? x0112dx? ＝412：利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 n ?1???n收敛，则?n ? 0 ? n ? ? ?运用这个方法首先判定级数 n ?12 例： ? ?lim???n收敛，然后求出它的通项的极限2nn求n ??? n !?an ?nn解：设? n !?2则an?1 (n ? 1)n?1 ? n !? lim ? lim ? 2 n ?? a n ?? ?(n ? 1)!? nn nlimn ??2=1 1 ? (1 ? ) n n ?1 n=0&1由比值判别法知 n ?1lim?a?n收敛2nn由必要条件知n ??? n !?＝013：利用泰勒展开式求极限泰勒展开式：若 f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶连续导数,那么f ? x ? ? f (0) ? f / (0) x ? f // ( x) 2 f ? ? ( x) n x ? ?? ? x ? Rn ( x) 2! n!nRn ( x) ?f ? ? (? ) n ?1 x (n ? 1)!n ?1(其中 ? 在 0 与 1 之间)? x2 2例：?1?limcos x ? e x ?0 x4x2 x4 cos x ? 1 ? ? ? 0( x 4 ) 2! 4! 解：泰勒展开式e? x2 2? x2 ? 1 ? x2 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0( x 4 ) ? 2 ? 2! ? 2 ?2于是 cos x - e?x2 21 4 x ? 0( x 4 ) 12 ＝ ?? x2 2cos x ? e lim x4 所以 x?0?lim ＝ x?01 4 x ? 0( x 4 ) 1 12 ? 4 x ＝ 1214：换元法求极限：当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变 形，使之简化易求。 例：[3] 求 x?1lim xx ?1 x ln xx 解：令 t ? x ? 1 则 ln x ? ln(t ? 1)1 lim t t ?0 ln(t ? 1) x x ? 1 lim lim t ?0 ln(t ? 1) x ?1 x ln x t ＝ ＝ ＝1附:各种求极限问题及解题方法1．约去零因子求极限 例 1：求极限 limx ?1x4 ?1 x ?1【说明】 x ? 1 表明 x与1 无限接近，但 x ? 1 ，所以 x ? 1 这一零因子可以约去。 【解】 lim( x ? 1)( x ? 1)( x 2 ? 1) ? lim ( x ? 1)( x 2 ? 1) ? 6 =4 x ?1 x ?1 x ?12．分子分母同除求极限 例 2：求极限 lim 【说明】x3 ? x2 x ?? 3 x 3 ? 1? 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?【解】 lim1? 1 x3 ? x2 1 x ? lim ? 3 1 x ?? 3 x ? 1 x ?? 3 ? 3 x3【注】(1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；? ?0 a n x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a 0 ? (2) lim ? ?? m ?1 x ?? b x m ? b ? ? ? b0 ? a m m ?1 x n ? ? bn m?n m?n m?n3．分子(母)有理化求极限 例 3：求极限 lim ( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1)x???【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 lim ( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1) ? limx ? ??( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1)( x 2 ? 3 ? x 2 ? 1) x2 ? 3 ? x2 ?1x ? ??? lim2 x ? 3 ? x2 ?12x ? ???0例 4：求极限 limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x x3【解】 limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x tan x ? sin x ? lim 3 3 x ?0 x x 1 ? tan x ? 1 ? sin x? limx ?0tan x ? sin x 1 tan x ? sin x 1 ? lim ? 3 2 x ?0 4 x x3 1 ? tan x ? 1 ? sin x x?0 1 lim【注】 本题除了使用分子有理化方法外， 及时分离极限式中的非零因子是解 ．．．．．．．．．．． 题的关键 4．应用两个重要极限求极限1 1 sin x 两个重要极限是 lim ? 1 和 lim (1 ? ) x ? lim (1 ? ) n ? lim (1 ? x) x ? e ，第 x ?? n ?? x ?0 x ?0 x n x1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。? x ?1? 例 5：求极限 lim ? ? x ? ?? x ? 1 ? ?x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑 ? 数部分。1 ，最后凑指 X2x ?1 1? ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ? ? x ?1? ? 2 ??1 ? 1 ? 【解】 lim ? ? ? lim ?1 ? ? ? lim ?? ?1 ? ? ? ?e x ?1 ? x ? ?? x ? 1 x ? ?? x ? ?? x ?1? x ?1? ? ? ? ? 2 ? ?? ? ? ? x x1 ? ? ? x ? 2a ? 例 6：(1) lim ?1 ? 2 ? ；(2)已知 lim ? ? ? 8 ，求 a 。 x ? ?? x ? ?? x ? ? ? x?a ?xx5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：当 x ? 0 时, x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 ? x) ~ e ? 1 ,x1 ? cos x ~1 2 b x , ?1 ? ax? ? 1 ~ abx ； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．． (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．x ln(1 ? x) ? x ?0 1 ? cos x x ln(1 ? x) x?x 【解】 lim ? lim ?2. x ?0 1 ? cos x x ?0 1 2 x 2 sin x ? x 例 8：求极限 lim x ?0 tan 3 x例 7：求极限 lim?1x sin x ? x cos x ? 1 1 sin x ? x 【解】 lim ? lim ? lim ? ? lim 2 2 ? ? 3 2 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 tan 3 x 6 x 3x 3x26．用罗必塔法则求极限 例 9：求极限 limln cos 2 x ? ln(1 ? sin 2 x) x ?0 x2? 0 或 型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ? 0 ? 2 sin 2 x sin 2 x ? ln cos 2 x ? ln(1 ? sin 2 x) 1 ? sin 2 x 【解】 lim ? lim cos 2 x 2 x ?0 x ?0 2x x【说明】? limsin 2 x ? ? 2 1 ? ? x ?0 2 x ? cos 2 x 1 ? sin 2? ? ? ?3 x?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 例 10：设函数 f(x)连续，且 f (0) ? 0 ，求极限 limx ?t ? u 0?x0( x ? t ) f (t )dtxx ?0x ? f ( x ? t )dt0.【解】 由于?x0f ( x ? t )dt ??xf (u)(?du) ? ? f (u)du ,于是0x x 0 0x? limx ?0x0( x ? t ) f (t )dtx 0x ? f ( x ? t )dt? limx ? f (t )dt ? ? tf (t )dt x ? f (u )du0 xx ?0= lim?x0f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x)x ?0?x0f (u )du ? xf ( x)= lim? ?x 0x0f (t )dtx ?0f (u )du ? xf ( x)?= limx ?0x0f (t )dt x x ? f ( x)=?x0f (u )duf (0) 1 ? . f (0) ? f (0) 27．用对数恒等式求 lim f ( x ) g ( x ) 极限2例 11：极限 lim[1 ? ln(1 ? x)] xx ?0 2 x 2 ln[1? ln(1? x )] x【解】lim[1 ? ln(1 ? x)] = lim ex ?0 x ?0=ex ?0lim2 ln[1?ln(1? x )] x?ex ?0lim2 ln(1? x ) x? e2 .【注】对于 1? 型未定式 lim f ( x ) g ( x ) 的极限，也可用公式lim f ( x ) g ( x ) (1? ) = e lim( f ( x )?1) g ( x )因为lim f ( x) g ( x ) ? e lim g ( x ) ln( f ( x )) ? e lim g ( x ) ln(1? f ( x ) ?1) ? e lim( f ( x )?1) g ( x )1 例 12：求极限 lim 3 x ?0 x?? 2 ? cos x ? x ? ?? ? ? 1? . 3 ? ?? ? ? ?? 2? cos x ? x ln ? ? ? 3 ?【解 1】 原式 ? limx ?0ex3? 2 ? cos x ? ln ? ? ?1 3 ? ? lim ? 2 x ?0 x1 （? sin x） ? ln 2 ? cos x） ln 3 （ ? ? lim ? lim 2 ? cos x x ?0 x ?0 x2 2x 1 1 sin x 1 ? ? lim ? ?? 2 x?0 2 ? cos x x 6【解 2】 原式 ? limx ?0e? 2? cos x ? x ln ? ? ? 3 ?x3? limx ?0? 2 ? cos x ? ln ? ? ?1 3 ? ? lim ? 2 x ?0 xln ? （1cos x ? 1 ） cos x ? 1 1 3 ? lim ?? 2 2 x ?0 3x 6 x8．利用 Taylor 公式求极限a x ? a ?x ? 2 , x ?0 x2 (a ? 0).例 13求极限 lim【解】a x ? e x ln a ? 1 ? x ln a ?x2 2 ln a ? ?( x 2 ) , 2a ? x ? 1 ? x ln a ?x2 2 ln a ? ?( x 2 ) ; 2a x ? a ? x ? 2 ? x 2 ln 2 a ? ?( x 2 ).?a x ? a ?x ? 2 x 2 ln 2 a ? ?( x 2 ) lim ? lim ? ln 2 a . 2 2 x ?0 x ?0 x x例 141 1 求极限 lim ( ? cot x) . x ?0 x x 1 1 1 sin x ? x cos x lim ( ? cot x) ? lim x ?0 x x x ?0 x x sin x【解】? limx ?0x?x3 x2 ? ? ( x3 ) ? x[1 ? ? ? ( x 2 )] 3! 2! 3 x1 1 3 ? ) x ? ? ( x3 ) 1 ? lim 2! 3! 3 ? x ?0 x 3. (9．数列极限转化成函数极限求解1? ? 例 15：极限 lim ? n sin ? n?? n? ?n2【说明】这是 1? 形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直 接求有一定难度， 若转化成函数极限， 可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。1? ? 【解】考虑辅助极限 lim ? x sin ? x ? ?? x? ?x2 ? 1 ?1 ? sin y ?1 ? ? ? y2 ? y ?? lim ex ? ??1 ? ? x 2 ? x sin ?1 ? x ? ?? lim? ey ?0?e?1 61? ? 所以， lim ? n sin ? n ?? n? ?n2?e?1 610．n 项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.? 1 1 1 ? ??? 例 16：极限 lim ? ? 2 2 n ?? n2 ? 22 n2 ? n2 ? n ?1 ? ? ? ?【说明】 用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把 f (x) 看成 ［0,1］ 定积分。lim 1? ? n ?? n ? ? ?1? f? ?? ?n? ?2? f ? ? ??? ?n?1 ? n ?? f ? ? ? ? ? f ( x)dx ? 0 ? n ??? ? 1? 1 1 1 【解】原式＝ lim ? ? ??? 2 2 2 n ?? n ? ?1? ?2? ?n? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ?n? ?n? ?n? ???1 0? ? ? ? ? ? ?1 2 ?1 dx ? ? ln 2 2 ?1 1? x 12? 1 1 1 ? ??? 例 17：极限 lim ? 2 n ??? n2 ? 2 n2 ? n ? n ?1? ? ? ?【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成 lim的形式，因而用两边夹法则求解；1? ?1? ?2? ? n ?? ? f ? ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? ? n ? n ?? n ?n? ? n ?? ? ? ?(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。? 1 1 1 ? ??? 【解】 lim ? 2 n ??? n2 ? 2 n2 ? n ? n ?1因为? ? ? ?n n ?n2? n1 n ?12?1 n ?22???1 n ?n2?n n ?12又limn ??n2 ? n? limn n2 ?1n ???1? ? ＝１ ? n2 ? n ? 1所以? 1 lim ? ? n ??? n2 ?1 ?1 n2 ? 2???12．单调有界数列的极限问题 例 18：设数列 ? xn ? 满足 0 ? x1 ? ? , xn?1 ? sin xn (n ? 1, 2,?)（Ⅰ）证明 lim xn 存在，并求该极限；n ??? x ? xn2 （Ⅱ）计算 lim ? n ?1 ? . n ?? ? xn ?【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列 极限的存在. 【详解】 （Ⅰ）因为 0 ? x1 ? ? ，则 0 ? x2 ? sin x1 ? 1 ? ? . 可推得10 ? xn?1 ? sin xn ? 1 ? ? , n ? 1, 2,? ，则数列 ? xn ? 有界.于是xn ?1 sin xn （因当 x ? 0时， x ? x ） 则有 xn ?1 ? xn ， ， 可见数列 ? xn ? 单 ? ?1， sin xn xnn ??调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 lim xn 存在.i n 设 lim xn ? l ， xn ?1 ? s xn 两边令 n ?? ， 在 得n ??m 0 解得 l ? 0 ， l xn ? . 即i l ? sin l ，n ??（Ⅱ） 因? x ? xn2 ? sin xn ? xn2 ? lim ? n?1 ? ? lim ? ? ，由（Ⅰ）知该极限为1 型， n ?? n ?? ? xn ? ? xn ?111? sin x ?1 ? 2 ?1 ? x2 ? lim? ? sin x ? ? lim? e x ? x ? lim? e x ?0 ? x x ?0 x ?0 ?1 ? ? xn?1 ? xn2 ? sin xn ? xn2 6 lim ? ? ? lim ? ? ?e . n ?? n ?? xn ? xn ? ? ? 1 11 ?1?sin x ? x 2 x3?e?1 6(使用了罗必塔法则)故
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