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极限求解的方法
导读：极限求解的方法，摘要：数学分析是以极限理论和极限方法为基础，理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强，所以要学好极限，1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题），2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题），本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明，关键词：极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言：在数学分析中极 极限求解的方法 韩山师范学院
数学教育 摘要：数学分析是以极限理论和极限方法为基础，以微积分为主要内容的学科。理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强。所以要学好极限，应从两个方面着手。1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题）；2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题）。本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明。榜 关键词：极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分 前言：在数学分析中极限的求法有很多种，方法虽然多但却不集中。本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方法和思想，结合具体例子分析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧。这些方法不能适用于所有极限的求解，但具有一定的代表性。 1、利用极限定义验证极限 定义?1?：设?an?为数列，a为定数。若对任给的正数?，总存在正整数N，使得当n?N时有
an?a??, an?a。则称数列?an?收敛于a，定数a称为数列?an?的极限，并记作lim n??3n2?n3?
例1：limn??2n2?12an?a，关键是要对任意??0，求出N?N?，证：利用极限定义证明limn??使得n?N时有an?a??即可。 任给??0，要找N，使n?N时，有
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2?＜?， 2n?12即
2n?3＜?， 2(2n2?1)显然，当n较大时，如n?2，有 3n2?n32n?32n?2n2n2n1 ??????2(2n?1)2(2n?1)2n?12n?2nn?13n2?n3因此要使2???
成立， 2n?12当n?2时，只要
n??1 ??2,?1所以，任给??0 ，取N?max???，则当n?N时，有 ???111?? n?13n2?3n3
2??? 2n?123n2?3n3? 成立。 因此 limn??2n2?12利用极限定义验证极限是极限问题的难点，关键在于对任意给定的正数?的任意性。然而，尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N。还有N的相应性。一般说，N随?的变小而变大，由此常把?写作N(?)，来强调N是依赖于?的；但重要的是N的存在性，而不在于它的值的大小。 2、利用迫敛性来求极限
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定理?1?：设收敛数列?an?，?bn?都以a为极限，数列?cn?满足：存在正数N0当n?N0时有
an?cn?bn， bn?a。 则数列?cn?收敛，且limn??例2：设xn?1?3?5??（?2n?1)，试求极限limxn。 n??2?4?6???(2n)解：利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限，应构造适当的不等式，这不仅是判定数列收敛的一种方法，而且也是求极限的一个重要的工具。 n??????????? n?11111
????? n11111
?????， ?n?1)xn(2n?1)2462nxn?故0?xn?11?0 ，limn??2n?12n?1xn?0 由迫敛性得limn??利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于极限值。 3、利用极限的四则运算法则求极限 an?a,limbn?b.则 定理?1?：如果存在limn??n??(an?bn)?liman?limbn?a?b;
limn??n??n??(an?bn)?liman?limbn?a?b;
limn??n??n?? 第 3 页 共 3 页
若bn?0及b?0，则limana?liman/limbn?. n??bn??n??bnn2?4n?1) 例3?2?：求lim(3n?2解：将an化作我们常见的可求极限的形式，再通过极限的四则运算法则进行计算。 lim(3n2?4n?1)?lim3n2?lim4n?lim1 n?2n?2n?2n?2n2?4limn?lim1?3?22?4?2?1?5
?3limn?2n?2n?2例4?2?n2?1：求lim n?3n3?3n2?4lim(n2?1)n2?19?15n??3解：lim3 ???32n??3n?3n2?4lim(n?3n?4)?27?27?42n??3利用极限四则运算法则关键在于每项或每个因子极限存在，一般所给出的不满足条件。因此必须要对变量进行变形，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算、通分化简、化无穷多项的和或积为有限项等恒等变形。 4、利用单调有界定理求极限 定理?1?：在实数系中，有界的单调数列必有极限。 例5：设a1?2,an?1?2an,n?1,2,?;证明其极限存在并求其值。 证：利用单调有界定理求极限，首先判断所给数列是单调有界的，即用单调有界定理证明数列极限的存在；然后，设所求的极限为一个常数a，并由相邻两项an与an?1的关系式两端取极限得一关于a的方程；最后解所列的方程并同时利用极限保不等式性求出a，即位所求的极限。 由题可知
a2?2a1?2?a1
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ak?1?ak，则ak?2?2ak?1?2ak?ak?1 而
a1?2?2，假设ak?2 则
ak?1?2ak?2?2?2 故此数列有界，由单调有界定理可知?an?收敛 an?a，由an?1?2an 令
limn??两边取极限得
a?2或a?0 由极限报不等式性得a?0舍去，故此数列极限存在且极限值为2. 2?2axn?2a2，求极限limxn。 例6?3?：设x1?0,xn?1?xnn??解：不妨设a?0（a?0的情形同理可证）。显然 2?2axn?2a2?(xn?a)2?a2?a
xn?1?xn22222由xn，得 ?x?2ax?2a?(x?a)?a?1nnn
(xn?1?xn?a)(xn?1?xn?a)?a2， a2
xn?1?xn?a??a,n?1,2,?. xn?1?xn?a由xn?1?xn?0(n?1,2,?). 故数列?xn?是一个单调减少且有下界的数列，因此收敛。 2?2axn?2a2，取极限，并设limxn?b， 又xn?1?xnn??xn?a。 得b?b2?2ab?2a2，故b?a，即limn??利用单调有界定理求极限关键在于先要证明数列极限的存在，然后根据数列的通项递推公式求其极限。 5、利用两个重要的极限公式来求极限
第 5 页 共 5 页 包含总结汇报、高中教育、计划方案、表格模板、出国留学、初中教育、IT计算机、自然科学、经管营销、行业论文以及极限求解的方法等内容。本文共4页
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13．求函数极限有哪些方法? 在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在才能运算． 我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法． 例1 求 思路启迪 由于f是在的某邻域内有定义的初等函数,所以也是在的某邻域内有定义的初等函数．根据初等函数的连续性可求出该极限． 规范解法 由初等函数的连续性.得 例2 求 思路启迪 由于当x→2时,分子.分母的极限都存在.并且分母的极限不为0.所以可以将x→2直接代入分子.分母.根据初等函数的连续性.分别求出分子分母的极限.再求商即可． 规范解法 例3 求 思路启迪 由于将x→-2代入分母.可得分母极限为0.所以此题不能用直接入法．根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为0的x+2,约去公因式即可求极限了． 规范解法 例4 思路启迪 因为.所以不能直接用求函数极限差的运算法则,可将函数通分变形后再求极限． 规范解法 例5 求 思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子.分母同除以最高次项.使分子.分母的极限都存在． 规范解法 点评 一般地 例6 求 思路启迪 求函数极限时.若碰到分子.分母中有根号的情形.经常会把分子或分母有理化.使原极限可求． 规范解法 例7 求 思路启迪 分子.分母中分别有.直接求极限不好求.可以采用变量规换的方法.令 规范解法 例8 求 思路启迪 出现 规范解法一 规范解法二 规范解法三 【】
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极限求解的方法
第1页共18页极限求解的方法韩山师范学院数学教育摘要数学分析是以极限理论和极限方法为基础，以微积分为主要内容的学科。理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强。所以要学好极限，应从两个方面着手。1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题）；2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题）。本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明。榜关键词极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言在数学分析中极限的求法有很多种，方法虽然多但却不集中。本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方法和思想，结合具体例子分析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧。这些方法不能适用于所有极限的求解，但具有一定的代表性。1、利用极限定义验证极限定义设为数列，为定数。若对任给的正数，总存在正整????NAA?数，使得当时有NN?,N???则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作。??NAA??NALIMNA???例1231LIM?????N证利用极限定义证明，关键是要对任意，求出，LIMNA???0??N??第2页共18页使得时有即可。NN?NA???任给，要找N，使时，有0??，?＜231??N即，?123??N显然，当较大时，如，有2????????????NNNN因此要使成立，?2当时，只要N????1N即???所以，任给，取，则当时，有0????????1,2MAX?NNN????312N因此成立。3LIM2???N利用极限定义验证极限是极限问题的难点，关键在于对任意给定的正数的任意性。然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地??被确定下来，以便依靠它来求出N。还有N的相应性。一般说，随的变小而变大，由此常把写作，来强调是依赖于的；N???第3页共18页但重要的是的存在性，而不在于它的值的大小。N2、利用迫敛性来求极限定理设收敛数列，都以为极限，数列满足存在正??1??NABA??NC数当时有0N0N?，NNBC?则数列收敛，且。??NCABN???LIM例2设，试求极限。2641531XN??????（NX??LIM解利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限，应构造适当的不等式，这不仅是判定数列收敛的一种方法，而且也是求极限的一个重要的工具。321????????NNXN??7??，NNX????????故，10??XN0LIM??N由迫敛性得0LI?N利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于极限值。3、利用极限的四则运算法则求极限定理如果存在则??1LIM,LIBANN???第4页共18页LIMLILIMBABANNNN???????????若及，则0?NBLI/LILIBABNNN????例3求??22LIM341N???解将化作我们常见的可求极限的形式，再通过极限的四则运算A法则进行计算。222LI341LI3LI4LIM1NNNN????????223415?????例4求??2321LIM4N??解LI724NN???????利用极限四则运算法则关键在于每项或每个因子极限存在，一般所给出的不满足条件。因此必须要对变量进行变形，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算、通分化简、化无穷多项的和或积为有限项等恒等变形。4、利用单调有界定理求极限定理在实数系中，有界的单调数列必有极限。??1例5设证明其极限存在并求其值。,21,,211????NAAN证利用单调有界定理求极限，首先判断所给数列是单调有界的，即用单调有界定理证明数列极限的存在；然后，设所求的极限为一个常数，并由相邻两项与的关系式两端取极限得一关于的ANA1?A方程；最后解所列的方程并同时利用极限保不等式性求出，即位第5页共18页所求的极限。由题可知112AA??假设，则K?1122????KKKA而，假设???则1???KKA故此数列有界，由单调有界定理可知收敛??NA令，由N??LIMNNA21?两边取极限得2?即或2A0由极限报不等式性得舍去，故此数列极限存在且极限值为2?例6设，求极限。??32211,AXXNN????NX??LIM解不妨设（的情形同理可证）。显然0A?XXXNNN????2221由，得2A???，211AXXNN??,,121?????AAXNN由,201????XN故数列是一个单调减少且有下界的数列，因此收敛。??又，取极限，并设，221AXXNN???BXN???LIM得，故，即。B?B?AN利用单调有界定理求极限关键在于先要证明数列极限的存在，然后第6页共18页根据数列的通项递推公式求其极限。5、利用两个重要的极限公式来求极限两个重要的极限公式??1；1SINLM0??XE??I注在利用这两个极限球相应的极限时，一般要对函数做相应的变换。例7求极限??3TANSILM3XN???解利用重要的极限及函数极限的运算法则。0I1?3200SINTASCOSLLINXXX?????????21SINC1INLIM20??????????XNX例8求极限10LIXN?解XNXN10102LILIM????XN120LI?12120LI???????????XXN2100LIMLIM12XNNX?????????????????A21E??第7页共18页利用两个重要的极限公式求极限关键在于所给出的函数形式是否符合或经过变形是否符合这两个极限公式。一般常用的方法是换元法和配指数法。6、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质??1（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；（2）无穷小量与有界量的乘机为无穷小量；（3）无穷大量的倒数是无穷小量。例9求极限XN243LIM???解当时分母的极限为0，而分子的极限不为0，因此可先求X出所给函数的倒数0423LIM43LI2???????NNX利用无穷小量的倒数是无穷大量，故?XNLI23例10求极限32SINLX??解SI1LIMSIL232XXNN???当时，为无穷小量，而为有界量。,2XSIN故0SIN1LISIL232?????XXNN7、利用等价无穷小量代换求极限定理设函数在上有定义，且有??1,XHGF0UO第8页共18页0XGXF?（1）若则有,LIM0AHFX??LIM0AHX?（2）若则有,LI0BFXLI0BGX?等价无穷小代换的本质就是用较为简单的无穷小量去代替比较复杂的无穷小量，而将这两个无穷小量之间的差略去不计。当然，前提是它们的差必须是更高阶的无穷小。因此在计算过程中，比较稳妥的做法是保留高阶无穷小量，并时刻留意其演化的进程。例11求极限??3TANSILM30XX??解用等价无穷小量代换。由于时，有,21COS,SINX21LIMLIMTASINL????????XXXXX利用等价无穷小量代换求极限，应注意只有对所求极限式中响成或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。欲利用此方法求极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量当时，0?XNXNXXXA11LN12COSARCTARCSITSI????8、利用函数的连续性求极限定义设函数在某上有定义。若则称??1FX0U00LIM,XFX??在点连续。亦可若对任给的，存在，使得当FX0????时有，则称函数在点连续。???0FX???F0第9页共18页首先在点连续，不仅要求在点有极限，而且要求其极FX0FX0限值应等于在的函数值；其次，要求在某上FX0FX0U（包括点）有定义，此时由于当时总是成立的，所以在极限0X?定义中的“”换成了再连续定义中的“”；最后0X???0X???又可表示为，可见“在点连续”00LIMXF??00LIMLIXXF?F0意味着极限运算与对应的的可交换性。0LIX定理任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数??1例12求极限40LI41XE??解因函数在R内有定义且连续，而。XF?0XR??所以是的连续点F于是0000LIM41LILIM4LI1XXXEE?????2??例13求极限。??40SINLX解很显然函数在处不连续，但注意极限XF0是存在的。0SINLM1X??若令，则当时，。SIXT?1T于是，求转换为求。0INLX1LIMNT然而函数在处世连续的FT?T则有，11LIMNLIL0TT??即0SXT由此可知，极限符号可与函数符号F交换次序。LI即。000LIXXGFFGFX???第10页共18页此方法一般适用于复合函数的极限。9、利用导数定义求极限导数定义设函数在点的某邻域内有定义，若极限??1YFX?000LIMXFX??存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点FX0FX处的导数，记作。令，则0X000,XYFX?????。0LIMLIXXFYF???例14求极限2LICOTX??解分析，令。1COTAN?TAN2FX?22LIMTLIXX??????21TANT2LIMX?????A21LIXF????1F?2SECX10、利用中值定理求极限（1）微分中值定理??1拉格朗日中值定理若函数满足FX第11页共18页①在闭区间上连续；FX??,AB②在开区间上可导；??则在上至少存在一点，使得。??,AB?FBAF???罗尔中值定理若函数满足FX①在闭区间上连续；FX??,AB②在开区间上可导；??③；FA?则在上至少存在一点，使得。??,B?0F??柯西中值定理设函数满足,FXG①在上都连续；??,A②在上都可导；??B③不同时为零；,FXG④；A?则存在，使得。??,B??FFBAGG???泰勒定理若函数在上存在直至阶的连续导函数，在FX,N上存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一,AB1N?0,,XAB?点，使得,??NNNFXFXFXFFXX????????????（2）积分中值定理设函数在闭区间上连续；在??1F??,ABG上不变号且可积，则在上至少有一点使得??,AB?,AB?第12页共18页。,BBAAFXGDFGXDB??????AA例15求极限30SINSILMX??解因S
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?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_start_4& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&p>&span style=&font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 鉴于本网发布稿件来源广泛、数量较多, 系统审核过程只针对存在明显违法有害内容（如色情、暴力、反动、危害社会治安及公共安全等公安部门明文规定的违法内容）进行处理，难以逐一核准作者身份及核验所发布的内容是否存在侵权事宜, 如果著作权人发现本网已转载或摘编了其拥有著作权的作品或对稿酬有疑议, 请及时与本网联系删除。&/span>&/p>&p>&strong style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 white-space: background-color: rgb(255, 255, 255);&>& & 侵权处理办法参考版权提示一文：&/strong>&a href=&http://www.jinchutou.com/h-59.html& target=&_blank& textvalue=&http://www.jinchutou.com/h-59.html&>http://www.jinchutou.com/h-59.html&/a>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>&&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>1、如涉及内容过多，需要发送邮箱，请电子邮箱到，我们会及时处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>2、系统一旦删除后，文档肯定是不能下载了的，但展示页面缓存需要一段时间才能清空，请耐心等待2-6小时；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>3、请版权所有人（单位）提供最起码的证明（证明版权所有人），以便我们尽快查处上传人；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>4、请文明对话，友好处理；&/span>&/p>&p>&span style=&color: rgb(102, 102, 102); font-family: 微软雅黑, Arial, &Times New Roman&; font-size: 14 background-color: rgb(255, 255, 255);&>5、为了杜绝以前再有类似的侵权事情，可以为我们提供相应的关键字，便于管理人员添加到系统后能有效排除和抵制与您（贵单位）相关版权作品上传；&/span>&/p>&span id=&_baidu_bookmark_end_5& style=&display: line-height: 0&>?&/span>&span id=&_baidu_bookmark_end_3& style=&display: line-height: 0&>?&/span>" />
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