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时间:2018-05-15 23:39
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b样条曲线的节点向量
摘 &要:本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时,空间曲线的切线和法平面的求法。
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空间曲线的切线和法平面求法探讨
摘 &要:本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时,空间曲线的切线和法平面的求法。 中国论文网 /9/view-7204214.htm 关键词:空间曲线;切线;法平面 【中图分类号】 G642.1 & & & &【文献标识码】 B & & & &【文章编号】 (7-02 求空间曲线的切线与法平面方程时,要根据给定曲线的方程所属类型是参数式还是其它形式,选择适当的求解方法,关键是先求出切点坐标和曲线在切点处的切向量。下面笔者就对曲线的切线和法平面求法进行探讨。 1 & 空间曲线由参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t) (α≤t≤β)给出 若空间曲线的方程为参数方程时,x=x(t),y=y(t),z=z(t) (α≤t≤β)曲线上的点p0(x0,y0,z0)对应的参数为t0,而x(t),y(t),z(t)在 t=t0时有导数,则曲线在点p0的切向量为s={x′(t0),y′(t0),z′(t0)},因此,曲线在点p0处的切线方程为==,其法平面方程为x′(t0)(x-x0)+y′(t0)(y-y0)+z′(t0)(z-z0)=0。 例1 &求曲线x=??sin2t,y=bsintcost,z=ccos2t对应于t=处的切线方程和法平面方程(?唬?b,c为常数)。 解:对应于t=的点为(,,),当t=时,有 x′t|=2??sintcost|=?唬? &y′t|=bcos2t|=0, z′t|=-2csintcost|=-c,即切向量为s={?唬?0,-c}。 因此,所求切线方程为==,其法平面方程为?唬?x-)-c(z-)=0,即??x-cz-+=0。 例2 &求曲线x=(t+1)2, y=t3, z=在点(1,0,1)处的切线方程和法平面方程。 解:因为点(1,0,1)对应于t=0,当t=0时,有 x′t|=2(t+1)|=2, &y′t|=3t2|=0, z′t|=|=0 即切向量为s={2,0,0}。所以,切线方程为y=0z=1, 其法平面方程为2(x-1)=0,即x=1。 例3 &求曲线x=, y=, z=2t上的点,使得曲线在该点的切线平行于平面x+3y+z-3=0,并求过该点的切线方程。 解:设参数t=t0,对应曲线上任一点M0(x0,y0,z0),则: x0=, y0=, z0=2t0, 由于x′(t0)=,y′(t0)=-, z′(t0)=2即切向量为: s=,-,2,切线方程为: ==。 又因为平面x+3y+z-3=0的法向量为n={1,3,1}。由题意,切线与已知平面平行,所以s?n=-+2=0,因此 (1+t0)2=1,即t0=0或t0=-2, 对应曲线上的点为M1(0,1,0)或M2(2,-1,-4)。 则曲线在点M1(0,1,0)处的切线方程为==, 则曲线在点M2(2,-1,-4)处的切线方程为==。 2 & 空间曲线的方程以交面式方程F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0给出 若空间曲线的方程以交面式方程F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0给出时,曲线上的点p0(x0,y0,z0)处的切线就是这两个曲面在p0点的切平面的交线,因此其切向量s与两曲面在切点处的法向量n1,n2均垂直。因为n1=F′x,F′y,F′z|,n2=G′x,G′y,G′z|,所以切向量 s=n1×n2=i & &j & &kF′x| &F′y| &F′z|G′x| &G′y| &G′z| =F′y &F′zG′y &G′z,F′z &F′xG′z &G′x,F′x &F′yG′x &G′y=l,m,n 因此曲线在点p0处的切线方程为==, 其法平面方程为l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-z0)=0。 例4 &求球面x2+y2+z2=6与抛物面z=x2+y2处的交线在点 p(1,1,2)的切线方程和法平面方程。 解:设F(x,y,z)=x2+y2+z2-6G(x,y,z)=x2+y2-z,则求偏导数, 得: F′x=2x,F′y=2y,F′z=2z, G′x=2x,G′y=2y,G′z=-1, 则曲线在点p(1,1,2)的切线的方向向量为: s=F′y &F′zG′y &G′z,F′z &F′xG′z &G′x,F′x &F′yG′x &G′y =2 & 42 &-1,4 & 2-1 &2,2 &22 &2=-10,10,0 故曲线在点p(1,1,2)的切线方程为==, 而过点p(1,1,2)的法平面方程为(x-1)-(y-1)=0,即x-y=0。 例5 &求曲线x2+y2+z2=3x2x2-3y+5z=4在点p(1,1,1)处的切线和法平面方程。
解:由题意可知,在该点处切线的方向向量垂直于两曲面的法向量n1,n2,由n1=-1,2,2,n2=2,-3,5,故可取 s=n1×n2=-1,2,2×2,-3,5=16,9,-1。 所以,切线方程为 ==, 而法平面方程为16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0, 即16x+9y-z-24=0。 3 & 空间曲线由方程y=y(x),z=z(x)给出 若空间曲线由方程y=y(x),z=z(x)给出,选x为参数,将曲线方程化为参数方程x=x,y=y(x),z=z(x),则曲线在任一点p0(x0,y0,z0)的切向量为s={1,y′x(x0),z′x(x0)},因此曲线在点p0处的切线方程为 ==,其法平面方程为 (x-x0)+y′x(x0)(y-y0)+ z′x(x0)(z-z0)=0。 例6 &求曲线x2-z=0x+y+4=4在点p(1,-5,1)处的法平面与直线4x-3y-2z=0x-y-z+1=0之间的夹角。 解:已知曲线的参数方程为x=x,y=-x-4,z=x2,则曲线在点p处的法平面的法向量为 n=(1,y′x,z′x|=(1,-1,2x)|=1,-1,2, 而所给直线的方向向量为 s=i & j & &k4 &-3 &-21 &-1 &-1=i+2j-k=1,2,-1。 设直线与平面夹角为φ,直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角为θ,于是 sinφ=cosθ==, 故φ=。 即曲线在点p处的法平面与所给直线的夹角为。 例7 &求曲线y2=x,x2=z在点p0(1,1,1)处的切线方程及法平面方程。 解:视x为参数,则曲线的参数方程为x=x,y2=x,z=x2。 先求切向量,由于x′=1,y′x=,z′x=2x,则该曲线的切向量为s=1,y′x,z′x=1,,2x。于是过点p0(1,1,1)处的切线的方向向量为1,,2,所以,切线方程为 ==,即==, 其法平面方程为 (x-1)+(y-1)+2(z-1)=0,即2x+y+4z=7。 例8 &求证曲线x2-z=0 & & &(1)3x+2y+1=0 &(2)上点p0(1,-2,1)处的法平面与直线L:9x-7y-21z=0x-y-z=0平行。 证明:在方程(1)和(2)的两边分别对x求导,得: 2x-z′x=03+2y′x=0, &解得:z′x=2xy′x=-。 因而该曲线的切向量为s=(1,y′x,z′x),于是过点p0(1,-2,1)处的切线的方向向量为(1,-,2),这也是过点p0处的法平面的法线向量,即n=(1,-,2)。又直线L的方向向量 s=n1×n2=i & j & &k9 &-7 &-211 &-1 &-1=-14i-12j-2k=-14,-12,-2。 由于n?s=(1,-,2)?(14,-12,-2)=0,因此法平面与直线平行。 参考文献: [1] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].武汉:华中科技大学 出版社,2001. [2] 林建华,庄平辉,林应标.高等数学精品课堂[M].厦门:厦门大 学出版社,2006. [3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].沈阳:东北大学出版社,2000.
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切向量与法向量是怎么推导出来的?切向量是T=[1,y'(x),z'(x)]法向量是n=(F'x,F'y,F'z)请问以上俩点是怎么推导出来的?我只知道点斜式的斜率k是y对x的导数,上面说的是曲线的切向量,曲面的法向量。同样都是导数,为什么一个是切向量,另一个是法向量?
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全微分吧,F(x,y,z)=0;dF(x,y(x),z(x))/dx=0;Fxdx+Fydy(x)+Fzdz(x)=0;d表示倒数,F表示偏导数.倒数可以确定切向量,根据向量的性质,垂直向量的乘积为零,所以偏导数就可以确定法向量.
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密切平面密切平面:过空间曲线上P点的切线和P点的邻近一点Q可作一平面σ,当Q点沿着曲线趋近于P时,平面σ的极限位置π称为曲线在P点的密切平面.密切平面的方程一般参数的表示(R − r(t0),r'(t0),r''(t0)) = 0其中 R = {X,Y,Z}表示P点的密切平面上任意一点的向径.也可用行列式表示:|X-x(t0) Y-y(t0) Z-z(t0)|| x'(t0) y'(t0) z'(t0) | =0| x''(t0) y''(t0) z''(t0) |
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1.曲线x=t,y=-t^2,z=t^3在点(1,-1,1)处的切向量为(1,-2,3) 请问:具体步骤是什么?dx/dt=1,dy/dt=-2t,dz/dt=3t²此时t=1代入即得切向量 T=(1,-2,3)2.而指向x轴负向一侧的切向量为(-1,2,-3) 请问:既然是x负向,只需让x变号,为什么要全体变号啊?又因为指向x轴负向一侧所以x必须小于0所以切向量=-(1,-2,3)=(-1,2,-3)必须全部变号.
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x=t,y=-t^2,z=t^3在点(1,-1,1)处
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