一个平面向量题的四种解法及分析--《中学生数学》2014年03期
一个平面向量题的四种解法及分析
【摘要】：正平面向量内容在中学数学有其特殊的位置,它是数形结合的桥梁,下面的填空题较多地体现了平面向量问题的特点.题目如图1所示,Rt△ABC中,∠ACD为直角,|CB|=1,D是AB延
【作者单位】：
【分类号】：G634.6
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400-819-9993高中数学典型例题解析：第八章_平面向量与空间向量
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高中数学典型例题解析：第八章_平面向量与空间向量
第八章 平面向量与空间向量
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
§8.1平面向量及其运算
一、知识导学
1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。
2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量：我们把与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。记作-。
5.向量的加法：求两个向量和的运算。
已知，。在平面内任取一点，作=，=，则向量叫做与的和。记作+。
6. 向量的减法：求两个向量差的运算。
已知，。在平面内任取一点O，作=，=，则向量叫做与的差。记作-。　　　
7.实数与向量的积：
（1）定义： 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：
　&& ①λ的长度|λ|=|λ|·||；
&&&& ②当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；
& &&&&&当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；
& &&&&&当λ＝0时，λ=
& （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则
& &&&①λ(μ)=(λμ)
& &&&②(λ+μ) =λ+μ
&&&& ③λ(+)=λ+λ
8.向量共线的充分条件：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得＝λ。
另外，设=（x1 ,y1）, =
(x2,y2)，则//x1y2－x2y1=0
9.平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2使　＝λ1＋λ2&，其中不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P1，P2是直线l上的两点，点P是不同于P1，P2的任意一点则存在一个实数λ,使=λ，λ叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1，y1)，(x,y)，(x2,y2)，则有
特别当λ=1，即当点P是线段P1P2的中点时，有
　11.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为θ，则数量||||cosθ叫做与的数量积(或内积)，记作·，即·＝||||cosθ
规定：零向量与任一向量的数量积是0。
(2)几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积。
(3)性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，θ是与的夹角，则·＝·＝||cosθ　，⊥·＝0
当与同向时，·＝||||
&　当与反向时，·＝－||||
& 特别地，·＝||2或||＝
cosθ＝&&& |·|≤||||
(4)运算律：
·＝·&(交换律)
& &(λ)·＝λ(·)＝·(λ)
& &(＋)·＝·＋·
（5）平面向量垂直的坐标表示的充要条件：
设=（x1 ,y1）, =
(x2,y2)，则
·=||·||cos90°=0
x1x2+y1y2=0
12.平移公式：
设P（x，y）是图形F上的任意一点，它在平移后图形F/上对应点为P/（x/，y/），且设的坐标为（h，k），则由＝＋，得：（x/，y/）＝（x，y）+（h，k）
二、疑难知识导析
1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量”
向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量；
2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点；
3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆；
4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的；
5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。
三、经典例题导讲
[例1] 和= (3,－4)平行的单位向量是_________；
错解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即 (，－)
错因：在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。
正解：因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即(，－)或(－，)
点评：平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和= (3,－4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。
[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。
错解：设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2
，即x=-2，y=3。故所求D的坐标为（-2，3）。
错因：思维定势。习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。因此，还需要分类讨论。
正解：设D的坐标为（x，y）
当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1= 4-2 ，即x= -2，y= 3。解得D的坐标为（-2，3）；
当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1= 2-4 ，即x= 6，y= -1。解得D的坐标为（6，-1）；
当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2= 4-1 ，即x= 0，y= 5。解得D的坐标为（0，5）。
故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。
[例3]已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。
错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P 分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）
错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为 P1，P2 的内分点这一种情况，还有点P是 P1，P2的外分点。故须分情况讨论。
正解：当点P为 P1，P2 的内分点时，P 分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；
当点P为 P1，P2 的外分点时，P 分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。
则所求点P的坐标为（）或（13，4）。
点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。
[例4] 设向量 ，，，则“”是“”的
& A.充分不必要条件&&&&&&&&&&&&&&&&
B.必要不充分条件
& C.充要条件&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
D.既不充分也不必要条件
分析：根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．
解：若，∵，则，代入坐标得：，即且&．消去，得；
反之，若，则且，即
& 故“”是“&”的充要条件．
点评：本题意在巩固向量平行的坐标表示．
[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x&+y&．
分析：根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．
解：由题意有
&&&& x&+y&=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．
&&&& 又&=（3，5）
&&&& ∴x-y=3且-x+3y=5
&&&& 解之得 x=7 且y=4
点评：在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．
[例6]已知A（-1，2），B（2，8），=&，= -，求点C、D和向量的坐标．
分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量&，&和&关系进行坐标运算，用方程思想解之．
&解：设C、D的坐标为、，由题意得
&=（），=（3，6），&=（），=（-3，-6）
& 又=&，= -
& ∴（）=（3，6）， （）=-（-3，-6）
& 即 ()=(1,2)
， ()=(1,2)
& ∴且，且
& ∴&且&，且&
& ∴点C、D和向量&的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）
小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．
§8.2平面向量与代数、几何的综合应用
一、知识导学
1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,即
2.正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
&&&&&&&&&&&&&&
二、疑难知识导析
& 1．初中学过的勾股定理只是余弦定理的一种特殊情况。如当=时，=0，此时有；
& 2．由于本节内容与代数、几何联系比较紧，故读者需对解斜三角形、解析几何中的圆锥曲线等知识非常熟悉方可。
三& 经典例题导讲
[例1]在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为(　　)
A．&　　　B．　　C．　　　D．或
错因：公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。
正解：∵a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2－2bc(－)＝b2＋c2－2bc·cos
[例2]在△ABC中，已知，试判别其形状。
错解：等腰三角形。
错因：忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。直接由得，，即，则。接着下结论，所求三角形为等腰三角形
正解：由得，，即
则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。
[例3]过抛物线:y2=2px(p&0)顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB(如图),求证:直线AB过一定点,并求出这一定点.
对于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),有a//bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.
证明:由题意知可设A点坐标为(,t1),B点坐标为(,t2)&
∵OA⊥OB,∴·=0·+t1·t2=0
t1·t2=-4p2&&&
设直线AB过点M(a,b),则=(a-,b-t2),=(-,t1-t2),
由于向量与是共线向量,∴（a-）(t1-t2)= (b-t2)(-)
化简得2p(a-2p)=b(t1+t2)
&显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立
∴直线AB过定点,且定点坐标为M(2p,0)
四& 典型习题导练
1．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x，则第三边x的取值范围是（&
A．1＜x＜5　　　　B．＜x＜&& C．＜x＜5　　 　 D．1＜x＜
2.△ABC中，若边a：b：c＝：(1＋)：2，则内角A＝&&&&&&&&& 。
3．某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到0，测得塔顶A仰角为30°，则塔高＝　　　　　　　　　　。
4．在△ABC中，已知B＝30°，b＝50，c＝150，解三角形并判断三角形的形状。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
&&&&&&&&&&&&
5．在△ABC中，已知＝，判定△ABC是什么三角形。
※§8.3空间向量及其运算　& 　　　
一、知识导学
1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量
都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2．空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，
（2）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4 模长公式：若，
5．夹角公式：．
6．两点间的距离公式：若，，则
二、疑难知识导学
1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；
2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：
(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直；
(2)求空间两点间的距离；
(3)求两条异面直线所成的角.
& 4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。
三、经典例题导讲
[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（　　）
错解：B、C、D中任选一个
错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．
正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．
　[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．
错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。
分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．
解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．
　　由题意，得
　　(x＋3)2＋1＋1＝(x＋2)2＋4＋9，
　　9＋(y＋1)2＋1＝4＋(y－2)2＋9，
　　9＋1＋(z－1)2＝4＋4＋(z－3)2．
分别解得，
评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，则P、Q的距离为
必须熟练掌握这个公式．
[例3]设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值
错解：取轴上的任一向量，设所求夹角为，
即余弦值为
错因：审题不清。没有看清“轴正方向”，并不是轴
正解：取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，
∴，即为所求
[例4]在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿
解： &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴∠ABC＝135°
[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，
⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标
∴∠BAC＝60°，
⑵设＝(x,y,z)，则
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1).
[例6]已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，
求异面直线和的距离
解：以为原点，所在的直线分别为轴，轴、轴建立空间直角坐标系，则
∵在平面上，
解得：，∴，∴．
另外,此题也可直接求与间的距离
设与的公垂线为，且，
则，∴，∴，
解得：，，．
四、典型习题导练
1．已知向量的夹角为（&&& ）
&&& A．0°&&
B．45° C．90°& D．180°
2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足
&&& 则△BCD是（&&& ）
&&& A．钝角三角形&&& B．直角三角形&& C．锐角三角形&& D．不确定
3．已知是空间二向量，若的夹角为
&&&&&&&&&&&.
4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若为
&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C
&& 求证：AB1=A1C
6．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点，
&&& （1）求
&&& （2）求
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平面向量练习题(含答案2013北师大版)
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平面向量练习题(含答案2013北师大版)
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM &一、1．如图2－1－5，在正方形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是(　　)&图2－1－5A.DA→与BC→B.AB→与DC→C.DC→与DA→D.BC→与AB→ 【解析】　∵AB→＝DC→，∴AB→与DC→可用同一条有向线段表示．【答案】　B&图2－1－62．如图2－1－6所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量AB→与DC→的关系是(　　)A.AB→＝DC→B．|AB→|＝|DC→|C.AB→＞DC→D.AB→＜DC→【解析】　|AB→|与|DC→|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．【答案】　B&图2－1－73．如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点，则与EF→的模相等的向量共有(　　)A．6个　　　　　&B．5个C．4个&D．3个【解析】　∵E、F、D分别是边AC、AB和BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC.又∵AB，BC，AC均不相等，从而与EF→的模相等的向量是：FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.【答案】　B&图2－1－84．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中A，B，C，D，E，F，O中任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA→外，与向量OA→共线的向量共有(　　)A．6个&B．7个C．8个&D．9个【解析】　由共线向量的定义及正六边形的性质，与向量OA→共线的向量有AO→，OD→，DO→，AD→，DA→，EF→，FE→，BC→，CB→，共有9个．故选D.【答案】　D5．下列说法中，不正确的是(　　)A．0与任意一个向量都平行B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同【解析】　易知A、B、C均正确，D不正确，它们的终点可能相同，故选D.【答案】　D二、题 6．已知边长为3的等边△ABC，则BC边上的中线向量AD→的模等于________．【解析】　由于AD＝32AB＝332.∴|AD→|＝3 32.【答案】　3 32&图2－1－97．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①AO→＝OC→；②AO→∥AC→；③AB→与CD→共线；④AO→＝BO→.其中，所有正确的序号为________．【解析】　根据正方形的几何性质以及向量的相等和共线的条件知①②③正确，AO→与BO→的方向不相同，故④不正确．【答案】　①②③&图2－1－108．如图2－1－10所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，连接相应分点，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC→平行且长度为2 2的向量个数是________．【解析】　图中共有4个边长为2的正方形，每个正方形中有符合条件的向量2个(它们分别是连接左下和右上顶点的向量，方向相反)，故满足条件的向量共有8个．【答案】　8三、解答题9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：(1)与BC→相等的向量；(2)与OB→长度相等的向量；(3)与DA→共线的向量．&【解】　如图可知，(1)易知BC＝AD，所以与BC→相等的向量为AD→.(2)由O是正方形ABCD对角线的交点可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与OB→长度相等的向量有BO→，OC→，CO→，OA→，AO→，OD→，DO→.(3)与DA→共线的向量有AD→，BC→，CB→.&图2－1－1110．如图2－1－11所示，四边形ABCD中AB→＝DC→，N、M分别是AD、BC上的点，且CN→＝MA→.求证：DN→＝MB→. 【证明】　∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴|DA→|＝|CB→|，且DA∥CB.又∵DA→与CB→的方向相同，∴CB→＝DA→.同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴CM→＝NA→.∵|CB→|＝|DA→|，|CM→|＝|NA→|，∴|MB→|＝|DN→|，又∵DN→与MB→的方向相同，∴DN→＝MB→.&图2－1－1211．如图2－1－12，A、B、C三点的坐标依次是(－1,0)、(0,1)、(x，y)，其中x、y∈R.当x、y满足什么条件时，向量OC→与AB→共线(其中O为坐标原点)?【解】　由已知，A、B的坐标是(－1,0)、(0,1)，所以∠BAO＝45°.当点C(x，y)的坐标满足x＝y＝0时，OC→＝0，这时OC→与AB→共线(零向量与任意向量都共线)；当xy≠0，且x＝y，即点C在一、三象限角平分线上时，有AB∥OC，这时OC→与AB→共线．综上，当x＝y时，OC→与AB→共线． 文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求助一道平面向量证明题
求助一道平面向量证明题设D、E是三角形ABC的边BC、CA上的点,且BD=1/3BC,CE=1/3CA,G是AD和BE的交点,用向量法证明：DG=1/7AD
证明:如图,作DF平行于AC,交BE于F,设向量BD=X,向量DC=2X,向量CE=Y,向量EA=2Y,则向量BE=向量BC+向量CE=3X+Y,因为DG平行于AC,所以向量DF：向量CE=向量BD：向量BC=1：3,所以向量DF=1/3向量CE=Y/3,又DF平行于AC,所以向量DG：向量GA=向量DF：向量EA=Y/3：2Y=1：6,所以DG：GA=1：6,所以DG：AD=1：7,即DG=1/7AD
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与《求助一道平面向量证明题》相关的作业问题
简单(△OAB)*OC向量+S(△OAC)*OB向量+S(△OBC)*OA向量=(△OAB)*（OC向量+OB向量+OA向量）O为△ABC内一点则有：OC向量+OB向量+OA向量=0所以：S(△OAB)乘OC向量+S(△OAC)乘OB向量+S(△OBC)乘OA向量=0向量
证明中省去向量符号设AP=aAB PB=bAB,因此a+b=1OP=OA+AP=OA+aAB……一式,OP=OB-PB=OB-bAB……二式由一式表示出AB=(OP-OA)/a代入二式,化简,得OP=aOB+bOA,且a+b=1a、b就是你的λ,μ
三角形的面积等于底乘以高除以2,△ABD与△ACD的高是相同的,设为h,那么有 S△ABD:S△ACD = (BD*h)/2:(CD*h)/2 = BD:CD = n:1 同样△GBD与△GCD的高是相同的,设为h',那么有 S△GBD:S△GCD = (BD*h')/2:(CD*h')/2 = BD:CD = n:1
证明：因为f(x)=f(x-1)+f(x+1),所以f(x+1)=f(x)+f(x+2);所以f(x)-f(x-1)=f(x)+f(x+2)所以-f(x-1)=f(x+2)所以f(x)=-f(x+3)所以f(x+3)=-f(x+6)所以f(x)=f(x+6)所以f(x)是周期函数.
这个题还算挺适合向量法的.设圆心为O,半径为r.简记向量OA,OB,OC,OD为a,b,c,d,有a² = b² = c² = d² = r².由P,A,B共线,可设OP = ta+(1-t)b,同理由P,C,D共线,可设OP = sc+(1-s)d.于是ta+(1-t
证明:∵△ABC中,AF,BE,CD分别是BC,AC,AB边上的中线,∴AF,CD,相交于一点G,且BG∶GE=2∶1 F,E分别是BC,AC的中点,所以EF=AD,所以,四边形AEFD为平行四边形,∴AE=DF,同理,若BE与AF相交于一点G′,则有BG′∶G′E=2∶1,所以G′与G重合.所以三角形三条中线相交于一
用角动量守恒做.设椭圆数据为a,b,c角动量守恒得：u1*(a-c)=u*bu2*(a+c)=u*bu1=u*b/(a-c),u2=u*b/(a+c)u1*u2=u^2*[b*b/(a+c)(a-c)]=u*u*[b*b/(a*a-c*c)]=u*u*[b*b/b*b]=u*u
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由题意,AP+AQ=AM,而且|AP|=|AQ|=1,由中位线定理,P、Q分别是AB和AC中点,又|AP|=|AQ|,所以AB=AC,即这是一个等边三角形,且边长为2,这样就容易求得AB*BC=-2&.
1.M+N的绝对值=2,|M+N|^2=4,代入得cosA=sinA,得A=45度 2.由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),得a=4*根号2,三角形为等腰直角,面积直角S=16
D=A（1,-2）+2 B（-3,4）=(1+2*(-3),-2+2*4)=(-5,6),D*C=(-5,6)*(3,2)=-5*3+6*2=-3
楼上正解,但……既然是向量题,那就应该用向量来向量AP=a*向量AM=a*（向量AC+向量CM）=a*向量AC+1/2a*向量CB同时向量AP=向量AN+向量NP=2/3*向量AC+b*向量NB=2/3*向量AC+b*向量NC+b*向量CB=2/3*向量AC+1/3b*向量AC+b*向量CB=（2/3+1/3b）*向量
依题意,假设L就是过重心G的一条直线,若能证明出1/x+1/y=3也就能说明问题：1/x+1/y=3 的充要条件是：直线L恒过△ABC重心G.下面就证明过G的直线L能推导出1/x+1/y=3延长AG交BC于M由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦,下面我都不打向量二字,写在前的表起点,写在后的表终点）AG=k
img class="ikqb_img" src="http://f.hiphotos.baidu.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=da2d7cdbaedfed943cc41d95/8bf703dc7f7d730bfa513d.jpg"
1.连接EF,EB,EO,FO.设正方形ABCD边长为a.∵DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,∴EO=√(1/4a²+1/2a²)=√3/2*a,FO=√(a²+1/2a²)=√6/2*a,EF=√(1/4a²+2a²)=3/2*a.则EO²+
1) 充分性αOA+βOB=OC=(α+β)OC因此α(OA-OC)+β(OB-OC)=0因此αCA+βCB=0故A,B,C共线2) 必要性A,B,C共线因此存在不全为零的实数s和t,使得sAC+tBC=0即s(OC-OA)+t(OC-OB)=0因此sOA+tOB=(s+t)OC如果s+t≠0,令α=s/(s+t) β
向量BA/（向量BA的模）＝单位向量BA,设单位向量BA＝a=(cosx,sinx),同理,设单位向量BC=b=(cosy,siny),单位向量BD=C=(cosz,sinz)由题中的等式得,向量a+向量b=√3向量ca、b 均为单位向量,故a+b的合成向量一定平分a、b 方向所夹的角,c也为单位向量,故得ab夹角60
反证法.若不平行,那么两平面的交线必同时平行于a和b,矛盾.
因为向量am是向量a1,...,am-1的线性组合,存在不全为0的数k1,k2,...k_{m-1},使am=k1a1+k2a2+...+k_{m-1}a_{m-1}.　　若k_{m-1}=0,则am=k1a1+k2a2+...+k_{m-2}a_{m-2},而　am不是a1,...,am-2的线性组合,得k1=k1=