多元函数微分学及应用概念、结论与题型应用解析
一、基本概念
1．二重极限、累次极限及关系
时，恒有|f(x,y)-a|&ε成立.
即点(x,y)以任意路径趋于(x0,y0)时，f(x,y)→a.
(2)二重极限与累次极限
的关系为：
●如果它们都存在, 则三者相等；
● 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在.
【注】一元函数极限的运算法则适用于多元函数极限的极限；多元函数的极限存在性的讨论一般建议首先考虑极坐标方法，特别注意极角的任意性；对于极限存在的情况下求极限一般也首先可考虑极坐标方法。
2．二元函数的几何表示
若二元函数z=f(x,y)的定义域为区域D，那么，它在几何上就表示三维空间中的一张曲面，在xOy平面上可以描述为区域D上的等值线图。
3. 二元函数偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有关于x的偏增量
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于自变量x的偏导数，记作
类似地，称极限
为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处关于自变量y的偏导数，记作
4．二阶偏导数的定义
二元函数f(x,y)在区域D上的偏导数仍然是自变量x,y的函数，因此，进一步，对这两个偏导函数分别对x,y求偏导数，就产生下列四个二阶偏导数：
5．全增量与全微分
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，(x,y)为该邻域内的任意一点，记x=x0+△x,y=y0+△y,则自变量(x0,y0)变化到(x,y)的全增量为
△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x,y).
如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微，则函数的全增量可以表示为
其中A,B是与自变量的增量△x,△y无关的量，并且把去掉无穷小量的部分称为函数的全微分，并记作dz，即有
dz=A·△x+ B·△y.
函数可微=>函数连续，且偏导数存在；
偏导数连续=>函数可微
也就可以推出z=f(x,y)在点(x0,y0)的全微分为：
6．方向导数的定义
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，其中向量u对应的单位向量为uo=(cosα,cosβ)，其中α, β为向量u的方向角，则当极限
存在时，则称该极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处沿方向u的方向导数，记作
方向导数也记作?f/?u|(x0,y0).
【注】从实际应用与通用性角度，我们定义方向导数ρ→0+。有些教材对方向导数的定义ρ的取值可正可负，虽然可以视偏导数为其特殊情况，但是其条件对于实际应用来说太强！当然如果一个函数沿着指定方向及其反方向方向导数存在且互为相反数，则定义与ρ→0+一样可得得到有效结论。
方向导数的几何意义: Duf(x0,y0)表示过点P(x0,y0,0),M(x0,y0,f(x0,y0))，且平行于xOy面上的向量u和垂直于xOy的平面π与曲面S的交线在点M(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率．
【注】特别地，f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)分别为函数f(x,y)在点P(x0,y0)处沿两坐标轴方向i=(1,0)及j=(0,1)的方向导数．
二元函数f(x,y)与三元函数f(x,y,z)的梯度（梯度向量），记作
分别定义为：
【注】方向导数是函数梯度在方向向量u上的投影：
8．海赛(黑塞)矩阵
设n元函数f(X)在点X处对于自变量的各分量的二阶偏导数
连续，则称矩阵
为f(X)在点X处的二阶导数或黑塞矩阵(Hessian Matrix)，也可记作
【注】矩阵H为对称矩阵．
当n=2时，由二元函数f(x1,x2)的所有二阶偏导数构成的黑塞矩阵为
由二元函数f(x1,x2)的所有二阶偏导数组成．
9．极值的定义
设n元函数f(X)在X0的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于X0的点X，都有
f(X)&f(X0)，
则称函数f(X)在点X0处取得极大值f(X0)，称点X0为f(X)的极大值点；如果对于该邻域内任何异于X0的点X，都有
f(X)&f(X0)，
则称函数f(X)在X0处取得极小值f(X0)，称点X0为f(X)的极小值点．
10．条件极值相关的概念
在实际中会遇到求一个函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，我们称之为条件极值问题．通常，称函数f(x,y)为目标函数，方程g(x,y)=0为约束条件，变量x,y为决策变量．相应地，把求一个函数的，只有定义域限制的（不带条件的）极值问题为无条件极值问题．
二、相关定理与结论
1．具体函数偏导函数的计算
对于非间断点处，使用一元函数求导运算法则求多元函数关于某个变量的偏导数；对于间断点的偏导数使用偏导数的定义判断偏导数的存在性，并计算偏导数:
2．混合偏导数相等的判定定理
定理如果函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在点(x0,y0)处连续，则
【注1】对于分段函数的导函数或高阶导数在分界点的连续性和可导性的讨论，以及导数值的计算，一般都要先计算得到该函数的导函数以后，然后再使用定义的方法对分界点的连续性和可导性进行判定，或完成相关的计算。
【注2】由于二元初等函数及其各阶偏导数在其定义区域内连续，因而在定义区域内二元初等函数的二阶混合偏导数与x，y的先后次序无关．
3．方向导数的存在性判定与计算公式
定理设函数f(x,y)在点P(x0,y0)可微，那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在，且有
其中cosα,cosβ为向量u的方向余弦．
方向导数的概念及计算公式可推广到三元及三元以上的函数．例如，三元函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)沿方向u（对应的单位向量为uo=(cosα,cosβ,cosγ)）的方向导数定义为
同样，当函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)可微时，函数在该点沿方向u的方向导数
一般地，当函数f(x,y,z)可微时，有
4．可微函数取极值的必要条件
定理设n元函数f(X)在点X0处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点X0处取极值，则有
(1) 点X0称为函数f(X)的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的n元函数，其极值点必定是驻点．
(2) 假设函数f(X)在X0处可微，X0为f(X)的驻点，如果在X0的任何邻域内既存在函数值大于f(X0)的点也存在函数值小于f(X0)的点，即X0不为极值点，则称X0为函数f(X)的鞍点。
(3) 可微函数z=f(x,y)在极值点(x0,y0)处有水平切平面，且切平面方程为
z=f(x0,y0).
5．可微函数取极值的充分条件
定理设n元函数f(X)在点X0处具有二阶连续偏导数，且
记H(X0)为f(X)在点X0处的黑塞矩阵．
(1) 如果H(X0)正定，则X0为f(X)的极小值点；
(2) 如果H(X0)负定，则X0为f(X)的极大值点；
(3) 如果H(X0)不定，则X0为f(X)的鞍点；
(4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)．
6．二元函数极值判定的充分条件
定理设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处具有二阶连续的偏导数，且
(1) 如果A&0，且AC-B2&0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极小值；
(2) 如果A&0，且AC-B2&0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极大值；
(3) 如果AC-B2&0，则f(x,y)在(x0,y0)处不取极值．
(4) 其他情况需要另行判定。
7．实对称矩阵的正定性相关定义及判定
(1) 实对称矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零；即
(2) 实对称矩阵负定的充要条件是它的奇数阶主子式小于零，偶数阶主子式大于零，即
(3) 实对称矩阵正定：所有特征根大于零。
(4) 实对称是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0。
(5) 实对称是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0；
(6) 如果实对称A既不是半正定的，也不是半负定的，就称A为不定矩阵。
三、相关问题与求解思路
1．判定二重极限不存在的思路
证明二元函数极限不存在，一般通过取特殊路径的方式来验证。如果在选定的路径上二元函数的极限不存在，则原极限不存在；如果在选定的两条路径上，函数有不同的极限值，即极限值不相等，也说明函数极限不存在。路径的选择一般为：
(1) 坐标轴的方向：即x轴方向，y=0和y轴方向，x=0；它们又可分为
x的正向，即y=0(x&0)与x的负向，即y=0(x&0)
y的正向，即x=0(y&0)与y的负向，即x=0(y&0)；
(2) 沿着y=kx直线方向；
(3) 沿着抛物线方向，如y=kx2或多项式y=xα-xβ对应的曲线方向等；
至于具体选择怎样的方法，一般根据函数的表达式，从简单到复杂逐步尝试；如果利用特殊路径得不出相应的结论，则可以直接使用极坐标的方法来进行判定。
(4) 极坐标方法。如果代入极坐标后，化简后的表达式的极限与极角的取值有关，或者转换后的表达式在某个极角值没意义，一般也就说明极限不存在.
2．多元抽象复合函数求导数的基本步骤
(1) 确定最终函数与最终变量。
(2) 通过中间函数，或者通过引进中间函数符号，或通过序号标记中间函数复合过程函数，确定复合过程。
(3) 关键：绘制变量关系图。
(4) 链式法则：分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导。从最终函数到最终变量有几条路径就有几项相加，每条路径上的分段数就是每项相乘的项数；依据这个法则，就可以直接非常准确地写出计算式。
(5) 完成计算。
【注1】多元抽象复合函数的导数所具有的复合结构，与原来函数的复合结构一样。
【注2】如果要求导数的函数是复合函数，或与其他函数的四则运算表达式，一般先进行四则运算，对于其中的复合函数求导时，对于需要的计算结果再单独使用复合函数求导法则进行计算，将计算得到的结果代入原来四则运算的计算公式，然后得到最终需要的结果。
3．隐函数求导的基本原则
隐函数求导基本上基于复合函数求导的步骤与方法.对于隐函数求导一般不赞成通过记忆公式的方式来求需要计算的导数，一般建议借助于求导的四则运算法则与复合函数求导的运算法则，采取对等式两边同时关于同一变量的求导数的方式来求解。即用隐函数求导公式推导的方式求隐函数的导数。这样的方式不管对于具体的函数表达式还是抽象函数描述形式都适用。
4．二元函数可微性的判定
(1) 求全增量：
△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x,y)；
(2) 求(x0,y0)处的两个偏导数(如果有一个偏导数不存在，则函数不可微)；
(3)判定极限
是否等于0，如果等于0，则函数可微，否则不可微.
四、多元函数微分学的应用
1、空间曲面的切平面与法线
设曲面S的方程为F(x,y,z)=0，且函数F(x,y,z)有连续的偏导数，则曲面上点P(x0,y0,z0)处的法向量为记
依据平面的点法式方程，曲面S上点P处的切平面方程为
依据直线的点向式方程，法线方程为：
特别地，当光滑曲面S的方程为z=f(x,y)时，把它改写为
则曲面S在点P(x0,y0,z0)处的法向量为
于是曲面S在点P的切平面方程为：
曲面S在点P的法线方程为
2、空间曲线的切线与法平面
(1) 已知空间曲线的参数式方程求切线与法平面
设空间曲线C的参数式方程为
x=x(t),y=y(t),z=z(t),
则在点(x(t0),y(t0),z(t0))处曲线的切线的方向向量可以取为
从而可得切线方程为：
法平面方程为：
(2) 已知空间曲线的一般式方程求切线与法平面
设空间曲线C的一般式方程为
的形式给出，P(x0,y0,z0)是曲线C上的一个点，在假定F(x,y,z)，G(x,y,z)对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式
不为零的条件下，则方程组在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数y=y(x)及z=z(x)．从而在对应邻域内曲线C可以由参数方程
描述．曲线的切线方向向量则可以取为
这样，我们可以通过对方程组两端分别关于x变量求导数，计算得到两个导数dy/dx与dz/dx在点P的值．并且可以得到一般计算公式，即
从而由解线性方程组的克莱姆法则，只要两个导数的系数构成的行列式不为0，则可以得到
所以，切向量可以取为
【注】在实际计算过程中，一般不适用公式，而是采取直接利用方程组求解更加方便，有效。
3．方向导数与梯度的应用
定理设f(X)在点X0可微,u是一个n维非零向量，如果Duf(X0)&0，则u是f(X)在点X0处的一个上升方向；如果Duf(X0)&0，则u是f(X)在点X0处的一个下降方向．
(1) 梯度方向是函数值上升最快的方向，而函数值下降最快的方向是负梯度方向．通常，把梯度方向与负梯度方向分别叫做函数的最速上升方向与最速下降方向．
(2) 函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量．
(3) 与函数f(X)在点X0处的梯度方向成锐角（钝角）的任何方向都是f(X)在点X0处的上升（下降）方向．
(4) 二元函数、三元函数的梯度向量分别是相应的等值线、等值面的法线的方向向量。
4．多元泰勒公式
设f(X)是n维函数，X0∈Rn，如果f(X)在X0的某邻域内具有二阶连续偏导数，则对于点X0的某邻域内的点X，存在常数θ(0&θ&1)，使得
称上式为f(X)在点X0处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式．
如果假定函数f(X)在X0处可微，则有
以上两式分别称为f(X)在X0处的带皮亚诺余项的一阶及二阶泰勒公式．它们分别表明了在一定条件下，函数f(X)可以用线性函数和二次函数来近似．
【注】当n=1时，它们形式上与一元函数的泰勒公式相同．以上可以推广到多元函数的n阶泰勒公式。
以二元函数为例，给出更具体的描述形式！以二元函数为例，求多元函数的n阶泰勒公式：
设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到n+1阶的连续偏导数,(x,y)为此邻域内任一点，记h=△x =x-x0,k=△y =x-y0，则有
这个公式称为二元函数f(x,y)在点(x0,y0)的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式；当(x0,y0)=(0,0)时为麦克劳林公式。
5．条件极值的求解方法
条件的极值问题的求解方法为无条件化的方法：
(1) 一种是通过约束条件降元转换为无条件极值，也称为代入法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，如果由g(x,y)=0可以解出y=y(x)，则可以将条件极值问题求解转换为一元函数的无条件极值问题，即求f(x,y(x))的极值。
(2) 一种方法是增元的方法，即拉格朗日乘子法：如求二元函数f(x,y)在满足约束条件g(x,y)=0下的极值问题，可以通过令拉格朗日辅助函数
L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)，
转换为求L(x,y,λ)的无条件极值问题的必要条件得到，其中参数λ称为拉格朗日乘子．并这种将求条件极值问题转化为求拉格朗日函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘子法．
(3) 二元函数的条件极值的图形化方法:即借助二元函数的等值线，考察当变量(x,y)在条件方程对应的曲线上移动时，等值线对应的函数值的变化来获取极值点位置和极值，如下图。
其依据是在极值点等值线与条件方程对应的曲线相切；从而有相同的切线与法线。依据两法向量平行，对应坐标成比例，并且切点坐标满足条件方程，可以得到极值点位置与极值；并且推导得到拉格朗日乘子法。
(4) 多自变量多条件的拉格朗日乘子法
对于求函数f(x,y,z)在条件g(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数．
L(x,y,z,λ)=f(x,y,z)+λg(x,y,z)，
将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为梯度为0，即
对于求函数f(x,y,z)在条件g1(x,y,z)=0与g2(x,y,z)=0下的极值问题，作拉格朗日函数
将条件极值问题转化为无条件极值问题，驻点条件为
6．闭区域上连续多元函数最值的求解步骤
第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件；
第二步：找出所有可能的驻点，驻点包括由区域内部利用无条件极值得到的驻点和边界上由条件极值得到的驻点；
第三步：比较所有驻点的函数值，同时还需要考虑边界曲线的端点或者说尖点位置的函数值的大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值；另外也根据问题的实际意义来确定最值。
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我有更好的答案
函数z处处可微，且=2x-y，=2y-x．将向量单位化可得：0==．故函数z在点（-1，1）处的梯度为：(?1，1)=（-3，3），在点（-1，1）处沿向量的方向导数值为：
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