高数。。多元复合函数的求导。。【高等数学吧】_百度贴吧
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高数9-4多元复合函数的求导法则
18/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则二全微分形式不变性1不变性的实质2不变性的简单应用【例6】设VEZUSIN?，而XYU?，YXV??，求XZ??和YZ??解2利用全微分形式不变性DZSINVEDU?,VDVEVDUEUUCOSSIN??因DUXYD?,XDYYDX??DVYXD??,DYDX??代入后归并含DXDY的项,及得DZDXVEYVEUUCOSSIN???,DYVEXVEUUCOSSIN???解1例1已用复合函数求导链式法则求解ZUVXYX??代回表达式即为ZUVXYY??代回表达式即为17/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则二全微分形式不变性1不变性的实质2不变性的简单应用2,,0DUVDUDVDUVUDVVDUUVDUUDVDVVV???????????????【例如】UDVVDUDVVUVDUUUVVDU?????????2利用全微分形式不变性求偏导数1利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分的四则运算公式，２【全微分形式不变性的简单应用】例6ZZDZDXDYXY??????UVXZXYYZZDZDUDVUV??????16/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则2不变性的简单应用二全微分形式不变性1不变性的实质１【全微分形式不变性的实质】无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的ZVU、VU、设函数,VUFZ?具有连续偏导数，则有全微分DVVZDUUZDZ??????；当,YXU??、,YXV??时，有DXXVVZXUUZ??????????????????DYYVVZYUUZ??????????????????DYYZDXXZDZ????????????????????DYYUDXXUUZ??????????????DYYVDXXVVZDUUZ???DVVZ???【练习3】COS,SIN,,DUUFRTRTVTDT??1SINFRT????2COSFRT???3FV??FTT132T,,XVUFZ?，UX??，XV??，DZDX?【练习4】123FFF?????????XFUXVXUVXFFF??????,,,COS,SIN2YXZXZEYXFZYX???????求设ZX???3XYFE???2ZXY????COSX?13XYFE????32SINFY????33XYFE?????YXE?YXEF????3【练习2】【解】先画链式图YF132XYX1COSFX???ZYX????13COSXYFXFEY?????????313COSXYXYFFXEFEYY?????????????12SINFY??????例4写法设,XYZZYXFW???，求XW??和ZXW???21F??WX???2；YZF?F12XYZXYZ????ZXW2111F?????2FY??YZ?FYFZXYFZXYF????????????12FYZFZ??????2YF??1FZ?????2；FYZZ???12FXY???22FXY???211F????先画链式图WZX??????????代入已求出的结果四则运算求导，12FFF??与一致12FFF??与一致1F?2F?【例4】设,XYZZYXFW???，F具有二阶连续偏导数，求XW??和ZXW???2【解】???XW12FYZF???强调说明抽象函数的复合函数求导问题UVXWYZXYZF122WXZ????WZX??????????代入已求出的结果??12FYZFZ??????四则运算求导，2YF??1FZ?????2FYZZ???12FFF??与一致12FFF??与一致1F?2F?11121FFXY????????2FY??21221YZFFXY????????简写的结果FYFZXYFZXYF????????????11UUFF???【例4】设,XYZZYXFW???，F具有二阶连续偏导数，求XW??和ZXW???2【解】令,ZYXU???；XYZV?1F????XWWUWVUXVX???????????；21FYZF????【分析】外层是抽象函数，没有给出中间变量，故对中间变量求导用简写法,也可设中间变量，最好不设。强调说明抽象函数的复合函数求导问题,WFUV?UVXWYZXYZF2F?12不设中间变量可简写为UFVF10/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则,,,ARCTANYZYXVYXUUVZ???????求设UUVUVUV?????????22VUVU???22YXX??YVVZYUUZYZ??????????????【练习1】【解】1一元2多元3混合4多个混合自画链式图UVXZXYY9/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则【例3】设TUVZSIN??，而TEU?，TVCOS?，求全导数DTDZ【解】TZDTDVVZDTDUUZDTDZ???????????TTUVETCOSSIN???TTETETTCOSSINCOS???COSSINCOSTTTET???自画链式图1一元2多元3混合4多个混合ZTVUTT8/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则1一元2多元3混合4多个混合【例2】设222,,XYZUFXYZE????，而2SINZXY?，求UX??和UY??SINXYZXYZXEZEXY???????UFFZXXZX???????????UFFZYYZY???????????COSXYZXYZYEZEXY???????自画链式图UZYXXYF【解】外层不是真的抽象函数，是为了区别对谁求导才给出的。7/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则【例1】设VEZUSIN?，而XYU?，YXV??，求XZ??和YZ??【解】???XZ???UZXU??????VZXV??1COSSIN????VEYVEUUCOSSINVVYEU?????YZ???UZYU??????VZYV??1COSSIN????VEXVEUUCOSSINVVXEU??自画链式图，COSSINYXYXYEXY????COSSINYXYXXEXY????1一元2多元3混合4特殊具体函数的复合函数求导问题例1、2、3练习1UVXZXYY6/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则,,YXUFZ?,YXU??,,,,ZFXYXY??即其中4【中间变量也是自变量情形】ZYXUYX【定理4】1一元2多元3混合,XFXUUFXZ???????????YFYUUFYZ???????????4特殊ZZUZXUXX???????????其它写法FX??FU??不变?FZX???ZY???11F????12F????2F?3F?抽象函数5/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则ZZUXUX???????,ZZUZDVYUYVDY??????????,,,,,ZFUVUXYVY?????如3【中间变量既有一元又有多元函数的情形】ZVUXYY1一元2多元3混合4特殊ZX???ZY???11F???122FF????????F?其它写法,,,ZFXYY???即抽象函数4/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则【定理2】若,YXU??及,YXV??都在点,YX具有对X和Y的偏导数，且,VUFZ?在对应点,VU具有连续偏导数，则复合函数,,,YXYXFZ???在对应点,YX的两个偏导数存在，且可用下列公式计算XVVZXUUZXZ????????????，YVVZYUUZYZ????????????2【中间变量均为多元函数】1一元2多元3混合UVXZXYY4特殊22,,ZUVUXYVXY??????,ZZXY????求多元复合函数ZX???ZY???1121FF???????1222FF????????F?其它写法抽象函数3/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则一链式法则【定理1】若TU??及TV??都在点T可导，,VUFZ?在对应点,VU具有连续偏导数，则复合函数,TTFZ???在对应点T可导，且其导数可用下列公式计算DTDVVZDTDUUZDTDZ??????．1【中间变量均为一元函数】1一元2多元3混合中间变量可多于两个，以上公式中的导数称为全导数DTDZ4特殊多元复合函数2,21,ZUVUTVT?????UVTZTDZDT求,TTFZ???,DZDT?12FF???????①②说明?F?其它写法抽象函数2/2194多元复合函数的求导法则二全微分形式不变性一链式法则二全微分形式不变性一第九章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导方法第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数和梯度第八节多元函数的极值及其求法
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